bab 7 vektor eigen
DESCRIPTION
Vektor EigenTRANSCRIPT
• Nilai Eigen dan Vektor Eigen• Diagonalisasi• Diagonalisasi Ortogonal
7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN
Diketahui A matriks nxn dan x adalah suatu vektorpada Rn, maka biasanya tdk ada hubungan antara vektor xdengan vektor Ax.
Namun , dapat terjadi vektor x tertentu sedemikiansehingga x dan Ax merupakan penggandaan satu sama lain
Nilai Eigen, Vektor Eigen
Ax
x
Ax
x
Jika A adalah matriks nxn,
• Vektor-vektor tidak nol pada Rn disebut vektor eigendari A jika Ax adalah suatu penggandaan skalar dari x,
yaitu: Ax = x• Untuk semua skalar .
• Skalar disebut eigenvalue A, dan x disebut jugaeigenvector A bersepadanan dengan .
Nilai Eigen, Vektor Eigen
Apabila diberikan transformasi linier A : Rn Rn, maka kitaperlu menentukan skalar sehingga Ax = x mempunyaisolusi tak nol.
Nilai Eigen, Vektor Eigen
Jika diketahui vektor adalah suatu vektor eigen
maka tentukan nilai eigen dari vektor tersebut.
λ =3
Ax = x
Menghitung λ
A nn Ax = x
Ax = Ix (I – A)x = 0.
det (I – A) = 0
Persamaan karakteristik dari A,dimana skalar yang memenuhipersamaan ini adalah nilai eigendari A.
det (I – A) merupakan persamaan polinomial p dalam dan disebut polinomial karakteristik dari A.
Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran nxn, maka:
Menghitung λ
det (I – A) = 0
Nilai Eigen, Vektor Eigen
Tentukan nilai eigen dari
• Polinomial karakteristik A didapat melalui:
• Nilai eigen value diperoleh melalui 3 – 82 + 17 – 4 =0
0 1 0
0 0 1
4 17 8
A
3 2
1 0
det( ) det 0 1 8 17 4
4 17 8
I A
3 – 82 + 17 – 4 =0(-4)(2-4 +1) = 0
Nilai Eigen, Vektor Eigen
Tentukan nilai eigen dari
• Nilai eigen value = ½ , = 2/3, dan = -1/4
4
185
03
21
002
1
A
det (I – A) = 0
Jika A adalah matriks segitiga nn triangular matrix ( segitiga atas,segitiga bawah atau diagonal) maka nilai eigen dari A adalah anggotadiagonal A.
Teorema Eigen
Jika Ann dan adalah bilangan real maka pernyataanberikut adalah ekuivalen:
• adalah nilai eigen dari A.• Sistem persamaan (I – A)x = 0 memiliki solusi
tak-trivial.• Ada suatu vektor tak-nol x pada Rn sedemikian
sehingga Ax = x.• merupakan suatu penyelesaian dari persamaan
karakteristik det(I – A) = 0.
Basis Ruang Eigen
• Eigenvectors A bersepadanan dengan eigenvalue adalah vektor tak-nol x yang memenuhi Ax = x.
• Eigenvectors yang bersepadanan dengan adalah vektor tak-nol dalam ruang penyelesaian (I – A)x = 0
ruang eigen A yang berhubungan dengan .
(I – A)x = 0
Mencari nilai eigen
det (I – A) = 0
Mencari vektor eigen
Basis Ruang Eigen
Cara menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks Aukuran nxn :
1. Tentukan polinomial karakteristik det(I – A)=0 darimatriks A.
2. Tentukan nilai eigen A dengan menyelesaikan persamaankarakteristik det (I – A) = 0 untuk .
3. Untuk tiap nilai eigen tentukan ruang null dari matriks
A-I. Vektor tak nol yang berhubungan dengan itumerupakan vektor eigen A.
4. Tentukan basis untuk ruang eigen tersebut.
Contoh Basis Ruang Eigen
Cari basis-basis untuk ruang eigen dari0 0 2
1 2 1
1 0 3
A
1
2
3
0 2 0
1 2 1 0 (3)
1 0 3 0
x
x
x
(I – A)x = 0
3 – 52 + 8 – 4 = 0
( – 1)( – 2)2 = 0 = 1 and = 2
• Mencari nilai eigen
det (I – A) = 0
• Mencari vektor eigen
Contoh Basis Ruang Eigen
1
2
3
2 0 2 0
1 0 1 0
1 0 1 0
x
x
x
• Menentukan ruang solusi dan basis untuk = 2
x1 = -s, x2 = t, x3 = s
Vektor eigen dari A yang bersepadanan dengan = 2 adalah vektor tak nol berbentuk:
0 1 0
0 0 1
0 1 0
s s
t t s t
s s
x
Cek : apakah bebas linier.
Jika iya, maka vektor-vektor tersebut membentuk suatu basis untuk ruang eigen yang berpadanan dengan = 2
Contoh Basis Ruang Eigen
• Dengan cara yang sama, ditentukan ruang solusi dan basis untuk = 1
Vektor eigen dari A yang bersepadanan dengan = 1 adalahvektor tak nol berbentuk:
basis untuk ruang eigen yang berpadanan dengan
= 2
Nilai Eigen Dari Pangkat Suatu Matriks
Jika k : bilangan bulat positif,
: eigenvalue matriks A,
x : eigenvector
k adalah eigenvalue dari Ak dan x is a corresponding eigenvector.
A2x= A (Ax) –A (x) = (Ax) - (x) = 2x
Teorema:
Jika k adalah suatu bilangan bulat positif, adalah suatu nilai eigendari suatu matriks A, dan x adalah suatu vektor eigen yangberpadanan, maka k adalah suatu nilai eigen dari Ak dan x adalahsuatu vektor eigen yang berpadanan.
Nilai Eigen Dari Pangkat Suatu Matriks
Contoh:
Nilai Eigen dari adalah
0 0 2
1 2 1
1 0 3
A
= 1 and = 2
Vektor eigen dari A untuk nilai = 2 adalah
Nilai eigen untuk A7 : = 27 = 128 dan = 17 = 1
Vekor eigen untuk A7 yang bersepadanan dengan = 27 = 128
Vekor eigen untuk A7 yang bersepadanan dengan = 17 = 1
Vektor eigen dari A untuk nilai = 1 adalah
Matriks Balikan pada Nilai Eigen
Suatu matriks bujursangkar A dapat dibalik jika dan hanyajika = 0 bukanlah suatu nilai eigen dari A.
RingkasanJika A mn matrix, dan jika TA : Rn Rn adalah perkalian dengan A;
• A dapat di-invers.• Ax = 0 hanya memiliki persamaan trivial.• Bentuk baris tereduksi dari A adalah In.• A dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriks-matriks dasar.• Ax = b konsisten untuk setiap matriks b, n1.• Ax = b tepat mempunyai satu solusi untuk setiap matriks b, n1.• det(A)≠0.• Range (daerah hasil) TA adalah Rn.• TA satu satu.• Vektor kolom A bebas linier.• Vektor baris A bebas linier.• Vektor kolom A merentang Rn.• Vektor baris A merentang Rm.• Vektor kolom dari A membentuk suatu basis untuk Rn.• Vektor baris dari A membentuk suatu basis untuk Rn.• A berpangkat n.• A mempunyai kekosongan 0.• Komplemen orthogonal dari ruang kosong A adalah Rn.• Komplemen orthogonal dari ruang baris A adalah {0}.• ATA bisa dibalik• = 0 bukanlah suatu nilai eigen dari A
DIAGONALISASI
Diagonalisasi Matriks
Suatu matriks bujursangkar A dikatakan diagonalizable
• Jika ada matriks P yang dapat diinvers sehingga P-1AP =Dadalah matriks diagonal
• Matriks P dikatakan mendiagonalkan ( diagonalize) A.
Jika A nn maka:
• A dapat didiagonalkan.
• A mempunyai n vektor eigen yang bebas secara linier.
Prosedur Diagonalisasi Matriks
Suatu matriks Anxn dengan n vektor eigen yang bebas linier dapat didiagonalkan dengan langkah sbb: .
• Step 1. Cari n vektor eigen yang bebas secara linier dari A, yaitu p1, p2, …, pn.
• Step 2. Bentuk matriks P yang mempunyai p1, p2, …, pnsebagai vektor-vektor kolomnya.
• Step 3. Matriks P-1AP akan menjadi matriks diagonal dengan 1, 2, …, n sebagai anggota diagonalnya dimana iadalah nilai eigen yang berpadanan dengan pi, untuk i = 1, 2, …, n.
Contoh Diagonalisasi Matriks
Cari matriks P yang mendiagonalkan :
0 0 2
1 2 1
1 0 3
A
1
2
3
0 2 0
1 2 1 0 (3)
1 0 3 0
x
x
x
(I – A)x = 0
3 – 52 + 8 – 4 = 0
( – 1)( – 2)2 = 0 = 1 and = 2
• Mencari nilai eigen
det (I – A) = 0
• Mencari vektor eigen
Contoh Diagonalisasi Matriks
1
2
3
2 0 2 0
1 0 1 0
1 0 1 0
x
x
x
• Menentukan ruang solusi dan basis untuk = 2
x1 = -s, x2 = t, x3 = s
Vektor eigen dari A yang bersepadanan dengan = 2 adalah vektor tak nol berbentuk:
0 1 0
0 0 1
0 1 0
s s
t t s t
s s
x
Cek : apakah bebas linier.
Jika iya, maka vektor-vektor tersebut membentuk suatu basis untuk ruang eigen yang berpadanan dengan = 2
Contoh Diagonalisasi Matriks
• Dengan cara yang sama, ditentukan ruang solusi dan basis untuk = 1
Vektor eigen dari A yang bersepadanan dengan = 2 adalahvektor tak nol berbentuk:
basis untuk ruang eigen yang berpadanan dengan
= 2
Contoh Diagonalisasi Matriks
0
1
0
,
1
0
1
21 pp
1
1
2
3p
Sehingga didapat basis untuk ruang eigen adalah sebagai berikut:
= 2:
= 1:
101
110
201
P
Cek apakah matriks A dapat didiagonalkan dan mendiagonalkan A:
DAPP
100
020
002
101
110
201
301
121
200
101
111
2011
Contoh Diagonalisasi Matriks
Cari matriks P yang mendiagonalkan
253
021
001
A
Polinominal karakteristik dari A dicari dengan :
det (I – A) = 02
1 0 0
det( ) 1 2 0 ( 1)( 2)
3 5 2
I A
Persamaan karakteristik:
Nilai eigen dan basis ruang eigen adalah:
Karena A matriks 3X3 dan P hanya terdiri dari 2 vektor basis, maka A tidak dapat didiagonalkan.
Teorema Diagonalisasi Matriks
Jika v1, v2, …, vk, adalah vektor-vektor eigen dari A yangberpadanan dengan nilai eigen yang berbeda-beda 1, 2, …,k, maka {v1, v2, …, vk} adalah suatu himpunan yang bebassecara linier.
Jika suatu matriks Ann mempunyai nilai-nilai eigen yangberbeda-beda, maka A dapat didiagonalkan.
Diagonalisasi Matriks
Contoh :
0 1 0
0 0 1
4 17 8
A
Cari matriks P yang mendiagonalkan
• Polinomial karakteristik A didapat melalui:
3 – 82 + 17 – 4 =0(-4)(2-4 +1) = 0
3 2
1 0
det( ) det 0 1 8 17 4
4 17 8
I A
Matriks A3x3 mempunyai nilai-nilai eigen yang berbeda-beda,maka A dapat didiagonalkan.
1
4 0 0
0 2 3 0
0 0 2 3
P AP
Diagonalisasi Matriks Segitiga
Ingat: Jika A adalah matriks segitiga nn triangular matrix ( segitiga atas, segitigabawah atau diagonal) maka nilai eigen dari A adalah anggota diagonal A.
Matriks A berikut adalah sebuah matriks yang bisa didiagonalkan.
1 2 4 0
0 3 1 7
0 0 5 8
0 0 0 2
A
DIAGONALISASI ORTOGONAL
Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks)
Diketahui suatu matriks A, nxn, dan suatu matriksortogonal P sedemikian sehingga :
P-1AP = PTAP=D
maka A disebut dapat didiagonalkan secara ortogonaldan P disebut mendiagonalkan A secara ortogonal.
Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks)
Setiap matriks simetris dapat didiagonalkan secara ortogonal.
Jika A adalah matriks nn maka pernyataan berikut ekuivalen:
• A dapat didiagonalkan secara ortogonal.
• A mempunyai suatu himpunan n vektor eigen yang ortonormal.
• A simetris.
AT = (PDPT)T=PDTPT = PDPT = A
Jika A adalah suatu matriks simetris, maka:
– Nilai eigen dari A semuanya bilangan real.
– Vektor-vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda ortogonal.
Diagonalisasi Matriks Simetris
Prosedur mendiagonalkan secara ortogonal suatu matriks simetris:
• Step 1. Cari basis untuk setiap ruang eigen dari A.
• Step 2. Terapkan proses Gramm Schmidt pada setiap basis-basis ini untuk mendapatkan suatu basis ortonormal untuk setiap ruang eigen.
• Step 3. Bentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor basis yang disusun pada step-2, matriks ini mendiagonalkan A secara ortogonal
Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks)
• Cari suatu matriks ortogonal P yang mendiagonalkan
• Solusi: – Persamaan karakteristik A adalah:
– Basis ruang eigien yang bersepadanan dengan = 2 adalah
– :
4 2 2
2 4 2
2 2 4
A
2
4 2 2
det( ) det 2 4 2 ( 2) ( 8) 0
2 2 4
I A
1 2
1 1
1 and 0
0 1
u u
Masalah Diagonalisasi Ortogonal (Bentuk Matriks)
Terapkan proses Gram Schmidt pada {u1, u2untuk menghasilkan vektor eigen yang ortonormal berikut:
1 2
1/ 2 1/ 6
1/ 2 and 1/ 6
0 2 / 6
v v
Ruang eigen yang bersepadanan dengan = 8 adalah 3
1
1
1
u
Terapkan proses Gram Schmidt pada {u3} didapat:3
1/ 3
1/ 3
1/ 3
v
sehingga
3/16/20
3/16/12/1
3/16/12/1
321 vvvP
P mendiagonalkan A secara ortogonal. Cek bahwa PTAP=D