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AULA 03 - TENSÃO E DEFORMAÇÃO
Observação: Esse texto não deverá ser considerado como apostila, somente
como notas de aula.
DEFORMAÇÃO
Em engenharia, a deformação de um corpo é especificada pelo conceito da
deformação normal e por cisalhamento.
Sempre que uma força é aplicada a um corpo, esta tende a mudar a forma e o
tamanho dele. Essas mudanças são denominadas deformações e podem ser altamente
visíveis ou praticamente imperceptíveis se não forem utilizados equipamentos que façam
medições precisas. Por exemplo, uma tira de borracha sofrerá uma grande deformação
quando esticada. Por outro lado, os elementos estruturais de um edifício sofrem apenas
leves deformações quando há muitas pessoas dentro dele. Também pode ocorrer
deformação em um corpo quando há mudança de temperatura. Um exemplo típico é a
expansão ou contração térmica de um telhado causada pelas condições atmosféricas.
Portanto as medições de deformação são experimentais e, uma vez obtidas, podem
ser relacionadas com as cargas aplicadas, ou tensões, que agem no interior do corpo.
1. DEFORMAÇÃO NORMAL
O alongamento ou contração de um segmento de reta por unidade de comprimento é
denominado deformação normal.
O alongamento total de uma barra submetida a uma força axial é designado pela
letra grega δ (delta), onde δ = L = ( L - Lo ). E a deformação normal, representado pela
letra grega ε (epsilon), como:
𝝐 = 𝜹
𝑳𝒐
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onde:
ε = deformação normal
δ = alongamento ou encurtamento
Lo = comprimento inicial da barra.
Note-se que a deformação ε é uma quantidade adimensional.
1.1. - DIAGRAMA DE TENSÃO – DEFORMAÇÃO
A resistência de um material depende da sua capacidade de suportar uma carga sem
deformação excessiva ou ruptura. Essa propriedade é inerente ao próprio material e deve
ser determinada por métodos experimentais. Um dos testes mais importantes nesses
casos é o ensaio de tração ou compressão. Embora seja possível determinar muitas
propriedades mecânicas importantes de um material por esse teste, ele é usado
primariamente para determinar a relação entre a tensão normal média e a deformação
normal média em muitos materiais usados na engenharia, como metais, cerâmicas,
polímeros e compósitos.
Pelos dados obtidos em um ensaio de tração ou compressão, é possível calcular
vários valores da tensão e da deformação, correspondentes no corpo de prova e, então,
construir um gráfico com esses resultados. A curva resultante é denominada diagrama
tensão – deformação.
O diagrama tensão x deformação varia muito de material para material e,
dependendo da temperatura do corpo de prova ou da velocidade de crescimento da carga
podem ocorrer resultados diferentes para um mesmo material. Entre os diagramas tensão
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x deformação de vários grupos de materiais é possível, no entanto, distinguir algumas
características comuns que nos levam a dividir os materiais em duas importantes
categorias: materiais dúcteis e materiais frágeis.
Materiais Dúcteis – Qualquer Material que possa ser submetido a grandes
deformações antes da ruptura é chamado de material dúctil. O aço doce é um exemplo.
Os engenheiros escolhem materiais dúcteis para o projeto por que são capazes de
absorver choque ou energia e, quando sobrecarregados, exibem, em geral, grande
deformação antes de falhar.
Materiais Frágeis – São materiais que possuem pouco, ou nenhum escoamento.
Exemplo: ferro fundido, concreto.
O concreto, assim como o ferro fundido cinzento, é classificado como um material
frágil e também tem baixa capacidade de resistência à tração. As características de seu
diagrama tensão-deformação dependem primariamente da mistura do concreto (água,
areia, brita e cimento) e do tempo e temperatura de cura. Um exemplo típico de um
diagrama tensão-deformação "completo" para o concreto é dado na figura abaixo.
Observamos nesse gráfico que a máxima resistência à compressão do concreto é
quase 12,5 vezes maior do que sua resistência à tração, (c)máx = 34,5 MPa, em
comparação com (t)máx = 2,76 MPa. Por essa razão, o concreto é quase sempre
reforçado com barras ou hastes de aço quando projetado para suportar cargas de tração.
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1.2 - DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO CONVENCIONAL E REAL PARA
MATERIAIS DÚCTEIS.
1.2.1 REGIÃO ELÁSTICA
O trecho da curva tensão-deformação, compreendido entre a origem e o limite de
proporcionalidade que representa a tensão máxima que pode ser aplicada à barra sem
que apareçam deformações residuais, ou permanentes, após a retirada integral da carga
externa.
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Limite de proporcionalidade: Representa o valor máximo da tensão abaixo da qual
o material obedece a Lei de Hooke. Para um material frágil, não existe limite de
proporcionalidade (o diagrama não apresenta parte reta).
Limite de elasticidade: Existe um ponto na curva tensão x deformação ao qual
corresponde o limite de elasticidade; representa a tensão máxima que pode ser aplicada
a barra sem que apareçam deformações residuais ou permanentes após a retirada integral
da carga externa. Para muitos materiais, os valores dos limites de elasticidade e
proporcionalidade são praticamente iguais, sendo usados como sinônimos.
Na fase elástica do diagrama tensão - deformação, temos um trecho reto. Por
consequência, um aumento na tensão provoca um aumento proporcional na deformação.
Esse fato foi descoberto por Robert Hooke, em 1676, para molas, e é conhecido como lei
de Hooke e pode ser expresso matematicamente como:
= E.
Nesta expressão, E representa a constante de proporcionalidade, denominada
módulo de elasticidade ou módulo de Young, nome que se deve a Thomas Young, que
publicou uma explicação sobre o módulo em 1807.
Alguns valores de E são mostrados na Tabela abaixo. Para a maioria dos
materiais, o valor do Módulo de Elasticidade sob compressão ou sob tração são iguais.
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Tabela 1 Propriedades mecânicas típicas de alguns materiais
Material Peso específico
(kN/m3)
Módulo de Elasticidade
(GPa)
Concreto Simples 24 25
Concreto Armado 25 30
Aço Estrutural 78,5 210
Alumínio 26,9 70
Bronze 83,2 98
Cobre 88,8 105
Madeira Estrutural 3 a 12 7 a 14
Quando a barra é carregada por tração simples, a tensão axial é σ = P / A e a
deformação específica é ε = δ / L . Combinando estes resultados com a Lei de Hooke,
tem-se a seguinte expressão para o alongamento da barra:
𝜹 = 𝑷𝑳𝒐
𝑬𝑨
Esta equação mostra que o alongamento de uma barra linearmente elástica é
diretamente proporcional à carga e ao comprimento e inversamente proporcional ao
módulo de elasticidade e à área da seção transversal. O produto EA é conhecido como
rigidez axial da barra.
Exemplo: A barra rígida BDE é suspensa por duas barras AB e CD. A barra AB é de
alumínio (Ealu = 70 GPa) e com seção
transversal de área de 400 mm2, a barra
CD é de aço (Eaço = 200 GPa) com uma
seção transversal de área de 500 mm2.
Considerando um comportamento
elástico, determine os alongamentos das
barras AB e CD.
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1.2.2 REGIÃO PLÁSTICA
O trecho da curva entre o limite de proporcionalidade e o ponto de ruptura do
material; é chamado de região plástica. Nesta região se retirarmos o carregamento, o
corpo não volta à sua forma inicial, havendo um deslocamento residual.
a) Escoamento
A maioria dos materiais metálicos, ao ser submetida a uma tensão de tração
crescente, se comporta dentro do grupo dos que ‘cedem’ antes de romper. Neste caso,
antes de ser atingida a tensão que caracteriza a resistência mecânica do material, a
relação entre a força aplicada e o alongamento desvia-se da linearidade elástica na (assim
denominada) tensão de escoamento. Para estes materiais, a partir deste ponto em diante,
passa a acontecer o processo que se denomina deformação plástica do metal.
Quando se atinge o limite de escoamento, o material passa a escoar-se. A partir
deste limite, aumentam as deformações sem que se altere praticamente o valor da tensão.
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Observação: Os materiais frágeis e alguns com características de dúcteis,
apresentam de modo indefinido, o início do escoamento. Neste casos a Norma Brasileira
estabelece uma Tensão Convencional de Escoamento, tomando-se no eixo dos
deslocamento específicos o valor = 0,2%.
A partir deste ponto traça-se uma reta paralela ao trecho reto do diagrama. A tensão
de Escoamento (e) é obtida pela intersecção com o gráfico.
b) Endurecimento por deformação
Discordâncias são os defeitos em linha, são imperfeições em uma estrutura
cristalina nas quais uma linha de átomos tem uma estrutura local que
difere da estrutura circunvizinha.
Durante a deformação plástica o número de discordâncias
aumenta drasticamente;
Esse endurecimento dá-se
devido a este aumento de
discordâncias e imperfeições
promovidas pela deformação,
que impedem o escorregamento
dos planos atômicos;
O escoamento termina e a curva cresce continuamente (endurecimento), até atingir
a tensão máxima denominada limite de resistência.
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Desde o início do teste até o limite de resistência, a área da seção transversal
decresce uniformemente.
Exemplo A figura apresenta o diagrama tensão-
deformação para um aço-liga com 12 mm de
diâmetro original e comprimento de referência 50
mm. Determine:
a) os valores aproximados do módulo de
elasticidade para o material;
b) a carga aplicada ao corpo de prova que
causa escoamento;
c) a carga máxima que o corpo de prova
suportará.
Exemplo 2 A figura apresenta o diagrama
tensão-deformação de uma barra de aço.
Determine os valores aproximados do módulo
de elasticidade, limite de proporcionalidade,
limite de resistência e módulo de resiliência. Se
a barra for submetida a uma carga de tração de
450 MPa, determine o valor da recuperação da
deformação elástica e da deformação
permanente na barra quando descarregada.
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c) Estricção
Quando a carga de tração aumentar muito,
quando se atinge a tensão da resistência mecânica (tensão máxima) a situação torna-se
incontrolável, com a formação de uma zona de deformação acentuada, localizada,
denominada pescoço, onde a seção da peça diminui de forma visível, prenunciando a
ruptura iminente.
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1.2.3 COEFICIENTE DE POISSON
As experiências demonstram que um material, quando submetido à tração, sofre
além da deformação axial (alongamento), uma deformação transversal (afinamento).
Poisson demonstrou que estas
duas deformações eram proporcionais uma em
relação à outra, dentro dos limites da Lei de Hooke.
𝜹𝒚
𝑳𝒚 =
𝜹𝒛
𝑳𝒛 y = z
As experiências mostram que y = z e que a
relação entre deformação transversal e longitudinal é
constante.
Essa relação é denominada de Coeficiente de
Poisson () (ni)
= 𝜺𝒚
𝜺𝒙 =
𝜺𝒛
𝜺𝒙 = - (εtransversal / εlongitudinal)
Essa expressão tem sinal negativo porque o alongamento longitudinal (deformação
positiva) provoca contração lateral (deformação negativa) e vice-versa.
O coeficiente de Poisson é constante para cada material e seu valor varia
entre 0 e 0,5.
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Exemplos:
Material Coeficiente de Poisson ()
Aço 0,3
Concreto 0,15
Pedra 0,20
Exemplo: A barra circular de aço apresentada na figura abaixo possui d = 20 mm e
comprimento L = 0,80 m. Encontra-se submetida à ação de uma carga axial de 7,2 kN.
Pede-se determinar:
a) tensão normal atuante na barra;
b) o alongamento;
c) a deformação longitudinal;
d) a deformação transversal;
Dados:
Eaço = 210.000 MPa
aço = 0,3 (coeficiente de Poisson)
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1.2.4 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
Quando um material é deformado por uma carga externa, tende a armazenar energia
internamente em todo o seu volume. Como essa energia está relacionada com as
deformações no material, ela é denominada energia de deformação. Por exemplo, quando
um corpo de prova de ensaio de tração é submetido a uma carga axial, um elemento de
volume do material é submetido a uma tensão uniaxial, como mostra a figura ao lado.
Essa tensão desenvolve uma força F = A = (x.y) nas faces superior e inferior do
elemento após ele ter sofrido um deslocamento vertical (.z). Por definição, trabalho é
determinado pelo produto entre a força e o deslocamento na direção da força. Visto que a
força aumenta uniformemente de zero até seu valor final F quando é obtido
odeslocamento (.z), o trabalho realizado pela força sobre o elemento é igual ao valor
médio da força (F/2) vezes o deslocamento (.z). Esse “trabalho externo" é equivalente
ao "trabalho interno" ou energia de deformação armazenada no elemento, se
considerarmos que nenhuma energia é perdida sob a forma de calor.
Por consequência, a energia de deformação U é U =
(1/2F) .z = (1/2 x..y)..z. Visto que o volume do elemento
é V = x.y.z, então U = 1/2V
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Às vezes, é conveniente formular a energia de deformação por unidade de volume
de material, denominada densidade de energia de deformação, a qual pode ser expressa
por:
Se o comportamento do material for linear elástico, então a lei de Hooke se aplica,
= E. e, portanto, podemos expressar a densidade de energia de deformação em termos
da tensão uniaxial como:
Módulo de resiliência. Em particular, quando a tensão atinge o limite de
proporcionalidade, a densidade de energia de deformação é calculada pela Equação:
Observe, na região elástica do diagrama tensão-
deformação (Figura a) , que ur é equivalente à área
triangular sombreada sob o diagrama. Em termos físicos,
a resiliência de um material representa sua capacidade
de absorver energia sem sofrer qualquer dano
permanente.
Módulo de tenacidade. Outra importante
propriedade de um material é o módulo de tenacidade (ut).
O trabalho realizado por unidade de volume do
material, quando há uma força de tração simples que
aumenta gradualmente a partir de zero até atingir o limite
de ruptura, é chamado de módulo de tenacidade.
Essa quantidade representa a área inteira sob o
diagrama tensão-deformação (Figura b), portanto indica a densidade de energia de
deformação do material um pouco antes da ruptura. A tenacidade de um material é sua
capacidade de absorver energia na região plástica de um material.
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Essa propriedade é importante no projeto de elementos estruturais que possam ser
sobrecarregados acidentalmente. Materiais com alto módulo de tenacidade sofrerão
grande distorção devido à sobrecarga; contudo, podem ser preferíveis aos que têm baixo
valor de módulo de tenacidade, já que os que têm ut baixo podem sofrer ruptura repentina
sem dar nenhum sinal dessa ruptura iminente.
Exemplo: A figura apresenta o diagrama tensão-
deformação para um aço-liga com 12 mm de
diâmetro original e 50 mm de comprimento de
referência. Determine os valores aproximados do
módulo de resiliencia e do módulo de tenacidade
para o material
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2. TENSÃO - DEFORMAÇÃO POR CISALHAMENTO.
Seja uma partícula submetida a um esforço F com indicado abaixo:
A partícula irá sofre uma deformação, onde poderemos observar um deslocamento
angular denominado de distorção.
A mudança que ocorre no ângulo entre dois segmentos de reta que originalmente eram
perpendiculares um ao outro é denominada deformação por cisalhamento. Esse ângulo é
representado por (gama) e medido em radianos (rad).
= 𝝅
𝟐− θ′
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Observação:
a) As deformações normais causam uma mudança no volume do elemento, ao
passo que deformações por cisalhamento provocam uma mudança em sua
forma. É claro que ambos os efeitos ocorrem simultaneamente durante a
deformação.
b) A maioria dos materiais de engenharia sofre pequenas deformações , portanto,
uma deformação normal ε << 1.
2.1 O DIAGRAMA TENSÃO DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO
A forma deste gráfico é semelhante ao gráfico de tensão - deslocamento específico
(-), mudando apenas a ordem de grandeza dos valores.
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Para os pontos A, B, C e D e para p, e, u, R, vale a mesma nomenclatura anterior
(agora no cisalhamento).
2.1.1 LEI DE HOOKE NO CISALHAMENTO
O trecho AO do diagrama - é uma reta, ou seja, existe uma proporcionalidade
entre Tensão de Cisalhamento e Distorção .
A maioria dos materiais de engenharia apresenta comportamento elástico linear,
portanto a lei de Hooke para cisalhamento pode ser expressa por
= G.
Essa expressão é a chamada Lei de Hooke no cisalhamento e G é o módulo de
Elasticidade Transversal.
O valor de G pode ser obtido do diagrama - sendo numericamente igual à tg ,
com a mesma unidade da Tensão de Cisalhamento, visto que é expresso em radianos.
As experiências demonstram que um material, quando submetido à tração, sofre
além da deformação axial (alongamento), uma deformação transversal (afinamento). Três
constantes do material, E, v e G, na realidade, estão relacionadas pela equação
v
EG
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G = módulo de elasticidade o cisalhamento ou módulo de rigidez.
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TABELA – PROPRIEDADES DE ALGUNS MATERIAIS
Aplicando a lei de Hooke para o alongamento, temos:
Para pequenos deslocamentos o ângulo de cisalhamento pode ser
𝜸 ≈ 𝐭𝐠𝛄 = 𝜹
𝒉
Sendo:
𝛕 = 𝐅
𝐀 𝝉 = 𝑮. 𝜸 →
𝐅
𝐀= 𝑮.
𝜹
𝒉
𝜹 = 𝑭. 𝒉
𝑨. 𝑮
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Exemplo Qual o valor máximo da carga P a ser aplicada na peça abaixo, sabendo-se que
o deslocamento máximo permitido é 20º. Dado: G = 80 kgf/cm2.
BIBLIOGRAFIA
ANTÔNIO NETO, Aiello Giuseppe – Resistência dos Materiais I - Universidade Presbiteriana Mackenzi.
GASPAR, Ricardo MECÂNICA DOS MATERIAIS - Notas de aula da disciplina Resistência dos
Materiais ministrada pelo Prof. Leandro Mouta Trautwein.
HIBBELER, R. C. – Resistencia dos materiais 7ª Ed. Pearson
JUDICE, Flávia Moll de Souza e PERLINGEIRO,Mayra Soares Pereira Lima Resistência Dos Materiais IX - Universidade Federal Fluminense
BEER, Ferdinand P. JOHNSTON, E. Russel Jr - Resistência dos Materiais - . Ed. PEARSON - 3ª edição – 1995.
VINICIOS, Marcos Notas de Aulas da disciplina Resistência dos Materiais- Universidade
Candido Mendes
BAÊTA, Fernando da Costa SARTOR, Valmir – Resistência dos Materiais e Dimensionamento de Estruturas para Construções Rurais Universidade Federal de Viçosa – 1999
GUSTAVO, Luiz - Apostila Resistencia dos Materiais - IFSP http://sjc.ifsp.edu.br