Download - BAB 7_Nilai Eigen Dan Vektor Eigen_Fahrurozi
-
7/25/2019 BAB 7_Nilai Eigen Dan Vektor Eigen_Fahrurozi
1/29
BAB 7
NILAI EIGEN & VEKTOR EIGEN7.1 Nilai Eigen & Vektor Eigen
7.2 Diagonalisasi
7.3 Diagonalisasi Ortogonal
Achmad Fahrurozi
Universitas Indonesia
ACHMAD FAHRUROZI
-
7/25/2019 BAB 7_Nilai Eigen Dan Vektor Eigen_Fahrurozi
2/29
7.1 Nilai Eigen & Vektor Eigen
Definisi
Jika A adalah suatu matriks berukuran nxn, maka suatu vektor tak-nol x dalam Rn disebut sebagai vektor eigen dari A jika Ax adalahperkalian skalar darix, atau dapat ditulis:
Ax = x
untuk suatu skalar . Skalar disebut nilai eigen dari A, dan xdisebut vektor eigen dari A berkorespondensi dengan.
ACHMAD FAHRUROZI
-
7/25/2019 BAB 7_Nilai Eigen Dan Vektor Eigen_Fahrurozi
3/29
Contoh 1
Vektor x = adalah vektor eigen dari matriks
dan berkorespondensi dengan nilai eigen = 3, karena
1
2
3 0
8 1A
3 0 1 338 1 2 6Ax x
ACHMAD FAHRUROZI
-
7/25/2019 BAB 7_Nilai Eigen Dan Vektor Eigen_Fahrurozi
4/29
Mencari Nilai Eigen
Untuk menemukan nilai eigen dari suatu matriks persegi A (artinyamatriks A diketahui), maka tulis ulang persamaan Ax= xdalamDefinisi sebelumnya menjadi:
Ax= Ix
atau equivalen dengan,(I-A)x = 0
Agar menjadi nilai eigen dari A, maka harus terdapat solusi non-trivial dari SPL homogen di atas.
Berdasarkan subbab 6.4, SPL homogen di atas akan memiliki solusi
non-trivial jika dan hanya jikadet(I-A) = 0
Persamaan di atas disebut persamaan karakteristik dari A.Sedangkan skalar yang memenuhi persamaan di atas disebut nilaieigen dari A.
ACHMAD FAHRUROZI
-
7/25/2019 BAB 7_Nilai Eigen Dan Vektor Eigen_Fahrurozi
5/29
Contoh 2
Tentukan nilai eigen dari matriks:
0 1 0
0 0 1
4 17 8
A
ACHMAD FAHRUROZI
-
7/25/2019 BAB 7_Nilai Eigen Dan Vektor Eigen_Fahrurozi
6/29
Contoh 3
Persamaan karakteristik dari matriks:
adalah
memiliki solusi berupa bilangan imaginer, yaitu
=idan
=-i
.
Note: Dimungkinkan terdapat nilai eigen yang merupakan bilangankompleks. Namun, dalam pembahasan kita, hanya dibatasinilai eigen bernilai riil.
2 1
5 2A
22 1
det( ) 1 05 2
I A
ACHMAD FAHRUROZI
-
7/25/2019 BAB 7_Nilai Eigen Dan Vektor Eigen_Fahrurozi
7/29
Teorema 7.1.1
Jika A adalah matriks segitiga (atas ataupun bawah) atau matriksdiagonal berukuran nxn, maka nilai eigen dari A adalah entri-entripada diagonal utama matriks A tersebut.
ACHMAD FAHRUROZI
-
7/25/2019 BAB 7_Nilai Eigen Dan Vektor Eigen_Fahrurozi
8/29
Contoh 4
Dengan inspeksi, maka nilai eigen untuk matriks segitiga bawah
adalah 1= , 2= , dan 3=
12
2
314
0 0
1 05 8
A
1
4
1
2
2
3
ACHMAD FAHRUROZI
-
7/25/2019 BAB 7_Nilai Eigen Dan Vektor Eigen_Fahrurozi
9/29
Teorema 7.1.2
Pernyataan-pernyataan berikut equivalen:
(a) adalah nilai eigen dari A.
(b) SPL homogen (I-A)x = 0 memiliki solusi non-trivial.
(c) Terdapat vektor tak-nolxdalam Rn sedemikian sehingga Ax= x.
(d) adalah solusi dari persamaan karakteristik det(I-A) = 0.
ACHMAD FAHRUROZI
-
7/25/2019 BAB 7_Nilai Eigen Dan Vektor Eigen_Fahrurozi
10/29
Mencari vektor eigen
Vektor eigen dari A yang berkorespondensi dengan nilai eigen adalah vektor tak-nol x yang memenuhi Ax = x.
Hal tersebut equivalen dengan mengatakan bahwa vektor eigen
yang berkorespondensi dengan nilai eigen adalah vektor-vektortak nol dalam ruang solusi dari SPL (I-A)x = 0, yaitu ruang nulldari matriks (I-A).
Kita sebut ruang solusi tersebut sebagai ruang eigen dari A yang
berkorespondensi dengan. Basis dari ruang eigen ini adalah vektoreigen yang berkorespondensi dengan .
ACHMAD FAHRUROZI
-
7/25/2019 BAB 7_Nilai Eigen Dan Vektor Eigen_Fahrurozi
11/29
Contoh 5
Tentukan basis dari ruang eigen dari
Penyelesaian:
Langkah 1: Tentukan nilai-nilai eigen dari ALangkah 2: Tentukan ruang solusi untuk SPL homogen (I-A)x= 0untuk setiap yang diperoleh pada Langkah 1.
0 0 2
1 2 1
1 0 3
A
ACHMAD FAHRUROZI
-
7/25/2019 BAB 7_Nilai Eigen Dan Vektor Eigen_Fahrurozi
12/29
Teorema 7.1.3
Jika k adalah suatu integer positif, adalah nilai eigen dari matriks A,danxadalah vektor eigen dari A yang berkorespondensi dengan ,maka kadalah nilai eigen dari matriks Akdanxadalah vektor eigen
yang berkorespondensi dengank
.
ACHMAD FAHRUROZI
-
7/25/2019 BAB 7_Nilai Eigen Dan Vektor Eigen_Fahrurozi
13/29
Contoh 6
Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A7, dimana
0 0 2
1 2 1
1 0 3
A
ACHMAD FAHRUROZI
-
7/25/2019 BAB 7_Nilai Eigen Dan Vektor Eigen_Fahrurozi
14/29
Teorema 7.1.4
Suatu matriks persegi A invertibel jika dan hanya jika = 0 bukanlahnilai eigen dari A.
ACHMAD FAHRUROZI
-
7/25/2019 BAB 7_Nilai Eigen Dan Vektor Eigen_Fahrurozi
15/29
7.2 Diagonalisasi
Definisi
Suatu matriks persegi A dikatakan terdiagonaliasi jika terdapatsuatu matriks invertibel P sedemikian sehingga P-1AP adalahmatriks diagonal. Matriks P tersebut dikatakan mendiagonalisasi A.
ACHMAD FAHRUROZI
-
7/25/2019 BAB 7_Nilai Eigen Dan Vektor Eigen_Fahrurozi
16/29
Teorema 7.2.1
Jika A adalah matriks berukuran nxn, maka pernyataan-pernyataanberikut equivalen:
(a) A terdiagonalisasi.
(b) A memiliki n buah vektor eigen yang bebas linier.
Note: teorema di atas menunjukkan bahwa masalah vektor eigen danmasalah diagonalisasi adalah equivalen.
ACHMAD FAHRUROZI
-
7/25/2019 BAB 7_Nilai Eigen Dan Vektor Eigen_Fahrurozi
17/29
Prosedur mendiagonalisasi matriks
Teorema sebelumnya menggaransi bahwa matriks persegi Aberukuran nxn dengan n buah vektor eigen yang bebas linier adalahmatriks terdiagonaliasi.
Bukti dari teorema tersebut dapat digunakan untuk menentukan
prosedur dalam mendiagonalisasi matriks A.
Langkah 1: Cari n buah vektor eigen yang bebas linier, sebut sajap1, p2, , pn.
Langkah 2: Bentuk matriks P dengan vektor-vektor kolomnya
adalah p1, p2, , pn.Langkah 3: Matriks P-1AP akan menjadi matriks diagonal denganentri-entri pada diagonal utamanya berturut-turut adalah i, yaitunilai eigen yang berkorespondensi dengan pi, i =1,2, , n.
ACHMAD FAHRUROZI
-
7/25/2019 BAB 7_Nilai Eigen Dan Vektor Eigen_Fahrurozi
18/29
Contoh 1
Tentukan matriks P yang mendiagonalisasi matriks
0 0 2
1 2 1
1 0 3
A
ACHMAD FAHRUROZI
-
7/25/2019 BAB 7_Nilai Eigen Dan Vektor Eigen_Fahrurozi
19/29
Contoh 2: Matriks tak terdiagonalisasi
Tentukan matriks P yang mendiagonaliasi matriks
1 0 0
1 2 0
3 5 2
A
ACHMAD FAHRUROZI
-
7/25/2019 BAB 7_Nilai Eigen Dan Vektor Eigen_Fahrurozi
20/29
Teorema 7.2.2
Jika p1, p2, , pkadalah vektor-vektor eigen dari A yangberkorespondensi dengan nilai-nilai eigen berbeda1, 2, , k,maka{p1, p2, , pk} adalah himpunan yang bebas linier.
ACHMAD FAHRUROZI
-
7/25/2019 BAB 7_Nilai Eigen Dan Vektor Eigen_Fahrurozi
21/29
Teorema 7.2.3
Jika matriks A yang berukuran nxn memiliki n buah nilai eigen yangberbeda, maka matriks A terdiagonalisasi.
ACHMAD FAHRUROZI
-
7/25/2019 BAB 7_Nilai Eigen Dan Vektor Eigen_Fahrurozi
22/29
Definisi
Jika 0adalah nilai eigen dari suatu matriks A berukuran nxn, makadimensi dari ruang eigen yang berkorespondensi dengan 0disebutgeometric multiplicity dari 0. Sedangkan jumlah kemunculan (-0) sebagai faktor dari persamaan karakteristik dari A disebut
algebraic multiplicity dari A.
ACHMAD FAHRUROZI
-
7/25/2019 BAB 7_Nilai Eigen Dan Vektor Eigen_Fahrurozi
23/29
Teorema 7.2.4
Jika A adalah matriks persegi, maka:
(a) Untuk setiap nilai eigen dari A, maka geometric multiplicity dari Aakan selalu lebih kecil atau sama dengan algebraic multiplicity
dari A.(b) A terdiagonalisasi jika dan hanya jika untuk setiap nilai eigen dari
A berlaku: geometric multiplicity = algebraic multiplicity.
ACHMAD FAHRUROZI
-
7/25/2019 BAB 7_Nilai Eigen Dan Vektor Eigen_Fahrurozi
24/29
Contoh
Jika A adalah matriks berukuran nxn dan P matriks invertibel,maka untuk setiap integer positif k, berlaku:
(P-1AP)k= P-1AkP
Sehingga, jika A adalah matriks yang terdiagonalisasi, dimana
P-1AP = D adalah matriks hasil diagonaliasi, makaP-1AkP = (P-1AP)k= Dk
Atau
Ak= PDkP-1
ACHMAD FAHRUROZI
-
7/25/2019 BAB 7_Nilai Eigen Dan Vektor Eigen_Fahrurozi
25/29
Contoh
Gunakan hasil yang diperoleh di atas untuk menentukan A13,dimana
0 0 2
1 2 1
1 0 3
A
ACHMAD FAHRUROZI
-
7/25/2019 BAB 7_Nilai Eigen Dan Vektor Eigen_Fahrurozi
26/29
7.3 Diagonalisasi Ortogonal
Definisi
Suatu matriks A berukuran nxn dikatakan terdiagonalisasiortogonal jika terdapat matriks invertibel P yang merupakanmatriks ortogonal, sedemikian sehingga P-1AP adalah matriksdiagonal. Atau dengan kata lain P-1AP = PTAP.
ACHMAD FAHRUROZI
-
7/25/2019 BAB 7_Nilai Eigen Dan Vektor Eigen_Fahrurozi
27/29
Teorema 7.3.1
Jika A adalah matriks berukuran nxn, maka pernyataan-pernyataanberikut equivalen:
(a) A terdiagonaliasi ortogonal.
(b) Himpunan vektor-vektor eigen dari A merupakan himpunan
ortonormal.(c) A adalah matriks simetrik.
ACHMAD FAHRUROZI
-
7/25/2019 BAB 7_Nilai Eigen Dan Vektor Eigen_Fahrurozi
28/29
Teorema 7.3.2
Jika A adalah matriks simetrik, maka:
(a) Nilai-nilai eigen dari A adalah bilangan riil.
(b) Vektor-vektor eigen dari A yang berasal dari ruang eigen berbeda
adalah ortogonal.
ACHMAD FAHRUROZI
-
7/25/2019 BAB 7_Nilai Eigen Dan Vektor Eigen_Fahrurozi
29/29
Contoh
Tentukan matriks ortogonal P yang mendiagonaliasi matriks
4 2 2
2 4 2
2 2 4
A
ACHMAD FAHRUROZI