Babiloni matematika

Jutasi Szilvia Infotanár MA

2

Babiloni matematika

Babilóniai matematika alatt azt a rendszert értjük,

melyet Mezopotámiában (mai Irak területe)

használtak a korai sumerektől a hellenisztikus kor

kezdetéig. Azért nevezik babilóniai matematikának,

mert Babilonnak, mint tudományos központnak

központi szerepe volt benne, ezt a szerepét azonban a

hellenisztikus korban elvesztette.

3

Babiloni matematika

Ekkortól kezdve a babilóniai matematika egyesült a

görög és egyiptomi rendszerekkel, amely a

hellenisztikus matematika kialakulásához vezetett.

Később az arab birodalom uralma alatt

Mezopotámia, különösképpen Bagdad ismét fontos

szerepet kapott, mint a muzulmán matematika

tudományos központja.

4

Az első helyiértékes számírás emlékeit Mezopotámiában és annak fővárosában, Babilonban találták meg. Ezek kb. 4000 éves (Kr. e. 2000 körül) agyagtáblák.

Babiloni matematika

5

Babiloni matematika

Kr. e. 1900 és 1600 között készítették az emberiség

egyik legősibb számelméleti dokumentumát, a

Plimpton 322 néven is ismertté vált babiloni

agyagtáblát. Ezen megtalálható egy sor ún.

Pitagoraszi számhármas, jóval Pitagorasz előtt.

6

Ezeken az agyagtáblákon a 60-as számrendszer

fedezhető fel. A 60-as számrendszer nyomait ma is

megtalálhatjuk, hiszen az idő illetve a szög fokban

történő mérésénél 60 a váltószám.

1 óra = 60 perc,

1 perc = 60 másodperc

Babiloni matematika

''60'1

'601

7

Babiloni matematika A babiloniak az első

kilenc számjegyet megfelelő számú vonással jelölték (ék). A 10-re külön jelük volt (sarokpánt), annak ismétlésével írták le a 20-at, 30-at, 40-et és 50-et. A 60 jelölésére újból az 1-es jelét használták (helyiérték!).

8

Babiloni matematika

A 60-as számrendszerben dolgoztak, de nem volt 60

különböző számjegyük, ahogy azt az ember elsőre

elvárná. A babiloniak nem használták a nullát, így

aztán leírva pl. az 1 és a 60 ugyanúgy nézett ki. Csak

a szövegkörnyezetből lehetett következtetni rá, hogy

pontosan melyikről van szó.

9

Babiloni számok 1től 59ig

10

Agyagtáblák A babiloniak nádpálcával puha agyagtáblákba írtak, majd azt

kiégették. A pálca alakja okozza az ékírás jellegzetes formáját.

11

A babiloni táblázatok: Plimpton 322 A babiloniak a táblázatok

megszállottjai voltak.

Az egyik tábla, amelyet

megfejtettek rendkívüli. Ez

a tábla a Columbiai

Egyetem múzeumának

birtokában van.

12

Plimpton 322 Nincs rajta semmi más, csak 15 számhármas.

Mindegyik számhármasra igaz, hogy az első szám négyzetszám, és megegyezik a másik kettő összegével, amelyek maguk is négyzetszámok – azaz a tábla tizenöt pitagoraszi számhármast tartalmaz.

13

Pitagoraszi számhármasok (néhány)

5 3 4

13 5 12

25 7 24

17 8 15

41 9 40

61 11 60

37 12 35

85 13 84

65 16 63

29 20 21

53 28 45

65 33 56

85 36 77

89 39 80

97 65 72

14

Négyzetgyök 2 Az 1-nél kisebb helyiértékeket is használták,

„hatvanados” törteket írtak. Így maradt fent a

értéke:

1·600+24·60-1+51·60-2+10·60-3 alakban, 4 tizedesjegy

pontossággal (1,4142):

15

Négyzetgyök 2 A Yale egyetemen található 7289-es agyagtábla

jegyzetekkel

16

Négyzetgyök 2

A gyökvonás elvégzésére egyébként a numerikus

matematikában ma is használt iterációs eljárást

alkalmazták: legyen a0 a első, tetszőleges közelítése

(akár 1-et is vehetünk), minden további közelítést

pedig az előzőből a fenti képlet szerint számolták. Ez

az eljárás meglepően gyorsan konvergál: ha pl. a0=1-

ből indulunk, akkor a1=1,5 és a2=1,415...

17

Babiloni táblázatok Az osztást reciprokkal

történő szorzással végezték.

Számolásaik

megkönnyítésére különböző

táblázatokat használtak. Volt

szorzó és reciprok táblázatuk,

sőt négyzet, köb és

négyzetgyök táblázatuk is.

18

Egyenletek

A régészeti leletek azt mutatják, hogy már ismerték az első és

másodfokú egyenletek megoldását, sőt oldottak meg

harmadfokú egyenletet is.

Egy általuk megoldott akkori időből származó feladat: Két

négyzet területének összeg 1000. Az egyik négyzet oldala a

másik oldalának kétharmadánál tízzel kisebb. Mekkorák a

négyzet oldalai? Ennek a feladatnak a megoldása során a

13x2-120x-8100=0 másodfokú egyenlethez jutunk.

19

Pitagorasz tétele

Ismerték és bizonyítani is tudták a Pitagorasz tételt. A

babiloni matematika közvetlenül is nagy hatással volt

az ókori görög matematikusokra, elsősorban Thalész-

ra és Pitagorasz-ra, valamint a hindu matematikára is.

20

Pitagorasz tételének egy bizonyítását is a babiloniakhoz kötik:

Ha mindkét ábráról elhagyjuk a négy-négy egybevágó háromszöget, a maradék idomok területe megegyezik.

a2+b2=c2

a

a

a

a

b

bb

b a

a

a

a

b

b

b

b c

c c

c

21

Háromszögek

Ismerték a háromszögek hasonlóságát

Az írásos emlékekből tudjuk, hogy geometriai

ismereteik meglepően fejlettek voltak, de ezek

elsősorban a gyakorlati életet szolgálták.

22

Kamatszámítás

I.e. 600-as évekből származó leleteken

kamatszámítási feladatokat találtak, tehát ismerték a

százalékszámítást.

23

Babiloni matematika

Összefoglalva:

A babiloniak két legnagyobb, máig élő hozzájárulása

a matematikához a 60-as számrendszer és a

helyiérték bevezetése.

24

Felhasznált irodalom

http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=2591&pf=1

http://www.bethlen.hu/matek/Mathist/Forras/Babiloni_matematika.htm

http://people.inf.elte.hu/nejnabi/haromszogek.ppt