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BALANBALANO INTEGRALO INTEGRAL
DE ENERGIADE ENERGIA
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As leis bsicas que se aplicam no estudo envolvendo o escoamento de fluidos incluem os princpios de conservao de massa, de quantidade de movimento,de energia, etc.
Balano de Energia
Na anlise do escoamento de fluido vamos aplicar a primeira lei da termodinmica:
Se um sistema transportado atravs de um ciclo, o calor total adicionado ao sistema a partir de suas vizinhanas proporcional ao trabalho realizado pelo sistema nas referidas vizinhanas.
Diferente do balano de momento, a eq. de energia resultante estar na forma escalar:
onde Q e W so diferenciais de calor e trabalho. O operador usado uma vez que tanto Q quanto W so funes do caminho escolhido (no so funes de estado) diferenciais inexatas. (obs.: no caso de funes de estado (como T, P e V), estas dependem apenas dos estados inicial e final).
INTRODUO
= WQ
y
2
1
a
b
Considerando um ciclo termodinmico (a):
(1) +=+1
b2
2
a1
1
b2
2
a1WWQQ
-
Considerando um novo ciclo termodinmico ida por a e volta por c:
(2)
Subtraindo (1) de (2):
Que pode ser escrito como:
Como cada lado da equao acima se refere ao valor da integral de uma funo realizada por caminhos diferentes, o valor obtido no depende deste. Essa propriedade ser designada como dE e representa a quantidade total de energia do sistema.
Expresso alternativa para a primeira lei da termodinmica:
+=+1
c2
2
a1
1
c2
2
a1WWQQ
=1
c2
1
b2
1
c2
1
b2WWQQ
=1
c2
1
b2)WQ()W Q(
WQdE =
y
2
1
a
b
c
Obs: Para um sistema que est submetido a um processo que ocorre em um intervalo de tempo dt:
Q positivo quando calor adicionado ao sistema W positivo quando o trabalho feito pelo sistema.
dtW
dtQ
dtdE
=
A variao de energia de um sistema igual soma de calor e trabalho trocados com o meio.
funo de estado
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MTODO DE EULER
Neste estudo do escoamento dos fluidos ser utilizado o mtodo de Euler.
considera um ponto fixo no espao e exprime, a cada instante, as grandezas caractersticas da partcula que passa por esse ponto.
Para a descrio dinmica deste movimento, necessrio o conhecimento de certas caractersticas, como a presso, a velocidade e massa especfica.
MTODOS DE EULER E LAGRANGE
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MTODO DE LAGRANGE
Descreve o movimento de cada partcula acompanhando-a em sua trajetria real; Apresenta grande dificuldade em aplicaes prticas; Para a engenharia normalmente no h interesse pelo comportamento individual
da partcula e sim pelo comportamento do conjunto de partculas durante o escoamento.
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Escrevendo a equao de balano de energia:
e aplicando ao volume de controle:
Fluxo lquido (sada entrada):
No balano de massa:
No balano de momento:
No balano de energia:
+
=
+
VC no gia-ener de mulo
-ac de taxa
escoamento
pelo sai queenergia de taxa
as vizinhannas VC pelo feita
trabalhode taxa
VC o paraas vizinhandas
calor de taxa
escoamento
pelo entra queenergia de taxa
nv
dA
dAnvdAvAA
n = ).(rr
A
dAnvv ).( rrr
A
dAnve ).( rr
(1)
-
Ou seja,
Acmulo:
Substituindo na equao de balano (1) os termos obtidos:
=
A
dAnve ).( escoamento
pelo sai queenergia de taxa
escoamento
pelo entra queenergia de taxa
rr
VCdVe
t
+=VCA
dVet
dAnvedtW
dtQ ).( rr
OBSERVAO:
Temos 3 tipos de trabalho:
Trabalho de eixo (Ws): realizado pelo sistema sobre a vizinhana ocasionando a rotao de um eixo, se positivo. Se negativo, a vizinhana promove a rotao do eixo.
Trabalho devido ao escoamento (W): realizado nas vizinhanas para vencer as tenses normais na superfcie do VC.
Trabalho cisalhante (W): realizado para vencer as foras cisalhantes (tangenciais) na superfcie do VC.
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nv
dA
S (comp. ii e ij)
S o vetor resultante das tenses normais ()e de cisalhamento (), envolvidas em um escoamento. Assim, a fora atuando em um elemento de rea dA S.dA e a taxa de trabalho realizada dASv
rr.
+=+VCAA
s dVet
dAnvedASvdtW
dtQ ).(. rr
rrAssim:
A fora resultante tem uma forma mais usual de se apresentar. Ela engloba efeitos de presso e efeitos viscosos, da mesma forma que o W. Assim:
atribuindo toda a contribuio viscosa a um trabalho W:
+=VCAA
s dVet
dAnvedtW
dAnvPdtW
dtQ ).().( rrrr
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(2)
Reagrupando os termos:
dtW
dVet
dAnvPedtW
dtQ
VCA
s
+
++= ).()(rr
Obs.: a energia total especfica, e, pode ser expressa para incluir as contribuies de energia cintica, energia potencial e energia interna, ou seja:
uvgye ++=2
2(3)
SIMPLIFICAES:Considere um escoamento no volume de controle estabelecido abaixo, na situao de regime permanente e desprezando as perdas por atrito. Determine a equao que rege esse sistema.
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Para essas condies, a equao de energia (eq. (2)) fica:
Com base na equao (3), o termo (e+P/) pode ser escrito como:
P
uvgyPe +++=+2
2
mas
(4)
Assim, a equao (4) fica:
Pelo balano de massa: 222111 AvAvm ==&
Superfcie de controle
+++
+++=
1
111
21
2
222
22S Pugy
2vP
ugy2v
m
Wq&
&
-
mWPgy2v
um
qPgy2v
u s
2
22
22
21
11
21
1&
&
&++++=++++
P
uhPVUH +=+=
m
Whgy2v
m
qhgy2v s
22
22
11
21
&
&
&+++=+++
Ou, na forma mais familiar:
Mas, por definio, entalpia a soma da energia interna e da energia atrelada ao sistema por meio de relaes entre este e sua vizinhana, ou seja:
Com isso, outra forma de se expressar a equao (5) :
(5)
Na situao de regime transiente e desprezando as perdas por atrito:
Retomando a equao global de energia:
dtW
dVet
dA)n.v()Pe(dtW
dtQ
VCA
s
+
++= rr
t
)M.e(w)Pe(w)Pe(wq
t
)M.e(Av)Pe(Av)Pe(wq
11
112
2
22s
1111
11222
2
22s
+++=
+++=
quantidade de energia associada ao conjunto sistema-vizinhana pelo fato do sistema ocupar um volume V quando submetido presso P (mximo trabalho realizado pela vizinhana sobre o sistema)
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t)M.e(
w)Pugy2v(w)Pugy
2v(wq 1
1
111
21
22
222
22
s
+
+++
+++=
t)M.e(
w)hgy2v(w)hgy
2v(wq 111
21
222
22
s
+++++=ou
EQUAO DE BERNOULLI
Sob determinadas condies de escoamento a expresso da primeira lei da termodinmica aplicada a um volume de controle se reduz a uma equao muito til, conhecida como equao de Bernoulli.
Consideremos o escoamento de um fluido incompressvel, isotrmico, invscido (viscosidade nula: no h trabalho viscoso), ocorrendo em estado estacionrio. Tomemos um volume de controle, conforme abaixo esquematizado:
-
0dtW
e 0dtQ s
==
0)Av(Pgy2v)Av(Pgy
2v
1111
11
21
2222
22
22
=
++
++
0dVet VC
=
Nessas condies: - escoamento estacionrio, incompressvel e invscido- no h trabalho de eixo- no h transferncia de calor ou mudana na energia interna, ento:
Com essas simplificaes a equao da 1 Lei fica:
0wPgy2v
wPgy
2v
11
11
21
22
22
22
=
++
++
-
222111 AvAv =
2
22
22
1
11
21 Pgy
2vPgy
2v
++=
++
gP
g2vy
gP
g2vy
2
222
21
121
1 ++=
++
Como
Dividindo pela acelerao da gravidade:
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MEDIDORES DE VAZO
1.DEFINIO DE PRESSO
A presso de estagnao e a presso dinmica podem ser associadas equao de Bernoulli:
2
22
22
1
11
21 Pgy
2vPgy
2v
++=
++
Presso esttica: P a presso termodinmica no fluido que escoa. Para medi-la precisamos nos mover com a velocidade do fluido (ou seja, de modo esttico em relao ao fluido). Um outro modo de se medir usando um tubo piezomtrico: P1 = (h4-3 + h3-1) = h, onde =g, conforme Figura:
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Presso dinmica: o termo v2/2 denominado presso dinmica e surge quando a velocidade nula e ele transformado em energia de presso.
Presso de estagnao: aplicando a equao de Bernoulli nos pontos 1 e 2 do grfico, possvel obter: P2 = P1 +v2/2, onde 2 o ponto de estagnao onde a velocidade do fluido zero, aps o lquido preencher o tubo at a altura H. Assim, a presso de estagnao maior que a presso esttica P1 de v12/2, ou seja:
Presso de estagnao = Presso esttica + Presso dinmica
Presso hidrosttica: o termo gy denominado presso hidrosttica pois, apesar de no ser uma presso, pode representar uma possvel mudana na presso devido a variao da energia potencial do fluido.
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Observao: Se efeitos de elevao (variao de altura) na linha podem ser desprezados, a presso de estagnao: P2 = P1 +v2/2 a maior presso que uma linha de corrente pode apresentar, ou seja, toda a energia cintica do fluido convertida num aumento de presso.
Presso total: a equao de Bernoulli estabelece que a presso total permanece constante ao longo da linha de corrente (LC), ou seja,
P +v2/2+y = PT = constante ao longo da LC
Observao: lembre-se de verificar se as hipteses usadas na deduo da equao de Bernoulli se aplicam no escoamento em anlise.
TUBO DE PITOTConsiste de um tubo com uma abertura perpendicular direo do escoamento e um segundo tubo cuja abertura paralela ao escoamento
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A velocidade de escoamento calculada a partir da diferena entre a presso na abertura paralela ao escoamento, chamada de presso esttica, e a presso no tubo de impacto, chamada de presso de estagnao.
P2 (presso de estagnao) = P1 (presso esttica) +v12/2P2 P1 = v12/2 v1 = (2 P/)1/2 (*)A presso de trabalho para o tubo de Pitot normalmente:
v1 = C (2 P/)1/2 = C [2 (m-)gh/]1/2
onde m a massa especfica do fluido manomtrico, a massa especfica do fluido que escoa e h o desnvel no manmetro. A constante C foi inserida para corrigir desvios em relao equao (*).
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O tubo de Pitot mede a velocidade local, mas medindo a velocidade em vrias posies radiais, para um mesmo comprimento de tubo, pode-se estimar a velocidade mdia do escoamento.Obs.: esse sistema se aplica a fluidos incompressveis e aos gases em velocidades moderadas, onde a variao de presso inferior a 15%.Outras formas do tubo de Pitot:
MEDIDORES POR RESTRIO
Um modo eficiente de medir a vazo volumtrica em tubos instalar algum tipo de restrio no tubo e medir a diferena entre as presses na regio de baixa velocidade e alta presso (ponto 1) e de alta velocidade e baixa presso (ponto 2).
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Placa (ou medidor) de orifcio
Medidor de Venturi
Medidor de bocal
Todos apresentam o mesmo princpio de funcionamento: um aumento na velocidade provoca uma diminuio na presso. A diferena entre eles uma questo de custo, preciso e como sua condio ideal de funcionamento (efeitos viscosos e de compressibilidade no so levados em conta) se aproxima da condio real.
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Admitindo que o escoamento entre os pontos 1 e 2 incompressvel, invscido e horizontal (y1 = y2) e que estamos trabalhando em regime permanente, ento a equao de Bernoulli fica:
Pelo balano de massa:
onde A1 e A2 so as reas das sees transversais 1 e 2.
Substituindo v1 e v2 por Q/ A1 e Q/A2, respectivamente, podemos isolar Q e determin-lo em funo da diferena de presso.
P1 +v12/2 = P2 +v22/2
Q = A1v1 = A2v2