Download - Babiloni matematika
Babiloni matematika
Jutasi Szilvia Infotanár MA
2
Babiloni matematika
Babilóniai matematika alatt azt a rendszert értjük,
melyet Mezopotámiában (mai Irak területe)
használtak a korai sumerektől a hellenisztikus kor
kezdetéig. Azért nevezik babilóniai matematikának,
mert Babilonnak, mint tudományos központnak
központi szerepe volt benne, ezt a szerepét azonban a
hellenisztikus korban elvesztette.
3
Babiloni matematika
Ekkortól kezdve a babilóniai matematika egyesült a
görög és egyiptomi rendszerekkel, amely a
hellenisztikus matematika kialakulásához vezetett.
Később az arab birodalom uralma alatt
Mezopotámia, különösképpen Bagdad ismét fontos
szerepet kapott, mint a muzulmán matematika
tudományos központja.
4
Az első helyiértékes számírás emlékeit Mezopotámiában és annak fővárosában, Babilonban találták meg. Ezek kb. 4000 éves (Kr. e. 2000 körül) agyagtáblák.
Babiloni matematika
5
Babiloni matematika
Kr. e. 1900 és 1600 között készítették az emberiség
egyik legősibb számelméleti dokumentumát, a
Plimpton 322 néven is ismertté vált babiloni
agyagtáblát. Ezen megtalálható egy sor ún.
Pitagoraszi számhármas, jóval Pitagorasz előtt.
6
Ezeken az agyagtáblákon a 60-as számrendszer
fedezhető fel. A 60-as számrendszer nyomait ma is
megtalálhatjuk, hiszen az idő illetve a szög fokban
történő mérésénél 60 a váltószám.
1 óra = 60 perc,
1 perc = 60 másodperc
Babiloni matematika
''60'1
'601
7
Babiloni matematika A babiloniak az első
kilenc számjegyet megfelelő számú vonással jelölték (ék). A 10-re külön jelük volt (sarokpánt), annak ismétlésével írták le a 20-at, 30-at, 40-et és 50-et. A 60 jelölésére újból az 1-es jelét használták (helyiérték!).
8
Babiloni matematika
A 60-as számrendszerben dolgoztak, de nem volt 60
különböző számjegyük, ahogy azt az ember elsőre
elvárná. A babiloniak nem használták a nullát, így
aztán leírva pl. az 1 és a 60 ugyanúgy nézett ki. Csak
a szövegkörnyezetből lehetett következtetni rá, hogy
pontosan melyikről van szó.
9
Babiloni számok 1től 59ig
10
Agyagtáblák A babiloniak nádpálcával puha agyagtáblákba írtak, majd azt
kiégették. A pálca alakja okozza az ékírás jellegzetes formáját.
11
A babiloni táblázatok: Plimpton 322 A babiloniak a táblázatok
megszállottjai voltak.
Az egyik tábla, amelyet
megfejtettek rendkívüli. Ez
a tábla a Columbiai
Egyetem múzeumának
birtokában van.
12
Plimpton 322 Nincs rajta semmi más, csak 15 számhármas.
Mindegyik számhármasra igaz, hogy az első szám négyzetszám, és megegyezik a másik kettő összegével, amelyek maguk is négyzetszámok – azaz a tábla tizenöt pitagoraszi számhármast tartalmaz.
13
Pitagoraszi számhármasok (néhány)
5 3 4
13 5 12
25 7 24
17 8 15
41 9 40
61 11 60
37 12 35
85 13 84
65 16 63
29 20 21
53 28 45
65 33 56
85 36 77
89 39 80
97 65 72
14
Négyzetgyök 2 Az 1-nél kisebb helyiértékeket is használták,
„hatvanados” törteket írtak. Így maradt fent a
értéke:
1·600+24·60-1+51·60-2+10·60-3 alakban, 4 tizedesjegy
pontossággal (1,4142):
15
Négyzetgyök 2 A Yale egyetemen található 7289-es agyagtábla
jegyzetekkel
16
Négyzetgyök 2
A gyökvonás elvégzésére egyébként a numerikus
matematikában ma is használt iterációs eljárást
alkalmazták: legyen a0 a első, tetszőleges közelítése
(akár 1-et is vehetünk), minden további közelítést
pedig az előzőből a fenti képlet szerint számolták. Ez
az eljárás meglepően gyorsan konvergál: ha pl. a0=1-
ből indulunk, akkor a1=1,5 és a2=1,415...
17
Babiloni táblázatok Az osztást reciprokkal
történő szorzással végezték.
Számolásaik
megkönnyítésére különböző
táblázatokat használtak. Volt
szorzó és reciprok táblázatuk,
sőt négyzet, köb és
négyzetgyök táblázatuk is.
18
Egyenletek
A régészeti leletek azt mutatják, hogy már ismerték az első és
másodfokú egyenletek megoldását, sőt oldottak meg
harmadfokú egyenletet is.
Egy általuk megoldott akkori időből származó feladat: Két
négyzet területének összeg 1000. Az egyik négyzet oldala a
másik oldalának kétharmadánál tízzel kisebb. Mekkorák a
négyzet oldalai? Ennek a feladatnak a megoldása során a
13x2-120x-8100=0 másodfokú egyenlethez jutunk.
19
Pitagorasz tétele
Ismerték és bizonyítani is tudták a Pitagorasz tételt. A
babiloni matematika közvetlenül is nagy hatással volt
az ókori görög matematikusokra, elsősorban Thalész-
ra és Pitagorasz-ra, valamint a hindu matematikára is.
20
Pitagorasz tételének egy bizonyítását is a babiloniakhoz kötik:
Ha mindkét ábráról elhagyjuk a négy-négy egybevágó háromszöget, a maradék idomok területe megegyezik.
a2+b2=c2
a
a
a
a
b
bb
b a
a
a
a
b
b
b
b c
c c
c
21
Háromszögek
Ismerték a háromszögek hasonlóságát
Az írásos emlékekből tudjuk, hogy geometriai
ismereteik meglepően fejlettek voltak, de ezek
elsősorban a gyakorlati életet szolgálták.
22
Kamatszámítás
I.e. 600-as évekből származó leleteken
kamatszámítási feladatokat találtak, tehát ismerték a
százalékszámítást.
23
Babiloni matematika
Összefoglalva:
A babiloniak két legnagyobb, máig élő hozzájárulása
a matematikához a 60-as számrendszer és a
helyiérték bevezetése.
24
Felhasznált irodalom
http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=2591&pf=1
http://www.bethlen.hu/matek/Mathist/Forras/Babiloni_matematika.htm
http://people.inf.elte.hu/nejnabi/haromszogek.ppt