Download - Aljabar Linier 2 (3 Sks)
Dra Sumargiyani,M.PdDosen Pendidikan Matematika
FKIP UAd
Kehadiran 10% Keaktifan 10% Tugas 15% UTS 30% UAS 35% Syarat Wajib mengikuti ujian tengah
semester dan ujian akhir semester
RENCANA PELAKSANAAN PERKULIAHANA. TRANSFORMASI LINIERPertemuan 1: A. TRANSFORMASI LINIER Pengantar Transformasi LinierPertemuan 2:Sifat Transformasi Linier,Kernel dan
jangkauan Pertemuan 3: Transformasi Linier dari Rn ke Rm; Pertemuan 4: Geometri Transformasi Linier dari R2 ke R2
Pertemuan 5: Matriks Transformasi LinierPertemuan 6: KeserupaanPertemuan 7: B. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGENPertemuan 8:Nilai eigen dan vektor eigenPertemuan 9:DiagonalisasiPertemuan 10: Diagonalisasi Ortogonal, matriks simetrik
Pertemuan 11: Penerapan-penerapan Penerapan pada Persamaan Diferensial Pertemuan 12: Bentuk kuadrat Pertemuan 13: Pendiagonalan bentuk
kuadrat,penerapan pada bagian kerucut(konik)
Pertemuan 14: Penerapan pada Permukaan kuadrik
Pengantar Transformasi Linier
Yang dikaji : fungsi bernilai vektor dari peubah vektor
w=F(v), dengan v,w: adalah vektor Jika V dan W adalah ruang vektor dan F
adalah fungsi yang mengasosiasikan vektor unik di W, ditulis F:V W
F mengasosiasikan vektor w dengan vektor v, maka ditulis w=F(v)
w dikatakan bayangan dari v di bawah F Ruang vektor V dinamakan domain F
Contoh : Jika v=(x,y) adalah sebuah vektor di R2, maka
rumus F(v)=(x,x+y,x-y) mendefinisikan sebuah fungsi yang memetakan R2 ke dalam R3
F(v)=(x,x+y,x-y) mendefinisikan sebuah fungsi yang memetakan R2 ke R3
Jika v=(1,2) maka bayangan dari v dibawah F adalah F(v)= (1,1+2,1-2)=(1,3,-1)
Berapa F(v) untuk v=(-2,3)????
R2 R3
Jika F:VW adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F dinamakan transformasi linier jika :
1. F(u+v)=F(u)+F(v) untuk semua vektor u dan v di V
2. F(ku)=kF(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k
Buktikan bahwa F(v)=(x,x+y,x-y) merupakan transformasi linier
Bukti :1. ambil u=(a, b) dan v=(c,d), dengan u,v berada
V makau+v=(a+c,b+d) sehinggaF(u+v)=( a+c,[a+c]+[b+d],[a+c]-[b+d] ) = (a+c,[a+b] +[c+d],[a-b]+[c-d]) = (a,a+b,a-b) + (c,c+d,c-d) = F(u) + F(v)2. Ambil u dalam V, u=(a,b) sehingga ku=(ka.kb) F(ku) = F(ka,kb) = (ka,ka+kb,ka-kb) = (ka, k[a+b], k[a-b]) = k(a, a+b, a-b) = k F(u)Jadi terbukti F adalah transformasi linier
Jika F:VW adalah transformasi linier,maka untuk v1 dan v2 di V dan k1 dan k2 skalar berlakulah :
F(k1 v1 + k2 v2 )= F(k1 v1 ) + F(k2v2 ) sif1 = k1 F(v1 ) + k2F(v2 ) Jika F:VW adalah transformasi
linier,maka untuk v1,v2,v3,…,vn di V dan k1,k2,k3,…,kn skalar berlakulah :
F(k1 v1 + k2 v2 +k3 v3 +…+ kn vn )= k1 F(v1 ) + k2F(v2 ) + … + kn F(vn)
Contoh :Diberikan fungsi F:R2R2
Tentukan apakah F transformasi linier untuk masing-masing
a.F(x,y)= (y,x)b.F(x,y)=(x,y+1)c. F(x,y)= (2x,y)d.F(x,y)=(y,y)e.F(x,y)=(x2,y)f. F(x,y)=(0,y)g.F(x,y)=(2x+y,x-y)
Contoh :Diberikan fungsi F:R3R2
Tentukan apakah F linier untuk masing-masing
a.F(x,y,z)= (x,x+y+z)b.F(x,y,z)=(1,1)c. F(x,y,z)= (0,0)d.F(x,y)=(2x+y,3y-4z)
Misalkan A adalah sebuah matriks mxn tetap. Didefinisikan suatu fungsi T:RmRn dengan T(x)=Ax
Dari transformasi di atas jelas bahwa x adalah matriks berukuran nx1 dan
T(x) adalah matriks berukuran mx1 T linier
Misalkan u,v adalah matriks berukuran nx1 dan k skalar
T(u+v) = A(u+v) =Au + Av berdasar sifat perkalian
matriks = T(u) + T(v) T(ku) = A(ku) = k Au = k T(u) Sehingga transformasi merupakan trnasformasi
linier dan biasa disebut dengan transformasi matriks
Diberikan rumus untuk fungsi F:M22R Tentukan apakah F linier untuk masing –masing berikut ini :
dcba
dcba
F
dadcba
F
.2
.1
22.4
32.3
badcba
F
dcbadcba
F
Misalkan V dan W adalah sebarang dua ruang vektor. Pemetaan T:VW sehingga T(v)=0 untuk setiap v di V adalah transformasi linier
Buktikan !!!!
T(u)=0, T(v)=0, T(u+v)=0 dan T(ku)=0 T(u+v) = T(u) + T(v) T(ku) =kT(u)
Misalkan V adalah sebarang ruang vektor Pemetaan T:VV yang didefinisikan oleh
T(v)=v dinamakan trnasformasi identitas pada V. Buktikan bahwa T linier
Buktikan !!!!
T(u)=u, T(v)=v , T(u+v)=u+v dan T(ku)=ku 1. T(u+v) = u+v = T(u) + T(v) 2. T(ku) = ku = kT(u) Jadi terbukti T linier
Misalkan V adalah sebarang ruang vektor dan k adalah sebarang skalar tetap. Buktikan bahwa T:VV yang didefinisikan oleh T(v)=kv adalah linier.
Buktikan !!!! Jika k>1 dinamakan dilatasi Jika k<1 dinamakan kontraksi
Ambil u,v dalam V 1. T(u)=ku T(v)=kv T(u+v)=k(u+v) T(u+v)= k(u+v) = ku + kv = kT(u) + kT(v)2. T(ku) = ku = kT(u)Terbukti T transformasi linier
Misalkan V adalah sebuah ruang hasil kali dalam, dan misalkan W adalah sebuah subruang V berdimensi berhingga yang mempunyai S={w1,w2,…,wr} sebagai basis ortonormal. Misalkan T:VW adalah fungsi yang memetakan vektor v di V kedalam proyeksi ortogonalnya yang terletak pada W
T(v)=<v,w1>w1 +<v,w2>w2 +…+<v,wr>wr Pemetaan T dinamakan proyeksi ortogonal Buktikan bahwa T linier !!!!
Ambil u dan v dalam VT(u)=<u,w1>w1 +<u,w2>w2 +…+<u,wr>wr T(v)=<v,w1>w1 +<v,w2>w2 +…+<v,wr>wr 1. T(u+v) = <u+v,w1>w1 +<u+v,w2>w2 +…+<u+v,wr>wr = <u,w1>w1 +<u,w2>w2 +…+<u,wr>wr + <v,w1>w1 +<v,w2>w2 +…+<v,wr>wr = T(u) + T(v)
2. T(ku) = <k u,w1>w1 +<ku,w2>w2 +…+<ku,wr>wr = k<u,w1>w1 + k<u,w2>w2 +…+ k<u,wr>wr
= k [u,w1>w1 +<u,w2>w2 +…+<u,wr>wr ] = kT(u)Jadi terbukti T linier
1. Diberikan F:P2P2 . Tentukan apakah masing –masing berikut ini linier
a. F(a0+a1x+a2x2)=a0+(a1+a2)x+(2a0-3a2) x2
b. F(a0+a1x+a2x2)=a0+a1(x+1)+ a2(x+1) 2
c. F(a0+a1x+a2x2)=0d. F(a0+a1x+a2x2)= (a0+1)+a1x+ a2x 2
2. Buktikan bahwa jika T:VW adalah transformasi linier, maka T(u-v)=T(u)-T(v) untuk semua vektor u dan v terletak di V
3. Misalkan {v1,v2,…,vn} adalah basis untuk ruang vektor V dan misalkan T:VW adalah transformasi linier. Perlihatkan bahwa jika T(v 1)=T(v2)=…=T(vn)=0 , maka T transformasi nol
4. Misalkan {v1,v2,…,vn} adalah basis untuk ruang vektor V dan misalkan T:VV adalah operator linier. Perlihatkan bahwa jika
T(v 1)=v1 ,…,T(vn)=vn , maka T transformasi identitas