![Page 1: BAB 2 Sistem Bilangan Riil - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_2_Sistem_Bilangan_Riil.pdf · salah satu dari x < y atau x > y atau x = y ... garis bilangan, kemudian](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/5c82a1d209d3f29e1c8c488f/html5/thumbnails/1.jpg)
BAB 2 Sistem Bilangan Riil
![Page 2: BAB 2 Sistem Bilangan Riil - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_2_Sistem_Bilangan_Riil.pdf · salah satu dari x < y atau x > y atau x = y ... garis bilangan, kemudian](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/5c82a1d209d3f29e1c8c488f/html5/thumbnails/2.jpg)
Bilangan Riil
Himpunan bilangan riil adalah himpunan bilangan yang merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional
Himpunan bilangan rasional, Q = {x|x = , p dan
q Z, dengan q 0} contoh : Himpunan-himpunan berikut ada di dalam himpunan
bilangan rasional : * Himpunan bilangan asli, N = {1,2,3,….} * Himpunan bilangan bulat, Z = {…-2,-1,0,1,2,……}
p
q
1 4 57, ,
3 9 1
![Page 3: BAB 2 Sistem Bilangan Riil - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_2_Sistem_Bilangan_Riil.pdf · salah satu dari x < y atau x > y atau x = y ... garis bilangan, kemudian](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/5c82a1d209d3f29e1c8c488f/html5/thumbnails/3.jpg)
Himpunan bilangan irasional,
iR = {x|x tidak dapat dinyatakan dalam bentuk } contoh : , e, log 5, Teorema : “Jumlah bilangan rasional dan irrasional adalah irrasional” Representasi desimal bilangan rasional adalah berakhir atau berulang dengan pola yang sama : contohnya : 3/8 = 0.375, atau 0.3750000000…. 13/11 =1.1818181818… Setiap bilangan rasional dapat ditulis sebagai desimal berulang dan sebaliknya contoh : x = 0.136136136…. y = 0.271271271….. Buktikan x dan y merepresentasikan bilangan rasional Representasi bilangan irrasional tidak berulang dan sebaliknya, contoh : 0.101001000100001….
p
q2
![Page 4: BAB 2 Sistem Bilangan Riil - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_2_Sistem_Bilangan_Riil.pdf · salah satu dari x < y atau x > y atau x = y ... garis bilangan, kemudian](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/5c82a1d209d3f29e1c8c488f/html5/thumbnails/4.jpg)
Bilangan Riil
![Page 5: BAB 2 Sistem Bilangan Riil - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_2_Sistem_Bilangan_Riil.pdf · salah satu dari x < y atau x > y atau x = y ... garis bilangan, kemudian](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/5c82a1d209d3f29e1c8c488f/html5/thumbnails/5.jpg)
Gambar
N : bilangan
asli
Z : bilangan bulat
Q : bilangan rasional
R : bilangan real
N :
1,2,3,….
Z :
…,-2,-1,0,1,2,..
0,,, bZbab
aq
Q :
IrasionalQR
,3,2
Contoh Bil Irasional
![Page 6: BAB 2 Sistem Bilangan Riil - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_2_Sistem_Bilangan_Riil.pdf · salah satu dari x < y atau x > y atau x = y ... garis bilangan, kemudian](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/5c82a1d209d3f29e1c8c488f/html5/thumbnails/6.jpg)
Sifat-Sifat Bilangan Riil
Untuk sebarang R berlaku sifat-sifatnsebagai berikut:
1. Sifat komutatif 2. Sifat asosiatif 3. Sifat distibutif perkalian terhadap
penjumlahan 4. (i).
(ii). (iii).
5. (i). (ii). (iii). 6. (i). , untuk setiap bilangan (ii). tak terdefinisikan (iii). untuk setiap bilangan 7. Hukum Kanselasi (i). Jika dan maka (ii). Jika maka 8. Sifat pembagi nol jika maka atau
abba
abba
..).ii(
).i(
cbacbacba
cbacbacba
......).ii(
).i(
).().().( cabacba
0,1
. bb
ab
a
0,0,.
).().(
db
db
cbda
d
c
b
a
0,0,.
.. db
db
ca
d
c
b
a
).().().( bababa
baba .)).((
aa )(
00
a0a
0
a
1a
a 0a
cbca .. 0c ba
0, cbb
a
cb
ca
.
.
0. ba 0a 0b
![Page 7: BAB 2 Sistem Bilangan Riil - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_2_Sistem_Bilangan_Riil.pdf · salah satu dari x < y atau x > y atau x = y ... garis bilangan, kemudian](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/5c82a1d209d3f29e1c8c488f/html5/thumbnails/7.jpg)
Sifat-sifat urutan : Trikotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y
Ketransitifan
Jika x < y dan y < z → x < z
Penambahan
Jika x < y ↔ x + z < y + z
Perkalian
Misalkan z bilangan positif, x < y ↔ xz < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, x < y ↔ xz > yz
Sifat-Sifat Bilangan Riil
![Page 8: BAB 2 Sistem Bilangan Riil - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_2_Sistem_Bilangan_Riil.pdf · salah satu dari x < y atau x > y atau x = y ... garis bilangan, kemudian](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/5c82a1d209d3f29e1c8c488f/html5/thumbnails/8.jpg)
Latihan 1
Ubahlah masing-masing desimal berulang menjadi hasil bagi dua bilangan bulat.
a. 0,123123123...
b. 2,56565656...
![Page 9: BAB 2 Sistem Bilangan Riil - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_2_Sistem_Bilangan_Riil.pdf · salah satu dari x < y atau x > y atau x = y ... garis bilangan, kemudian](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/5c82a1d209d3f29e1c8c488f/html5/thumbnails/9.jpg)
Selang (Interval)
Selang adalah himpunan bagian dari bilangan riil yang mempunyai sifat relasi tertentu.
![Page 10: BAB 2 Sistem Bilangan Riil - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_2_Sistem_Bilangan_Riil.pdf · salah satu dari x < y atau x > y atau x = y ... garis bilangan, kemudian](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/5c82a1d209d3f29e1c8c488f/html5/thumbnails/10.jpg)
Contoh dari bermacam-macam selang dapat dilihat pada tabel berikut ini.
![Page 11: BAB 2 Sistem Bilangan Riil - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_2_Sistem_Bilangan_Riil.pdf · salah satu dari x < y atau x > y atau x = y ... garis bilangan, kemudian](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/5c82a1d209d3f29e1c8c488f/html5/thumbnails/11.jpg)
Pertidaksamaan adalah salah satu bentuk pernyataan matematika yang mengandung satu peubah atau lebih yang dihubungkan oleh tanda-tanda < , > , ≤ atau ≥.
Contoh Pertidaksamaan:
1. 2x – 7 < 4x – 2
2. –5 ≤ 2x + 6 < 4
3. x2 – x – 6 < 0
4. 3x2 – x – 2 > 0
Pertidaksamaan
![Page 12: BAB 2 Sistem Bilangan Riil - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_2_Sistem_Bilangan_Riil.pdf · salah satu dari x < y atau x > y atau x = y ... garis bilangan, kemudian](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/5c82a1d209d3f29e1c8c488f/html5/thumbnails/12.jpg)
Pertidaksamaan
Bentuk umum pertidaksamaan :
dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku banyak (polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0
xE
xD
xB
xA
![Page 13: BAB 2 Sistem Bilangan Riil - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_2_Sistem_Bilangan_Riil.pdf · salah satu dari x < y atau x > y atau x = y ... garis bilangan, kemudian](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/5c82a1d209d3f29e1c8c488f/html5/thumbnails/13.jpg)
Pertidaksamaan
Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real ini disebut juga Himpunan Penyelesaian (HP)
Cara menentukan HP : 1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :
, dengan cara : 0)(
)(
xQ
xP
![Page 14: BAB 2 Sistem Bilangan Riil - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_2_Sistem_Bilangan_Riil.pdf · salah satu dari x < y atau x > y atau x = y ... garis bilangan, kemudian](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/5c82a1d209d3f29e1c8c488f/html5/thumbnails/14.jpg)
Pertidaksamaan
Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan
Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk pembilangnya
2. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat
3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul
![Page 15: BAB 2 Sistem Bilangan Riil - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_2_Sistem_Bilangan_Riil.pdf · salah satu dari x < y atau x > y atau x = y ... garis bilangan, kemudian](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/5c82a1d209d3f29e1c8c488f/html5/thumbnails/15.jpg)
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian
53213 x
352313 x
8216 x
48 x
84 x
8,4Hp =
4 8
1.
![Page 16: BAB 2 Sistem Bilangan Riil - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_2_Sistem_Bilangan_Riil.pdf · salah satu dari x < y atau x > y atau x = y ... garis bilangan, kemudian](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/5c82a1d209d3f29e1c8c488f/html5/thumbnails/16.jpg)
8462 x
248 x
248 x
842 x
22
1 x
2,
2
1
2 2
1
Hp
2.
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian
![Page 17: BAB 2 Sistem Bilangan Riil - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_2_Sistem_Bilangan_Riil.pdf · salah satu dari x < y atau x > y atau x = y ... garis bilangan, kemudian](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/5c82a1d209d3f29e1c8c488f/html5/thumbnails/17.jpg)
3,
2
1
0352 2 xx
0312 xx
Titik Pemecah (TP) : 2
1x dan 3x
3
++ ++ --
21
3.
Hp =
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian
![Page 18: BAB 2 Sistem Bilangan Riil - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_2_Sistem_Bilangan_Riil.pdf · salah satu dari x < y atau x > y atau x = y ... garis bilangan, kemudian](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/5c82a1d209d3f29e1c8c488f/html5/thumbnails/18.jpg)
637642 xxx
xx 7642 6376 xxdan
4672 xx dan 6637 xx
4.
109 x 010 xdan
9
10x 010 xdan
9
10x dan 0x
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian
![Page 19: BAB 2 Sistem Bilangan Riil - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_2_Sistem_Bilangan_Riil.pdf · salah satu dari x < y atau x > y atau x = y ... garis bilangan, kemudian](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/5c82a1d209d3f29e1c8c488f/html5/thumbnails/19.jpg)
Hp =
,0
9
10,
0 9
10
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
Hp =
9
10,0
![Page 20: BAB 2 Sistem Bilangan Riil - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_2_Sistem_Bilangan_Riil.pdf · salah satu dari x < y atau x > y atau x = y ... garis bilangan, kemudian](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/5c82a1d209d3f29e1c8c488f/html5/thumbnails/20.jpg)
0
131
3
xx
x
13
2
1
1
xx
013
2
1
1
xx
0131
2213
xx
xx
5.
TP : -1, 3
1, 3
3
++ ++ --
-1
--
31
Hp =
3,
3
11,
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian
![Page 21: BAB 2 Sistem Bilangan Riil - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_2_Sistem_Bilangan_Riil.pdf · salah satu dari x < y atau x > y atau x = y ... garis bilangan, kemudian](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/5c82a1d209d3f29e1c8c488f/html5/thumbnails/21.jpg)
x
x
x
x
32
1
032
1
x
x
x
x
032
231
xx
xxxx
0
32
322 2
xx
xx
6.
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian
![Page 22: BAB 2 Sistem Bilangan Riil - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_2_Sistem_Bilangan_Riil.pdf · salah satu dari x < y atau x > y atau x = y ... garis bilangan, kemudian](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/5c82a1d209d3f29e1c8c488f/html5/thumbnails/22.jpg)
Untuk pembilang 322 2 xx mempunyai nilai
Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu
positif, Jadi TP : 2,-3
Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah.
-3 2
-- ++ --
,23,Hp =
![Page 23: BAB 2 Sistem Bilangan Riil - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_2_Sistem_Bilangan_Riil.pdf · salah satu dari x < y atau x > y atau x = y ... garis bilangan, kemudian](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/5c82a1d209d3f29e1c8c488f/html5/thumbnails/23.jpg)
Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai jarak x dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif.
Definisi nilai mutlak :
0,
0,
xx
xxx
![Page 24: BAB 2 Sistem Bilangan Riil - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_2_Sistem_Bilangan_Riil.pdf · salah satu dari x < y atau x > y atau x = y ... garis bilangan, kemudian](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/5c82a1d209d3f29e1c8c488f/html5/thumbnails/24.jpg)
Pertidaksamaan nilai mutlak
Sifat-sifat nilai mutlak:
y
x
y
x
2xx
axaaax 0,
axaax 0, atau ax
yx 22 yx
1.
2.
3.
4.
5.
![Page 25: BAB 2 Sistem Bilangan Riil - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_2_Sistem_Bilangan_Riil.pdf · salah satu dari x < y atau x > y atau x = y ... garis bilangan, kemudian](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/5c82a1d209d3f29e1c8c488f/html5/thumbnails/25.jpg)
Contoh: Menentukan Himpunan Penyelesaian
41 x
Contoh :
352 x
Kita bisa menggunakan sifat ke-2.
3523 x
53235 x
822 x
Hp = 4,11 4
1.
![Page 26: BAB 2 Sistem Bilangan Riil - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_2_Sistem_Bilangan_Riil.pdf · salah satu dari x < y atau x > y atau x = y ... garis bilangan, kemudian](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/5c82a1d209d3f29e1c8c488f/html5/thumbnails/26.jpg)
Contoh: Menentukan Himpunan Penyelesaian
0422 xx
352 x2.
Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4,
karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.
9522 x
016204 2 xx925204 2 xx
08102 2 xx
TP : 1, 4
1 4
++ -- ++
Hp = 4,1
![Page 27: BAB 2 Sistem Bilangan Riil - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_2_Sistem_Bilangan_Riil.pdf · salah satu dari x < y atau x > y atau x = y ... garis bilangan, kemudian](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/5c82a1d209d3f29e1c8c488f/html5/thumbnails/27.jpg)
5432 xx3.
Kita bisa menggunakan sifat 4
225432 xx
2540169124 22 xxxx
0162812 2 xx
0473 2 xx
3
4TP : , -1
Contoh: Menentukan Himpunan Penyelesaian
![Page 28: BAB 2 Sistem Bilangan Riil - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_2_Sistem_Bilangan_Riil.pdf · salah satu dari x < y atau x > y atau x = y ... garis bilangan, kemudian](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/5c82a1d209d3f29e1c8c488f/html5/thumbnails/28.jpg)
Contoh: Menentukan Himpunan Penyelesaian
Hp = ]1,3/4[
Jika digambar pada garis bilangan :
-1 3
4
++ -- ++
![Page 29: BAB 2 Sistem Bilangan Riil - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_2_Sistem_Bilangan_Riil.pdf · salah satu dari x < y atau x > y atau x = y ... garis bilangan, kemudian](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/5c82a1d209d3f29e1c8c488f/html5/thumbnails/29.jpg)
Contoh: Menentukan Himpunan Penyelesaian
272
x
272
x
272
x
52
x
92
x
10 x 18x
18,,10
4.
atau
atau
atau
Hp =
-18 -10
![Page 30: BAB 2 Sistem Bilangan Riil - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Bab_2_Sistem_Bilangan_Riil.pdf · salah satu dari x < y atau x > y atau x = y ... garis bilangan, kemudian](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/5c82a1d209d3f29e1c8c488f/html5/thumbnails/30.jpg)
Soal Latihan
372 x
Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut.
732 xx
1.
2.
3.
2472 xx
4.
4625 x
5.
25
3
x