A waveletekés néhány alkalmazásuk

Speciálkurzus 2009 tavasz

Tóth Gyula

BME Általános- és Felsőgeodézia Tanszék

2

A kurzus áttekintése• Bevezetés a waveletekhez

– A wavelet transzformáció (WT)– Matematikai előkészítés

• Folytonos wavelet transzformáció (CWT)– Matematikai alapok– Alkalmazások

• Diszkrét wavelet transzformáció (DWT)– Matematikai alapok– Alkalmazások

• Sokskálás analízis (MRA)• Esettanulmányok, további alkalmazások• Összefoglalás

3

A kurzus célja

• A waveletek mint matematikai eszköz megismerése olyan mélységig, hogy képesek legyünk ezt az eszközt a saját adataink elemzésére felhasználni

• Meg tudjuk ítélni milyen eljárást célszerű alkalmazni az adott feladathoz

• Képesek legyünk a kapott eredményeket helyesen értékelni, elemezni

• El tudjuk kerülni a gyakori csapdákat és buktatókat

4

A szükséges (elő)ismeretek

• Lineáris algebra, vektortér

• Függvényterek, ortogonalitás

• Fourier transzformáció, DFT, FFT

• Lineáris rendszerek, konvolúció

• Sztochasztikus jelek spektrálanalízise, PSD

1. Bevezetés a waveletekhez

Speciálkurzus 2009 tavasz

6

Meghatározás

A wavelet analízis vagy wavelet transzformáció egy olyan matematikai eszköz, amely képessé tesz minket arra, hogy egy adott jelet vagy függvényt:

• helyzet • lépték (skála) • irány szempontjából is analizáljunk.

7

Mi a wavelet analízis (WT)?• A „wavelet” szó jelentése: kis hullám, hullámocska• A wavelet időben/térben és frekvencia szempontjából

is lokalizált ψ(t) elemző függvény (t: idő/tér változó)– A Fourier transzformáció elemző függvénye,

eiωt = cos(ωt) + i•sin(ωt) térben nem lokalizált

• A lépték (skála) szerinti felbontást a kiválasztott elemző wavelet nyújtásával/zsugorításával érjük el– Ezután a waveletet konvolváljuk a jellel, ami megadja a

hasonlóság mértékét

• Eredmény: a jel helyzet és skála szerinti felbontása

8

Idő/tér és frekvencia lokalizáció

9

Idő – frekvencia határozatlansági elvf(t) – jel, F(ω) – az f(t) Fourier transzformáltja

t0 és ω0 jelölje az idő/frekvencia tartományban a súlyozott négyzetátlagot

Azt mondjuk, hogy az f(t) jel az idő-frekvencia tartományban (t0, ω0)-ban lokalizált

Ekkor az s, S szórások mérik az f jel (t0, ω0) körüli eloszlásának szélességét. Ezek az s2, S2 varianciák négyzetgyökei

Idő – frekvencia határozatlansági elv:

s2 · S2 ≥ ¼

idő-frekvencia sík

δ(t-tk) bázis eiωkt bázis wavelet bázis WFT (STFT) bázis

10

Wavelet analízis

11

Előnyök• Gyorsan változó jelek, tranziensek jobban

elemezhetők waveletek segítségével mint sin/cos függvényekkel

• A jel frekvenciaösszetevőinek, energiájának helyfüggő változásai a térben lokalizált waveletekkel jól leírhatók (ún. nem stacionárius jelek - sin/cos erre alkalmatlan)

• A wavelet analízis a Fourier analízisnek, azaz a jel frekvenciaösszetevőkre bontásának egy-fajta kibővítéseként sokfajta jel teljesebb elemzését adja

12

Hátrányok• Az elemző wavelet megválasztása

némiképpen tetszőleges• A wavelet analízis erőforrás igényesebb a

Fourier analízisnél (2 változó: helyzet, skála)• A folytonos wavelet transzformáció (CWT)

nem ortogonális felbontást ad• Nehezebb számszerűsíteni és standardizálni

az analízis eredményeit• Kevésbé kiforrott eljárás, mint a jel Fourier

analízise

13

Alkalmazások• A waveletek alkalmazása igen szerteágazó és

folyamatosan bővül. Néhány terület:• Adat és képtömörítés (JPEG2000, FBI)• Lineáris egyenletrendszer átalakítása ritkán

kitöltött mátrixú egyenletrendszerré• Fraktálok, káosz, turbulencia modellezése• Szűrés, zajszűrés• Időben változó tulajdonságú jelek analízise

(EKG, El Niño, szeizmikus hullámok, stb…)

14

JPEG2000 veszteséges képtömörítés

wavelet transzformálteredeti kép rekonstruált kép

a tárigény 236%-al csökkent

15

Ujjlenyomatok tárolása

egy ujjlenyomat wavelet transzformáltja

• Egy digitalizált nagyfelbontású ujjlenyomat tárigénye 0.5 MB

• Egy teljes ujjlenyomat kártya kb. 10 MB tárhelyet igényel

• 200 millió ember ujjlenyomatának tárolása 2000 terabájt (TB) tárhelyet igényel

• Wavelet tömörítéssel ez legalább 1/15-ödére csökkenthető

16

Turbulencia

Örvénymezők és wavelet transzformáltak (Schneider et al. 2003)

17

EKG

EKG és wavelet transzformáltja (Addison, 2005)

18

El Niño SST

Évszakos El Niño tengerfelszín hőmérséklet anomáliák és wavelet spektrum (Torrence and Compo 1998)

19

Szűrés (inverz WT)

20

Nemstacionárius jel analízise 1.

250, 500, 750 és 1000 Hz-es szinusz jelek

10% normál eloszlású zaj

mintavételi frekvencia 2·2500 Hz

21

Nemstacionárius jel analízise 2.

TISA: Time-integral squared amplitude

N

iiAt

0

2

22

TörténetHaar Alfréd

Haar wavelet (1909)

Gábor Dénes

Ablakolt (Short-Time) Fourier Transzformáció, STFT (1946)

Jean Morlet

Folytonos wavelet transzformáció, CWT (1984)

Stephane Mallat, Yves Meyer

Diszkrét wavelet transzformáció, DWT Sokskálás analízis, MRA (1988)

23

Matematikai alapok

• Lineáris algebra, lineáris tér

• Függvényterek, ortogonalitás

• Fourier transzformáció, DFT, FFT

• Lineáris rendszerek, konvolúció

• Sztochasztikus jelek spektrálanalízise, PSD

24

Lineáris algebra, vektortérVektortér: Az E vektor halmaz a valós/komplex R/C számok teste felett akkor vektortér, ha tetszőleges x, y E vektorra két művelet, az összeadás és α R/C skalárral való szorzás értelmezett: x + y, αx

a vektorokat gyakran szám n-esekkel jellemezzük (n dimenziós vektortér): x=(x1, x2, … xn)

E-nek egy M részhalmaza E-nek lineáris altere, ha minden x, y M vektorra x + y, illetve tetszőleges α R/C skalárra αx is M-ben van

Ha S E, akkor az S által kifeszített altér az S vektorainak összes lineáris kombinációja: span(S) = { Σi αixi | αi R/C , xi S }

Az x1, x2, … xn vektorok lineárisan függetlenek, ha Σi αixi = 0 csak akkor igaz, ha az összes αi zérus

Egy {x1, x2, … xn} vektorrendszer E-nek bázisa, ha E=span(x1, x2, … xn) és x1, x2, … xn lineárisan függetlenek

E végtelen dimenziós vektortér, ha végtelen sok lineárisan független vektort tartalmaz

25

Függvényterek, ortogonalitásAz E vektortéren értelmezett < . , . > skalárszorzat (inner product) egy valós/komplex értékű függvény, amely E × E-n (vektor párok halmaza) értelmezett és teljesít bizonyos tulajdonságokat (pl. <x+y,z> = <x,z> + <y,z>; <x,αy> = α<x,y>; <x,x> ≥ 0)

Példa: R feletti komplex értékű függvények ill. szám n-esek vektorterében

A skalárszorzattal ellátott vektorteret, ha teljes, Hilbert-térnek nevezzük.

Az x vektorról azt mondjuk, hogy ortogonális (merőleges) az y-ra, ha <x,y> = 0

Az x vektor normája az ||x|| = <x,x> skalárszorzat.

Vektorok egy {x1, x2, … xn} halmaza ortogonális, ha bármely két vektora ortogonális

Ha minden vektor egységnyi normájú, akkor ortonormális vektorrendszer

Ha az ortonormális vektorrendszer kifeszíti E-t, akkor E-nek ortonormális bázisa

D. Hilbert

26

Ortogonális komplementer, Fourier-sorHa adott egy E Hilbert-tér és ennek egy S altere, akkor S┴ a jele az S-nek E-ben

vett ortogonális kompementerének. Ez a halmaz az {x E | x ┴ S} elemekből

áll.

Ha S zárt, vagyis az S-ben levő minden vektor sorozatának határértékét is tartalmazza, akkor van egy egyértelműen meghatározott olyan v S és egy egyértelműen meghatározott olyan w S┴ , hogy y = v + w. Ekkor azt írhatjuk, hogy

E = S S┴

azaz E az alterének és az altér ortogonális komplementerének a direkt összege.

Példa Hilbert-térre: négyzetesen integrálható függvények L2(R) tere, vagyis |f(t)|2 integrálható (nem végtelen).

Ekkor a skalárszorzat <f, g> = ∫ f(t)* g(t) dt és a norma ||f||2 = ∫ f(t)2 dt .

Az {xi} ortonormális rendszer E-nek bázisa, ha minden y E vektor felírható

y = Σk αkxk

Fourier-sor alakban. Az αk számok az y Fourier együtthatói, és αk = <xk ,y>

27

Ortogonális projekció és LKN közelítésEgy vektort az E Hilbert-térben gyakran közelítenünk kell egy zárt S altérben fekvő másik vektorral

Feltételezzük, hogy E szétválasztható, vagyis S-ben létezik az {x1, x2, …} ortonormált bázis. Ekkor y E -nek az S-re vett ortogonális projekciója

A d különbség vektor merőleges S-re

Ennek a közelítésnek fontos tulajdonsága az, hogy legkisebb négyzetek (LKN) értelmében a legjobb közelítés, vagyis min||y – x|| az S-ben fekvő x-re akkor teljesül, ha x az y S-re vett ortogonális projekciója.