0
APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE PADA
SISTEM GERAK PEGAS TEREDAM
(Skripsi)
Oleh
ANGGUN PARAMITA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2019
ABSTRACT
LAPLACE TRANSFORMATION APPLICATION OF DAMPED SPRING
MOTION SYSTEM
By
Anggun Paramita
Laplace transformation is a method that can be applied to various fields, for
example the application of Laplace Transformation in a damped spring motion
system. In this application a modeling of the spring motion system that is in the
form of ordinary order equations is formed. In this paper, a solution is discussed
for several cases in applying the Laplace Transformation method to a damped
spring motion system. The resulting solution can be seen in the form of a curve so
that the differences in each case can be seen more clearly.
Keywords:differential equation, Laplace Transformation, damped spring motion
system.
ABSTRAK
APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE PADA SISTEM GERAK PEGAS
TEREDAM
Oleh
Anggun Paramita
Transformasi Laplace merupakan sebuah metode yang dapat di terapkan pada
berbagai bidang, misalnya aplikasi Transformasi Laplace pada sistem gerak pegas
teredam. Pada penerapan tersebut akan terbentuk pemodelan dari sistem gerak
pegasnya yang berbentuk persamaan diferensial biasa orde 2 . Dalam skripsi ini
dibahas solusi untuk beberapa kasus penerapan metode Transformasi Laplace
pada sistem gerak pegas teredam. Solusi yang dihasilkan dapat dilihat dalam
bentuk kurva sehingga perbedaan pada setiap kasus dapat terlihat lebih jelas.
Kata kunci:persamaan diferensial orde dua, Transformasi Laplace, sistem gerak
pegas
0
APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE PADA
SISTEM GERAK PEGAS TEREDAM
Oleh
ANGGUN PARAMITA
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2019
RIWAYAT HIDUP
Penulis bernama lengkap Anggun Paramita, anak keempat dari empat bersaudara
yang dilahirkan di Padang Cermin pada tanggal 13 Juni 1997 oleh pasangan
Bapak Suprapto dan Ibu Sri Bunga. Penulis memiliki dua orang kakak perempuan
dan 1 kakak laki-laki bernama Weni Metaria, Vivian Agustina, dan Yulian
Nursasongko.
Penulis menyelesaikan pendidikan taman kanak-kanak di TK Aisyah di Desa
Wates Kecamatan Padang Cermin pada tahun 2003. Pendidikan sekolah dasar di
SD Negeri 2 Wates Kecamatan Padang Cermin pada tahun 2009. Pendidikan
sekolah menengah pertama di SMP AL- Kautsar Bandar Lampung pada tahun
2012. Pendidikan sekolah menengah atas di SMA YP UNILA Bandar Lampung
pada tahun 2015.
Penulis melanjutkan pendidikan di perguruan tinggi dan terdaftar sebagai
mahasiswi S1 Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lampung pada tahun 2015 melalui jalur SNMPTN. Pada
periode 2015/2016 penulis terdaftar sebagai anggota GEMATIKA Himpunan
Mahasiswa Matematika FMIPA Unila. Penulis pernah menjadi anggota bidang
Eksternal Himpunan Mahasiswa Matematika Tahun 2016.
Sebagai bentuk penerapan ilmu perkuliahan, penulis telah melaksanakan Kerja
Praktik (KP) selama 40 hari di Perum BPS Provinsi Lampung pada tahun 2018.
Dan pada tahun yang sama, sebagai bentuk pengabdian kepada masyarakat,
penulis telah melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) selama 32 hari di Desa
Nyampir, Kecamatan Bumi Agung, Kabupaten Lampung Timur.
Kata Inspirasi
“With every difficulty there is relief” (Quran 94:5)
“But perhaps you hate a thing and it is good for you and perhaps you love a thing and it is bad for you and Allah knows while you know not”
(Quran 2:216)
“Indeed, Allah will not change the condition of a people until they change what is in themselves”
(Quran 13:11)
“The best of people are those that bring most benefit to the rest of mankind”
(H.R. Thabrani)
“If Allah wants to do good to somebody, He afflicts him with trials” (Sahih Al-Bukhari)
PERSEMBAHAN
Alhamdulillah Wasyukurillah
Puji dan syukur tiada hentinya kepada Allah Subhanahu Wata’ala atas segala nikmat
dan karunia-Nya, dan suri tauladan Nabi Muhammad Shallallahu ‘Alaihi Wasallam
yang menjadi contoh dan panutan untuk kita semua.
Penulis persembahkan sebuah karya sederhana ini untuk:
Ayahanda Suprapto dan Ibunda Sri Bunga
Terimakasih atas limpahan kasih sayang, pengorbanan, doa, dan seluruh motivasi di
setiap langkah penulis. Karena atas doa dan ridho kalian, Allah memudahkan setiap
perjalanan hidup ini.
Kakak Weni, Vivian, dan Yulian
Terimakasih telah menjadi pendengar selama penulis mencurahkan keluh kesah dan
mendoakan setiap waktu untuk keberhasilan penulis.
Almamater Tercinta Universitas Lampung
SANWACANA
Alhamdulillahirabbil’alaamiin, puji dan syukur penulis kepada Allah Subhanahu
Wata’ala atas izin serta ridho-Nya dalam menyelesaikan skripsi yang berjudul
“Aplikasi Transformasi Laplace pada Sistem Gerak Pegas Teredam”.
Shalawat serta salam tak lupa kepada Nabi Muhammad Shallallahu ‘Alaihi
Wasallam yang telah menjadi suri tauladan yang baik sepanjang masa.
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak terlepas dari
bimbingan, bantuan, dan kerjasama dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada
kesempatan kali ini penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada:
1. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si. selaku Dosen Pembimbing I, yang
senantiasa selalu membimbing dan memberikan arahan, ide, kritik, dan
saran serta semangat kepada penulis selama proses pembuatan skripsi ini.
2. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si. selaku Dosen Pembimbing II, yang
telah membimbing, memberi masukan, dan mengarahkan penulis selama
proses penyusunan skripsi ini.
3. Bapak Tiryono Ruby, S.Si., M.Si., Ph.D selaku Dosen Pembahas, yang
telah memberikan kritik dan saran yang membangun kepada penulis
selama proses penyelesaian skripsi ini.
4. Widiarti, S.Si., M.Sc. selaku Pembimbing Akademik yang sudah
membimbing selama penulis berkuliah.
5. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, MA., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika
FMIPA Universitas Lampung.
6. Bapak Amanto S.Si., M.Si. Selaku Wakil Ketua Jurusan Matematika
FMIPA Universitas Lampung.
7. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D. selaku Dekan Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
8. Seluruh dosen, staf, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA
yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan segala bentuk bantuan
kepada penulis.
9. Ayahanda Suprapto, Ibunda Sri Bunga, mba Weni Metaria, mba Vivian
Agustina, mas Yulian Nursasongko, mas Widi Nuridin, mas Sartono, mba
Weni Aprillia, dan keponakanku Inka, Irgi, Alma, Shisil, Azzam, dan eva
yang tak pernah berhenti memberi semangat, doa, dorongan, kasih sayang,
dan nasihat untuk selalu berjuang setiap harinya.
10. Sahabat-sahabat penulis Rani, Nurah, Thalia, Ceni, Atuy, dan Tata yang
senantiasa menemani suka duka penulis.
11. Sahabat Tersayang penulis sejak SMA Dinda Ardiasari, Hanny Putri
Kyawardhani, dan Fia Asysyifa yang selalu memberi semangat dan
dukungan penulis.
12. Risky Rizaldi sebagai sahabat penulis yang turut memberi dukungan.
13. Teman-teman penulis sejak SMP Hasna Ronaziah, Gepi Wulan, dan
Ainindita Fania yang turut mendukung dan menyemangati penulis.
14. Teman-teman penulis Natasha, Anita, Moni, Intan, Cintya, Pipin, Resti,
Dinda, Rahma, Sekar, dan Indraswari yang telah memberikan warna dan
keceriaan di masa perkuliahan penulis.
15. Seluruh pihak yang telah membantu penulis yang tidak dapat disebutkan
satu persatu atas peran dan dukungannya dalam menyusun skripsi ini.
Tentunya, Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dari skripsi ini, akan
tetapi besar harapan semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Sekian
dan terimakasih.
Bandar Lampung, Januari 2019
Penulis
Anggun Paramita
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ................................................................................. i
DAFTAR GAMBAR ............................................................................. ii
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah ..................................................... 1
1.2 Tujuan Penelitian ....................................................................... 2
1.3 Manfaat Penelitian ..................................................................... 2
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Persamaan Diferensial .............................................................. 4
2.2 Persamaan Diferensial Orde 2 .................................................. 5
2.3 Persamaan diferensial tak linier homogen koefisien konstan ... 6
2.4 Metode Transformasi Laplace .................................................. 8
2.5 Sifat-sifat Transformasi Laplace .............................................. 8
2.6 Definisi Sistem Gerak Pegas .................................................... 9
2.7 Hukum Newton II ..................................................................... 10
2.8 Transformasi Laplace pada Persamaan Diferensial .................. 12
2.9 Jenis-jenis Pegas ........................................................................ 13
2.9.1 Pegas Daun ................................................................... 13
2.9.2 Pegas Koil ...................................................................... 13
2.9.3 Pegas Batang Torsi ........................................................ 14
2.10 Jenis Redaman ........................................................................ 15
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ................................................... 17
3.3 Metodologi Penelitian...............................................................
4.2 Pembuatan Pemodelan Pada Rangkaian System Gerak Pegas Kedalam Bentuk Persamaan Diferensial Biasa Orde-2 ............ 21
4.3 Penerapan Metode Transformasi Laplace kedalam Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 yang terbentuk karena Pemodelan Dari Suatu Rangkaian System Gerak Pegas Teredam ........................................................................... 24
17
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Penyelesaian Persamaan Diferensial dengan Metode Transformasi Laplace................................................................. 19
V. KESIMPULAN
5.1 Kesimpulan ...............................................................................
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
32
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
1. Sistem Gerak Benda pada Pegas ....................................................... 10
2. Sistem Gerak Pegas dengan Peredam B dan Gaya Luar F(t) ............ 10
3. Contoh Pegas Daun ........................................................................... 13
4. Contoh Pegas Koil ............................................................................ 14
5. Contoh Pegas Puntir .......................................................................... 14
6. Plot Over Damped ............................................................................ 32
7. Plot Critical Damped ........................................................................ 34
8. Plot Under Damped .......................................................................... 36
9. Plot Gabungan .................................................................................. 36
1
I. PENDAHULUAN
1. 1 Latar Belakang
Metode Transformasi Laplace (Laplace Transformation) merupakan suatu metode
yangdapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial, yang
memetakan masalah nilaiawal ke dalam suatu persamaan aljabar atau suatu sistem
persamaan yang dapat diselesaikandengan metode aljabar dan tabel transformasi
Laplace. Metode ini pertama kali diperkenalkanoleh Pierre Simon Marquas De
Laplace (1749 – 1827) seorang matematikawan Perancis danseorang guru besar di
Paris. Dengan metode transformasi Laplace akan dihasilkan solusikhusus secara
langsung sesuai dengan kondisi masalah nilai awal yang diberikan. Terdapat
beberapa penerapan transformasi laplace pada bidang keilmuan lainnya seperti
fisika, kimia, dan biologi. Salah satu permasalahan yang dapat diselesaikan
dengan menggunakan transformasi laplace pada bidang keilmuan fisika adalah
sistem pegas massa atau sistem gerak pegas.
Sistem pegas massa merupakan suatu sistem yang tersusun dari benda yang
memiliki massa dan terhubung dengan pegas. Rangkaian pegas dapat disusun dari
beberapa buah pegas yang dipasang secara seri ataupun paralel sesuai
dengankebutuhan. Pegas-pegas yang dipasang secara seri akan menurunkan nilai
konstantapegas, sedangkan pemasangan pegas secara paralel akan menaikan nilai
2
konstantapegas. Pemodelan Sistem Gerak Pegas menerapkan Hukum Newton II.
. Sistem Gerak Pegas yang dibahas adalah sistem yang terdiri atas pegas,
massaperedam dan gaya luar. Pemodelan Sistem Gerak Pegas
menghasilkanPersamaan Diferensial orde-2. Oleh sebab itu, solusi sistem gerak
pegas tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan transformasi Laplace.
Oleh karena hal diatas maka pada penulisan makalah ini akan diaplikasikan
transformasi laplace pada sistem gerak pegas. Suatu rangkaian yang sulit dapat di
analisa atau diselesaikan dengan menggunakan transformasi laplace.
1. 2 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan pada penelitian ini adalah :
1. Untuk menyelesaikan persamaan diferensial dengan transformasi laplace.
2. Untuk mengetahui model dari suatu rangkaian sistem gerak pegas.
3. Untuk menerapkan metode transformasi laplace dalam mencari solusi
persamaan pada sistem gerak pegas.
1. 3 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Memberikan wawasan dan pengetahuan mengenai metode Transformasi
Laplace dan pengaplikasiannya.
3
2. Mendorong kepada pembaca untuk lebih mengembangkannya dengan
menggunakan metode lain dalam menyelesaikan sistem persamaan diferensial
dan menerapkannya pada keilmuan-keilmuan lain yang terkait sehingga dapat
berguna bagi perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi.
4
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial (differential equation) adalah suatu persamaan yang
melibatkan satu atau lebih turunan fungsi yang belum diketahui danpersamaan itu
juga mungkin melibatkan fungsi itu sendiri dan konstanta. Dari turunan yang
membentuk dalam persamaan diferensial akan membentuk jenis dan klarifikasi
persamaan diferensial itu sendri (Prayudi, 2006).
Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan diferensial yangmelibatkan
hanya ada satu variabel bebas, jika diambil y(x) sebagai suatu fungsisatu variabel,
dengan x dinamakan variabel bebas dan y dinamakan variabel takbebas, maka
persamaan diferensial biasa dapat dinyatakan dalam bentuk :
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦′ , 𝑦′′ , 𝑦′′′ , … . , (𝑛)) = 0.
Persamaan ini menyatakan bahwa tedapat hubungan antara variabel bebas x dan
variabel tak bebas y beserta derivatif-derivatifnya, dalam bentuk himpunan
persamaan yang secara identik sama dengan nol. Sebuah persamaan diferensial
disebut mempunyai orde-n jika orde turunan tertinggi yang terlibat adalah n,
sedangkan jika turunan dengan orde tertinggi itu berderajat k maka persamaan itu
dinamakan persamaan diferensial berderajat k. Contoh :
5
1. 𝑥𝑦 𝑦
2. 𝑦 𝑦 𝑦 𝑥
3. 𝑦 𝑦 𝑦 𝑥
Pada contoh 1, 2, dan 3 di atas, lambang 𝑦′ , 𝑦′′ , dan 𝑦′′′ berturut-turut
menyatakan turunan pertama, turunan kedua, serta turunan ketiga dari fungsi
𝑦 𝑥 terhadap x. Dengan kata lain 𝑦
, 𝑦
, dan 𝑦
2.2 Persamaan diferensial orde 2
Persamaan diferensial linear orde kedua memiliki bentuk: 𝑦 𝑦 𝑦
Akan dibuat dua asumsi penyederhanaan, yaitu 𝑥 dan 𝑥 adalah konstanta
serta 𝑥 identik dengan nol. Sehingga 𝑦 𝑦 𝑦 . Sebuah
persamaan diferensial dimana 𝑥 dikatakan bersifat homogen. Untuk
menyelesaikan persamaan diferensial orde satu, diperlukan satu integral yang
akan menghasilkan solusi umum dengan satu konstanta sebarang. Sedangkan
secara analogi, penyelesaian persamaan diferensial orde dua memerlukan dua
integral sehingga solusi umumnya akan mempunyai dua konstanta. Persamaan
diferensial linear homogen orde d selalu mempunyai dua solusi dasar, yaitu 𝑥
dan 𝑥 , yang berdiri sendiri atau tidak bergantung (independent) satu sama
lain (yaitu tidak satupun dari kedua fungsi tersebut merupakan kelipatan konstanta
dari persamaan lainnya) (Purcell &Varberg, 1987)
6
2.3 Persamaan diferensial tak linier homogen dengan koefisien konstan
Persamaan diferensial homogen orde-n dengan koefisien konstan adalah
persamaaan yang mempunyai bentuk umum (Mohamed, 2013).
𝑦 𝑦 𝑦 (2. 1)
Dengan .
Dalam menentukan solusi persamaan diferensial homogen dilakukan hal berikut :
Misalkan 𝑦 merupakan solusi persamaan diferensial homogen yaitu 𝑦
𝑦 𝑦 . Dengan mensubstitusikan solusi tesebut dan turunannya kedalam
persamaan diferensial didapatkan :
𝑦
𝑦
Sehingga diperoleh,
𝑦 𝑦 𝑦
Karena 𝑥 , maka disebut dengan persamaan
karakteristik dari persamaan diferensial. Akar persamaan karakteristik dari
persamaan diferensial adalah :
√
dan
√
√
√
7
Kemungkinan nilai dan bergantung dari nilai D, yaitu :
a) Jika maka (akar real dan berbeda)
Jika akar persamaan karakteristik adalah riil dan semuanya berbeda, maka
solusi persamaan , , , merupakan bilangan real dan berbeda,
. Maka 𝑦 dan 𝑦 .
𝑦 𝑦 𝑦 𝑦
.......................(2. 2)
b) Jika maka merupakan bilangan kompleks (imajiner)
Jika persamaan karakteristik memiliki akar-akar kompleks, maka akar-akar
kompleks tersebut mempunyai bentuk . Jika tidak akar yang sama,
maka solusi umumnya (solusi homogen) adalah 𝑦
. Sehingga solusi kompleks dan , yang
memiliki solusi nilainya 𝑥 𝑥. Jadi solusi umum atau
solusi homogeny dari persamaan diferensial yang akar-akar nya kompleks
adalah kombinasi linier dari solusi-solusinya, atau :
𝑦 𝑥
𝑥.....................(2. 3)
c) Jika maka (akar real dan sama)
Jika persamaan karakteristik memiliki akar-akar yang sama, maka solusi
umumnya tidak lagi mempunyai bentuk seperti pesamaan (2),
tetapi mempunyai bentuk 𝑥 𝑥 . Jika akar-akar nya
berulang sebanyak s kali 𝑛 maka solusi umum (solusi homogen)
adalah :
𝑦
𝑥 ....................(2. 4)
8
2.4 Metode Transformasi Laplace
Misalkan suatu fungsi dari t yang ditentukan untuk di definisikan
sebagai :
{𝑓 } ∫ 𝑓 ∫
𝑓
(2. 5)
Transformasi laplace dari dikatakan ada apabila integral (4) konvergen untuk
beberapa harga s, jika tidak demikian maka transformasi laplace nya tidak ada
(Heris, 2011).
2.5 Sifat-sifat Transformasi Laplace
Adapun sifat-sifat transformasi laplace adalah sebagai berikut (murray, 1999) :
1. Terbatas Eksponensial
Fungsi 𝑓 disebut terbatas eksponensial pada interval bila
terdapatbilangan real M dan r sehingga berlaku 𝑓 untuk setiap
2. Sifat Keberadaan Transformasi Laplace.
Transformasi Laplace dari 𝑓 dengan ada bila 𝑓 kontinu bagian
demi bagian dan terbatas eksponensial untuk .
3. Sifat Ketunggala Transformasi Laplace.
Transformasi Laplace dari suatu fungsi adalah tunggal yaitu bila dan
merupakan Transformasi Laplace dari 𝑓 maka =
4. Sifat Linier Transformasi Laplace.
9
Dengan menggunakan definisi (2) didapatkan bahwa Transformasi Laplace
mempunyai sifat linier :
( 𝑓 ) ∫
( 𝑓 )
( 𝑓 ) ∫
𝑓 ∫
( 𝑓 ) (2. 5)
2.6 Definisi sistem gerak pegas
Pegas adalah benda elastis yang digunakan untuk menyimpan energi mekanis.
Pegas biasanya terbuat dari baja. Ada beberapa rancangan pegas. dalam
pemakaian sehari-hari, istilah ini mengacu pada coil springs. Pegas juga
ditemukan di sistem suspensimobil. Pada mobil, pegas memiliki fungsi menyerap
kejut dari jalan dan getaran roda agar tidak diteruskan ke bodi kendaraan secara
langsung. Selain itu, pegas juga berguna untuk menambah daya cengkeram ban
terhadap permukaan jalan. Perilaku penjalaran gelombang pada sistem fisis dapat
dipelajari pada SistemGerak Pegas. Pemodelan Sistem Gerak Pegas menerapkan
Hukum Newton II. Sistem Gerak Pegas yang dibahas adalah sistem yang terdiri
atas pegas, massa peredam dan gaya luar. Pemodelan Sistem Gerak Pegas
menghasilkanPersamaan Diferensial orde-2. Sistem gerak pegas diilustrasikan
dengan benda bermassa m yang tergantungpada suatu pegas (Mangara, 2013).
10
Gambar 2. 1 Sistem Gerak Benda Pada Pegas
Gambar 2. 2 Sistem Gerak Pegas dengan Peredam B dan Gaya Luar F(t)
2.7 Hukum Newton II
Hukum Newton II mengatakan “Percepatan sebuah benda berbanding lurus
dengan gaya total yang bekerja padanya dan berbanding terbalik dengan
massanya. Arah percepatan sama dengan arah gaya total yang bekerja padanya”.
Berdasarkan Hukum Newton II, kamu dapat memahami bahwa suatu benda akan
bertambah kelajuannya jika diberikan gaya total yang arahnya sama dengan arah
11
gerak benda. Akan tetapi, jika arah gaya total yang diberikan pada benda tersebut
berlawanan dengan arah gerak benda maka gaya tersebut akan memperkecil laju
benda atau bahkan menghentikannya. Pemodelan Sistem Gerak Pegas
menerapkan Hukum Newton II. Sistem Gerak Pegas yang dibahas adalah sistem
yang terdiri atas pegas, massa peredam dan gaya luar. Pemodelan Sistem Gerak
Pegas menghasilkan Persamaan Diferensial orde-2. Sistem gerak pegas
diilustrasikan dengan benda bermassa m yang tergantungpada suatu pegas.
Pemodelan sistem gerak pada Gambar, didasarkan pada Hukum Newton II,yaitu:
(2. 6)
Dengan :
= gaya-gaya yang bekerja pada benda
= massa benda
= percepatan gerak benda
Gaya- gaya yang bekerja pada benda yang tergantung pada pegas :
1. = , adalah gaya tarik gravitasi benda, = massa benda, dan =
gravitasi. Arah gaya ini kebawah karena pengaruh gravitasi. Gaya ini
sering disebut dengan berat benda.
2. 𝑦 ), adalah gaya pegas, = konstanta pegas, 𝑦 = posisi
benda, dan = perubahan panjang pegas. Arah gaya pegas keatas dan
kebawah. Jika pegas ditarik negatif, arah gaya keatas dan jka pegas
ditekan positif, arah gaya kebawah.
3.
= gaya redam, arah gaya nya berlawanan dengan gerak
benda. konstanta redaman, dan
= kecepatan benda. Jika = 0
12
sistem disebut sistem tak teredam dan jika sistem disebut sistem
teredam.
4. = gaya eksternal, arah gaya dapat keatas atau kebawah.
Penerapan gaya ini langsung pada benda atau pegas (Mangara, 2013).
2.8 Transformasi Laplace Pada Persamaan Diferensial Koefisien Konstan
Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menentukan solusi suatu persamaan
diferensial dengan koefisien konstan. Misal ditentukan persamaan diferensial :
)(2
xFqYdx
dYp
dx
Yd
Atau
)(''' xFqYpYY ....................................................(2. 7)
,q adalah konstanta dan persamaan tersebut mempunyai syarat awal atau batas
Y(0)=A dan Y’(0)=B, A dan B adalah konstanta yang diberikan. Solusi
persamaan diferensial yang diketahui dapat ditentukan dengan cara melakukan
transformasi Laplace pada masing-masing persamaan dan selanjutnya gunakan
syarat awal yang diberikan. Akibatnya diperoleh persamaan aljabar :
)()( syxYL .............................................................(2. 8)
Solusi yang diperlukan diperoleh dengan menggunakan transformasi Laplace
invers dari y(s) (Arifin, 2011).
13
2. 9. Jenis-Jenis Pegas Pada Suspensi
2.9.1 Pegas Daun
Pegas daun memiliki sifat kostruksi yang sederhana, dapat meredam getaran
sendiri (gesekan antara daun pegas, dan biasanya berfungsi sebagai lengan
penyangga (tidak memerlukan lengan, memanjang ataupun melintang).
Gambar 2. 3 Contoh Pegas Daun
2.9.2 Pegas Koil
Pada saat pemegasan, batang pegas koil menerima beban puntir dan lengkung.
Pegas koil memiliki beberapa sifat, yaitu :
Langkah pemegasannya panjang
Tidak dapat meredam getaran sendiri
Tidak dapat menerima gaya horizontal (memerlukan lengan-lengan)
Energy beban yang di absorsi lebih besar daripada pegas daun
Dapat dibuat pegas daun
Pegas ini biasanya digunakan pada suspense independen dan aksel rigid.
14
Gambar 2. 4 Contoh Pegas Koil
2.9.3 Pegas Batang Torsi (Puntir)
Pada saat pemegasan biasanya pegas mendapatkan beban punter. Pegas batang
torsi memiliki beberapa sifat, yaitu :
Memerlukan sedikit tempat
Energy yang di absorsi lebih besar dibandingkan dengan pegas lainnya
Tidak memiliki sifat meredam getaran sendiri
Langkah pemegasan panjang
Memiliki biaya yang maha
Gambar 2. 5 contoh pegas puntir
15
2. 10 Jenis – Jenis Redaman
Pada umumnya setiap benda yang berosilasi akan berhenti berosilasi jika tidak
digetarkan secara terus menerus. Benda yang pada mulanya bergetar atau
berosilasi bisa berhenti karena mengalami redaman. Redaman bisa terjadi akibat
adanya gaya hambat atau gaya gesekan. Osilasi yang mengalami redaman biasa
disebut sebagai osilasi teredam alias getaran teredam (Naufan, 2016).
Redaman yang terjadi pada suatu benda dapat di kategorikan sebagai berikut :
2.10.1Under Damped
Benda yang mengalami under damped biasanya melakukan beberapa osilasi
sebelum berhenti. Benda masih melakukan beberapa getaran sebelum berhenti
karena redaman yang dialaminya tidak terlalu besar.
2.10.2 Critical Damped
Benda yang mengalami critical damping biasanya langsung berhenti berosilasi
(benda langsung kembali ke posisi setimbangnya). Benda langsung berhenti
berosilasi karena redaman yang dialaminya cukup besar.
2.10.3 Overdamped
Over damping mirip seperti critical damping. Bedanya pada critical
damping benda tiba lebih cepat di posisi setimbangnya sedangkan pada over
16
damping benda lama sekali tiba di posisi setimbangnya. Hal ini disebabkan
karena redaman yang dialami oleh benda sangat besar.
17
III. METODOLOGI PENELITIAN
3. 1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2018/2019 di
Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Lampung.
3. 2 Metodologi Penelitian
Adapun langkah-langkah dari penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Mempelajari buku dan jurnal yang berhubungan dengan metode transformasi
laplace dan sistem gerak pegas.
2. Mempelajari dan memahami definisi yang terkait dengan penerapan metode
transformasi laplace pada sistem gerak pegas.
3. Menyelesaikan persamaan diferensial menggunakan metode transformasi
laplace
4. Membuat pemodelan dari suatu rangkaian sistem gerak pegas kedalam bentuk
persamaan diferensial biasa orde 2.
5. Menerapkan metode transformasi Laplace kedalam persamaan diferensial biasa
orde 2 yang terbentuk karena pemodelan dari suatu rangkaian sistem gerak
pegas.
18
6. Menarik kesimpulan berupa solusi penyelesaian dari metode transformasi
laplace terhadap model dari sistem gerak pegas.
32
V. KESIMPULAN
Adapun kesimpulan yang di dapatkan dari penelitian ini adalah :
1. Persamaan pada sistem gerak pegas yang teredam dapat ditentukan
menggunakan Hukum Newton II yaitu 𝐹 = 𝑚. 𝑎 sehingga menghasilkan
persamaan diferensial biasa orde dua yaitu 𝑚𝑑2𝑦
𝑑𝑡 2 + 𝑑𝑑𝑦
𝑑𝑡+ 𝑘𝑦 = 𝐹(𝑡)
2. Pada kasus pertama dapat dibentuk persamaan 2𝑦′ ′ + 5𝑦′ − 3𝑦 = 0 dengan
𝑦 0 = 4, dan 𝑦′ 0 = 9 jika diselesaikan menggunakan metode
Transformasi Laplace didapatkan solusi nya yaitu 𝑦 𝑡 = 6𝑒1
2𝑡 − 2𝑒−3𝑡 .
3. Jika dilihat solusi yang dihasilkan pada kasus pertama bentuknya sama seperti
solusi pada sistem teredam lebih yaitu 𝑦 𝑡 = 𝑐1𝑒𝑟1𝑡 − 𝑐2𝑒𝑟2𝑡 . Jadi
persamaan diatas merupakan sistem teredam lebih dimana 𝑑2 > 4𝑚𝑘. Sistem
gerak pegas yang teredam lebih terjadi jika menggunakan medium yang
memiliki gaya gesek yang besar misalnya seperti minyak yang kental.
4. Pada kasus kedua dapat dibentuk persamaan 𝑦′′ − 4𝑦′ − 4𝑦 = 8𝑡 dengan
𝑦 0 = 0, dan 𝑦′ 0 = 12 jika diselesaikan menggunakan metode
Transformasi Laplace didapatkan solusi nya yaitu 𝑦 𝑡 = 𝑒2𝑡 14𝑡 − 2 +
2𝑡 + 2
5.1. Kesimpulan
33
5. Jika dilihat solusi yang dihasilkan pada kasus kedua bentuknya sama seperti
solusi pada sistem teredam lebih yaitu 𝑦 = (𝑐1 + 𝑐2𝑡)𝑒 −𝑑
2𝑚 𝑡
. Jadi persamaan
pada kasus kedua merupakan sistem teredam kritis dimana 𝑑2 = 4𝑚𝑘.
6. Pada kasus ketiga dapat dibentuk persamaan 𝑦′′ − 4𝑦′ + 8𝑦 = 8𝑒2𝑡 cos 2 𝑡 +
6𝑒2𝑡 sin 2𝑡 dengan 𝑦 0 = 4, dan 𝑦′ 0 = 10 jika diselesaikan menggunakan
metode Transformasi Laplace didapatkan solusi nya yaitu 𝑦 𝑡 =
2𝑡𝑒2𝑡 sin 2𝑡 −3
2𝑡𝑒2𝑡 cos 2𝑡 + 4𝑒2𝑡 cos 2𝑡 +
7
4𝑒2𝑡 sin 2𝑡.
7. Jika dilihat solusi yang dihasilkan pada kasus ketiga bentuknya sama seperti
solusi pada sistem teredam kurang yaitu 𝑦 = 𝑐1𝑒(𝛼+𝑖𝛽 )𝑡 + 𝑐2𝑒 𝛼−𝑖𝛽 𝑡 . Jadi
persamaan pada kasus kedua merupakan sistem teredam kurang dimana
𝑑2 − 4𝑚𝑘 < 0.
19
DAFTAR PUSTAKA
Arifin. 2011. Aplikasi Transformasi Laplace pada Rangkaian Listrik.
Skripsi. Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan
Kalijaga, Yogyakarta
Bronson, R. & Gabriel C. 2007. Schaum’s Outline
PersamaanDiferensial Edisi Ketiga. Erlangga, Jakarta.
Fathani, A. H. 2008. Ensiklopedi Matematika. Ar-Ruzz Media,
Yogyakarta.
Gazali, W. 2006. Kalkulus Lanjut. Graha Ilmu, Yogyakarta.
Kartono. 2012. Persamaan Diferensial Biasa. Graha Ilmu, Yogyakarta.
Mangara Tua Sitanggang. “Matematika”. Jurnal Aplikasi Fungsi Green Pada
Dinamika Sistem Fisis-Massa Pegas Dengan Shock Absorber. Vol 11.
No. 2 (Desember 2013).
Nagle, R. K. , Edward B. S. , & Arthur D. S. 2004. Fundamentals of Differential Equations and Boundary Value Problems. Fourth Edition. Pearson AdisonWesley, United States of America.
Prayudi. 2007. Matematika Teknik Persamaan diferensial, Transformasi Laplace,
Deret Fourier. Graha ilmu, Yogyakarta.
Purcell, Edwin J. 1986. Kalkulus dan Geometri Analitis. Erlangga, Jakarta.
R. Murray, Spiegel. 1990. Teori dan Soal-Soal Transformasi Laplace. Erlangga,
Jakarta.