Aula 4 - Ondas
Rene F. K. Spada
ITA
15 de Maio de 2018
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 1 / 46
1 Ondas Sonoras
2 Relação entre Densidade e Deslocamento
3 Relação entre Pressão e Deslocamento
4 Velocidade do Som
5 Efeito Doppler
6 Ondas em Mais de Uma Dimensão
7 Cone de Mach
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 2 / 46
1 Ondas Sonoras
2 Relação entre Densidade e Deslocamento
3 Relação entre Pressão e Deslocamento
4 Velocidade do Som
5 Efeito Doppler
6 Ondas em Mais de Uma Dimensão
7 Cone de Mach
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Som é uma onda mecânica;
Precisa de um meio para se propagar;Não ocorre transporte de matéria;Estamos mais acostumados com o ar;Mas pode ser líquido;
I Alto-falantes em piscinas;
E também pode ser sólido;
I Índios em filmes de faroeste;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 4 / 46
Som é uma onda mecânica;Precisa de um meio para se propagar;
Não ocorre transporte de matéria;Estamos mais acostumados com o ar;Mas pode ser líquido;
I Alto-falantes em piscinas;
E também pode ser sólido;
I Índios em filmes de faroeste;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 4 / 46
Som é uma onda mecânica;Precisa de um meio para se propagar;Não ocorre transporte de matéria;
Estamos mais acostumados com o ar;Mas pode ser líquido;
I Alto-falantes em piscinas;
E também pode ser sólido;
I Índios em filmes de faroeste;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 4 / 46
Som é uma onda mecânica;Precisa de um meio para se propagar;Não ocorre transporte de matéria;Estamos mais acostumados com o ar;
Mas pode ser líquido;
I Alto-falantes em piscinas;
E também pode ser sólido;
I Índios em filmes de faroeste;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 4 / 46
Som é uma onda mecânica;Precisa de um meio para se propagar;Não ocorre transporte de matéria;Estamos mais acostumados com o ar;Mas pode ser líquido;
I Alto-falantes em piscinas;E também pode ser sólido;
I Índios em filmes de faroeste;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 4 / 46
Som é uma onda mecânica;Precisa de um meio para se propagar;Não ocorre transporte de matéria;Estamos mais acostumados com o ar;Mas pode ser líquido;
I Alto-falantes em piscinas;
E também pode ser sólido;
I Índios em filmes de faroeste;
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Som é uma onda mecânica;Precisa de um meio para se propagar;Não ocorre transporte de matéria;Estamos mais acostumados com o ar;Mas pode ser líquido;
I Alto-falantes em piscinas;E também pode ser sólido;
I Índios em filmes de faroeste;
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Som é uma onda mecânica;Precisa de um meio para se propagar;Não ocorre transporte de matéria;Estamos mais acostumados com o ar;Mas pode ser líquido;
I Alto-falantes em piscinas;E também pode ser sólido;
I Índios em filmes de faroeste;
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Podemos começar esse estudo imaginando um gongo:
A onda viaja no mesmo sentido da perturbação;Assim o som é uma onda longitudinal.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 5 / 46
Podemos começar esse estudo imaginando um gongo:
A onda viaja no mesmo sentido da perturbação;Assim o som é uma onda longitudinal.
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Podemos começar esse estudo imaginando um gongo:
A onda viaja no mesmo sentido da perturbação;Assim o som é uma onda longitudinal.
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Podemos começar esse estudo imaginando um gongo:
A onda viaja no mesmo sentido da perturbação;Assim o som é uma onda longitudinal.
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Podemos começar esse estudo imaginando um gongo:
A onda viaja no mesmo sentido da perturbação;Assim o som é uma onda longitudinal.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 5 / 46
Podemos começar esse estudo imaginando um gongo:
A onda viaja no mesmo sentido da perturbação;Assim o som é uma onda longitudinal.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 5 / 46
Podemos começar esse estudo imaginando um gongo:
A onda viaja no mesmo sentido da perturbação;Assim o som é uma onda longitudinal.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 5 / 46
Podemos começar esse estudo imaginando um gongo:
A onda viaja no mesmo sentido da perturbação;Assim o som é uma onda longitudinal.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 5 / 46
Podemos começar esse estudo imaginando um gongo:
A onda viaja no mesmo sentido da perturbação;Assim o som é uma onda longitudinal.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 5 / 46
Podemos começar esse estudo imaginando um gongo:
A onda viaja no mesmo sentido da perturbação;Assim o som é uma onda longitudinal.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 5 / 46
Podemos começar esse estudo imaginando um gongo:
A onda viaja no mesmo sentido da perturbação;
Assim o som é uma onda longitudinal.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 5 / 46
Podemos começar esse estudo imaginando um gongo:
A onda viaja no mesmo sentido da perturbação;Assim o som é uma onda longitudinal.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 5 / 46
Mas o que a perturbação do gongo causa?
Ela altera a densidade do gás em sua vizinhança;Ou seja, causa uma variação de pressão;São essas variações de densidade e pressão que viajam pelo meio;Analisaremos esse processo em detalhes;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 6 / 46
Mas o que a perturbação do gongo causa?Ela altera a densidade do gás em sua vizinhança;
Ou seja, causa uma variação de pressão;São essas variações de densidade e pressão que viajam pelo meio;Analisaremos esse processo em detalhes;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 6 / 46
Mas o que a perturbação do gongo causa?Ela altera a densidade do gás em sua vizinhança;Ou seja, causa uma variação de pressão;
São essas variações de densidade e pressão que viajam pelo meio;Analisaremos esse processo em detalhes;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 6 / 46
Mas o que a perturbação do gongo causa?Ela altera a densidade do gás em sua vizinhança;Ou seja, causa uma variação de pressão;São essas variações de densidade e pressão que viajam pelo meio;
Analisaremos esse processo em detalhes;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 6 / 46
Mas o que a perturbação do gongo causa?Ela altera a densidade do gás em sua vizinhança;Ou seja, causa uma variação de pressão;São essas variações de densidade e pressão que viajam pelo meio;Analisaremos esse processo em detalhes;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 6 / 46
1 Ondas Sonoras
2 Relação entre Densidade e Deslocamento
3 Relação entre Pressão e Deslocamento
4 Velocidade do Som
5 Efeito Doppler
6 Ondas em Mais de Uma Dimensão
7 Cone de Mach
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 7 / 46
O processo pode ser separado em:
Deslocamentodo Fluido
Mudança deDensidade
Mudançade Pressão
Variação dePressão provocaDeslocamento
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 8 / 46
O processo pode ser separado em:
Deslocamentodo Fluido
Mudança deDensidade
Mudançade Pressão
Variação dePressão provocaDeslocamento
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 8 / 46
O processo pode ser separado em:
Deslocamentodo Fluido
Mudança deDensidade
Mudançade Pressão
Variação dePressão provocaDeslocamento
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 8 / 46
O processo pode ser separado em:
Deslocamentodo Fluido
Mudança deDensidade
Mudançade Pressão
Variação dePressão provocaDeslocamento
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 8 / 46
O processo pode ser separado em:
Deslocamentodo Fluido
Mudança deDensidade
Mudançade Pressão
Variação dePressão provocaDeslocamento
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 8 / 46
Consideremos uma onda sonora em um tubo:
~F
Compressão
Rarefação
Primeiro o tubo está em equilíbrio;Uma força altera a densidade e pressão no tubo;Essas variações são transmitidas pelo tubo;Essas variações causam zonas de compressão e rarefação;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 9 / 46
Consideremos uma onda sonora em um tubo:
~F
Compressão
Rarefação
Primeiro o tubo está em equilíbrio;
Uma força altera a densidade e pressão no tubo;Essas variações são transmitidas pelo tubo;Essas variações causam zonas de compressão e rarefação;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 9 / 46
Consideremos uma onda sonora em um tubo:
~F
Compressão
Rarefação
Primeiro o tubo está em equilíbrio;Uma força altera a densidade e pressão no tubo;
Essas variações são transmitidas pelo tubo;Essas variações causam zonas de compressão e rarefação;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 9 / 46
Consideremos uma onda sonora em um tubo:
~F
Compressão
Rarefação
Primeiro o tubo está em equilíbrio;Uma força altera a densidade e pressão no tubo;Essas variações são transmitidas pelo tubo;
Essas variações causam zonas de compressão e rarefação;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 9 / 46
Consideremos uma onda sonora em um tubo:
~F
Compressão
Rarefação
Primeiro o tubo está em equilíbrio;Uma força altera a densidade e pressão no tubo;Essas variações são transmitidas pelo tubo;
Essas variações causam zonas de compressão e rarefação;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 9 / 46
Consideremos uma onda sonora em um tubo:
~F
Compressão
Rarefação
Primeiro o tubo está em equilíbrio;Uma força altera a densidade e pressão no tubo;Essas variações são transmitidas pelo tubo;
Essas variações causam zonas de compressão e rarefação;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 9 / 46
Consideremos uma onda sonora em um tubo:
~F
Compressão
Rarefação
Primeiro o tubo está em equilíbrio;Uma força altera a densidade e pressão no tubo;Essas variações são transmitidas pelo tubo;
Essas variações causam zonas de compressão e rarefação;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 9 / 46
Consideremos uma onda sonora em um tubo:
~F
Compressão
Rarefação
Primeiro o tubo está em equilíbrio;Uma força altera a densidade e pressão no tubo;Essas variações são transmitidas pelo tubo;Essas variações causam zonas de compressão e rarefação;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 9 / 46
A
∆x
A
u(x , t)
∆x1
Quando o tubo está em repouso:
Considerando a área da seção transversal sendo A;Escolhando um intervalo ∆x arbitrário;V0, ρ0 e p0;
V0 = A∆x
Quando passa a perturbação, sendo u(x , t) o deslocamentohorizontal;Existe uma mudança em ∆x1 → x + ∆x + u(x + ∆x , t)− x − u(x , t);Assim precisamos calcular ∆V :
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 10 / 46
A
∆x
A
u(x , t)
∆x1
Quando o tubo está em repouso:Considerando a área da seção transversal sendo A;
Escolhando um intervalo ∆x arbitrário;V0, ρ0 e p0;
V0 = A∆x
Quando passa a perturbação, sendo u(x , t) o deslocamentohorizontal;Existe uma mudança em ∆x1 → x + ∆x + u(x + ∆x , t)− x − u(x , t);Assim precisamos calcular ∆V :
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 10 / 46
A
∆x
A
u(x , t)
∆x1
Quando o tubo está em repouso:Considerando a área da seção transversal sendo A;
Escolhando um intervalo ∆x arbitrário;V0, ρ0 e p0;
V0 = A∆x
Quando passa a perturbação, sendo u(x , t) o deslocamentohorizontal;Existe uma mudança em ∆x1 → x + ∆x + u(x + ∆x , t)− x − u(x , t);Assim precisamos calcular ∆V :
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 10 / 46
A
∆x
A
u(x , t)
∆x1
Quando o tubo está em repouso:Considerando a área da seção transversal sendo A;Escolhando um intervalo ∆x arbitrário;
V0, ρ0 e p0;
V0 = A∆x
Quando passa a perturbação, sendo u(x , t) o deslocamentohorizontal;Existe uma mudança em ∆x1 → x + ∆x + u(x + ∆x , t)− x − u(x , t);Assim precisamos calcular ∆V :
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 10 / 46
A
∆x
A
u(x , t)
∆x1
Quando o tubo está em repouso:Considerando a área da seção transversal sendo A;Escolhando um intervalo ∆x arbitrário;V0, ρ0 e p0;
V0 = A∆x
Quando passa a perturbação, sendo u(x , t) o deslocamentohorizontal;Existe uma mudança em ∆x1 → x + ∆x + u(x + ∆x , t)− x − u(x , t);Assim precisamos calcular ∆V :
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 10 / 46
A
∆x
A
u(x , t)
∆x1
Quando o tubo está em repouso:Considerando a área da seção transversal sendo A;Escolhando um intervalo ∆x arbitrário;V0, ρ0 e p0;
V0 = A∆x
Quando passa a perturbação, sendo u(x , t) o deslocamentohorizontal;Existe uma mudança em ∆x1 → x + ∆x + u(x + ∆x , t)− x − u(x , t);Assim precisamos calcular ∆V :
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 10 / 46
A
∆x
A
u(x , t)
∆x1
Quando o tubo está em repouso:Considerando a área da seção transversal sendo A;Escolhando um intervalo ∆x arbitrário;V0, ρ0 e p0;
V0 = A∆x
Quando passa a perturbação, sendo u(x , t) o deslocamentohorizontal;
Existe uma mudança em ∆x1 → x + ∆x + u(x + ∆x , t)− x − u(x , t);Assim precisamos calcular ∆V :
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A
∆x
A
u(x , t)
∆x1
Quando o tubo está em repouso:Considerando a área da seção transversal sendo A;Escolhando um intervalo ∆x arbitrário;V0, ρ0 e p0;
V0 = A∆x
Quando passa a perturbação, sendo u(x , t) o deslocamentohorizontal;Existe uma mudança em ∆x1 → x + ∆x + u(x + ∆x , t)− x − u(x , t);
Assim precisamos calcular ∆V :
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 10 / 46
A
∆x
A
u(x , t)
∆x1
Quando o tubo está em repouso:Considerando a área da seção transversal sendo A;Escolhando um intervalo ∆x arbitrário;V0, ρ0 e p0;
V0 = A∆x
Quando passa a perturbação, sendo u(x , t) o deslocamentohorizontal;Existe uma mudança em ∆x1 → x + ∆x + u(x + ∆x , t)− x − u(x , t);Assim precisamos calcular ∆V :
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 10 / 46
V1 = A [x + ∆x + u(x + ∆x , t)− x − u(x , t)]
Assim temos:
∆V = V1 − V0 = A [u(x + ∆x , t)− u(x , t)]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 11 / 46
V1 = A [�x + ∆x + u(x + ∆x , t)−�x − u(x , t)]
Assim temos:
∆V = V1 − V0 = A [u(x + ∆x , t)− u(x , t)]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 11 / 46
V1 = A [�x + ∆x + u(x + ∆x , t)−�x − u(x , t)]V0 = A∆x
Assim temos:
∆V = V1 − V0 = A [u(x + ∆x , t)− u(x , t)]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 11 / 46
V1 = A [�x + ∆x + u(x + ∆x , t)−�x − u(x , t)]V0 = A∆x
Assim temos:
∆V = V1 − V0 = A [u(x + ∆x , t)− u(x , t)]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 11 / 46
V1 = A [�x + ∆x + u(x + ∆x , t)−�x − u(x , t)]V0 = A∆x
Assim temos:
∆V = V1 − V0 = A [u(x + ∆x , t)− u(x , t)]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 11 / 46
V1 = A [�x + ∆x + u(x + ∆x , t)−�x − u(x , t)]V0 = A∆x
Assim temos:
∆V = V1 − V0 = A [u(x + ∆x , t)− u(x , t)]
∆V = V1 − V0 = A∆x[u(x + ∆x , t)− u(x , t)
∆x
]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 11 / 46
V1 = A [�x + ∆x + u(x + ∆x , t)−�x − u(x , t)]V0 = A∆x
Assim temos:
∆V = V1 − V0 = A [u(x + ∆x , t)− u(x , t)]
∆V = V1 − V0 = A∆x︸ ︷︷ ︸V0
[u(x + ∆x , t)− u(x , t)∆x
]
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V1 = A [�x + ∆x + u(x + ∆x , t)−�x − u(x , t)]V0 = A∆x
Assim temos:
∆V = V1 − V0 = A [u(x + ∆x , t)− u(x , t)]
∆V = V1 − V0 = A∆x︸ ︷︷ ︸V0
[u(x + ∆x , t)− u(x , t)∆x
]︸ ︷︷ ︸
∆x→0, derivada
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 11 / 46
V1 = A [�x + ∆x + u(x + ∆x , t)−�x − u(x , t)]V0 = A∆x
Assim temos:
∆V = V1 − V0 = A [u(x + ∆x , t)− u(x , t)]
∆V = V1 − V0 = A∆x︸ ︷︷ ︸V0
[u(x + ∆x , t)− u(x , t)∆x
]︸ ︷︷ ︸
∆x→0, derivada
∴∆VV0
= ∂u(x , t)∂x
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 11 / 46
Como ρ = m/V :
dρ = − mV 2 dV =⇒ ∆ρ = −m∆V
V 2 = −ρ∆VV
Assim:
− ∆VV0
= ∆ρρ0
= −∂u(x , t)∂x
Fazendo ∆ρ→ δρ = ρ1 − ρ0, com |δρ| � ρ0:
I ρ0 → Valor da densidade no equilíbrio;I ρ1 → Valor da densidade durante a passagem da onda;
δρ = −ρ0∂u(x , t)∂x
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 12 / 46
Como ρ = m/V :
dρ = − mV 2 dV =⇒ ∆ρ = −m∆V
V 2 = −ρ∆VV
Assim:
− ∆VV0
= ∆ρρ0
= −∂u(x , t)∂x
Fazendo ∆ρ→ δρ = ρ1 − ρ0, com |δρ| � ρ0:
I ρ0 → Valor da densidade no equilíbrio;I ρ1 → Valor da densidade durante a passagem da onda;
δρ = −ρ0∂u(x , t)∂x
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 12 / 46
Como ρ = m/V :
dρ = − mV 2 dV =⇒ ∆ρ = −m∆V
V 2 = −ρ∆VV
Assim:
− ∆VV0
= ∆ρρ0
= −∂u(x , t)∂x
Fazendo ∆ρ→ δρ = ρ1 − ρ0, com |δρ| � ρ0:
I ρ0 → Valor da densidade no equilíbrio;I ρ1 → Valor da densidade durante a passagem da onda;
δρ = −ρ0∂u(x , t)∂x
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 12 / 46
Como ρ = m/V :
dρ = − mV 2 dV =⇒ ∆ρ = −m∆V
V 2 = −ρ∆VV
Assim:
− ∆VV0
= ∆ρρ0
= −∂u(x , t)∂x
Fazendo ∆ρ→ δρ = ρ1 − ρ0, com |δρ| � ρ0:
I ρ0 → Valor da densidade no equilíbrio;I ρ1 → Valor da densidade durante a passagem da onda;
δρ = −ρ0∂u(x , t)∂x
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 12 / 46
Como ρ = m/V :
dρ = − mV 2 dV =⇒ ∆ρ = −m∆V
V 2 = −ρ∆VV
Assim:
− ∆VV0
= ∆ρρ0
= −∂u(x , t)∂x
Fazendo ∆ρ→ δρ = ρ1 − ρ0, com |δρ| � ρ0:
I ρ0 → Valor da densidade no equilíbrio;I ρ1 → Valor da densidade durante a passagem da onda;
δρ = −ρ0∂u(x , t)∂x
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 12 / 46
Como ρ = m/V :
dρ = − mV 2 dV =⇒ ∆ρ = −m∆V
V 2 = −ρ∆VV
Assim:
− ∆VV0
= ∆ρρ0
= −∂u(x , t)∂x
Fazendo ∆ρ→ δρ = ρ1 − ρ0, com |δρ| � ρ0:I ρ0 → Valor da densidade no equilíbrio;
I ρ1 → Valor da densidade durante a passagem da onda;
δρ = −ρ0∂u(x , t)∂x
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 12 / 46
Como ρ = m/V :
dρ = − mV 2 dV =⇒ ∆ρ = −m∆V
V 2 = −ρ∆VV
Assim:
− ∆VV0
= ∆ρρ0
= −∂u(x , t)∂x
Fazendo ∆ρ→ δρ = ρ1 − ρ0, com |δρ| � ρ0:I ρ0 → Valor da densidade no equilíbrio;I ρ1 → Valor da densidade durante a passagem da onda;
δρ = −ρ0∂u(x , t)∂x
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 12 / 46
Como ρ = m/V :
dρ = − mV 2 dV =⇒ ∆ρ = −m∆V
V 2 = −ρ∆VV
Assim:
− ∆VV0
= ∆ρρ0
= −∂u(x , t)∂x
Fazendo ∆ρ→ δρ = ρ1 − ρ0, com |δρ| � ρ0:I ρ0 → Valor da densidade no equilíbrio;I ρ1 → Valor da densidade durante a passagem da onda;
δρ = −ρ0∂u(x , t)∂x
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 12 / 46
δρ = −ρ0∂u(x , t)∂x
Essa é a relação entre a densidade e o deslocamento;O sinal é entendido de imediato:Se ∂u(x ,t)
∂x > 0, deslocamento cresce com x ;Temos δρ < 0→ é produzida uma rarefação.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 13 / 46
δρ = −ρ0∂u(x , t)∂x
Essa é a relação entre a densidade e o deslocamento;
O sinal é entendido de imediato:Se ∂u(x ,t)
∂x > 0, deslocamento cresce com x ;Temos δρ < 0→ é produzida uma rarefação.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 13 / 46
δρ = −ρ0∂u(x , t)∂x
Essa é a relação entre a densidade e o deslocamento;O sinal é entendido de imediato:
Se ∂u(x ,t)∂x > 0, deslocamento cresce com x ;
Temos δρ < 0→ é produzida uma rarefação.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 13 / 46
δρ = −ρ0∂u(x , t)∂x
Essa é a relação entre a densidade e o deslocamento;O sinal é entendido de imediato:Se ∂u(x ,t)
∂x > 0, deslocamento cresce com x ;
Temos δρ < 0→ é produzida uma rarefação.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 13 / 46
δρ = −ρ0∂u(x , t)∂x
Essa é a relação entre a densidade e o deslocamento;O sinal é entendido de imediato:Se ∂u(x ,t)
∂x > 0, deslocamento cresce com x ;Temos δρ < 0→ é produzida uma rarefação.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 13 / 46
1 Ondas Sonoras
2 Relação entre Densidade e Deslocamento
3 Relação entre Pressão e Deslocamento
4 Velocidade do Som
5 Efeito Doppler
6 Ondas em Mais de Uma Dimensão
7 Cone de Mach
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 14 / 46
Para relação entre densidade e pressão;
Como P = F/A;Essa pressão é dada por P = p + p0, com |p| � p0;
I p0 → Pressão no tupo em equilíbrio;I p → Alteração de pressão pela a passagem da onda;
O caminho natural é pelas leis de Newton;Como estamos trabalhando em uma dimensão:
∑F = ma
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 15 / 46
Para relação entre densidade e pressão;Como P = F/A;
Essa pressão é dada por P = p + p0, com |p| � p0;
I p0 → Pressão no tupo em equilíbrio;I p → Alteração de pressão pela a passagem da onda;
O caminho natural é pelas leis de Newton;Como estamos trabalhando em uma dimensão:
∑F = ma
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 15 / 46
Para relação entre densidade e pressão;Como P = F/A;Essa pressão é dada por P = p + p0, com |p| � p0;
I p0 → Pressão no tupo em equilíbrio;I p → Alteração de pressão pela a passagem da onda;
O caminho natural é pelas leis de Newton;Como estamos trabalhando em uma dimensão:
∑F = ma
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 15 / 46
Para relação entre densidade e pressão;Como P = F/A;Essa pressão é dada por P = p + p0, com |p| � p0;
I p0 → Pressão no tupo em equilíbrio;
I p → Alteração de pressão pela a passagem da onda;O caminho natural é pelas leis de Newton;Como estamos trabalhando em uma dimensão:
∑F = ma
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 15 / 46
Para relação entre densidade e pressão;Como P = F/A;Essa pressão é dada por P = p + p0, com |p| � p0;
I p0 → Pressão no tupo em equilíbrio;I p → Alteração de pressão pela a passagem da onda;
O caminho natural é pelas leis de Newton;Como estamos trabalhando em uma dimensão:
∑F = ma
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 15 / 46
Para relação entre densidade e pressão;Como P = F/A;Essa pressão é dada por P = p + p0, com |p| � p0;
I p0 → Pressão no tupo em equilíbrio;I p → Alteração de pressão pela a passagem da onda;
O caminho natural é pelas leis de Newton;
Como estamos trabalhando em uma dimensão:
∑F = ma
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 15 / 46
Para relação entre densidade e pressão;Como P = F/A;Essa pressão é dada por P = p + p0, com |p| � p0;
I p0 → Pressão no tupo em equilíbrio;I p → Alteração de pressão pela a passagem da onda;
O caminho natural é pelas leis de Newton;Como estamos trabalhando em uma dimensão:
∑F = ma
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 15 / 46
Para relação entre densidade e pressão;Como P = F/A;Essa pressão é dada por P = p + p0, com |p| � p0;
I p0 → Pressão no tupo em equilíbrio;I p → Alteração de pressão pela a passagem da onda;
O caminho natural é pelas leis de Newton;Como estamos trabalhando em uma dimensão:
∑F = ma
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 15 / 46
A
∆x
~F1 ~F2
Considerando novamente a seção ∆x do tubo;
Para a massa contida nessa seção:
m = ρ0∆V = ρ0A∆x
E para as forças:
F1 = P(x , t)A F2 = −P(x + ∆x , t)A
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 16 / 46
A
∆x
~F1 ~F2
Considerando novamente a seção ∆x do tubo;Para a massa contida nessa seção:
m = ρ0∆V = ρ0A∆x
E para as forças:
F1 = P(x , t)A F2 = −P(x + ∆x , t)A
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 16 / 46
A
∆x
~F1 ~F2
Considerando novamente a seção ∆x do tubo;Para a massa contida nessa seção:
m = ρ0∆V = ρ0A∆x
E para as forças:
F1 = P(x , t)A F2 = −P(x + ∆x , t)A
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 16 / 46
A
∆x
~F1 ~F2
Considerando novamente a seção ∆x do tubo;Para a massa contida nessa seção:
m = ρ0∆V = ρ0A∆x
E para as forças:
F1 = P(x , t)A F2 = −P(x + ∆x , t)A
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 16 / 46
A
∆x
~F1 ~F2
Considerando novamente a seção ∆x do tubo;Para a massa contida nessa seção:
m = ρ0∆V = ρ0A∆x
E para as forças:
F1 = P(x , t)A
F2 = −P(x + ∆x , t)A
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 16 / 46
A
∆x
~F1 ~F2
Considerando novamente a seção ∆x do tubo;Para a massa contida nessa seção:
m = ρ0∆V = ρ0A∆x
E para as forças:
F1 = P(x , t)A F2 = −P(x + ∆x , t)A
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 16 / 46
Assim, para a segunda lei de Newton:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 17 / 46
Assim, para a segunda lei de Newton:
∑F = ma =⇒ F1 + F2 = ρ0A∆x ∂
2u(x , t)∂t2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 17 / 46
Assim, para a segunda lei de Newton:
∑F = ma =⇒ F1 + F2 = ρ0A∆x ∂
2u(x , t)∂t2︸ ︷︷ ︸
a
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 17 / 46
Assim, para a segunda lei de Newton:
∑F = ma =⇒ F1 + F2 = ρ0A∆x ∂
2u(x , t)∂t2︸ ︷︷ ︸
a
P(x , t)A− P(x + ∆x , t)A = ρ0A∆x ∂2u(x , t)∂t2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 17 / 46
Assim, para a segunda lei de Newton:
∑F = ma =⇒ F1 + F2 = ρ0A∆x ∂
2u(x , t)∂t2︸ ︷︷ ︸
a
P(x , t)A− P(x + ∆x , t)A = ρ0A∆x ∂2u(x , t)∂t2
P(x , t)− P(x + ∆x , t)∆x = ρ0
∂2u(x , t)∂t2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 17 / 46
Assim, para a segunda lei de Newton:
∑F = ma =⇒ F1 + F2 = ρ0A∆x ∂
2u(x , t)∂t2︸ ︷︷ ︸
a
P(x , t)A− P(x + ∆x , t)A = ρ0A∆x ∂2u(x , t)∂t2
P(x , t)− P(x + ∆x , t)∆x︸ ︷︷ ︸
∆x→0, -derivada
= ρ0∂2u(x , t)∂t2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 17 / 46
Assim, para a segunda lei de Newton:
∑F = ma =⇒ F1 + F2 = ρ0A∆x ∂
2u(x , t)∂t2︸ ︷︷ ︸
a
P(x , t)A− P(x + ∆x , t)A = ρ0A∆x ∂2u(x , t)∂t2
P(x , t)− P(x + ∆x , t)∆x︸ ︷︷ ︸
∆x→0, -derivada
= ρ0∂2u(x , t)∂t2
∴∂P∂x = −ρ0
∂2u(x , t)∂t2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 17 / 46
Mas como p0 é constante em x ;
∂P∂x = ∂p
∂x
Temos:
∴∂p∂x = −ρ0
∂2u(x , t)∂t2
Queremos encontrar a equação de onda;Precisamos de mais um termo;Precisamos encontrar a variação da pressão com a densidade;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 18 / 46
Mas como p0 é constante em x ;
∂P∂x = ∂p
∂x
Temos:
∴∂p∂x = −ρ0
∂2u(x , t)∂t2
Queremos encontrar a equação de onda;Precisamos de mais um termo;Precisamos encontrar a variação da pressão com a densidade;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 18 / 46
Mas como p0 é constante em x ;
∂P∂x = ∂p
∂x
Temos:
∴∂p∂x = −ρ0
∂2u(x , t)∂t2
Queremos encontrar a equação de onda;Precisamos de mais um termo;Precisamos encontrar a variação da pressão com a densidade;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 18 / 46
Mas como p0 é constante em x ;
∂P∂x = ∂p
∂x
Temos:
∴∂p∂x = −ρ0
∂2u(x , t)∂t2
Queremos encontrar a equação de onda;Precisamos de mais um termo;Precisamos encontrar a variação da pressão com a densidade;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 18 / 46
Mas como p0 é constante em x ;
∂P∂x = ∂p
∂x
Temos:
∴∂p∂x = −ρ0
∂2u(x , t)∂t2
Queremos encontrar a equação de onda;
Precisamos de mais um termo;Precisamos encontrar a variação da pressão com a densidade;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 18 / 46
Mas como p0 é constante em x ;
∂P∂x = ∂p
∂x
Temos:
∴∂p∂x = −ρ0
∂2u(x , t)∂t2
Queremos encontrar a equação de onda;Precisamos de mais um termo;
Precisamos encontrar a variação da pressão com a densidade;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 18 / 46
Mas como p0 é constante em x ;
∂P∂x = ∂p
∂x
Temos:
∴∂p∂x = −ρ0
∂2u(x , t)∂t2
Queremos encontrar a equação de onda;Precisamos de mais um termo;Precisamos encontrar a variação da pressão com a densidade;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 18 / 46
Expandindo a pressão em série de Taylor:
P(ρ1)− P(ρ0) = (ρ1 − ρ0)∂P∂ρ
Ou seja:
δP = p =(∂P∂ρ
)0δρ
Agora temos todos os termos necessários para fechar o ciclo dedeslocamento da onda;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 19 / 46
Expandindo a pressão em série de Taylor:
P(ρ1)− P(ρ0) = (ρ1 − ρ0)∂P∂ρ
Ou seja:
δP = p =(∂P∂ρ
)0δρ
Agora temos todos os termos necessários para fechar o ciclo dedeslocamento da onda;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 19 / 46
Expandindo a pressão em série de Taylor:
P(ρ1)− P(ρ0) = (ρ1 − ρ0)∂P∂ρ
Ou seja:
δP = p =(∂P∂ρ
)0δρ
Agora temos todos os termos necessários para fechar o ciclo dedeslocamento da onda;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 19 / 46
Expandindo a pressão em série de Taylor:
P(ρ1)− P(ρ0) = (ρ1 − ρ0)∂P∂ρ
Ou seja:
δP = p =(∂P∂ρ
)0δρ
Agora temos todos os termos necessários para fechar o ciclo dedeslocamento da onda;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 19 / 46
Expandindo a pressão em série de Taylor:
P(ρ1)− P(ρ0) = (ρ1 − ρ0)∂P∂ρ
Ou seja:
δP = p =(∂P∂ρ
)0δρ
Agora temos todos os termos necessários para fechar o ciclo dedeslocamento da onda;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 19 / 46
Um deslocamento no fluido produz uma variação de densidade:
δρ = −ρ0∂u∂x
Essa variação de densidade causa uma variação de pressão:
p =(∂P∂ρ
)0δρ = −ρ0
(∂P∂ρ
)0
∂u∂x
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 20 / 46
Um deslocamento no fluido produz uma variação de densidade:
δρ = −ρ0∂u∂x
Essa variação de densidade causa uma variação de pressão:
p =(∂P∂ρ
)0δρ = −ρ0
(∂P∂ρ
)0
∂u∂x
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 20 / 46
Um deslocamento no fluido produz uma variação de densidade:
δρ = −ρ0∂u∂x
Essa variação de densidade causa uma variação de pressão:
p =(∂P∂ρ
)0δρ = −ρ0
(∂P∂ρ
)0
∂u∂x
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 20 / 46
Um deslocamento no fluido produz uma variação de densidade:
δρ = −ρ0∂u∂x
Essa variação de densidade causa uma variação de pressão:
p =(∂P∂ρ
)0δρ = −ρ0
(∂P∂ρ
)0
∂u∂x
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 20 / 46
E finalmente podemos calcular a equação de movimento da 2a Lei deNewton:
∂p∂x = −ρ0
∂2u(x , t)∂t2 com p = −ρ0
(∂P∂ρ
)0
∂u∂x
Assim temos:
∂2u(x , t)∂t2 =
(∂P∂ρ
)0
∂2u∂x2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 21 / 46
E finalmente podemos calcular a equação de movimento da 2a Lei deNewton:
∂p∂x = −ρ0
∂2u(x , t)∂t2
com p = −ρ0
(∂P∂ρ
)0
∂u∂x
Assim temos:
∂2u(x , t)∂t2 =
(∂P∂ρ
)0
∂2u∂x2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 21 / 46
E finalmente podemos calcular a equação de movimento da 2a Lei deNewton:
∂p∂x = −ρ0
∂2u(x , t)∂t2 com p = −ρ0
(∂P∂ρ
)0
∂u∂x
Assim temos:
∂2u(x , t)∂t2 =
(∂P∂ρ
)0
∂2u∂x2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 21 / 46
E finalmente podemos calcular a equação de movimento da 2a Lei deNewton:
∂p∂x = −ρ0
∂2u(x , t)∂t2 com p = −ρ0
(∂P∂ρ
)0
∂u∂x
Assim temos:
∂2u(x , t)∂t2 =
(∂P∂ρ
)0
∂2u∂x2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 21 / 46
E finalmente podemos calcular a equação de movimento da 2a Lei deNewton:
∂p∂x = −ρ0
∂2u(x , t)∂t2 com p = −ρ0
(∂P∂ρ
)0
∂u∂x
Assim temos:
∂2u(x , t)∂t2 =
(∂P∂ρ
)0
∂2u∂x2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 21 / 46
Podemos reconhecer essa última expressão como:
1v2∂2u(x , t)∂t2 = ∂2u
∂x2 com v =√(
∂P∂ρ
)0
Que é a equação de onda para o deslocamento horizontal do meio emquestão.É possível provar que p e δρ também obedecem equações de onda;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 22 / 46
Podemos reconhecer essa última expressão como:
1v2∂2u(x , t)∂t2 = ∂2u
∂x2
com v =√(
∂P∂ρ
)0
Que é a equação de onda para o deslocamento horizontal do meio emquestão.É possível provar que p e δρ também obedecem equações de onda;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 22 / 46
Podemos reconhecer essa última expressão como:
1v2∂2u(x , t)∂t2 = ∂2u
∂x2 com v =√(
∂P∂ρ
)0
Que é a equação de onda para o deslocamento horizontal do meio emquestão.É possível provar que p e δρ também obedecem equações de onda;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 22 / 46
Podemos reconhecer essa última expressão como:
1v2∂2u(x , t)∂t2 = ∂2u
∂x2 com v =√(
∂P∂ρ
)0
Que é a equação de onda para o deslocamento horizontal do meio emquestão.
É possível provar que p e δρ também obedecem equações de onda;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 22 / 46
Podemos reconhecer essa última expressão como:
1v2∂2u(x , t)∂t2 = ∂2u
∂x2 com v =√(
∂P∂ρ
)0
Que é a equação de onda para o deslocamento horizontal do meio emquestão.É possível provar que p e δρ também obedecem equações de onda;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 22 / 46
1 Ondas Sonoras
2 Relação entre Densidade e Deslocamento
3 Relação entre Pressão e Deslocamento
4 Velocidade do Som
5 Efeito Doppler
6 Ondas em Mais de Uma Dimensão
7 Cone de Mach
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 23 / 46
Precisamos saber que o processo é adiabático;
A compressão e expansão é muito rápido;Não há tempo da temperatura se uniformizar;Não existe troca de calor;Para esse tipo de processo:
P = bργ , γ = CpCV
CV → Calor específico do gás a volume constante;Cp → Calor específico do gás a pressão constante;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 24 / 46
Precisamos saber que o processo é adiabático;A compressão e expansão é muito rápido;
Não há tempo da temperatura se uniformizar;Não existe troca de calor;Para esse tipo de processo:
P = bργ , γ = CpCV
CV → Calor específico do gás a volume constante;Cp → Calor específico do gás a pressão constante;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 24 / 46
Precisamos saber que o processo é adiabático;A compressão e expansão é muito rápido;Não há tempo da temperatura se uniformizar;
Não existe troca de calor;Para esse tipo de processo:
P = bργ , γ = CpCV
CV → Calor específico do gás a volume constante;Cp → Calor específico do gás a pressão constante;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 24 / 46
Precisamos saber que o processo é adiabático;A compressão e expansão é muito rápido;Não há tempo da temperatura se uniformizar;Não existe troca de calor;
Para esse tipo de processo:
P = bργ , γ = CpCV
CV → Calor específico do gás a volume constante;Cp → Calor específico do gás a pressão constante;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 24 / 46
Precisamos saber que o processo é adiabático;A compressão e expansão é muito rápido;Não há tempo da temperatura se uniformizar;Não existe troca de calor;Para esse tipo de processo:
P = bργ , γ = CpCV
CV → Calor específico do gás a volume constante;Cp → Calor específico do gás a pressão constante;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 24 / 46
Precisamos saber que o processo é adiabático;A compressão e expansão é muito rápido;Não há tempo da temperatura se uniformizar;Não existe troca de calor;Para esse tipo de processo:
P = bργ
, γ = CpCV
CV → Calor específico do gás a volume constante;Cp → Calor específico do gás a pressão constante;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 24 / 46
Precisamos saber que o processo é adiabático;A compressão e expansão é muito rápido;Não há tempo da temperatura se uniformizar;Não existe troca de calor;Para esse tipo de processo:
P = bργ , γ = CpCV
CV → Calor específico do gás a volume constante;Cp → Calor específico do gás a pressão constante;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 24 / 46
Precisamos saber que o processo é adiabático;A compressão e expansão é muito rápido;Não há tempo da temperatura se uniformizar;Não existe troca de calor;Para esse tipo de processo:
P = bργ , γ = CpCV
CV → Calor específico do gás a volume constante;
Cp → Calor específico do gás a pressão constante;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 24 / 46
Precisamos saber que o processo é adiabático;A compressão e expansão é muito rápido;Não há tempo da temperatura se uniformizar;Não existe troca de calor;Para esse tipo de processo:
P = bργ , γ = CpCV
CV → Calor específico do gás a volume constante;Cp → Calor específico do gás a pressão constante;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 24 / 46
Assim temos:
P = bργ =⇒ ∂P∂ρ
= γbργ−1 = γPρ
Se o meio for um gás, e aproximando por um gás ideal:
PV = NkBT =⇒ P = NkBTV = ρ
kBTmp
Assim, para a velocidade temos:
v =√∂P∂ρ0
=√γ
Pρ0
=√γ
kBTmp
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 25 / 46
Assim temos:
P = bργ =⇒ ∂P∂ρ
= γbργ−1 = γPρ
Se o meio for um gás, e aproximando por um gás ideal:
PV = NkBT =⇒ P = NkBTV = ρ
kBTmp
Assim, para a velocidade temos:
v =√∂P∂ρ0
=√γ
Pρ0
=√γ
kBTmp
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 25 / 46
Assim temos:
P = bργ =⇒ ∂P∂ρ
= γbργ−1
= γPρ
Se o meio for um gás, e aproximando por um gás ideal:
PV = NkBT =⇒ P = NkBTV = ρ
kBTmp
Assim, para a velocidade temos:
v =√∂P∂ρ0
=√γ
Pρ0
=√γ
kBTmp
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 25 / 46
Assim temos:
P = bργ =⇒ ∂P∂ρ
= γbργ−1 = γPρ
Se o meio for um gás, e aproximando por um gás ideal:
PV = NkBT =⇒ P = NkBTV = ρ
kBTmp
Assim, para a velocidade temos:
v =√∂P∂ρ0
=√γ
Pρ0
=√γ
kBTmp
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 25 / 46
Assim temos:
P = bργ =⇒ ∂P∂ρ
= γbργ−1 = γPρ
Se o meio for um gás, e aproximando por um gás ideal:
PV = NkBT =⇒ P = NkBTV = ρ
kBTmp
Assim, para a velocidade temos:
v =√∂P∂ρ0
=√γ
Pρ0
=√γ
kBTmp
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 25 / 46
Assim temos:
P = bργ =⇒ ∂P∂ρ
= γbργ−1 = γPρ
Se o meio for um gás, e aproximando por um gás ideal:
PV = NkBT
=⇒ P = NkBTV = ρ
kBTmp
Assim, para a velocidade temos:
v =√∂P∂ρ0
=√γ
Pρ0
=√γ
kBTmp
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 25 / 46
Assim temos:
P = bργ =⇒ ∂P∂ρ
= γbργ−1 = γPρ
Se o meio for um gás, e aproximando por um gás ideal:
PV = NkBT =⇒ P = NkBTV
= ρkBTmp
Assim, para a velocidade temos:
v =√∂P∂ρ0
=√γ
Pρ0
=√γ
kBTmp
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 25 / 46
Assim temos:
P = bργ =⇒ ∂P∂ρ
= γbργ−1 = γPρ
Se o meio for um gás, e aproximando por um gás ideal:
PV = NkBT =⇒ P = NkBTV = ρ
kBTmp
Assim, para a velocidade temos:
v =√∂P∂ρ0
=√γ
Pρ0
=√γ
kBTmp
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 25 / 46
Assim temos:
P = bργ =⇒ ∂P∂ρ
= γbργ−1 = γPρ
Se o meio for um gás, e aproximando por um gás ideal:
PV = NkBT =⇒ P = NkBTV = ρ
kBTmp
Assim, para a velocidade temos:
v =√∂P∂ρ0
=√γ
Pρ0
=√γ
kBTmp
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 25 / 46
Assim temos:
P = bργ =⇒ ∂P∂ρ
= γbργ−1 = γPρ
Se o meio for um gás, e aproximando por um gás ideal:
PV = NkBT =⇒ P = NkBTV = ρ
kBTmp
Assim, para a velocidade temos:
v =√∂P∂ρ0
=√γ
Pρ0
=√γ
kBTmp
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 25 / 46
Assim temos:
P = bργ =⇒ ∂P∂ρ
= γbργ−1 = γPρ
Se o meio for um gás, e aproximando por um gás ideal:
PV = NkBT =⇒ P = NkBTV = ρ
kBTmp
Assim, para a velocidade temos:
v =√∂P∂ρ0
=√γ
Pρ0
=√γ
kBTmp
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 25 / 46
Assim temos:
P = bργ =⇒ ∂P∂ρ
= γbργ−1 = γPρ
Se o meio for um gás, e aproximando por um gás ideal:
PV = NkBT =⇒ P = NkBTV = ρ
kBTmp
Assim, para a velocidade temos:
v =√∂P∂ρ0
=√γ
Pρ0
=√γ
kBTmp
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 25 / 46
Utilizando:
v =√γ
Pρ0
Para o ar a T=273 K:
I P = 1atm = 1, 013× 105N/m2
I ρ0 = 1, 293kg/m3;I γ = 1, 4
v ≈ 332m/s
Realmente muito próximo do valor experimental.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 26 / 46
Utilizando:
v =√γ
Pρ0
Para o ar a T=273 K:
I P = 1atm = 1, 013× 105N/m2
I ρ0 = 1, 293kg/m3;I γ = 1, 4
v ≈ 332m/s
Realmente muito próximo do valor experimental.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 26 / 46
Utilizando:
v =√γ
Pρ0
Para o ar a T=273 K:
I P = 1atm = 1, 013× 105N/m2
I ρ0 = 1, 293kg/m3;I γ = 1, 4
v ≈ 332m/s
Realmente muito próximo do valor experimental.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 26 / 46
Utilizando:
v =√γ
Pρ0
Para o ar a T=273 K:I P = 1atm = 1, 013× 105N/m2
I ρ0 = 1, 293kg/m3;I γ = 1, 4
v ≈ 332m/s
Realmente muito próximo do valor experimental.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 26 / 46
Utilizando:
v =√γ
Pρ0
Para o ar a T=273 K:I P = 1atm = 1, 013× 105N/m2
I ρ0 = 1, 293kg/m3;
I γ = 1, 4
v ≈ 332m/s
Realmente muito próximo do valor experimental.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 26 / 46
Utilizando:
v =√γ
Pρ0
Para o ar a T=273 K:I P = 1atm = 1, 013× 105N/m2
I ρ0 = 1, 293kg/m3;I γ = 1, 4
v ≈ 332m/s
Realmente muito próximo do valor experimental.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 26 / 46
Utilizando:
v =√γ
Pρ0
Para o ar a T=273 K:I P = 1atm = 1, 013× 105N/m2
I ρ0 = 1, 293kg/m3;I γ = 1, 4
v ≈ 332m/s
Realmente muito próximo do valor experimental.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 26 / 46
Utilizando:
v =√γ
Pρ0
Para o ar a T=273 K:I P = 1atm = 1, 013× 105N/m2
I ρ0 = 1, 293kg/m3;I γ = 1, 4
v ≈ 332m/s
Realmente muito próximo do valor experimental.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 26 / 46
Para o caso de líquidos;
É comum utilizar o coeficiente de compressibilidade:
B = ρ
(∂P∂ρ
)0
Assim:
v =√
B0ρ0
Para a água: B = 2, 2× 109N/m2 e ρ0 = 103kg/m3:
v ≈ 1.483m/s
Também muito próximo do valor experimental.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 27 / 46
Para o caso de líquidos;É comum utilizar o coeficiente de compressibilidade:
B = ρ
(∂P∂ρ
)0
Assim:
v =√
B0ρ0
Para a água: B = 2, 2× 109N/m2 e ρ0 = 103kg/m3:
v ≈ 1.483m/s
Também muito próximo do valor experimental.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 27 / 46
Para o caso de líquidos;É comum utilizar o coeficiente de compressibilidade:
B = ρ
(∂P∂ρ
)0
Assim:
v =√
B0ρ0
Para a água: B = 2, 2× 109N/m2 e ρ0 = 103kg/m3:
v ≈ 1.483m/s
Também muito próximo do valor experimental.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 27 / 46
Para o caso de líquidos;É comum utilizar o coeficiente de compressibilidade:
B = ρ
(∂P∂ρ
)0
Assim:
v =√
B0ρ0
Para a água: B = 2, 2× 109N/m2 e ρ0 = 103kg/m3:
v ≈ 1.483m/s
Também muito próximo do valor experimental.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 27 / 46
Para o caso de líquidos;É comum utilizar o coeficiente de compressibilidade:
B = ρ
(∂P∂ρ
)0
Assim:
v =√
B0ρ0
Para a água: B = 2, 2× 109N/m2 e ρ0 = 103kg/m3:
v ≈ 1.483m/s
Também muito próximo do valor experimental.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 27 / 46
Para o caso de líquidos;É comum utilizar o coeficiente de compressibilidade:
B = ρ
(∂P∂ρ
)0
Assim:
v =√
B0ρ0
Para a água: B = 2, 2× 109N/m2 e ρ0 = 103kg/m3:
v ≈ 1.483m/s
Também muito próximo do valor experimental.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 27 / 46
Para o caso de líquidos;É comum utilizar o coeficiente de compressibilidade:
B = ρ
(∂P∂ρ
)0
Assim:
v =√
B0ρ0
Para a água: B = 2, 2× 109N/m2 e ρ0 = 103kg/m3:
v ≈ 1.483m/s
Também muito próximo do valor experimental.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 27 / 46
Para o caso de líquidos;É comum utilizar o coeficiente de compressibilidade:
B = ρ
(∂P∂ρ
)0
Assim:
v =√
B0ρ0
Para a água: B = 2, 2× 109N/m2 e ρ0 = 103kg/m3:
v ≈ 1.483m/s
Também muito próximo do valor experimental.Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 27 / 46
1 Ondas Sonoras
2 Relação entre Densidade e Deslocamento
3 Relação entre Pressão e Deslocamento
4 Velocidade do Som
5 Efeito Doppler
6 Ondas em Mais de Uma Dimensão
7 Cone de Mach
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 28 / 46
Imagine uma fonte de ondas (s) em um lago;
Você está em um barco inicialmente parado em A;Você se move em direção à fonte;Frequência da onda aumenta;Você se move se afastando da fonte;Frequência da onda diminui;Essa variação ocorre devido a diferença de velocidade relativa entre afonte e o receptor.
s A~v0 ~v0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 29 / 46
Imagine uma fonte de ondas (s) em um lago;Você está em um barco inicialmente parado em A;
Você se move em direção à fonte;Frequência da onda aumenta;Você se move se afastando da fonte;Frequência da onda diminui;Essa variação ocorre devido a diferença de velocidade relativa entre afonte e o receptor.
s A~v0 ~v0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 29 / 46
Imagine uma fonte de ondas (s) em um lago;Você está em um barco inicialmente parado em A;Você se move em direção à fonte;
Frequência da onda aumenta;Você se move se afastando da fonte;Frequência da onda diminui;Essa variação ocorre devido a diferença de velocidade relativa entre afonte e o receptor.
s A~v0 ~v0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 29 / 46
Imagine uma fonte de ondas (s) em um lago;Você está em um barco inicialmente parado em A;Você se move em direção à fonte;Frequência da onda aumenta;
Você se move se afastando da fonte;Frequência da onda diminui;Essa variação ocorre devido a diferença de velocidade relativa entre afonte e o receptor.
s A~v0 ~v0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 29 / 46
Imagine uma fonte de ondas (s) em um lago;Você está em um barco inicialmente parado em A;Você se move em direção à fonte;Frequência da onda aumenta;Você se move se afastando da fonte;
Frequência da onda diminui;Essa variação ocorre devido a diferença de velocidade relativa entre afonte e o receptor.
s A~v0 ~v0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 29 / 46
Imagine uma fonte de ondas (s) em um lago;Você está em um barco inicialmente parado em A;Você se move em direção à fonte;Frequência da onda aumenta;Você se move se afastando da fonte;Frequência da onda diminui;
Essa variação ocorre devido a diferença de velocidade relativa entre afonte e o receptor.
s A~v0 ~v0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 29 / 46
Imagine uma fonte de ondas (s) em um lago;Você está em um barco inicialmente parado em A;Você se move em direção à fonte;Frequência da onda aumenta;Você se move se afastando da fonte;Frequência da onda diminui;Essa variação ocorre devido a diferença de velocidade relativa entre afonte e o receptor.
s A~v0 ~v0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 29 / 46
Quando o barco vai em direção a fonte;
A velocidade relativa entre o barco e as ondas é maior que avelocidade da onda;Quando o barco se afasta da fonte;A velocidade relativa entre o barco e as ondas é menor que avelocidade da onda;Isso vale para qualquer tipo de onda;Seja na água, sonora ou eletromagnética (corr. relat.).
s A~v0
~v
~v0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 30 / 46
Quando o barco vai em direção a fonte;A velocidade relativa entre o barco e as ondas é maior que avelocidade da onda;
Quando o barco se afasta da fonte;A velocidade relativa entre o barco e as ondas é menor que avelocidade da onda;Isso vale para qualquer tipo de onda;Seja na água, sonora ou eletromagnética (corr. relat.).
s A~v0
~v
~v0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 30 / 46
Quando o barco vai em direção a fonte;A velocidade relativa entre o barco e as ondas é maior que avelocidade da onda;Quando o barco se afasta da fonte;
A velocidade relativa entre o barco e as ondas é menor que avelocidade da onda;Isso vale para qualquer tipo de onda;Seja na água, sonora ou eletromagnética (corr. relat.).
s A~v0
~v
~v0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 30 / 46
Quando o barco vai em direção a fonte;A velocidade relativa entre o barco e as ondas é maior que avelocidade da onda;Quando o barco se afasta da fonte;A velocidade relativa entre o barco e as ondas é menor que avelocidade da onda;
Isso vale para qualquer tipo de onda;Seja na água, sonora ou eletromagnética (corr. relat.).
s A~v0
~v
~v0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 30 / 46
Quando o barco vai em direção a fonte;A velocidade relativa entre o barco e as ondas é maior que avelocidade da onda;Quando o barco se afasta da fonte;A velocidade relativa entre o barco e as ondas é menor que avelocidade da onda;Isso vale para qualquer tipo de onda;
Seja na água, sonora ou eletromagnética (corr. relat.).
s A~v0
~v
~v0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 30 / 46
Quando o barco vai em direção a fonte;A velocidade relativa entre o barco e as ondas é maior que avelocidade da onda;Quando o barco se afasta da fonte;A velocidade relativa entre o barco e as ondas é menor que avelocidade da onda;Isso vale para qualquer tipo de onda;Seja na água, sonora ou eletromagnética (corr. relat.).
s A~v0
~v
~v0
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 30 / 46
Sendo v a velocidade da onda;
A velocidade da onda relativa ao observador:
v ′ = v + v0
O comprimento de onda não se altera;Utilizando v = λν:
ν ′ = v ′λ
= v + v0λ
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 31 / 46
Sendo v a velocidade da onda;A velocidade da onda relativa ao observador:
v ′ = v + v0
O comprimento de onda não se altera;Utilizando v = λν:
ν ′ = v ′λ
= v + v0λ
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 31 / 46
Sendo v a velocidade da onda;A velocidade da onda relativa ao observador:
v ′ = v + v0
O comprimento de onda não se altera;Utilizando v = λν:
ν ′ = v ′λ
= v + v0λ
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 31 / 46
Sendo v a velocidade da onda;A velocidade da onda relativa ao observador:
v ′ = v + v0
O comprimento de onda não se altera;
Utilizando v = λν:
ν ′ = v ′λ
= v + v0λ
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 31 / 46
Sendo v a velocidade da onda;A velocidade da onda relativa ao observador:
v ′ = v + v0
O comprimento de onda não se altera;Utilizando v = λν:
ν ′ = v ′λ
= v + v0λ
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 31 / 46
Sendo v a velocidade da onda;A velocidade da onda relativa ao observador:
v ′ = v + v0
O comprimento de onda não se altera;Utilizando v = λν:
ν ′ = v ′λ
= v + v0λ
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 31 / 46
Como λ = v/ν;
ν ′ = v ′λ
=(1 + v0
v
)ν
Se o observador estiver se movendo para longe da fonte:
ν ′ = v ′λ
=(1− v0
v
)ν
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 32 / 46
Como λ = v/ν;
ν ′ = v ′λ
=(1 + v0
v
)ν
Se o observador estiver se movendo para longe da fonte:
ν ′ = v ′λ
=(1− v0
v
)ν
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 32 / 46
Como λ = v/ν;
ν ′ = v ′λ
=(1 + v0
v
)ν
Se o observador estiver se movendo para longe da fonte:
ν ′ = v ′λ
=(1− v0
v
)ν
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 32 / 46
Como λ = v/ν;
ν ′ = v ′λ
=(1 + v0
v
)ν
Se o observador estiver se movendo para longe da fonte:
ν ′ = v ′λ
=(1− v0
v
)ν
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 32 / 46
De forma geral:
ν ′ = v ′λ
=(1± v0
v
)ν
Agora considerando a fonte em movimento:Se a fonte se mover na direção do objeto:
I O comprimento de onda medido pelo observador diminui;I Cada vibração que dura T , a fonte de desloca vsT = vs/ν;I O comprimento de onda é diminuído por essa quantidade;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 33 / 46
De forma geral:
ν ′ = v ′λ
=(1± v0
v
)ν
Agora considerando a fonte em movimento:Se a fonte se mover na direção do objeto:
I O comprimento de onda medido pelo observador diminui;I Cada vibração que dura T , a fonte de desloca vsT = vs/ν;I O comprimento de onda é diminuído por essa quantidade;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 33 / 46
De forma geral:
ν ′ = v ′λ
=(1± v0
v
)ν
Agora considerando a fonte em movimento:
Se a fonte se mover na direção do objeto:
I O comprimento de onda medido pelo observador diminui;I Cada vibração que dura T , a fonte de desloca vsT = vs/ν;I O comprimento de onda é diminuído por essa quantidade;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 33 / 46
De forma geral:
ν ′ = v ′λ
=(1± v0
v
)ν
Agora considerando a fonte em movimento:Se a fonte se mover na direção do objeto:
I O comprimento de onda medido pelo observador diminui;I Cada vibração que dura T , a fonte de desloca vsT = vs/ν;I O comprimento de onda é diminuído por essa quantidade;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 33 / 46
De forma geral:
ν ′ = v ′λ
=(1± v0
v
)ν
Agora considerando a fonte em movimento:Se a fonte se mover na direção do objeto:
I O comprimento de onda medido pelo observador diminui;
I Cada vibração que dura T , a fonte de desloca vsT = vs/ν;I O comprimento de onda é diminuído por essa quantidade;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 33 / 46
De forma geral:
ν ′ = v ′λ
=(1± v0
v
)ν
Agora considerando a fonte em movimento:Se a fonte se mover na direção do objeto:
I O comprimento de onda medido pelo observador diminui;I Cada vibração que dura T , a fonte de desloca vsT = vs/ν;
I O comprimento de onda é diminuído por essa quantidade;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 33 / 46
De forma geral:
ν ′ = v ′λ
=(1± v0
v
)ν
Agora considerando a fonte em movimento:Se a fonte se mover na direção do objeto:
I O comprimento de onda medido pelo observador diminui;I Cada vibração que dura T , a fonte de desloca vsT = vs/ν;I O comprimento de onda é diminuído por essa quantidade;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 33 / 46
O comprimento de onda observado fica:
λ′ = λ−∆λ = λ− vsν
Como λ = v/ν, a frequência observada fica:
ν ′ = vλ′
= vλ− vs
ν
ν ′ = vvν −
vsν
=(
11− vs
v
)ν
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 34 / 46
O comprimento de onda observado fica:
λ′ = λ−∆λ = λ− vsν
Como λ = v/ν, a frequência observada fica:
ν ′ = vλ′
= vλ− vs
ν
ν ′ = vvν −
vsν
=(
11− vs
v
)ν
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 34 / 46
O comprimento de onda observado fica:
λ′ = λ−∆λ = λ− vsν
Como λ = v/ν, a frequência observada fica:
ν ′ = vλ′
= vλ− vs
ν
ν ′ = vvν −
vsν
=(
11− vs
v
)ν
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 34 / 46
O comprimento de onda observado fica:
λ′ = λ−∆λ = λ− vsν
Como λ = v/ν, a frequência observada fica:
ν ′ = vλ′
= vλ− vs
ν
ν ′ = vvν −
vsν
=(
11− vs
v
)ν
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 34 / 46
O comprimento de onda observado fica:
λ′ = λ−∆λ = λ− vsν
Como λ = v/ν, a frequência observada fica:
ν ′ = vλ′
= vλ− vs
ν
ν ′ = vvν −
vsν
=(
11− vs
v
)ν
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 34 / 46
De forma análoga, quando a fonte se afasta do observador:
ν ′ =(
11 + vs
v
)ν
E de forma geral:
ν ′ =(
11∓ vs
v
)ν
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 35 / 46
De forma análoga, quando a fonte se afasta do observador:
ν ′ =(
11 + vs
v
)ν
E de forma geral:
ν ′ =(
11∓ vs
v
)ν
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 35 / 46
De forma análoga, quando a fonte se afasta do observador:
ν ′ =(
11 + vs
v
)ν
E de forma geral:
ν ′ =(
11∓ vs
v
)ν
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 35 / 46
De forma análoga, quando a fonte se afasta do observador:
ν ′ =(
11 + vs
v
)ν
E de forma geral:
ν ′ =(
11∓ vs
v
)ν
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 35 / 46
E se ambos estiverem em movimento (fonte e alvo)?
ν ′ =(v ± v0
v ∓ vs
)ν
Os sinais de cima (+v0 e −vs) → fonte e o observador seaproximando;Os sinais de baixo (−v0 e +vs) → fonte e o observador se afastando;
Regra geral:
I Se aproximando → Aumenta a frequência;I Se afastando → Diminui a frequência;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 36 / 46
E se ambos estiverem em movimento (fonte e alvo)?
ν ′ =(v ± v0
v ∓ vs
)ν
Os sinais de cima (+v0 e −vs) → fonte e o observador seaproximando;Os sinais de baixo (−v0 e +vs) → fonte e o observador se afastando;
Regra geral:
I Se aproximando → Aumenta a frequência;I Se afastando → Diminui a frequência;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 36 / 46
E se ambos estiverem em movimento (fonte e alvo)?
ν ′ =(v ± v0
v ∓ vs
)ν
Os sinais de cima (+v0 e −vs) → fonte e o observador seaproximando;
Os sinais de baixo (−v0 e +vs) → fonte e o observador se afastando;
Regra geral:
I Se aproximando → Aumenta a frequência;I Se afastando → Diminui a frequência;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 36 / 46
E se ambos estiverem em movimento (fonte e alvo)?
ν ′ =(v ± v0
v ∓ vs
)ν
Os sinais de cima (+v0 e −vs) → fonte e o observador seaproximando;Os sinais de baixo (−v0 e +vs) → fonte e o observador se afastando;
Regra geral:
I Se aproximando → Aumenta a frequência;I Se afastando → Diminui a frequência;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 36 / 46
E se ambos estiverem em movimento (fonte e alvo)?
ν ′ =(v ± v0
v ∓ vs
)ν
Os sinais de cima (+v0 e −vs) → fonte e o observador seaproximando;Os sinais de baixo (−v0 e +vs) → fonte e o observador se afastando;
Regra geral:
I Se aproximando → Aumenta a frequência;I Se afastando → Diminui a frequência;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 36 / 46
E se ambos estiverem em movimento (fonte e alvo)?
ν ′ =(v ± v0
v ∓ vs
)ν
Os sinais de cima (+v0 e −vs) → fonte e o observador seaproximando;Os sinais de baixo (−v0 e +vs) → fonte e o observador se afastando;
Regra geral:I Se aproximando → Aumenta a frequência;
I Se afastando → Diminui a frequência;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 36 / 46
E se ambos estiverem em movimento (fonte e alvo)?
ν ′ =(v ± v0
v ∓ vs
)ν
Os sinais de cima (+v0 e −vs) → fonte e o observador seaproximando;Os sinais de baixo (−v0 e +vs) → fonte e o observador se afastando;
Regra geral:I Se aproximando → Aumenta a frequência;I Se afastando → Diminui a frequência;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 36 / 46
1 Ondas Sonoras
2 Relação entre Densidade e Deslocamento
3 Relação entre Pressão e Deslocamento
4 Velocidade do Som
5 Efeito Doppler
6 Ondas em Mais de Uma Dimensão
7 Cone de Mach
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 37 / 46
Até agora estudamos ondas em uma dimensão;
O que muda para ondas em três dimensões?Primeiro precisamos definir uma propriedade dessas ondas;
Frente de OndaLugar geométrico dos pontos de fase constante em um determinadoinstante.
s Frente de Ondakx − ωt = cte
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 38 / 46
Até agora estudamos ondas em uma dimensão;O que muda para ondas em três dimensões?
Primeiro precisamos definir uma propriedade dessas ondas;
Frente de OndaLugar geométrico dos pontos de fase constante em um determinadoinstante.
s Frente de Ondakx − ωt = cte
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 38 / 46
Até agora estudamos ondas em uma dimensão;O que muda para ondas em três dimensões?Primeiro precisamos definir uma propriedade dessas ondas;
Frente de OndaLugar geométrico dos pontos de fase constante em um determinadoinstante.
s Frente de Ondakx − ωt = cte
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 38 / 46
Até agora estudamos ondas em uma dimensão;O que muda para ondas em três dimensões?Primeiro precisamos definir uma propriedade dessas ondas;
Frente de OndaLugar geométrico dos pontos de fase constante em um determinadoinstante.
s Frente de Ondakx − ωt = cte
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 38 / 46
Até agora estudamos ondas em uma dimensão;O que muda para ondas em três dimensões?Primeiro precisamos definir uma propriedade dessas ondas;
Frente de OndaLugar geométrico dos pontos de fase constante em um determinadoinstante.
s Frente de Ondakx − ωt = cte
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 38 / 46
Até agora estudamos ondas em uma dimensão;O que muda para ondas em três dimensões?Primeiro precisamos definir uma propriedade dessas ondas;
Frente de OndaLugar geométrico dos pontos de fase constante em um determinadoinstante.
s Frente de Ondakx − ωt = cte
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 38 / 46
Até agora estudamos ondas em uma dimensão;O que muda para ondas em três dimensões?Primeiro precisamos definir uma propriedade dessas ondas;
Frente de OndaLugar geométrico dos pontos de fase constante em um determinadoinstante.
s Frente de Ondakx − ωt = cte
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 38 / 46
Até agora estudamos ondas em uma dimensão;O que muda para ondas em três dimensões?Primeiro precisamos definir uma propriedade dessas ondas;
Frente de OndaLugar geométrico dos pontos de fase constante em um determinadoinstante.
s Frente de Ondakx − ωt = cte
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 38 / 46
Até agora estudamos ondas em uma dimensão;O que muda para ondas em três dimensões?Primeiro precisamos definir uma propriedade dessas ondas;
Frente de OndaLugar geométrico dos pontos de fase constante em um determinadoinstante.
s Frente de Ondakx − ωt = cte
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 38 / 46
Até agora estudamos ondas em uma dimensão;O que muda para ondas em três dimensões?Primeiro precisamos definir uma propriedade dessas ondas;
Frente de OndaLugar geométrico dos pontos de fase constante em um determinadoinstante.
s Frente de Ondakx − ωt = cte
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 38 / 46
Precisamos escrever a equação de onda em 3D;
Em coordenadas cartesianas por ex:
∂2ϕ
∂x2 = 1v2∂
2ϕ∂t2 =⇒ ∂2ϕ
∂x2 + ∂2ϕ
∂y2 + ∂2ϕ
∂z2 = 1v2∂
2ϕ∂t2
A função que descreve a onda também precisa ser reescrita:
ϕ(x , t) =⇒ ϕ(~r , t)
Por ex:
ϕ(x , t) = A cos(kx − ωt + δ) =⇒ ϕ(~r , t) = A cos(~k ·~r − ωt + δ
)
ϕ(~r , t)→ Escalar.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 39 / 46
Precisamos escrever a equação de onda em 3D;Em coordenadas cartesianas por ex:
∂2ϕ
∂x2 = 1v2∂
2ϕ∂t2 =⇒ ∂2ϕ
∂x2 + ∂2ϕ
∂y2 + ∂2ϕ
∂z2 = 1v2∂
2ϕ∂t2
A função que descreve a onda também precisa ser reescrita:
ϕ(x , t) =⇒ ϕ(~r , t)
Por ex:
ϕ(x , t) = A cos(kx − ωt + δ) =⇒ ϕ(~r , t) = A cos(~k ·~r − ωt + δ
)
ϕ(~r , t)→ Escalar.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 39 / 46
Precisamos escrever a equação de onda em 3D;Em coordenadas cartesianas por ex:
∂2ϕ
∂x2 = 1v2∂
2ϕ∂t2
=⇒ ∂2ϕ
∂x2 + ∂2ϕ
∂y2 + ∂2ϕ
∂z2 = 1v2∂
2ϕ∂t2
A função que descreve a onda também precisa ser reescrita:
ϕ(x , t) =⇒ ϕ(~r , t)
Por ex:
ϕ(x , t) = A cos(kx − ωt + δ) =⇒ ϕ(~r , t) = A cos(~k ·~r − ωt + δ
)
ϕ(~r , t)→ Escalar.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 39 / 46
Precisamos escrever a equação de onda em 3D;Em coordenadas cartesianas por ex:
∂2ϕ
∂x2 = 1v2∂
2ϕ∂t2 =⇒ ∂2ϕ
∂x2 + ∂2ϕ
∂y2 + ∂2ϕ
∂z2 = 1v2∂
2ϕ∂t2
A função que descreve a onda também precisa ser reescrita:
ϕ(x , t) =⇒ ϕ(~r , t)
Por ex:
ϕ(x , t) = A cos(kx − ωt + δ) =⇒ ϕ(~r , t) = A cos(~k ·~r − ωt + δ
)
ϕ(~r , t)→ Escalar.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 39 / 46
Precisamos escrever a equação de onda em 3D;Em coordenadas cartesianas por ex:
∂2ϕ
∂x2 = 1v2∂
2ϕ∂t2 =⇒ ∂2ϕ
∂x2 + ∂2ϕ
∂y2 + ∂2ϕ
∂z2 = 1v2∂
2ϕ∂t2
A função que descreve a onda também precisa ser reescrita:
ϕ(x , t) =⇒ ϕ(~r , t)
Por ex:
ϕ(x , t) = A cos(kx − ωt + δ) =⇒ ϕ(~r , t) = A cos(~k ·~r − ωt + δ
)
ϕ(~r , t)→ Escalar.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 39 / 46
Precisamos escrever a equação de onda em 3D;Em coordenadas cartesianas por ex:
∂2ϕ
∂x2 = 1v2∂
2ϕ∂t2 =⇒ ∂2ϕ
∂x2 + ∂2ϕ
∂y2 + ∂2ϕ
∂z2 = 1v2∂
2ϕ∂t2
A função que descreve a onda também precisa ser reescrita:
ϕ(x , t) =⇒ ϕ(~r , t)
Por ex:
ϕ(x , t) = A cos(kx − ωt + δ) =⇒ ϕ(~r , t) = A cos(~k ·~r − ωt + δ
)
ϕ(~r , t)→ Escalar.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 39 / 46
Precisamos escrever a equação de onda em 3D;Em coordenadas cartesianas por ex:
∂2ϕ
∂x2 = 1v2∂
2ϕ∂t2 =⇒ ∂2ϕ
∂x2 + ∂2ϕ
∂y2 + ∂2ϕ
∂z2 = 1v2∂
2ϕ∂t2
A função que descreve a onda também precisa ser reescrita:
ϕ(x , t) =⇒ ϕ(~r , t)
Por ex:
ϕ(x , t) = A cos(kx − ωt + δ) =⇒ ϕ(~r , t) = A cos(~k ·~r − ωt + δ
)
ϕ(~r , t)→ Escalar.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 39 / 46
Precisamos escrever a equação de onda em 3D;Em coordenadas cartesianas por ex:
∂2ϕ
∂x2 = 1v2∂
2ϕ∂t2 =⇒ ∂2ϕ
∂x2 + ∂2ϕ
∂y2 + ∂2ϕ
∂z2 = 1v2∂
2ϕ∂t2
A função que descreve a onda também precisa ser reescrita:
ϕ(x , t) =⇒ ϕ(~r , t)
Por ex:
ϕ(x , t) = A cos(kx − ωt + δ)
=⇒ ϕ(~r , t) = A cos(~k ·~r − ωt + δ
)
ϕ(~r , t)→ Escalar.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 39 / 46
Precisamos escrever a equação de onda em 3D;Em coordenadas cartesianas por ex:
∂2ϕ
∂x2 = 1v2∂
2ϕ∂t2 =⇒ ∂2ϕ
∂x2 + ∂2ϕ
∂y2 + ∂2ϕ
∂z2 = 1v2∂
2ϕ∂t2
A função que descreve a onda também precisa ser reescrita:
ϕ(x , t) =⇒ ϕ(~r , t)
Por ex:
ϕ(x , t) = A cos(kx − ωt + δ) =⇒ ϕ(~r , t)
= A cos(~k ·~r − ωt + δ
)
ϕ(~r , t)→ Escalar.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 39 / 46
Precisamos escrever a equação de onda em 3D;Em coordenadas cartesianas por ex:
∂2ϕ
∂x2 = 1v2∂
2ϕ∂t2 =⇒ ∂2ϕ
∂x2 + ∂2ϕ
∂y2 + ∂2ϕ
∂z2 = 1v2∂
2ϕ∂t2
A função que descreve a onda também precisa ser reescrita:
ϕ(x , t) =⇒ ϕ(~r , t)
Por ex:
ϕ(x , t) = A cos(kx − ωt + δ) =⇒ ϕ(~r , t) = A cos(~k ·~r − ωt + δ
)
ϕ(~r , t)→ Escalar.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 39 / 46
Precisamos escrever a equação de onda em 3D;Em coordenadas cartesianas por ex:
∂2ϕ
∂x2 = 1v2∂
2ϕ∂t2 =⇒ ∂2ϕ
∂x2 + ∂2ϕ
∂y2 + ∂2ϕ
∂z2 = 1v2∂
2ϕ∂t2
A função que descreve a onda também precisa ser reescrita:
ϕ(x , t) =⇒ ϕ(~r , t)
Por ex:
ϕ(x , t) = A cos(kx − ωt + δ) =⇒ ϕ(~r , t) = A cos(~k ·~r − ωt + δ
)
ϕ(~r , t)→ Escalar.Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 39 / 46
O número de onda ganhou informação vetorial:
k =⇒ ~k =⇒ Vetor de Onda
|~k| = k = 2π/λ = ω/v;Direção e Sentido → Propagação da onda;Portanto, ~k ·~r = cte define a frente de onda.
~k
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 40 / 46
O número de onda ganhou informação vetorial:
k =⇒ ~k =⇒ Vetor de Onda
|~k| = k = 2π/λ = ω/v;Direção e Sentido → Propagação da onda;Portanto, ~k ·~r = cte define a frente de onda.
~k
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 40 / 46
O número de onda ganhou informação vetorial:
k =⇒ ~k =⇒ Vetor de Onda
|~k| = k = 2π/λ = ω/v;
Direção e Sentido → Propagação da onda;Portanto, ~k ·~r = cte define a frente de onda.
~k
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 40 / 46
O número de onda ganhou informação vetorial:
k =⇒ ~k =⇒ Vetor de Onda
|~k| = k = 2π/λ = ω/v;Direção e Sentido → Propagação da onda;
Portanto, ~k ·~r = cte define a frente de onda.
~k
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 40 / 46
O número de onda ganhou informação vetorial:
k =⇒ ~k =⇒ Vetor de Onda
|~k| = k = 2π/λ = ω/v;Direção e Sentido → Propagação da onda;Portanto, ~k ·~r = cte define a frente de onda.
~k
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 40 / 46
O número de onda ganhou informação vetorial:
k =⇒ ~k =⇒ Vetor de Onda
|~k| = k = 2π/λ = ω/v;Direção e Sentido → Propagação da onda;Portanto, ~k ·~r = cte define a frente de onda.
~k
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 40 / 46
O número de onda ganhou informação vetorial:
k =⇒ ~k =⇒ Vetor de Onda
|~k| = k = 2π/λ = ω/v;Direção e Sentido → Propagação da onda;Portanto, ~k ·~r = cte define a frente de onda.
~k
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 40 / 46
O número de onda ganhou informação vetorial:
k =⇒ ~k =⇒ Vetor de Onda
|~k| = k = 2π/λ = ω/v;Direção e Sentido → Propagação da onda;Portanto, ~k ·~r = cte define a frente de onda.
~k
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 40 / 46
O número de onda ganhou informação vetorial:
k =⇒ ~k =⇒ Vetor de Onda
|~k| = k = 2π/λ = ω/v;Direção e Sentido → Propagação da onda;Portanto, ~k ·~r = cte define a frente de onda.
~k
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 40 / 46
O número de onda ganhou informação vetorial:
k =⇒ ~k =⇒ Vetor de Onda
|~k| = k = 2π/λ = ω/v;Direção e Sentido → Propagação da onda;Portanto, ~k ·~r = cte define a frente de onda.
~k
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 40 / 46
Para coordenadas polares temos:
ϕ(~r , t) = A√r cos(kr − ωt + δ)
Como só existe dependência radial;A frente de onda é circular.
s~k
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 41 / 46
Para coordenadas polares temos:
ϕ(~r , t) = A√r cos(kr − ωt + δ)
Como só existe dependência radial;A frente de onda é circular.
s~k
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 41 / 46
Para coordenadas polares temos:
ϕ(~r , t) = A√r cos(kr − ωt + δ)
Como só existe dependência radial;
A frente de onda é circular.
s~k
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 41 / 46
Para coordenadas polares temos:
ϕ(~r , t) = A√r cos(kr − ωt + δ)
Como só existe dependência radial;A frente de onda é circular.
s~k
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 41 / 46
Para coordenadas polares temos:
ϕ(~r , t) = A√r cos(kr − ωt + δ)
Como só existe dependência radial;A frente de onda é circular.
s~k
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 41 / 46
Para coordenadas polares temos:
ϕ(~r , t) = A√r cos(kr − ωt + δ)
Como só existe dependência radial;A frente de onda é circular.
s~k
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 41 / 46
Para coordenadas polares temos:
ϕ(~r , t) = A√r cos(kr − ωt + δ)
Como só existe dependência radial;A frente de onda é circular.
s~k
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 41 / 46
Para coordenadas polares temos:
ϕ(~r , t) = A√r cos(kr − ωt + δ)
Como só existe dependência radial;A frente de onda é circular.
s~k
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 41 / 46
Para coordenadas polares temos:
ϕ(~r , t) = A√r cos(kr − ωt + δ)
Como só existe dependência radial;A frente de onda é circular.
s~k
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 41 / 46
Para coordenadas polares temos:
ϕ(~r , t) = A√r cos(kr − ωt + δ)
Como só existe dependência radial;A frente de onda é circular.
s~k
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 41 / 46
Para uma onda com simetria esféria;
Em coordenadas esféricas temos:
ϕ(~r , t) = Ar cos(kr − ωt + δ)
r r r r
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 42 / 46
Para uma onda com simetria esféria;Em coordenadas esféricas temos:
ϕ(~r , t) = Ar cos(kr − ωt + δ)
r r r r
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 42 / 46
Para uma onda com simetria esféria;Em coordenadas esféricas temos:
ϕ(~r , t) = Ar cos(kr − ωt + δ)
r r r r
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 42 / 46
Para uma onda com simetria esféria;Em coordenadas esféricas temos:
ϕ(~r , t) = Ar cos(kr − ωt + δ)
r r r r
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 42 / 46
Para uma onda com simetria esféria;Em coordenadas esféricas temos:
ϕ(~r , t) = Ar cos(kr − ωt + δ)
r r r r
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 42 / 46
Para uma onda com simetria esféria;Em coordenadas esféricas temos:
ϕ(~r , t) = Ar cos(kr − ωt + δ)
r r r r
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 42 / 46
Para uma onda com simetria esféria;Em coordenadas esféricas temos:
ϕ(~r , t) = Ar cos(kr − ωt + δ)
r r r r
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 42 / 46
1 Ondas Sonoras
2 Relação entre Densidade e Deslocamento
3 Relação entre Pressão e Deslocamento
4 Velocidade do Som
5 Efeito Doppler
6 Ondas em Mais de Uma Dimensão
7 Cone de Mach
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 43 / 46
Considere um referencial inercial;
A velocidade do som nesse meio é v = vs ;Agora a fonte está viajando com velocidade vs ;Se vs < v temos:
s Ri~vss s s
Efeito Doppler.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 44 / 46
Considere um referencial inercial;A velocidade do som nesse meio é v = vs ;
Agora a fonte está viajando com velocidade vs ;Se vs < v temos:
s Ri~vss s s
Efeito Doppler.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 44 / 46
Considere um referencial inercial;A velocidade do som nesse meio é v = vs ;Agora a fonte está viajando com velocidade vs ;
Se vs < v temos:
s Ri~vss s s
Efeito Doppler.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 44 / 46
Considere um referencial inercial;A velocidade do som nesse meio é v = vs ;Agora a fonte está viajando com velocidade vs ;Se vs < v temos:
s Ri~vss s s
Efeito Doppler.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 44 / 46
Considere um referencial inercial;A velocidade do som nesse meio é v = vs ;Agora a fonte está viajando com velocidade vs ;Se vs < v temos:
s Ri~vss s s
Efeito Doppler.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 44 / 46
Considere um referencial inercial;A velocidade do som nesse meio é v = vs ;Agora a fonte está viajando com velocidade vs ;Se vs < v temos:
s Ri~vss s s
Efeito Doppler.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 44 / 46
Considere um referencial inercial;A velocidade do som nesse meio é v = vs ;Agora a fonte está viajando com velocidade vs ;Se vs < v temos:
s Ri~vss s s
Efeito Doppler.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 44 / 46
Considere um referencial inercial;A velocidade do som nesse meio é v = vs ;Agora a fonte está viajando com velocidade vs ;Se vs < v temos:
s Ri~vss s s
Efeito Doppler.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 44 / 46
Considere um referencial inercial;A velocidade do som nesse meio é v = vs ;Agora a fonte está viajando com velocidade vs ;Se vs < v temos:
s Ri~vss s s
Efeito Doppler.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 44 / 46
Considere um referencial inercial;A velocidade do som nesse meio é v = vs ;Agora a fonte está viajando com velocidade vs ;Se vs < v temos:
s Ri~vss s s
Efeito Doppler.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 44 / 46
Considere um referencial inercial;A velocidade do som nesse meio é v = vs ;Agora a fonte está viajando com velocidade vs ;Se vs < v temos:
s Ri~vss s s
Efeito Doppler.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 44 / 46
Agora se v = vs
s Ri~vss s s
As frentes de ondas são todas somadas;Formação da barreira do som.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 45 / 46
Agora se v = vs
s Ri~vss s s
As frentes de ondas são todas somadas;Formação da barreira do som.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 45 / 46
Agora se v = vs
s Ri~vss s s
As frentes de ondas são todas somadas;Formação da barreira do som.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 45 / 46
Agora se v = vs
s Ri~vss s s
As frentes de ondas são todas somadas;Formação da barreira do som.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 4 - Ondas 15 de Maio de 2018 45 / 46
Agora se v = vs
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As frentes de ondas são todas somadas;Formação da barreira do som.
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Agora se v = vs
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As frentes de ondas são todas somadas;Formação da barreira do som.
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Agora se v = vs
s Ri~vss s s
As frentes de ondas são todas somadas;
Formação da barreira do som.
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Agora se v = vs
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As frentes de ondas são todas somadas;Formação da barreira do som.
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Se vs > v :
s Ri~vsts s s s
vt
vstα
O número de Mach (nM) está relacionado com sinα;
sinα = vtvst
= vvs
= 1nM
=⇒ ∴ nM = vsv
Número de MachQuantas vezes a velocidade da fonte é maior que a velocidade depropagação do som naquele meio.
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Se vs > v :
s Ri~vsts s s s
vt
vstα
O número de Mach (nM) está relacionado com sinα;
sinα = vtvst
= vvs
= 1nM
=⇒ ∴ nM = vsv
Número de MachQuantas vezes a velocidade da fonte é maior que a velocidade depropagação do som naquele meio.
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Se vs > v :
s Ri~vsts s s s
vt
vstα
O número de Mach (nM) está relacionado com sinα;
sinα = vtvst
= vvs
= 1nM
=⇒ ∴ nM = vsv
Número de MachQuantas vezes a velocidade da fonte é maior que a velocidade depropagação do som naquele meio.
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Se vs > v :
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O número de Mach (nM) está relacionado com sinα;
sinα = vtvst
= vvs
= 1nM
=⇒ ∴ nM = vsv
Número de MachQuantas vezes a velocidade da fonte é maior que a velocidade depropagação do som naquele meio.
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Se vs > v :
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vstα
O número de Mach (nM) está relacionado com sinα;
sinα = vtvst
= vvs
= 1nM
=⇒ ∴ nM = vsv
Número de MachQuantas vezes a velocidade da fonte é maior que a velocidade depropagação do som naquele meio.
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O número de Mach (nM) está relacionado com sinα;
sinα = vtvst
= vvs
= 1nM
=⇒ ∴ nM = vsv
Número de MachQuantas vezes a velocidade da fonte é maior que a velocidade depropagação do som naquele meio.
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O número de Mach (nM) está relacionado com sinα;
sinα = vtvst
= vvs
= 1nM
=⇒ ∴ nM = vsv
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O número de Mach (nM) está relacionado com sinα;
sinα = vtvst
= vvs
= 1nM
=⇒ ∴ nM = vsv
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Se vs > v :
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O número de Mach (nM) está relacionado com sinα;
sinα = vtvst
= vvs
= 1nM
=⇒ ∴ nM = vsv
Número de MachQuantas vezes a velocidade da fonte é maior que a velocidade depropagação do som naquele meio.
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O número de Mach (nM) está relacionado com sinα;
sinα = vtvst
= vvs
= 1nM
=⇒ ∴ nM = vsv
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Se vs > v :
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O número de Mach (nM) está relacionado com sinα;
sinα = vtvst
= vvs
= 1nM
=⇒ ∴ nM = vsv
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O número de Mach (nM) está relacionado com sinα;
sinα = vtvst
= vvs
= 1nM
=⇒ ∴ nM = vsv
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O número de Mach (nM) está relacionado com sinα;
sinα = vtvst
= vvs
= 1nM
=⇒ ∴ nM = vsv
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sinα
= vtvst
= vvs
= 1nM
=⇒ ∴ nM = vsv
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sinα = vtvst
= vvs
= 1nM
=⇒ ∴ nM = vsv
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sinα = vtvst
= vvs
= 1nM
=⇒ ∴ nM = vsv
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sinα = vtvst
= vvs
= 1nM
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O número de Mach (nM) está relacionado com sinα;
sinα = vtvst
= vvs
= 1nM
=⇒ ∴ nM = vsv
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O número de Mach (nM) está relacionado com sinα;
sinα = vtvst
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= 1nM
=⇒ ∴ nM = vsv
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