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1
Appendix A p.807
2
Kronecker delta
Permutation symbol
p.811
1→2→3
3→2→1
単位ベクトル
i=1, j=2の時,k=3の時だけijk=1
Cartesian座標では1=x,2=y,3=z
3
321 vvvp.812
p.813
(A.2-14)
(A.2-15)
順序を変えないで,ベクトルとスカラーをそれぞれ纏める.
4
312212311312332
231132132231
321123123321312213213312
333323321331
322322221221
311321121111
332211
)()()()(
)()(
)(
)(
)(
][
δδδδδ
δδδδ
δδδ
δδδ
δδδ
δδδ
δwv
wvwvwvwvwvwvwvwv
wvwvwvwv
wvwvwv
wvwvwv
wvwvwv
wvwvwv
wv
iiiiiii
iiiiiii
iiiiiii
i jjiijjiijjiij
i j kkjiijk
計算例
21 ,132 ,321 if 131 ,231 ,123 if 1
ijkijk
ijk
5
i j kkjiijk
ii j kkjijki
iii wvuwvuu ][][ wvwvu
(A.2-20) (A.2-21) .(A.2-22)
6
000000010
010001
21δδDyadic product(二項積)
§A.3 Tensor operation p.815
δiδj:i行j列のみ1
二項積より内積・外積が優先
7
Tensor(テンソル)
332313
322212
312111
wvwvwvwvwvwvwvwvwv
vectorのdyadic product
p.816-817
i j
jijij
jji
ii wvwv δδδδvw
33
jijji
iδδδδ単位テンソル
100010001
333231
232221
131211
i, jはi軸方向の単位ベクトル,ijはKronecker delta
8
12=1軸に垂直な面に作用する2軸方向の応力
作用する力の方向(単位ベクトル)
力が作用する面の法線ベクトル
9
)( )(
)(
)(
):(
333323321331
322322221221
311321121111
332211
iiiiiii
i jjiijτσ
The Scalar Product (the Double Dot Product) of Two Tensorsp.817
(A.3-1)
順序を変えないで,ベクトルとスカラーをそれぞれ纏める.
10
The Tensor Product (Single Dot Product) of Two Tensors
...............
...............
.....321322121211311321121111
p.818
(A.3-4)
jkjk
jk if 0 if 1
jlijli l j
ijlijli j l
i δδδδ
i j k l
ijklij Aδ
j
1) ij=12)jをiに置き換える3) を消す
i k l
iiklA
一般的に
11
The Vector Product (Dot product) of a Tensor with Vector
)( 333232131323222121313212111 vvvvvvvvv
The Tensor Product (Cross product) of a Tensor with Vector
(A.3-2)
(A.3-5)
12
EXERCISE (p.818) vuwuvw )(][
)]([]:[ vuuv
20)-(A.2 ][ i
iiwvwv 9)-(A.3 ][ i j
jiji wvδδvw
i kkiik
i j kkjikij
i j kkjikji
j kkjkj
iii
vuw
vuwδvuwvuw
δ
δδδδδδδuvw ][][
i j
jiijj
jji
ii vuwvwu δδvuw ])[(
(A.3-22)
(A.3-24)14)-(A.3 ]:[
i jjiij:τστσ
i j
ijiji j k l
lkijiljki j k l
lkijlkjik l
lklki j
ijji vuvuδδvuvu ):(:]:[ δδδδδδδδuvτ
i j
ijiji j k
kjijiki j k
kjijkik
kki j
jiji vuvuvuvu δδδδδvuτ ][
18)-(A.3 ][
i j
jiji vδvτ
13
§A.4 Vector and Tensor Differential Operation
321 xxx
The Gradient of a Scalar Field
nabel(del)
321 xs
xs
xs
p.820
14
The Divergence of a Vector Field
3
3
2
2
1
1xv
xv
xv
The Gradient of a Vector Field
3
3
3
2
3
12
3
2
2
2
11
3
1
2
1
1
xv
xv
xv
xv
xv
xv
xv
xv
xv
p.821
15
The Divergence of a Tensor Field
The Laplacian of a Scalar Field
Laplacian Operation
p.821
(A.3-3)
16
EX.A.4-1 ])[(])[():( τvvτvτ
18)-(A.3 ][
i j
jiji vτδvτ
i j i
jijj
i
ij
i jjij
ii kkik
ikjk
ii j kij
kjki
ji j k
ij k
kjkji i
i
xv
τvxτ
vτx
vτx
vτx
vτx
vτx
δ
δδδδvτ ])[(
左辺第1項
13)-(A.4 ][
j i
iji
j τx
δτ
jiij ただし,
symmetry (対称)1)-(A.4
i ii x
δ
i j i
ijj
i k k
kii
k
kjij
i j ki
j k k
jkj
iii x
τv
xτv
xτ
vx
v δδδδτv
])[(
左辺第2項
17
一方,右辺は, 11)-(A.4
k l k
llk xvδδv
i j i
jij xv
τ)[ (])[( τvvτしたがって,
i j i
jij
i j j
iji
i j j
iij
k l k
llk
i jijji
xv
xv
xv
xv
δδδδvτ :):(
jiij i j