Download - Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
1/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 48
MATEMATIKA TERAPAN II
BAB II
LIMIT DAN KONTINUITAS
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
2/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 49
PENDAHULUAN
Deskripsi Isi
Materi dalam bab II mencakup Pengantar limit dan kontinuitas dan diikutidengan penerapan masing-masing konsep dalam bidang teknik mesin
Cakupan materi limit dan kontinuitas mengacu pada standar kompetensi dan kompetensi
dasar yang telah dirumuskan dalam standar Isi, khususnya yang menunjang tercapainya
tujuan. Limit dan kontinuitas sebagai landasan mempelajari konsep kalkulus. Dengan
demikian isi materi yang termuat di sini adalah sebagai berikut.
1. Pengertian limit membahas difinisi limit, notasi limit dan nilai limit suatu fungsi.
Limit fungsi aljabar, membahas bentuk tertentu dan tak tentu. Teorema limit,
membahas teorema limit utama dan teorema limit tak hingga. Limit fungsi
trigonometri membahas fungsi trigonometri variabelnya mendekati sudut tertentu
dan mendekati nol.
2. Kontinuitas, membahas definisi kontinu dan diskontinu
Standar Kompetensi
Menggunakan konsep limit fungsi dan kontinuitas dalam pemecahan masalah
keteknikan
Kompetensi Dasar
Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di tak hingga
Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu dari fungsi
aljabar dan trigonometri
Megidentifikasi kontinuitas suatu fungsi
Prasyarat
Prasyarat untuk mempelajari limit dan kontinuitas adalah mahasiswa harus
sudah operasi pada bilangan real, trigonometri, persamaan dan pertidaksanaan,
dan fungsi beserta grafik fungsi
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
3/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 50
Indikator Hasil Belajar
Spesifikasi hasil belajar, mahasiswa dapat:
1. Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik melalui perhitungan nilai-nilai di sekitar titik
tersebut
2.
Menjelaskan arti limit fungsi di tak hingga melalui grafik dan perhitungan.
3.
Menggunakan sifat-sifat limit dalam menghitung nilai limit
4. Menentukan nilai limit dari bentuk tak tentu limit fungsi
5.
Menghitung Limit fungsi aljabar dan trigonometri dengan menggunakan sifat-sifat limit
6.
Mengidintifikasi kontinuitas suatu fungsi
Kerangka isi MateriLimit dan
Kontinuitas
Pengertian LimitFungsiNotasi Limit
Sifat Limit Fungsi Bentuk Tak
Menghitung limitfungsi aljabar dantrigonometri denganmenggunakan sifat-sifat limit.
Macam-macam bentuktak tentuMenghitung nilai limit taktentu.Menghitung bentuk tak
KontinuitasFun si
Mem ela ar
Terdiri atas
Terdiri atasTerdiri atas
dipergunakan dipergunakan
Mengidentifikasikontinuitas suatufungsi
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
4/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 51
Uraian Materi Limit Dan Kontinuitas
1.1. Pengertian Limit
Istilah limit dalam bahasa Inggris berarti mendekati. Sesuai dengan kata mendekati, jika
dikatakan bahwa x mendekati 4 artinya x hanya mendekati nilai 4, tetapi tidak pernah
bernilai 4.
Kita mempunyai fungsi y = f(x) dan sebuah titik c. Agar variabel bebas dapat bergerak
menuju titik tetap c , kondisinya adalah disekitar c harus terdapat tak hingga banyaknya
titik dari daerah asal f. Dalam kontek ini kondisi yang paling sederhana adalah daerah
asal fungsi f berbentuk interval terbuka I yang memuat c, kecuali mungkin di c sendiri.
Pada gabar berikut menunjukkan sebuah fungsi f yang terdifinisi pada I {c} di mana I
adalah interval terbuka yang memuat titik c.
0
Gambar 2.1 Grafik Fungsi y = f(x)
Perhatikan bahwa jika x dekat dengan c, dan x c. maka f(x) dekat dengan L. Situasi
dapat ditulis jika x mendekati c, maka f(x) mendekati L". Fungsi f(x) dikatakan
memiliki harga limit sama dengan L = f(c) ketika x mendekati c. Keadaan ini ditulis:
Lcfxfxfcxcx
)()(lim)(lim
y = f(x)
x c x
L =f(c)
f(c)-
f(c)+
X
Y
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
5/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 52
Misalkan
Diketahui sebuah fungsi f(x) = x2 + 3, apa yang terjadi dengan nilai f(x) jika nilai x
didekati dari kiri dan kanan menuju nilai 4 tetapi x 4?
Perhatikan nilai fungsi pada Tabel 2.1
Tabel 2.1 Nilai Fungsi f(x) = x
2
+ 3
x didekatidari arah
kananf(x)
x didekatidari arah
kirif(x)
3.5 15.25 4.1 19.81
3.90 18.21 4.05 19.4025
3.999 18.992001 4.001 19.008001
3.999990 18.99992 4.0001 19.00080001
Terlihat bahwa apabila x cukup dekat dengan 4, maka f(x) mendekati 19. Artinya,
apabia dihitung f(4) = 42+ 3 = 19. Dikatakan bahwa limit f(x), pada saat x mendekati 4
sama dengan 19, ditulis: 19)(lim4
xfx
Selanjutnya perhatikan fungsi f(x) berikut
2
4)(
2
x
xxf
Fungsi tersebut tidak terefinisi di x = 2, karena pada titik ini f(x) berbentuk 0/0, tetapi
bila x mendekati 2 tetapi x 2.
Untuk x 2, )(22
)2)(2(
2
4)(
2
xgxx
xx
x
xxf
, maka Df= R {1}
X
1
2
0
3
4
Y
1 2 3-1-2
2
42
x
xy
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
6/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 53
Gambar 2.2 Grafik Fungsi2
4)(
2
x
xxf
Dari tabel 2.1 berikut terlihat bahwa apabila x cukup dekat dengan 2, maka f(x)
mendekati 4, maka 4
2
4lim
2
2
x
x
x
Tabel 2.3 Nilai Fungsi2
4)(
2
x
xxf
x didekati dariarah kanan
f(x)x didekati dari
arah kirif(x)
1.5 3.5 2.1 4.1
1.90 3.9 2.05 4.05
1.999 3.999 2.001 4.0011.999990 3.99999 2.0001 4.0001
Dari beberpa uraian di atas diberikat definisi limit sebagai berikut
Definisi:
Limit f(x), x mendekati c sama dengan L, ditulis Lxfcx
)(lim , jika untuk setiap x yang
cukup dekat dengan c, tetapi x c, maka f(x) mendekati L. Secara matematis definisi di
ats dapat ditulis sebagai berikut.
Jika diketahui fungsi f(x), pada saat x mendekati c, tetapi x c, x berada pada interval (c
, c) atau ((c + , c), sehingga fungsi f(x) mendekati nilai L, f(x) berada pada interval
((L , L + ) ) dituliskan: jika 0 0 yang diberikan
(berapakan becilnya),terdapat >0 yang bersesuaian sedemikian sehingga
Lxf )(
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
7/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 54
Gambar 2.3 Grafik Lxfcx
)(lim
Bila Lxfcx
)(lim , untuk setiap > 0 dan > 0, sehingga jika 0 0 sembarang dan misalkan 2
1 , maka suntuk
setiap x dalam domain f yang memenuhi 0
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
8/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 55
1.2 Teorema Limit
Sifat-sifat dasar limit yang dinyatakan dalam beberapa teorema berikut, digunakan
dalam perhitungan limit.
1.
Ketunggalan limit: Jika Lxfcx
)(lim dan Mxfcx
)(lim makaL=M
2. Operasi aljabar pada limit Lxfcx
)(lim dan Mxgcx
)(lim , maka:
a. MLxgLimxfLimxgxfLimcxcxcx
)()())()((
b. MLxgLimxfLimxgxfLimcxcxcx
)()())()((
c. MLxgLimxfLimxgxfLimcxcxcx
.)().())().((
d. 0)(;)(
)(}
)(
)({
xgLimM
M
L
xgLim
xfLim
xg
xfLim
cx
cx
cx
cx
3. Limit fungsi yang sederhana
a. ,kkLimcx
k konstanta
b. cxLimcx
c. qpcqpxLimcx
)( ; p,qkonstanta
d.cx
Limcx
11
e. 22 cxLimcx
f. cxLimcx
4. Limit suku banyak berderajat n
Jika ,..............)( 100 nnn
naxaxaxP maka )()( cPxPLim nn
cx
, c Df=
R
5.
Limit fungsi Rasional (hasil bagi dua Suku banyak)
Jika ;)(
)()(
xP
xPxf
m
n Pn Pm suku banyak, maka )()( cfxfLimcx
cDf Dimana }0)(:{ xPRxD mf
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
9/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 56
Contoh
Hitunglah nilai limit berikut
1. )672(lim 22
xxX
Penyelesaian:
0
62.72.2
6limlim7lim2
6limlim7lim2
6lim7lim2lim)672(lim
2
22
2
2
22
2
2
22
2
2
2
2
xxx
xxx
xxxX
xx
xx
xxxx
2.25
32lim
1
x
x
X
Penyelesaian:
Syarat bagian pegian penyebut nilai limitnya tidak sama dengan nol, maka
terlebih dahulu cek nilai limitnya
32)1(5)25(lim1
xX
Karena nilai limit bagian penyebutnya -3 (tidak sama dengan 0), maka limit dari
fungsi tersebut bisa langsung dapat diselesaikan sebagai berikut.
3
1
3
1
2)1(5
3)1(2
)25(lim
)32(lim
25
32lim
1
1
1
x
x
x
x
x
x
X
3.4
23lim
2
2
2
x
xx
X
Penyelesaian:
Teorema 2.d tidak berlaku, karena nilai limit bagian penyebutnya dari fungsi,
yaitu: 042)4(lim 222 xx
Namun kondisi ini bukan berarti nilai limit dari fungsi di atas tidak ada. Pada
kasus-kasus seperti ini, akan dihitung adalah nilai limit untuk x mendekati 2,
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
10/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 57
bukan berarti nilai x sama dengan 2. Dengan memanfaatkan sifat-sifat operasi
dasar aljabar, diperoleh bentuk lain dari fungsi di atas sebagai berikut.
)2(
)1(
)2)(2(
)1)(2(
4
232
2
x
x
xx
xx
x
xx
Sehingga
4
1
22
12
2
1lim
4
23lim
22
2
2
x
x
x
xx
XX
4.16
8lim
4
3
2
x
x
X
Penyelesaian:
Untuk x = -2 nilai penyebut x4-16 = (-2)4 -16 = 0, maka teorema 2.d tidak
dipenuhi, maka penyelesaian sejalan dengan contoh 3.
83
888444
8)2(2)2(
4)2(2)2(
)842(
)42(lim
)2()2()2())(2((
))2()2())(2((lim
)2(
)2(lim
16
8lim
23
2
23
2
2
3223
22
2
24
33
24
3
2
xxx
xx
xxxx
xxx
x
x
x
x
X
X
XX
8
3
16
9lim
4
3
2
x
x
X
Pada contoh soal di atas telah digambarkan bagaimana sifat operaso dasar aljabar
digunakan untuk menyelesaiakan persoalan limit, namun tidak semua soal limit dapat
diselesaikan dengan cara seperti itu, misalnya untuk limit fungsi trigonometri. Untuk
jenis fungsi akan dibicarakan pada bagian lain.
Ingat:
))((dan))(( 3223442233 babbaababababababa
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
11/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 58
Untuk soal 1 sampai 5, buktikan setiap limit yang diberikan dengan definisi limit.
1. qpaqpxax
)(lim ;p qkonstanta
2. 2)3(lim 22
xxx
3. 22lim axax
4. 8lim 32
xx
5. 211
lim1
xx
Contoh Soal dan Penyelesaiannya
Carilah nilai limit berikut dengan teorema dasar limit
1. 82lim 21
xxx
2.3
5lim
2
3
2
xx
x
x
3.3
27lim
3
3
x
x
x
4.
1
1lim
1
x
x
x
5.)3(
1
3
11lim
3
xxx
6.2
9lim
39
x
x
x
Penyelesaian:
1. 82lim 2
1
xxx
= 12 2.1 + 8 = 7
2.3
5lim
2
3
2
xx
x
x
Cek lebih dahulu nilai limit penyebutnya untuk x mendekati -2
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
12/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 59
,013)2(1)2(3lim 221
xxx
Jadi 31
3
3)2()2(
5)2(
3
5lim
2
3
2
3
2
xx
x
x
3.3
27lim
3
3
x
x
x
0333lim3
xx
, maka penyelesaiannya kasus ini sebagai berikut
2793.33)93(lim)3(
)93)(3(lim
3
27lim 22
3
2
3
3
3
xxx
xxx
x
x
xxx
4.1
1lim
1
x
x
x
Nilai penyebutnya: 01lim1
xx
, maka penyelesainya dilakukan sebagai
berikut
2111lim)1(
1)1(lim
1
1
1
)1(lim
1
1lim
1111
xx
xx
x
x
x
x
x
x
xxxx
5.)3(
1
3
11lim
3
xxx
Nilai 0)3(lim3
xx
, penyelesaian kasus ini sebagai berikut
9
1
3.3
1
3
1lim
)3(1
3)3(lim
)3(1
33lim
)3(1
311lim
3
333
x
xxx
xxx
xx
x
xxx
6.2
8lim
38
x
x
x, Nilai 0)2(lim 3
8
x
x, penyelesaian kasus ini sebagai berikut
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
13/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 60
1242.22
4828
42lim
2
42)2(
lim
2
2lim
2
8lim
2
32
3
32
3
8
3
32
33
8
3
333
8
38
xx
x
xxx
x
x
x
x
x
x
x
x
1.3 Limit Fungsi Trigonometri
Limit fungsi trigonometri untuk variabel mendekati sudut tertentu misalnya x mendekati
, cara penyelesaiannya langsung disubstitusikan. Apabila penyebutnya memberikan
nilai limit 0, harus diubah bentuknya sedemikian hingga penyebutnya tidak memberikan
nilai limit 0. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan sifat operasi dasar aljabar:
memfaktorkan, menyederhanakan, atau mengalikan.
Contoh
3
1
)1(3
1
180cos3
90sin
)180360cos(3
90sin
)18090.4cos(390sin
)4cos(3
sinlim.1
0
0
00
0
00
0
900
x
x
x
22
1
11
22
122
1
4.2sin1
4cos4sin
2sin1
cossinlim.2
4
x
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
14/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 61
Prinsip Apit
Limit fungsi disatu titik sering kali dihitung dengan memanfatkan sifat urutan dari
fungsi pengapitnya di sekitar titik itu. Jika limit fungsi dari pengapitnya mempunyai
nilai yang sama, maka limit fungsinya sama dengan limit fungsi pengapitnya. Perhatikan
situasi pada gambar berikuty
h
f
L
g
0 c x
Gambar 2.4 Prinsip Apit
Teorema (prinsip apit)
Jika disekitar c berlaku:
Lxf
xhLxgxhxfxg
cx
cxcx
)(limmaka
)(lim)(limdan)()()(
Contoh
Kita akan hitungx
xx
1coslim
0dengan menggunakan prinsip apit
Karena disekitar 0 berlaku xx
xx
1
cos0maka,11
cos dengan limit pengapitnya
xxx 00lim00lim
, maka prinsip apit memberikan 0
1coslim
0
xx
xsehingga akibatnya 1.
1. 01
coslim0
x
xx
2. 1sin
lim0
x
x
x
3. 1tan
lim0
x
x
x
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
15/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 62
Jadi jika variabel mendekati 0, limit fungsi trigonometri bentuknya diubah ke dalam
bentuk umum sebagai berikut.
1. 01
coslim0
x
xx
2. 1sin
lim0
x
x
x
3. 1sin
lim0
x
x
x
4. 1tan
lim0
x
x
x
5. 1tan
lim0
x
x
x
Contoh
23
23).1(
23.
33sinlim
33.
23sinlim
23sinlim.1
000 xx
xx
xx
xxx
5
1
5
1).1(
5
1.
5tan
5lim
5
5.
5tanlim
5tanlim.2
000
x
x
x
x
x
x
xxx
21.1.2
sinlim.
sinlim.2
sin.
sinlim.2
.sin2
lim
)sin21(1lim
2cos1lim.3
00
0
2
2
0
2
2
0
20
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
2
sin1lim.4
2
x
x
x
Nilai limit penyebutnya adalah 0, maka penyelesaianya dapat dilakukan dengan cara
sebagai berikut
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
16/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 63
Misalkan2
xy , maka
2
yx
00.12
1sin.lim
2
12
1sin
lim2
1sin.
2
12
1sin
lim.
2
12
1sin
lim
2
12
1
.2
1sin2
lim2
1sin2
limcos1
lim2sin(1
lim
2
sin1lim
000
2
0
2
0
2
000
2
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
x
x
yyyy
yyyyx
5
3
5
3.1.1
5
3.
5tan
5.lim.
3
3sinlim
5
1.
5tan
5.3.
3
3sinlim
5tan
3sinlim.5
0000
x
x
x
x
xx
xx
x
x
x
x
xxxx
Rumus-Rumus identitas trigonometri yang dapat digunakan membantu menyelesaikanlimit trigonometri.
1.4 Limit Satu Sisi (Limit Kiri dan Limit Kanan)
Sebelum membahas konsep limit kiri dan dan limit kanan, perhatikan fungsi f beserta
grafiknya pada ilustrasi berikut.
Fungsi
0,1
0,1)(
x
x
x
xxf
Grafiknya
1. sin2x + cos2x = 12. cos 2x = 2 cos2x 1
= 1 2 sin2x= cos2x sin2x
3. sin 2x = 2 sinx cos x4. sec2x - 1 = tan2x
Y
0
-1
1
X
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
17/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 64
Gambar 2. 5. Grafik Fungsix
xxf )(
Informasi yang dapat diperoleh dari situasi ini adalah:
1. Nilai f(x) dapat dibuat sembarang dekat ke 1 bila x dibuat dekat ke 0 dari
sebelah kanan .Di sini dikatakan bahwa fungsi f mempunyai limit kanan di
0dengannilai 1, ditulis 1)(lim0
xfx
2. Nilai f(x)dapat dibuat sembarang dekat ke -1 bila x dibuat dekat ke 0 dari
sebelah kiri .Di sini dikatakan bahwa fungsi f mempunyai limit kiri di 0
dengannilai -1, ditulis 1)(lim0 xfx
3. Nilaif(x) tidak mendekati suatu nilai manapun bila mana x dibuat mendekati
0. Dari arah sebelah kiri 0, f(x) mendekati 1, sedangkan dari arah sebelah
kanan 0, f(x) mendekati 1. Karena limitnya dari arah kiri dan arah kanan
berbeda, maka dikatakan bahwax
xxf
xx 00
lim)(lim
tidak ada
Fakta pada ilustrasi di atas merupakan suatu fenumena yang dijadikan model untuk
memperkenalkan konsep limit kiri dan limit kanan dari fungsi fdi c , yang difinisinya
sebagai berikut:
Difinisi:
Misalkan fungsifterdefinisi pada interval (c,b).Limit kananfungsifdi cadalahLditulis
cxLxfLxf
cx
bila)(atau,)(lim
Jika .)(000 Lxfcx
Misalkan fungsifterdefinisi pada interval (a,c). Limit kirifungsifdi cadalahL( ditulis
cxLxfLxf
cxbila)(atau,)(lim
Jika .)(000 Lxfxc
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
18/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 65
Secara geometri dapat diperlihatkan untuk siatuasi limit kiri dan limit kanan seprti pada
gambar berikut:
Limit kanan Fungsifdi c
Gambar 2.6a Grafik Limit Kanan Fungsi f(x)
Limit kiri Fungsifdi c
Gambar 2.6b Limit Kiri Fungsi f(x)
Hubungan antara limit fungsi di satu titik dengan limit kiri dan limit kanannya di titik itu
diberikan dalam teorema berikut:
0
xcxa0
f
L
y
f(x
0
0 c x bx
f(x)
L
y
f
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
19/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 66
Teorema
LxfLxfLxfcxcxcx
)(limdan)(lim)(lim
Teorema ini memenyatakan bahwa limit kiri dan limit kanan fungsif di c dapat dihitung
dengan cara menghitung limit fungsi di c, asalkan limit fungsi tersebut ada.
Contoh
1. 31lim2
)2)(1(lim
2
2lim
22
2
2
x
x
xx
x
xx
xxx
2. 31lim2
)2)(1(lim
2
2lim
22
2
2
x
x
xx
x
xx
xxx
Contoh Soal dan Penyelesainnya
Tentukan limit kiri dan limit kanan dari fungsi nomor 1 sampai dengan 3 berikut
1. Diketahui f(x) adalah fungsi didefinisikan sebagai berikut
0,1
0,0
0,1
)(
x
x
x
xf
2.
0,2
0,)(
x
xxxf
3.
3,0
3,3
3
)(
x
xx
x
xf
4. Tentukan nilai k supayaf(x) berikut mempunyai harga limit
4,5
4,23)(
xkx
xxxf
Penyelasain
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
20/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 67
1.
0,1
0,0
0,1
)(
x
x
x
xf
Gambar 2.7 Grafik fungsi
0,1
0,0
0,1
)(
x
x
x
xf
11lim)(lim11
xx
xf
11lim)(lim11
xx
xf
2.
0,2
0,)(
x
xxxf
Gambar 2.8 Grafik Fungsi
0,2
0,)(
x
xxxf
-1
1
0 x
y
y = x
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
21/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 68
0lim)(lim00
xxf
xx
0lim)(lim00
xxf
xx
3.
3,0
3,3
3
)(
x
xx
x
xf
11lim)3(
)3(lim)(lim
333
xxx x
xxf
11lim)3(
)3(lim)(lim
333
xxx x
xxf
Limit kiri tidak sama dengan limit kanan,f(x) tidak mempunyai harga limit di x = 3
4.
4,5
4,23)(
xkx
xxxf
kkkxxfxx
204.55lim)(lim44
1424.323lim)(lim44
xxfxx
Agar f(x) mempunyai harga limit, )(lim)(lim44
xfxfxx
( limit kiri sama dengan limit
kanan.
)(lim)(lim44
xfxfxx
20 + k = 14
k = -6
1.5 Beberapa Sifat Penting dari Limit Fungsi.
1.5.1 Limit Nilai Mutlak Fungsi
Jika suatu fungsi mempunyai limit di suatu titik, maka nilai mutlak fungsinya
mempunyai limit di titik itu, tetapi kebalikannya tidak benar lagi
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
22/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 69
Teorema:
1. Jika Lf(x)Lxfcxcx
limmaka,)(lim
2. Jika 0(x)limmaka,0)(lim
fxfcxcx
Contoh
3
2
3
2
1)1(2
2)1()1(
12
2lim
12
2 23
1
3
1
x
xx
x
xxLim
xx
1.5.2 Limit Tak Berhingga dan Limit Menuju Tak Berhingga
Untuk mendapat pemahaman tentang limit tak berhingga dan menuju tak berhingga,
terlebih dahulu diperhatikan masalah2
1lim
xx . Untuk nilai-nilai x yang cukup dekat
dengan 0, nilai-nilai2
1)(
xxf diberikan dalam Tabel 2. 3
Tabel 2.4 Nilai-Nilai2
1)(
xxf
x2
1
x
x 21
x
1 1 -1 1
0.5 4 -0.5 4
0.01 10.000 -0.01 10.000
0.001 1.000.000 -0.001 1.000.000
0.0001 100.000.000 -0.0001 100.000.000
. . .
0.000001 1.000.000.000.000 -0.000001 1.000.000,000,000
Berdasarkan tabel 2.4 terlihat bahwa apabila nilai x semakin dekat dekat dengan 0, maka
nilai2
1)(
xxf menjadi semakin besar, Bahkan nilai
2
1)(
xxf akan menjadi besar tak
terbatas apabila x mendekati 0, baik dari sisi kanan maupun dari sisi kiri. Grafik fungsi
2
1)(
xxf dapat diperlihatkan pada gambar 2.2
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
23/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 70
Gambar 2.9 Grafik Fungsi2
1)(
xxf
Dalam kondisi ini, dikatakan bahwa limit f(x), x menuju 0 sama dengan tak berhingga ,
ditulis: 200
1lim)(lim
xxf
xx. Dengan cara sama didapatkan nilai
20
1lim
xx
Berdasarkan kondisi-kondisi tersebut, didapat definisi sebagai berikut.
1.
)(lim xfax
, jika untuk x cukup dekat dengan a, tetapi x a, maka f(x) menjadi
besar tak terbatas ke arah positif.
2.
)(lim xfax
, jika untuk x cukup dekat dengan a, tetapi x a, maka f(x)
menjadi besar tak terbatas ke arah negatif.
Secara matematis, definisi tersebut dapat ditulis sebagai berikut
Limit Tak Berhingga. Kita difinisikan sebagai berikut
Telah dibicarakan pengertian limit untuk x mendekati a, dengan a suatu bilangan
berhingga. Namun dalam berbagai aplikasi sering dipertanyakan bagaimana nilai f(x)
apabila x cukup besar. Sebagai contoh, bagaimana nilai
x
xf1
)( , apabila nilai x cukup
besar. Tabel 2.5 memperlihatkan nilai f untuk berbagai nilai x.
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
24/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 71
Tabel 2.5 Nilai-Nilai Fungsix
xf1
)(
Berdasarkan nilai pada Tabel 2.5, ternyata semakin besar nilai x pada arah positif, nilai
f(x) semakin kecil dan semakin menuju 0. Kondisi ini dikatakan 01lim xx
. Sejalan
dengan cara di atas, apabila x menuju besar tak terbaras ke arah negetif, nilai f(x)
semakin menuju 0, yaitu: 01
lim xx
Berdasarkan kondisi tersebut dapat diturunkan definisi limit menuju tak berhingga
sebagai berikut.
1. Lxfx
)(lim , jika f(x) terdefinisikan untuk setiap x menuju bilangan cukup
besar pada arah positif dan x menjadi besar tak terbatas pada arah positif, maka
f(x) mendekati L
2. Lxfx
)(lim , jika f(x) terdefinisikan untuk setiap x menuju bilangan cukup
besar pada arah negatif dan x menjadi besar tak terbatas pada arah negatif, maka
f(x) mendekati L
Secara matematis, definisi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.
1.
)(lim xfax
jika untuk tiap bilangan positif M, bagaimanapun besarnya,
terdapat suatu bilangan positif sedemikian hingga, sehingga jika 0 ax
xx
1 x
x
1
10 0.10 -10 -0.10100 0.010 -100 -0.01
1.000 0.0010 -1.000 -0.001
10.000 0.00010 -10.000 -0.0001
100.000 0.000010 -100.000 -0.00001
. .
1.000.000 0.0000010-
1.000.000 -0.000001
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
25/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 72
maka 0 ax jika Mxf )( , Jikaf(x)> M,
)(lim xfax
; Jikaf(x)
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
26/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 73
2.
2
2
11
2lim
1
2lim
xx
x
x
xx
Soal
Hitunglah
1.1
2lim
x
x
x Jwb. 2
2.73
232lim
24
2
xx
xx
x Jwb. 0
3. 32lim
xxx
Jwb. 0
4.5
)12(lim
2
x
x
x Jwb.
1.6 Kontinuitas Sebuah Fungsi
Istilah kontinu digunakan untuk memberikan suatu proses yang berkelanjutan tanpa
perubahan yang mendadak. Perhatikan tiga grafik fungsi yang diperlihatkan pada
gambar 2.10
Gambar 2.10 Tiga Kondisi Grafik Fungsi f(x)
f(x)
c0
x
y
adatidak)(lim xfcx
(a)
adatidak)(lim xfcx
tetapi )()(lim cfxfcx
0
(b)
f(x)
c
x
y
0
(c)
f(x)
c x
y
)()(lim cfxfcx
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
27/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 74
Definisi
Suatu fungsi f(x) dikatakan kontinu pada x = c jika:
(i) f(c) terdefinisikan
(ii) ada)(lim xfcx
(iii) f(c)xfcx
)(lim
Sebagai contoh, f(x) = x2 + 1 kontinu di x = 2 karena )f(xfx
25)(lim2
. Sebuah
fungsi f(x)disebut diskontinu atau tidak kontinu pada x = c, jika satu atau lebih syarat
untuk kontinuitas tidak berlaku di titik itu. Sebagai contoh:2
1)(
xxf adalah
diskontinu pada x = 2 karena; f(2) tidak terdifinisi (mempunyai penyebut nol) dan
adatidak)(lim2
xfx
. Fungsi ini kontinu dimana-mana kecuali di titikx = 2
Contoh lainnya,2
4)(
2
x
xxf diskontinu pada x = 2 karena f(2) tidak didefinisikan
(pembilang dan penyebutnya nol). Namun harga 4)(lim2
xfx
Gambar 2.11 Grafik Fungsi2
4)(
2
x
xxf di Titik x = 2
2
2
4)(
2
x
xxf
g(x)= x+ 2
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
28/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 75
Diskontinu ini disebut diskontinu dapat dihapus, karena dengan mendefinisikan kembali
fungsinya menjadi:
2;4
;2;2
4
)(
2
x
xx
x
xf
Grafik fungsi2
4)(
2
x
xxf dan g(x) = x + 2 adalah identik kecuali x = 2 di mana grafik
yang pertama mempunyai lubang. Penghapusan diskontinuitas secara sederhana adalah
mengisi dengan baik lubang yang ada
Kontinuitas f(x) Pada Suatu Interval
Suatu fungsi disebut kontinu pada sutu interval tertutup [c,d], jika dan hanya jika fungsi
tersebut kontinu disetiap titik pada [c,d].
Gambar 2.12 Grafik Fungsi Kontinu
Suatu fungsi disebut kontinu pada sutu interval tertutup [c,d], jika dan hanya jika fungsi
tersebut kontinu disetiap titik pada [c,d].
Gambar 2.13 Grafik Fungsi Tidak Kontinu
Interval [c,d]
y
c d0
f(x)
x
Interval [c,d]
y
c d0
f(x)
x
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
29/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 76
Secara grafik f(x) kontinu di x = a, jika grafik fungsi f pada suatu interval yang memuat
a tidak terpotong di titik (a,f(a)). Jika fungsi f(x) tidak kontinu di x = a maka dikatakan
f(x) diskontinu pada x = a. Pada gambar 2.12 f(x) kontinu di setiap di dalam [a,b]
kecuali di titik x2, x3, dan x4. Fungsi f(x) diskontinu di titik x2, x3, dan x4. Diskontinu di
x2karena )(lim2 xfx tidak ada, diskontinu di x3karena nilai )(lim3 xfx tidak sama dengan
f(3) meskipun keduanya ada, dan diskontinu di x4karena nilai f(x4) tidak ada
Gambar 2.14 Kontinuitas Fungsi f(x)
Contoh
1. Fungsi f(x) dengan rumus1
1)(
2
x
xxf diskontinu di x = 1, karena f(1) tidak
terdefinisi2. Fungsi f(x) didefinisikan oleh
2;1
2;2
4)(
2
x
xx
x
xh
x1
f(x)
x
x4x3x2a b
y
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
30/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 77
Diskontinu di x = 2 karena h(2) = 3, sedangkan .42
4lim)(lim
2
22
x
xxh
xxNamun
fungsi h(x) kontinu di x =1, sebab ).1(32
4lim)(lim
2
11h
x
xxh
xx
3. Fungsi g(x) didefinisikan sebagai berikut
0;1
0;0)(
x
xxg
diskontinu di x = 0, karena )(lim0
xgx
tidak ada
Sifat-Sifat Dasar Fungsi Kontinu
Jika fungsi f dan g kontinu di x = c, dan k sembarang konstanta real, maka fungsi berikut
juga kontinu di x = c
1. Penjumlahan: f + g
2. Pengurangan: f g
3. Perkalian: f.g
4. Perkalian dengan konstanta: k.f
5. Pembagian: 0)(; cgg
f
Sama halnya dengan kasus-kasus nilai limit, kontinuitas juga dikenal istilah kantinu satu
sisi. Kondisi tersebut dapat didefinisikan sebagai berikut.
Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x = c, jika dan hanya jika memenuhi syarat:
(i) f(a) terdefinisi atau ada
(ii)Limit kanan: adacx
lim
(iii)f(a) = limit kanan
Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x = c, jika dan hanya jika memenuhi syarat:
(i) f(a) terdefinisi atau ada
(ii)Limit kiri: adacx
lim
(iii)f(a) = limit kiri
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
31/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 78
Berdasarkan kondisi-kondisi yang diterlihatkan di atas, dapat disimpulkan
1. f(x) dikatakan kontinu pada interval tertutup [c,d], jika dan hanya jika:
a. f(x) kontinu di [c,d]
b. kontinu kanan di x = c
c.
kontinu kiri di x = d2. f(x) dikatakan kontinu pada interval [c,d), jika dan hanya jika:
d. f(x) kontinu di [c,d)
e. kontinu kanan di x = c
3. f(x) dikatakan kontinu pada interval tertup (c,d], jika dan hanya jika:
f. f(x) kontinu di (c,d]
g. kontinu kiri di x = c
Contoh
Selidiki kontinuitas dari fungsi 21)( xxf
Penyelesaian:
Sangat jelas terlihat bahwa f(x) tidak kontinu pada (-, -1) dan (1, ) karena f(x) pada
interval tersebut tidak terdefinisi. Untuk nilai a pada -1< a
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
32/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 79
1. 4)( 2 xxf pada x = 2
2.)1(
)1)(32()(
x
xxxf di x = 1
3.
3xjika;7
3xjika;)(
2xxf
4.
3xjika;3
1xjika;3)(
x
xxf
5. Tentukan nilai a agar f(x) kontinu pada x = 2, jika f(x) didefinisikan
2xjika;
2xjika;21
)(22xa
x
a
xf
6. Tentukan nilai a dan b agar f(x) kontinu pada (-), jika f(x) didefinisikan
4xjika;2
4x1jika;
1xjika;
)(
x
bax
x
xf
Penyelesaian:
1. 4)( 2 xxf pada x = 3
Gambar 2.15 Grafik Fungsi 4)( 2 xxf pada x = 3
f(3) = 32 4 = 5
54lim)(lim 233
xxf
xx
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
33/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 80
)(lim54lim)(lim3
2
33xfxxf
xxx
)3(5)(lim3
fxfx
Jadi fungsi f(x) = x2 4 kontinu di x = 3
2.)1(
)1)(32()(
x
xxxf di x = 1
Gambar 2.16 Grafik Fungsi)1(
)1)(32()(
x
xxxf di x = 1
f(1) = tidak terdefinisi
5)32(lim)1(
)1)(32(lim)(lim
111
x
x
xxxf
xxx
5)32(lim)1(
)1)(32(lim)(lim
111
x
x
xxxf
xxx
)1(5)(lim1
fxfx
Jadi f(x) diskontinu di x = 1 (diskontinu dapat dihapus
3.
3xjika;7
3xjika;)(
2xxf
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
34/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 81
Gambar 2.17 Grafik Fungsi
3xjika;7
3xjika;)(
2xxf
f(2) = 7
9lim)(lim 233
xxf
xx
9lim)(lim 233
xxf
xx
)3(9lim)(lim 233
fxxfxx
Jadi f(x) diskontinu di x = 3 (diskontinu dapat dihapus)
4.
3xjika;3
1xjika;3)(
x
xxf
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
35/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 82
Gambar 2.18 Grafik Fungsi
3xjika;3
1xjika;3)(
x
xxf
f(1) = 3 + 1 = 4
213)3(lim)(lim11
xxfxx
)(lim413)3(lim)(lim111
xfxxfxxx
adatidak)(lim1
xfx
Jadi f(x) diskontinu di x = 1 (diskontinu esensial)
5.
2xjika;
2xjika;21
)(22xa
x
a
xf
Agar f(x) kontinu di titik x = 2, maka:
a
aaf
21)(
22222
2242lim)(lim aaxaxf
xx
2
2121lim)(lim
22
a
x
axf
xx
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
36/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 83
8a
2
= 1 -2a8a2+2a 1 = 0
(4a -1)(2a + 1) = 0
2
1aatau
4
1a
6.
4xjika;2
4x1jika;
1xjika;
)(
x
bax
x
xf
Di titik x = 1
f(1) = 1
1lim)(lim11
xxf
xx
babaxxfxx
)(lim)(lim11
baxfx
)(lim1
Agar kontinu di x = 1 maka )1()(lim1 fbaxfx
a + b = 1 (1)
Di x = 4, maka f(4) = -2(4) = -8
8)2(lim)(lim44
xxfxx
babaxxfxx
4)(lim)(lim44
Agar kontinu di titik x = 4
baxfx
48)(lim4
)(lim)(lim xfxfaxax
2
214 2
aa
)(lim)(lim)(lim444
xfxfxfxxx
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
37/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 84
)4()(lim4
fxfx
-4a + b = -8 ..............(2)
Dari persamaaan (1) dan (2)
a + b = 1
4a + b = -8
------------------ (-)
-3a = 9
a = -3
a + b = 1
-3 + b = 1
b = 4
Jadi agar
4xjika;2
4x1jika;
1xjika;
)(
x
bax
x
xf pada (-)
nilai a = -3 dan b = 4
2.7Rangkumam
Difinisi:
Mengatakan bahwa Lxfcx
)(lim berarti bahwa untuk setiap > 0 yang diberikan
(berapakan becilnya),terdapat >0 yang bersesuaian sedemikian sehingga
Lxf )(
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
38/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 85
a. MLxgxfxgxfcxcxcx
)(lim)(lim))()((lim
b. MLxgxfxgxfcxcxcx
)(lim)(lim))()((lim
c. MLxgxfxgxfcxcxcx
.)(lim).(lim))().((lim
d. 0)(lim;)(lim)(lim}
)()({lim
xgM
M
L
xg
xf
xg
xfcx
cx
cx
cx
Limit fungsi yang sederhana
a. ,lim kkcx
k konstanta
b. cxcx
lim
c. qpcqpxcx )(lim ; p,qkonstanta
d.cxcx
11lim
e. 22lim cxcx
f. cxcx
lim
Limit suku banyak berderajat n
Jika ,..............)( 100 nnn
naxaxaxP maka )()( cPxPLim nn
cx
, c Df=
R
Limit fungsi Rasional (hasil bagi dua Suku banyak)
Jika ;)(
)()(
xP
xPxf
m
n Pn Pm suku banyak, maka )()(lim cfxfcx
cDf Dimana }0)(:{ xPRxD mf
Limit Kiri dan Limit Kanan
Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval (c,b). Limit kanan fungsi f di c adalah L (
ditulis )bila)(atau,)(lim(
cxLxfLxfcx
Jika .)(000 Lxfcx
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
39/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 86
Misalkan fungsifterdefinisi pada interval (a,c). Limit kirifungsifdi cadalahL( ditulis
)bila)(atau,)(lim(
cxLxfLxfcx
Jika .)(000 Lxfxc
Limit Nilai Mutlak
Jika Lf(x)Lxfcxcx
limmaka,)(lim
Jika 0(x)limmaka,0)(lim
fxfcxcx
Teorema apit
Jika disekitar c berlaku:
Lxf
xhLxgxhxfxg
cx
cxcx
)(limmaka
)(lim)(limdan)()()(
Kontinuitas
Sebuah fungsif(x)dikatakan kontinu dix = x0jika:
i. f(x0)terdifinisi.
ii. ada)(lim0
xfxx
iii. )f(xxfLimxx
0)(0
Sebuah fungsif(x)disebut diskontinu atau tidak kontinu padax = x0, jika satu atau lebih
syarat untuk kontinuitas tidak berlaku di titik itu.
2.8 Soal-Soal Untuk Latihan 2
1. Jika ,12)( 2 xxxxf hitunglah )(lim0
xfx
2. Jika4
2)(
2
2
x
xxxf , hitunglah )(lim
2xf
x
Hitunglah nilai limit dari fungsi berikut
3.5
62lim
2
x
x
x
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
40/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 87
4.1
2lim
2
1
x
xx
x
5.2
65lim
2
2
x
xx
x
6. 2
8lim
3
2
x
x
x
7.
21 1
2
1
1lim
xxx
8.5
25lim
2
2
x
x
x
9.23
4lim
2
2
2
xx
x
x
10.644lim
2
2
2
xxxx
x
11.2
8lim
2
3
2
xx
x
x -
12.9
1253lim
2
2
3
x
xx
x
13.1
1lim
2
3
1
x
x
x
14.3
3lim
3
x
x
x
15.
4
1
2
1lim
22 xxx
16.1
1lim
1
x
x
x
17.
4
24
x
xxLimx
18.x
x
x
442lim
0
19.2
2
1 1
13lim
x
xx
x
20.xxx
xxx
x 876
553lim
23
23
21. 1426lim 22
xxxxx
22.52
43lim
2
x
x
x
23.x
x x
x
1lim
24.
xx
xx
x 44
44lim
25.3
1
3lim
x
x x
x
26.1
coslim
2 x
xx
x
27.x
x
x 8sin
2sinlim
0
28.20
cos1lim
x
x
x
29.
x
x
x
2tan
lim0
30.
xxx
tan2
lim
2
31.20
4cos2coslim
x
xx
x
32.x
xx
1sin)cos1(lim
0
33.
)1cos(sinlim0 xx
x
34.20
2cos1lim
x
x
x
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
41/42
Bab I Limit dan Kontinuitas | 88
35.)2sin(
3tanlim
2x
xx
x
36.x
x
x sin
cos1lim
37.16
312lim
24
x
x
x
38.12
lim2
x
xx
x
39.
Jika:
1,2
1,1)(
2
2
xxx
xxxf
Selidiki apakah fungsi f mempunyai limit dix= 1
40. Tentukan konstanta cagar fungsi
1,
1,3)(
2 xcx
xcxxf
mempunyai limit dix= -141. Selidiki kontinuitas dari funsi berikut di titik x = 2
2,
2,)(
xx
xxxf
42. Tentukan kostanta adan bagar fungsi
2 x,3
21,
11
)(
x
xbax
xx
xf
kontinu padaR
Kunci Jawaban
1. 1
2.2
1
3.3
2
4. -3
5. 1
6. 12
7.2
1
8.
10
9. 4
10.2
11.-4
12.6
13
13.2
3
14. 36
1
15.Tidak ada
-
7/24/2019 Bab 2 Matematika Limit Dan Kontinuitas
42/42
16.2
1
17.4
3
18.-1
19.4
1
20.2
1
21.5
22.2
3
23.e
1
24.1
25.e2
26.
12
27.4
1
28.2
1
29.2
30.-1
31.6
32.0
33.0
34.
235.0
36.0
37.32
3
38.2
1
39.F(x) punya harga limit di x = 1 karena limit kiri sama dengan limit kanan, yaitu 2
40.C = -1
41.Diskontinu pada x = 2
42. a = 4 dan b = 2
2.10 Umpan Balik
Untuk mengetahui tingkat pengusaan anda terhadap materi, gunakan rumus berikut
%100soalJumlah
skorjumlahJumlahPenguasaanTingkat x
Arti tingkat penguasaan yang anda capai:
90% - 100% = baik sekali
76% - 89% = baik
60% - 75% = sedang
< 60% = kurang
Jika anda mencapai tingkat pengusaan minimal 60%, anda dapat meneruskan
kompetensi dasar berikutnya. Tetapi jika anda mencapai tingkat penguasaan kurang dari
60%, anda harus mengulangi materi tersebut terutama yang belum dikuasai.