Download - A wavelet ek és néhány alkalmazás uk
![Page 1: A wavelet ek és néhány alkalmazás uk](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062301/5681592d550346895dc65961/html5/thumbnails/1.jpg)
A waveletekés néhány alkalmazásuk
Speciálkurzus 2009 tavasz
Tóth Gyula
BME Általános- és Felsőgeodézia Tanszék
![Page 2: A wavelet ek és néhány alkalmazás uk](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062301/5681592d550346895dc65961/html5/thumbnails/2.jpg)
2
A kurzus áttekintése• Bevezetés a waveletekhez
– A wavelet transzformáció (WT)– Matematikai előkészítés
• Folytonos wavelet transzformáció (CWT)– Matematikai alapok– Alkalmazások
• Diszkrét wavelet transzformáció (DWT)– Matematikai alapok– Alkalmazások
• Sokskálás analízis (MRA)• Esettanulmányok, további alkalmazások• Összefoglalás
![Page 3: A wavelet ek és néhány alkalmazás uk](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062301/5681592d550346895dc65961/html5/thumbnails/3.jpg)
3
A kurzus célja
• A waveletek mint matematikai eszköz megismerése olyan mélységig, hogy képesek legyünk ezt az eszközt a saját adataink elemzésére felhasználni
• Meg tudjuk ítélni milyen eljárást célszerű alkalmazni az adott feladathoz
• Képesek legyünk a kapott eredményeket helyesen értékelni, elemezni
• El tudjuk kerülni a gyakori csapdákat és buktatókat
![Page 4: A wavelet ek és néhány alkalmazás uk](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062301/5681592d550346895dc65961/html5/thumbnails/4.jpg)
4
A szükséges (elő)ismeretek
• Lineáris algebra, vektortér
• Függvényterek, ortogonalitás
• Fourier transzformáció, DFT, FFT
• Lineáris rendszerek, konvolúció
• Sztochasztikus jelek spektrálanalízise, PSD
![Page 5: A wavelet ek és néhány alkalmazás uk](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062301/5681592d550346895dc65961/html5/thumbnails/5.jpg)
1. Bevezetés a waveletekhez
Speciálkurzus 2009 tavasz
![Page 6: A wavelet ek és néhány alkalmazás uk](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062301/5681592d550346895dc65961/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Meghatározás
A wavelet analízis vagy wavelet transzformáció egy olyan matematikai eszköz, amely képessé tesz minket arra, hogy egy adott jelet vagy függvényt:
• helyzet • lépték (skála) • irány szempontjából is analizáljunk.
![Page 7: A wavelet ek és néhány alkalmazás uk](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062301/5681592d550346895dc65961/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Mi a wavelet analízis (WT)?• A „wavelet” szó jelentése: kis hullám, hullámocska• A wavelet időben/térben és frekvencia szempontjából
is lokalizált ψ(t) elemző függvény (t: idő/tér változó)– A Fourier transzformáció elemző függvénye,
eiωt = cos(ωt) + i•sin(ωt) térben nem lokalizált
• A lépték (skála) szerinti felbontást a kiválasztott elemző wavelet nyújtásával/zsugorításával érjük el– Ezután a waveletet konvolváljuk a jellel, ami megadja a
hasonlóság mértékét
• Eredmény: a jel helyzet és skála szerinti felbontása
![Page 8: A wavelet ek és néhány alkalmazás uk](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062301/5681592d550346895dc65961/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Idő/tér és frekvencia lokalizáció
![Page 9: A wavelet ek és néhány alkalmazás uk](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062301/5681592d550346895dc65961/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Idő – frekvencia határozatlansági elvf(t) – jel, F(ω) – az f(t) Fourier transzformáltja
t0 és ω0 jelölje az idő/frekvencia tartományban a súlyozott négyzetátlagot
Azt mondjuk, hogy az f(t) jel az idő-frekvencia tartományban (t0, ω0)-ban lokalizált
Ekkor az s, S szórások mérik az f jel (t0, ω0) körüli eloszlásának szélességét. Ezek az s2, S2 varianciák négyzetgyökei
Idő – frekvencia határozatlansági elv:
s2 · S2 ≥ ¼
idő-frekvencia sík
δ(t-tk) bázis eiωkt bázis wavelet bázis WFT (STFT) bázis
![Page 10: A wavelet ek és néhány alkalmazás uk](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062301/5681592d550346895dc65961/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Wavelet analízis
![Page 11: A wavelet ek és néhány alkalmazás uk](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062301/5681592d550346895dc65961/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Előnyök• Gyorsan változó jelek, tranziensek jobban
elemezhetők waveletek segítségével mint sin/cos függvényekkel
• A jel frekvenciaösszetevőinek, energiájának helyfüggő változásai a térben lokalizált waveletekkel jól leírhatók (ún. nem stacionárius jelek - sin/cos erre alkalmatlan)
• A wavelet analízis a Fourier analízisnek, azaz a jel frekvenciaösszetevőkre bontásának egy-fajta kibővítéseként sokfajta jel teljesebb elemzését adja
![Page 12: A wavelet ek és néhány alkalmazás uk](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062301/5681592d550346895dc65961/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Hátrányok• Az elemző wavelet megválasztása
némiképpen tetszőleges• A wavelet analízis erőforrás igényesebb a
Fourier analízisnél (2 változó: helyzet, skála)• A folytonos wavelet transzformáció (CWT)
nem ortogonális felbontást ad• Nehezebb számszerűsíteni és standardizálni
az analízis eredményeit• Kevésbé kiforrott eljárás, mint a jel Fourier
analízise
![Page 13: A wavelet ek és néhány alkalmazás uk](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062301/5681592d550346895dc65961/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Alkalmazások• A waveletek alkalmazása igen szerteágazó és
folyamatosan bővül. Néhány terület:• Adat és képtömörítés (JPEG2000, FBI)• Lineáris egyenletrendszer átalakítása ritkán
kitöltött mátrixú egyenletrendszerré• Fraktálok, káosz, turbulencia modellezése• Szűrés, zajszűrés• Időben változó tulajdonságú jelek analízise
(EKG, El Niño, szeizmikus hullámok, stb…)
![Page 14: A wavelet ek és néhány alkalmazás uk](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062301/5681592d550346895dc65961/html5/thumbnails/14.jpg)
14
JPEG2000 veszteséges képtömörítés
wavelet transzformálteredeti kép rekonstruált kép
a tárigény 236%-al csökkent
![Page 15: A wavelet ek és néhány alkalmazás uk](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062301/5681592d550346895dc65961/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Ujjlenyomatok tárolása
egy ujjlenyomat wavelet transzformáltja
• Egy digitalizált nagyfelbontású ujjlenyomat tárigénye 0.5 MB
• Egy teljes ujjlenyomat kártya kb. 10 MB tárhelyet igényel
• 200 millió ember ujjlenyomatának tárolása 2000 terabájt (TB) tárhelyet igényel
• Wavelet tömörítéssel ez legalább 1/15-ödére csökkenthető
![Page 16: A wavelet ek és néhány alkalmazás uk](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062301/5681592d550346895dc65961/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Turbulencia
Örvénymezők és wavelet transzformáltak (Schneider et al. 2003)
![Page 17: A wavelet ek és néhány alkalmazás uk](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062301/5681592d550346895dc65961/html5/thumbnails/17.jpg)
17
EKG
EKG és wavelet transzformáltja (Addison, 2005)
![Page 18: A wavelet ek és néhány alkalmazás uk](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062301/5681592d550346895dc65961/html5/thumbnails/18.jpg)
18
El Niño SST
Évszakos El Niño tengerfelszín hőmérséklet anomáliák és wavelet spektrum (Torrence and Compo 1998)
![Page 19: A wavelet ek és néhány alkalmazás uk](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062301/5681592d550346895dc65961/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Szűrés (inverz WT)
![Page 20: A wavelet ek és néhány alkalmazás uk](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062301/5681592d550346895dc65961/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Nemstacionárius jel analízise 1.
250, 500, 750 és 1000 Hz-es szinusz jelek
10% normál eloszlású zaj
mintavételi frekvencia 2·2500 Hz
![Page 21: A wavelet ek és néhány alkalmazás uk](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062301/5681592d550346895dc65961/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Nemstacionárius jel analízise 2.
TISA: Time-integral squared amplitude
N
iiAt
0
2
![Page 22: A wavelet ek és néhány alkalmazás uk](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062301/5681592d550346895dc65961/html5/thumbnails/22.jpg)
22
TörténetHaar Alfréd
Haar wavelet (1909)
Gábor Dénes
Ablakolt (Short-Time) Fourier Transzformáció, STFT (1946)
Jean Morlet
Folytonos wavelet transzformáció, CWT (1984)
Stephane Mallat, Yves Meyer
Diszkrét wavelet transzformáció, DWT Sokskálás analízis, MRA (1988)
![Page 23: A wavelet ek és néhány alkalmazás uk](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062301/5681592d550346895dc65961/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Matematikai alapok
• Lineáris algebra, lineáris tér
• Függvényterek, ortogonalitás
• Fourier transzformáció, DFT, FFT
• Lineáris rendszerek, konvolúció
• Sztochasztikus jelek spektrálanalízise, PSD
![Page 24: A wavelet ek és néhány alkalmazás uk](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062301/5681592d550346895dc65961/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Lineáris algebra, vektortérVektortér: Az E vektor halmaz a valós/komplex R/C számok teste felett akkor vektortér, ha tetszőleges x, y E vektorra két művelet, az összeadás és α R/C skalárral való szorzás értelmezett: x + y, αx
a vektorokat gyakran szám n-esekkel jellemezzük (n dimenziós vektortér): x=(x1, x2, … xn)
E-nek egy M részhalmaza E-nek lineáris altere, ha minden x, y M vektorra x + y, illetve tetszőleges α R/C skalárra αx is M-ben van
Ha S E, akkor az S által kifeszített altér az S vektorainak összes lineáris kombinációja: span(S) = { Σi αixi | αi R/C , xi S }
Az x1, x2, … xn vektorok lineárisan függetlenek, ha Σi αixi = 0 csak akkor igaz, ha az összes αi zérus
Egy {x1, x2, … xn} vektorrendszer E-nek bázisa, ha E=span(x1, x2, … xn) és x1, x2, … xn lineárisan függetlenek
E végtelen dimenziós vektortér, ha végtelen sok lineárisan független vektort tartalmaz
![Page 25: A wavelet ek és néhány alkalmazás uk](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062301/5681592d550346895dc65961/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Függvényterek, ortogonalitásAz E vektortéren értelmezett < . , . > skalárszorzat (inner product) egy valós/komplex értékű függvény, amely E × E-n (vektor párok halmaza) értelmezett és teljesít bizonyos tulajdonságokat (pl. <x+y,z> = <x,z> + <y,z>; <x,αy> = α<x,y>; <x,x> ≥ 0)
Példa: R feletti komplex értékű függvények ill. szám n-esek vektorterében
A skalárszorzattal ellátott vektorteret, ha teljes, Hilbert-térnek nevezzük.
Az x vektorról azt mondjuk, hogy ortogonális (merőleges) az y-ra, ha <x,y> = 0
Az x vektor normája az ||x|| = <x,x> skalárszorzat.
Vektorok egy {x1, x2, … xn} halmaza ortogonális, ha bármely két vektora ortogonális
Ha minden vektor egységnyi normájú, akkor ortonormális vektorrendszer
Ha az ortonormális vektorrendszer kifeszíti E-t, akkor E-nek ortonormális bázisa
D. Hilbert
![Page 26: A wavelet ek és néhány alkalmazás uk](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062301/5681592d550346895dc65961/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Ortogonális komplementer, Fourier-sorHa adott egy E Hilbert-tér és ennek egy S altere, akkor S┴ a jele az S-nek E-ben
vett ortogonális kompementerének. Ez a halmaz az {x E | x ┴ S} elemekből
áll.
Ha S zárt, vagyis az S-ben levő minden vektor sorozatának határértékét is tartalmazza, akkor van egy egyértelműen meghatározott olyan v S és egy egyértelműen meghatározott olyan w S┴ , hogy y = v + w. Ekkor azt írhatjuk, hogy
E = S S┴
azaz E az alterének és az altér ortogonális komplementerének a direkt összege.
Példa Hilbert-térre: négyzetesen integrálható függvények L2(R) tere, vagyis |f(t)|2 integrálható (nem végtelen).
Ekkor a skalárszorzat <f, g> = ∫ f(t)* g(t) dt és a norma ||f||2 = ∫ f(t)2 dt .
Az {xi} ortonormális rendszer E-nek bázisa, ha minden y E vektor felírható
y = Σk αkxk
Fourier-sor alakban. Az αk számok az y Fourier együtthatói, és αk = <xk ,y>
![Page 27: A wavelet ek és néhány alkalmazás uk](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062301/5681592d550346895dc65961/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Ortogonális projekció és LKN közelítésEgy vektort az E Hilbert-térben gyakran közelítenünk kell egy zárt S altérben fekvő másik vektorral
Feltételezzük, hogy E szétválasztható, vagyis S-ben létezik az {x1, x2, …} ortonormált bázis. Ekkor y E -nek az S-re vett ortogonális projekciója
A d különbség vektor merőleges S-re
Ennek a közelítésnek fontos tulajdonsága az, hogy legkisebb négyzetek (LKN) értelmében a legjobb közelítés, vagyis min||y – x|| az S-ben fekvő x-re akkor teljesül, ha x az y S-re vett ortogonális projekciója.