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Nikola Stikov
ELE8812
21 fév 2019
Analyse multirésolution et transformée enondelettes
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1. Approches des traitements mul4résolu4ons• Analyse pyramidale• Codage en sous-bandes• Transformée de Haar
2. Développements mul4résolu4ons• Rappels• Fonc4ons d’échelle• OndeleEes
3. Développement en série d’ondeleEes, transforméee en ondeleEes• Développement en série d’ondeleEes• Transformée en ondeleEes discrète• Transformée en ondeleEes rapide• Extension bi-dimensionnelle
4. Applica4ons de la transformée en ondeleEes 2D• Détec4on de contours• Débruitage et compression d’images
Plan
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Contexte- Analyse pyramidale- Codage en sous-bande- Transformée de Haar- Les ondelettes en bref (« In a nutshell »)
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Approches des traitments multirésolutions
Exemple Atraitements multirésolutions
Variations locales dans une image
© 1992-2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
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Approches des traitments multirésolutions
Principe
Analyse pyramidale
© 1992-2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Analyse pyramidale
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Approches des traitments multirésolutions
Exemple
Analyse pyramidale
© 1992-2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Analyse pyramidale
Caractéristiques- Gradeurs discrètes- CompressionÉléments importants- Changement d’échelle
- Décimation: 2↓- Interpolation: 2↑
- Filtre d’approximation (ex. Gauss)
Approximation
Interpolation
2↓
2↑
Sous-Échantillonnage
Sur-Échantillonnage
Image d’entréeNiveau j
Résidu de prédiction
Niveau j
ApproximationNiveau j-1
Prédiction
Voir: Demo1_AnalysePyramidale.ipynb
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Approches des traitments multirésolutions
Codage en sous-bandes (1)©
1992
-200
8 R.
C. G
onza
lez
& R
. E.
Woo
dsCodage en sous-bandes
Principe
• Décomposi)on d’un signal en bandes limitées• Banque de filtres d’analyse: ℎ" # , ℎ% #• Banque de filtres de synthèse: &" # , &% #• '()(#) : Approxima)on de ' # (Filtre passe-bas)• ',)(#) : Détails de '(#) (Filtre passe-haut)• Sous-échan)llonnage : 2 ↑• Sur-échan)llonnage : 2 ↓• Selon les filtres, reconstruc)on parfaite du signal
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Approches des traitments multirésolutions
Codage en sous-bandes (2)Codage en sous-bandes
Extension 2D
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Approches des traitments mul2résolu2ons
Transformée de HaarTransformée de Haar
-Codage en sous-bandes avec les filtres les plus simples
-Signal de taille N = 2J
-Application récurrente du codage en sous bandes (J fois)-H: Matrice de transformation
Propriétés-H: orthogonale
-Propriété supplémentaire d’orthonormalité des hi aux différentes échelles-Extension 2D: T = H F Ht
! ℎ#(!) &'(()0 1/ 2 1/ 21 1/ 2 −1/ 2
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9 / 38Analyse multirésolutionNikola Stikov (ELE8812)h"ps://youtu.be/QX1-xGVFqmw Démo: Transformée en ondelette continue
Ondelettes en bref
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Développements multirésolutions
Développements multirésolutionsRappels
Cadre : Continu ou discretSystème orthogonal ou orthonormé : !"($): ' ∈ )Développement
* $ = ,"∈)
-"!"($)
Transformée: -" ∝ *, !" = ∫ * $ !"∗ $ 2$Orthogonal & Orthonormée:
!3, !" = 43" = 50 7 ≠ '1 7 = '
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Développements multirésolutions
Fonctions génératrice et espace de fonctionsFonc6ons d’échelle
Fonctions de bases: !" # ; % ∈ 'Exemple: Série de Fourier !" # = ) ⁄+,-". /; % ∈ ℤ
!" : Altération de la fonction génératrice (!1 # = )+,-.// )!" : Orthogonales les unes aux autresEspace des fonctions décomposables: Vect !" # ; % ∈ 'Extension: Systèmes redondants
!1 # : Fonction génératrice
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Développements multirésolutions
Exemple: Série de FourierFonctions d’échelle
!(#) = #&
'( # = ) ⁄&+,(- .
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Développements mul-résolu-ons
Fonctions d’échelle !",$ %Fonctions d’échelle
! % : Fonction génératrice; %: Variable continueVersions translatées de ! %
!$ % = ! % − ( ; ( ∈ ℤ! choisie telle que les !$ soient orthogonales les unes aux autres
!", !$ = ,"$ = -0 / ≠ (1 / = (
2 = Vect !$ % ; ( ∈ ℤ ⊂ 89(ℝ) (Fonctions réelles carrées intégrables)
Démo
! à support fini ⟶>$ lié aux caractéristiques locales de ?(%)
!@A(%) !A(%)!B(%)Ondelette de Haar
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Développements multirésolutions
Développements multirésolutionsFonc1ons d’échelle
DémoNotion d’échelle
Échelle originale (Échelle 0) !" # ≜ !%," # = !(# − *)
Passage à l’échelle j!,," # = 2,//! 2,# − * ; * ∈ ℤ
!%,"; * ∈ ℤ orthogonal ⇒ !,," ; * ∈ ℤ orthogonal4, = 4567 !,," # ; * ∈ ℤ ⊂ 9/ ℝ
!%,%(#) !;,%(#) !/,%(#)
Exemple : Ondelette de Daubechies-2
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Développements multirésolutions Fonctions d’échelle
Propriétés caractéristiques de l’analyse multirésolution
1. La fonction d’échelle !",$ est orthogonale -/- translation
!",%, !",& = (%& = )0 + ≠ -1 + = -
2. Le sous-espace couvert par !&,$ (basse échelle) est inclus dans l’espace couvert par !&/0,$ (grande échelle)
123 ⊂ ⋯ ⊂ 120 ⊂ 1" ⊂ 10 ⊂ 16 ⊂ ⋯ ⊂ 133. La seule fonction commune à toutes les échelles est
123 = 0 (Fonction uniformément nulle)4. Toutes les fonctions peuvent être représentées avec une précision arbitraire
(1/3 = 76 ℝ )1" ⊂ 10 ⊂ 16
1"
Fonction de dilatation
!&,$ 9 =:;<;!&/0,;(9)
! 9 =:;ℎ@ A 2! 29 − A
ℎ@(A) : Coefficients d’échelleSlid
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Développements multirésolutions Fonctions d’échelle
Exemple: Fonc8on de HaarFonction de Haar: ! " = $1 0 ≤ " < 1
0 sinonCoefficients d’échelle : ℎ. 0 = ℎ. 1 = 1/ 2
! " =12ℎ. 3 2! 2" − 3
= 12 2! 2" + 1
2 2! 2" − 1= ! 2" + !(2" − 1)
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Ondelettes
Développements multirésolutions Ondele1es
Structure des espaces de décomposition
© 1992-2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
• Décomposition récurrente en sous espaces orthogonaux
V! = V# ⊕W# = (V% ⊕W%) ⊕W#…
• Structure des sous-espaces Wj ?
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Bases d’ondelettes (1)Base de l’espace W!• Fonctions dependant d’une variable x continue x ∈ ℝ• V$ = Vect y$,k x ; k ∈ ℤ• y$,k x µ y 2$x− k
• y x : fonction génératrice des bases d’ondelettes
Propriétés d’orthogonalité• )$,+(-) )$,/ (-) = 0 k− I• )$,+(-) 1$,/ (-) = 0• 13,+(-) 1$,/ (-) = 0 i− 4 0 k− I
JusAficaAon de l’existence de y : codage en sous-bandes, filtresorthogonaux
Développements multirésolutions OndelettesSl
ide
cour
tesy
of J
oël L
efeb
vre
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Bases d’ondelettes (2)Développements mul5résolu5ons Ondelettes
Coefficients d’échelle : ℎ" #$% ⊂ $' ⇒ ) * = ∑-∈ℤℎ" # )',-(*)
Coefficients d’ondelette : ℎ3(#)4% ⊂ $' ⇒ 5 * =6
-∈ℤℎ3 # )',-(*)
Relations d’orthogonalitéℎ3 # = −1 -ℎ"(1 − #)
Le choix de 9 détermine l’ensemble de la base de décomposition
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Développements multirésolutions Ondele1es
Base d’ondelette : ExempleSl
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cour
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of J
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Développement en série d’ondelettes
Choix de la résolution la plus grossière !"Utilité : analyse espace-échelle (multirésolutions)
Séries d’ondele@es, transformée en ondele@es Développement en série d’ondelettes
Cadre# $ : Élément de %& ℝ , $ continueDécomposition sur ()*⨁,)*⨁,)*-.⨁,)*-&⨁⋯
Décomposition # $ = 1
2∈ℤ5)* 6 7)*,2 $ + 1
):)*12∈ℤ
;) 6 <),2($)
Calcul des coefficients5)* 6 = #($) 7)*,2($) = ∫ # $ 7)*,2∗ $ ;$
;) 6 = #($) <),2($) = ∫ # $ <),2∗ $ ;$
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Séries d’ondelettes, transformée en ondelettes Développement en série d’ondelettes
Exemple de transformée en ondele7es
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Séries d’ondelettes, transformée en ondelettes Développement en série d’ondelettes
Transformée en ondelettes discrète
Cadre!(#) : Élément de %& ℤ . Variable temporelle discrèteDécomposition sur ()*⨁,)*⨁,)*-.⨁,)*-&⨁⋯
Décomposition (Inverse DWT)! # = 1
234∈ℤ
,6 78, : ;)*,4(#) +123
)=)*34∈ℤ
,> 7, : ?),4(#)
Calcul des coefficients (Forward DWT),6 78, : = !(#) ;)*,4(#) = 1
23@∈ℤ
! # ;)*,4(#)
,> 7, : = !(#) ?),4(#) = 123
@∈ℤ! # ?),4(#)
Analogue à temps discret du développement en série d’ondeleFes
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Transformée en ondelettes rapide (1)Approche• Cadre : temps continu ou discret• Relations entre coefficients de deux échelles voisines (! et ! +1)• Utilisation du caractère générateur de φ
Signaux à temps continu
•
•Point importants• Structure analogue à celle du codage en sous-bandes• Nécessité d’une première décomposition à l’échelle la plus fine
Séries d’ondelettes, transformée en ondelettes Transformée en ondelettes rapide
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Transformée en ondele-es rapide (2)
Séries d’ondelettes, transformée en ondelettes Transformée en ondelettes rapide
• Structure identique
• Relations identiques
entre filtres
Équivalence entre TOR et
codage en sous-bandes
Signaux à temps discret (support fini)
•
•
TOR et codage en sous-bandes
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Transformée en ondelettes rapide (3)
© 1992-2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Décomposition en plusieurs échelles
Séries d’ondelettes, transformée en ondelettes Transformée en ondelettes rapide
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Transformée en ondelettes rapide inverse
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Séries d’ondelettes, transformée en ondelettes Transformée en ondelettes rapide
Codage en sous-bandes: partie synthèseReconstruction parfaite pour
!" # = ℎ" −# = ℎ'(#)!* # = ℎ* −# = ℎ+(#)
,' - + 1, 1 = 2ℎ' 1 ∗ ,'4↑ -, 1 + ℎ+ 1 ∗,+4↑ -, 1
67"
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Cadre théorique des ondelettes
• Résultats généraux
• Signaux de tous types (temps continu, temps discret, support fini, …)
• Outils variés (développement, transformée continue, discrète, rapide, …etc.)
En pratique• Signaux à temps discrèt et à support fini
• Transformée en ondelettes rapide
• Codage récurrent en sous-bandes avec filtres orthogonaux
Élément déterminant : choix de la fonction d’échelle φ
Séries d’ondelettes, transformée en ondelettes Transformée en ondelettes rapide
Décomposition multirésolutions et ondelettesSynthèse
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Séries d’ondelettes, transformée en ondelettes Extension bi-dimensionnelle
Approche: séparabilitéFonction d’échelle: ! "# $, & = ! $ !(&)Fonctions d’ondelette
* + $, & = * $ ! &* , $, & = ! $ * &* # $, & = * $ * &
Conséquence: Traitements selon X, puis selon YIdentique au codage en sous-bandes 2D
Rappel• Fonction d4échelle ! $• Fonction d’ondelette *($)
Voir la démo interactive
Transformée en ondelettes 2D
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Séries d’ondelettes, transformée en ondelettes Extension bi-dimensionnelle
Fonction d’échelle génératrice!",$,% &, ' = 2"/+! 2"& − -, 2"' − -
Fonction d’ondelette génératrice.",$,%/ &, ' = 2"/+./ 2"& − -, 2"' − - , 0 = {2, 3, 4}
Calcul des coefficients (DWT)
67 89,-, : =1<=
>?@9
ABC
>D@9
EBC
F &, ' !"G,$,% &, '
6H/ 8,-, : =
1<=
>?@9
ABC
>D@9
EBC
F &, ' .",$,% &, ' , 0 = {2, 3, 4}
Reconstruction du signal 2D (Inverse DWT)F &, ' =
1<=
>$>%67 89,-, : !"G,$,%(&, ')
+1<=
>/>">$
>%6H
/ 8,-, : .",$,%/ (&, ')
T. en ondelettes discrète 2D
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Séries d’ondelettes, transformée en ondelettes Extension bi-dimensionnelle
TOR2D – Décomposition
33 / 38Analyse mul.résolu.onNikola Stikov (ELE8812)
Séries d’ondelettes, transformée en ondelettes Extension bi-dimensionnelle
TOR2D – Reconstruction
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Applications de la transformée en ondelettes 2D- Principe général- Exemple: Détection de contours- Exemple: Débruitage- Exemple: Compression d’images
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Applications
Principe général• Calcul de la transformée en ondelettes rapide 2D• Calcul des coefficients de la décomposition• Modification des coefficients (tri, quantification, mise à zéro…) en fonction
de leur signification et des objectifs du traitement• Calcul de la transformée inverse à partir des coefficients modifiés
Points critiques• Choix de la fonction d’échelle φ• Choix du nombre d’échelles J• Choix de la stratégie de modification des coefficients
Applications de la transformée en ondelettes 2D
36 / 38Analyse mul/résolu/onNikola Stikov (ELE8812)
Détection de contours
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Exemple
Detection de contoursApplications de la transformée en ondelettes 2D
Décomposition 2D en ondelettes
Ondele1e u3lisée: Symlet-4 (Lien)
1. Calcul TOR-2D2. Calcul des coefficients3. Modification des coefficients4. Calcul de la TOR-2D inverse
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Détection de contours
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Exemple
DetecAon de contoursApplications de la transformée en ondelettes 2D
1. Calcul TOR-2D2. Calcul des coefficients3. Modification des coefficients
4. Calcul de la TOR-2D inverse
Reconstruction
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DébruitageDetec,on de contoursApplications de la transformée en ondelettes 2D
Hypothèse: Le bruit affecte tous les coefficientsSuppression d’une forte partie de l’énergie du bruit en mettant à zéro les coefficients de faible amplitudeSeuillage « dur » ou « doux »Plusieurs stratégies possiblesDémo en ligne
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Compression d’imagesDetec2on de contoursApplications de la transformée en ondelettes 2D
• Application privilégiée de la transformée en ondelettes (JPEG-2000)• Aspect local de la TOD: inutile de travailler sur des images de petite taille• Caractéristiques essentielles de l’images capturées par un petit nombre de
coefficients• Seuillage ou quantification grossière des coefficients de détail• Démo en ligne
Exemple: Haar, 3-Niveaux, Seuil de 0.1, Taux de compression: 91.32%, Erreur (RMS): 4.65%
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