Download - Basic Mathematics and Solutions
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
1/39
LATIHAN
01. Selesaikan sistem persamaan linear berikut ini !
(a) Selesaikan sistem persamaan linear berikut ini, dan carilah nilai nilai A dan B
(2).........BA4
7
(1).........BA2
5
+=
+=
(b) Selesaikan sistem persamaan linear berikut ini, dan carilah nilai nilai A dan B
(2)...........BA44
1!
(1)...........BA4
27
+=
+=
(c) "arilah titik p#t#n$ dua buah kur%a &un$si &un$si berikut ini '
( )
( )2
121
1
7&
4
5
2
1
&
+=
+=
(d) Selesaikan sistem persamaan linear berikut ini, dan carilah nilai nilai A , B ,
dan "
(!).........."B2A4
(2).........."BA4
7
(1).........."BA4
27
++=
++=+=
(e) Selesaikan sistem persamaan linear berikut ini, dan carilah nilai nilai A , B ,
dan "
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
2/39
"B4A14
1!
"B1*A!24
"B2A4
++=
++=++=
(&) "arilah titik p#t#n$ dua buah kur%a &un$si &un$si berikut ini '
( )
( ) 42
5
4
1&
4
5
2
1&
2 +=
+=
($) "arilah titik p#t#n$ dua buah kur%a &un$si &un$si berikut ini '
( )
( )2
121
1
7&
42
5
4
1&
2
+=
+=
(h) "arilah titik p#t#n$ dua buah kur%a &un$si &un$si berikut ini '
( )
( )2
121
1
7&
2*
117
2*
5
112
1!&
2
+=
+=
(i) "arilah titik p#t#n$ dua buah kur%a &un$si &un$si berikut ini '
( )
( )4
5
2
1&
2*
117
2*
5
112
1!& 2
+=
+=
(+) "arilah titik p#t#n$ dua buah kur%a &un$si &un$si berikut ini '
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
3/39
( )
( ) 42
5
4
1&
2*
117
2*
5
112
1!&
2
2
+=
+=
JAWAB 01
(a) in+au sistem persamaan linear '
(2).........BA47
(1).........BA2
5
+=
+=
-liminasi B dari persamaan (1) dan (2) , diper#leh
(!)..........2
1A =
Substitusi nilai A pada persamaan (1) , diper#leh
(4)..........4
5B=
(b) in+au sistem persamaan linear '
(2)...........BA44
1!
(1)...........BA4
27
+=
+=
-liminasi B dari persamaan (1) dan (2) , diper#leh
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
4/39
(!)..........1
7A =
Substitusi nilai A pada persamaan (1) , diper#leh
(4)..........2
121B=
(c) encari titik p#t#n$ dua buah kur%a &un$si &un$si berikut ini '
( )
( )2
121
1
7&
4
5
2
1&
+=
+=
isalkan, titik p#t#n$n/a adalah titik " ( )"" /,( , maka
( ) ( )
( )2
121
1
7
4
5
2
1/,"
2
121
1
7&0
4
5
2
1&
"""" +=+
+=+=
( )
4
2
25
2
121
1
7
1
5
2
121
1
7
4
5
2
1/,"
"
"
""""
==
+
+=+
( ) ( )4
1!/
4
54
2
14&/ "" =+==
aka k#rdinat titik " ( )"" /,( , adalah
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
5/39
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
6/39
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
7/39
( )
( ) 42
5
4
1&
4
5
2
1&
2 +=
+=
Secara umum titik p#t#n$ dari &un$si linear dan &un$si kuadrat adalah dua buah
titik p#t#n$. isalkan, titik p#t#n$n/a adalah titik " ( )"" /,( dan
( ) /,( , maka
( ) ( )
( ) ( )
4
11(!(
4
1
4(2
5(
4
1
4
5(
2
1
/,(,/,("
4(2
5(
4
1(&0
4
5(
2
1(&
",2
",
",2
",",
""
2
+=
+=+
+=+=
( ) ( )
11(01(4
12
4
11
4
14!!
(
"
2
",
==
=
aka k#rdinat titik " ( )"" /,( dan ( ) /,( , adalah
"
4
7,1 dan
4
27,11
($) encari titik p#t#n$ dua buah kur%a &un$si &un$si berikut ini '
( )
( )2
121
1
7&
42
5
4
1&
2
+=
+=
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
8/39
Secara umum titik p#t#n$ dari &un$si linear dan &un$si kuadrat adalah dua buah
titik p#t#n$. isalkan, titik p#t#n$n/a adalah titik " ( )"" /,( dan
( ) /,( , maka
( ) ( )
( ) ( )
2
41(
5
(
4
1
4(2
5(
4
1
2
121(
1
7
/,(,/,("
4(2
5(
4
1(&0
2
121(
1
7(&
",2
",
",2
",",
""
2
=
+=+
+=+=
5
41(01(
4
12
2
41
4
14
5
5
(
"
2
",
==
=
aka k#rdinat titik " ( )"" /,( dan ( ) /,( , adalah
"
4
27,1 dan
1
!1,
5
41
(h) encari titik p#t#n$ dua buah kur%a &un$si &un$si berikut ini '
( )
( )2
121
1
7&
2*
117
2*
5
112
1!&
2
+=+=
Secara umum titik p#t#n$ dari &un$si linear dan &un$si kuadrat adalah dua buah
titik p#t#n$. isalkan, titik p#t#n$n/a adalah titik " ( )"" /,( dan
( ) /,( , maka
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
9/39
( ) ( )
( ) ( )
!5
!5*
14
42!
112
1!
2*
117
2*
5
112
1!
2
121
1
7
/,,/,"
2*117
2*5
1121!&0
2121
17&
",2
",
",2
",",
""
2
+=
+=+
+=+=
)5
14!2(04(
112
1!2
14
2!
14
42!
(
112
1!2
!5
!5*
112
1!4
14
42!
14
42!
(
"
",
2
",
==
=
=
aka k#rdinat titik " ( )"" /,( dan ( ) /,( , adalah
"
4
1!,4 dan
1!
121*!,
5
14!2
(i) encari titik p#t#n$ dua buah kur%a &un$si &un$si berikut ini '
( )
( )4
5
2
1&
2*
117
2*
5
112
1!& 2
+=
+=
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
10/39
Secara umum titik p#t#n$ dari &un$si linear dan &un$si kuadrat adalah dua buah
titik p#t#n$. isalkan, titik p#t#n$n/a adalah titik " ( )"" /,( dan
( ) /,( , maka
( ) ( )
( ) ( )
7!*
2*51
1121!
2*
117
2*
5
112
1!
4
5
2
1
/,,/,"
2*
117
2*
5
112
1!&0
4
5
2
1&
",2
",
",2
",",
""
2
+=
+=+
+=+=
1!
152(04(
112
1!2
2*
25
2*
51
(
112
1!2
7
!*
112
1!4
2*
51
2*
51
(
"
",
2
",
==
=
=
aka k#rdinat titik " ( )"" /,( dan ( ) /,( , adalah
" 41!,4 dan 52
!,1!152
(+) encari titik p#t#n$ dua buah kur%a &un$si &un$si berikut ini '
( )
( ) 425
41&
2*
117
2*
5
112
1!&
2
2
+=
+=
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
11/39
Secara umum titik p#t#n$ dari &un$si kuadrat dan &un$si kuadrat adalah dua buah
titik p#t#n$. isalkan, titik p#t#n$n/a adalah titik " ( )"" /,( dan ( ) /,( , maka
( )
( )
( ) ( )
2*
22(
2*
1!5(
112
41
2*
117(
2*
)5(
112
1!
4(2
5(
4
1
/,(,/,("
2*
117(
2*
)5(
112
1!(&
04(2
5(4
1(&
",2
",
",2
",
",2
",
""
2
2
+=
+=
+
+=
+=
41
45*(02(
112
412
2*
4
2*
1!5
(
112
412
2*
22
112
414
2*
1!5
2*
1!5
(
"
",
2
",
==
=
=
aka k#rdinat titik " ( )"" /,( dan ( ) /,( , adalah
" ( ),2 dan
1*1
1222,
41
45*
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
12/39
02. 3erhatikan $ambar 1 di baah ini '
x
y = f(x)
F
B
G
K2L
2
L1
H
I
gambar 01
A
C
D
J
K1
K
L
!
"
#
$
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
13/39
K%&%ra'ga' gambar
ur%a &un$si linear, 61, meleati titik titik A, B, , 8, , dan . itik
titik Adan B berturut turut adalah titik p#t#n$ kur%a &un$si linear, 61, den$an
sumbu dan & (). ur%a &un$si linear, 61 , berp#t#n$an den$an kur%a &un$si
kuadrat, 1, di titik titik dan , dan berp#t#n$an +u$a den$an kur%a &un$si
kuadrat, 2, di titik titik 8 dan . ur%a &un$si linear, 62, meleati titik titik
, -, 8, 9, dan :. itik titik -dan : berturut turut adalah titik p#t#n$ kur%a
&un$si linear, 62 , den$an sumbu dan & () . ur%a &un$si kuadrat, 1 ,
meleati titik titik , ", , ;,
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
14/39
(h) "ari &un$si linear, 62
(i) "ari k#rdinat titik - ( )-/,
(+) "ari k#rdinat titik : ( ),:
(k) "ari k#rdinat titik 9 ( )99 /,(
(l) "ari &un$si kuadrat, 2
(m) "ari k#rdinat titik ( ) /,(
JAWAB 02
(a) encari &un$si kuadrat, 1.
9nrmasi /an$ dibutuhkan adalah k#rdinat titik titik
4
27,1 ,
47,1 , dan ; ( ),2 , /an$ berada pada kur%a
iketahui bentuk umum &un$si kuadrat '
( ) bmt&' 21 ++=
arena titik titik , , dan ;, berada pada kur%a atau dileati kur%a 1,
artin/a '
( )
( ) bm2t4,2;
bmt4
7
4
7,1
bmt4
27
4
27,1
bmt&' 2
1
++=
++=
+=
++=
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
15/39
:adi kita mendapatkan buah persamaan linear den$an buah %ariabel /aitu t ,
m , dan b. Selesaikan den$an eliminasi, maka diper#leh
4b02
5m04
1t ===
sehin$$a, &un$si kuadrat, 1, berbentuk
( ) 42
5
4
1&'
21 +=
(b) encari k#rdinat titik " ( )"/,
itik " adalah titik p#t#n$ kur%a kuadrat , 1, den$an sumbu & () , maka
( )
( ) 4//,"
42
5
4
1&'
""
21
=
+=
aka k#rdinat titik " adalah
" ( )4,
(c) encari k#rdinat titik < ( ),(<
itik
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
16/39
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
17/39
arena titik titik A
,
4
1 dan
4
7,1 , /an$ berada pada kur%a
&un$si linear, 61 , artin/a '
( )
na4
7
4
7,1
na4
1,
4
1A
na&'61
+=
+=
+=
:adi kita mendapatkan 2 buah persamaan linear den$an 2 buah %ariabel /aitu a
dan n. Selesaikan den$an eliminasi, maka diper#leh
4
5n0
2
1a ==
sehin$$a, &un$si linear, 61, berbentuk
( )45
21&'61 +=
(e) "ari k#rdinat titik B ( )B/,
itik B adalah titik p#t#n$ &un$si linear, 61, den$an sumbu & () , maka
( )
( )4
5//,B
4
5
2
1&'6
BB
1
=
+=
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
18/39
aka k#rdinat titik B adalah
B
4
5,
(&) "ari k#rdinat titik ( ).. /,(
itik adalah titik p#t#n$ kur%a &un$si linear, 61, den$an kur%a &un$si
kuadrat , 1, maka
( ) ( ) 42
5
4
1&'0
4
5
2
1&'6
211 +=+=
( ) ( )
( )
( )
42
5
4
1
4
5
2
1
45
21//,
42
5
4
1//,
42
5
4
1&'0
4
5
2
1&'6
2
2
211
+=+
+=
+=
+=+=
aka k#rdinat titik adalah
4
27,11
($) embuktikan baha titik 8
4
1!,4 dileati #leh kur%a &un$si linear, 61
in+au &un$si linear, 61
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
19/39
( )
( )
4
1!
4
1!
4
5
24
1!
4
54
2
1
4
1!
4
1!,48
4
5
2
1&'61
=
+=
+=
+=
arena diper#leh ruas kiri sama den$an ruas kanan, maka titik 8
4
1!,4
dileati #leh kur%a &un$si linear, 61
(h) "ari &un$si linear, 62
9nrmasi /an$ dibutuhkan adalah k#rdinat titik titik
4
27,1 dan 8
4
1!,4 , /an$ berada pada kur%a &un$si linear, 62
iketahui bentuk umum &un$si &un$si linear, 62 '
( ) r(p(&'62 +=
arena titik titik
4
27
,1 dan 8
4
1!
,4 , /an$ berada pada kur%a
&un$si linear, 62 , artin/a '
( )
rp4
4
1!
4
1!,48
rp4
27
4
27,1
rp&'62
+=
+=
+=
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
20/39
:adi kita mendapatkan 2 buah persamaan linear den$an 2 buah %ariabel /aitu a
dan n. Selesaikan den$an eliminasi, maka diper#leh
2
121r01
7p ==
sehin$$a, &un$si linear, 62, berbentuk
( )2
121
1
7&'62 +=
(i) "ari k#rdinat titik - ( )-/,
itik - adalah titik p#t#n$ &un$si linear, 62, den$an sumbu & () , maka
( )
( )2
121//,-
2
121
1
7&'6
--
2
=
+=
aka k#rdinat titik - adalah
-
2
121,
(+) encari k#rdinat titik : ( ),:
itik : adalah titik p#t#n$ kur%a &un$si linear , 62, den$an sumbu , maka
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
21/39
( )
( )
14
121
2
121
1
7,:
2
121
1
7&'6
:
::
2
=
+=
+=
aka k#rdinat titik : adalah
:
,14
121
(k) "ari k#rdinat titik 9 ( )99 /,(
itik 9 adalah titik p#t#n$ kur%a &un$si linear, 62, den$an kur%a &un$si kuadrat ,
1, maka
( ) ( ) 42
5
4
1&'0
2
121
1
7&'6
212 +=+=
( ) ( )
( )
( )
42
5
4
1
2
121
1
7
2
121
1
7//,
42
5
4
1//,
42
5
4
1&'0
2
121
1
7&'6
92
99
9999
9
2
9999
212
+=+
+=
+=
+=+=
aka k#rdinat titik 9 adalah
9
1!1,
541
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
22/39
(l) encari &un$si kuadrat, 2
9nrmasi /an$ dibutuhkan adalah k#rdinat titik titik ; ( ),2 , 3 ( ),1* ,
dan 8
4
1!,4 , /an$ berada pada kur%a
iketahui bentuk umum &un$si kuadrat '
( ) edc&' 22 ++=
arena titik titik ;, 3, dan 8, berada pada kur%a atau dileati kur%a 2,
artin/a '
( )
( )
( )
ed4c14
1!
4
1!,48
ed1*c!24,1*3
ed2c4,2;
edc&' 2
2
++=
++=
++= ++=
:adi kita mendapatkan buah persamaan linear den$an buah %ariabel /aitu
c , d , dan e. Selesaikan den$an eliminasi, maka diper#leh
2*
117e0
2*
5d0
112
1!c ===
sehin$$a, &un$si kuadrat, 2, berbentuk
( )2*
117
2*
5
112
1!&'
22 +=
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
23/39
(m) "ari k#rdinat titik ( ) /,(
itik adalah titik p#t#n$ kur%a &un$si kuadrat, 2, den$an kur%a &un$si
kuadrat , 1, maka
( )
( )
( )
( )
42
5
4
1
2*
117
2*
5
112
1!
2*
117
2*
5
112
1!//,
42
5
4
1//,
42
5
4
1&'
02*
117
2*
5
112
1!&'
2
2
2
2
21
22
+=+
+=
+=
+=
+=
aka k#rdinat titik adalah
1*1
1222,
41
45*
0. Selesaikan pertidaksamaan berikut ini dan cari himpunan pen/elesaiann/a !
(a)( ) ( )
realbilan$an05
1!
+
(b)( ) ( )
( ) ( ) realbilan$an04
5
1!4
++
(c) realbilan$an0*
42
5
4
1
!2
2
+
(d) realbilan$an0112
2*
117
2*
5
112
1!
!512
2
+
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
24/39
JAWAB 0
(a) en/elesaikan pertidaksamaan '
( ) ( )realbilan$an0
5
1!
+
( ) ( )
5
1!
+
( )
5
5!22
( )
5
1!
Buat $aris bilan$an
aka himpunan pen/elesaian untuk pertidaksamaan di atas adalah
realbilan$an051 >
atau
{ }realbilan$an051=
1 *
++
gambar 02
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
25/39
(b) en/elesaikan pertidaksamaan '
( ) ( )
( ) ( ) realbilan$an04
5
1!4
++
( ) ( )
( ) ( ) 4
5
1!4
++
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
5
541!4
+
++
( )( ) ( )
)(5(
!(! +
Buat $aris bilan$an
aka himpunan pen/elesaian untuk pertidaksamaan di atas adalah
realbilan$an0!5
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
26/39
(c) en/elesaikan pertidaksamaan '
realbilan$an0*
42
5
4
1
!2
2
+
( )
( ) ( )
*(2(4
1
1((2
Buat $aris bilan$an
aka himpunan pen/elesaian untuk pertidaksamaan di atas adalah
realbilan$an01*2
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
27/39
realbilan$an0112
2*
117
2*
5
112
1!
!512
2
+
( ) ( )112
1*2112
1!
!512
( )
( ) ( )
1*(2(
112
1!
(1! 2
( ) ( )
( ) ( )
1*(2(112
1!
!(!(1!
+
Buat $aris bilan$an
aka himpunan pen/elesaian untuk pertidaksamaan di atas adalah
realbilan$an0!2!
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
28/39
{ }realbilan$an0!2!
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
29/39
5"t# =
4=t# =
!28t# +=
2t#
=516t# =
:ika temperatur benda tersebut menurut term#meter 6 adalah 45#6 , maka
5
5154516t#
===
aka temperatur benda menurut term#meter '
( ) "25555"t ## ===
( ) =2544=t ## ===
( ) 877!25!28t ## =+=+=
( ) 1252t ## ===
t#()
5
25
t#"
t#=
2
2
77
t#8t#6
45
2 5
1
t#gambar 0/
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
30/39
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
31/39
K%&%ra'ga' gambar
ita mulai den$an men$$ambar
( ) ( ) realbilan$an(0(1)
>2
c#s!(&1
=
emudian kita men$$ambar
( ) ( ) realbilan$an(0(1)
>2c#s!)(& 2
+=
ur&a & 2() diper#leh den$an men$$eser kur%a & 1() se+auh ke baah
emudian kita men$$ambar
( ) ( ) realbilan$an(04(1)
>2c#s!)(&
+=
ur&a & () diper#leh den$an men$$eser kur%a & 2() ke kanan sebesar 4.
& 2()
& ()
12
1*4 12 2 24
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
32/39
(b) en$$ambar kur%a '
( ) realbilan$an(0)
5(
5
!>sin2)(&
+=
K%&%ra'ga' gambar
ita mulai den$an men$$ambar
& 1()& 2()
gambar 10
& ()
& ()
2
2
4
*
1?5?5? 15? 25? ?
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
33/39
( ) ( ) realbilan$an0
!
1
>2sin2&1
=
emudian kita men$$ambar
( ) ( ) realbilan$an0
!
1
>2sin2& 2
=
ur&a & 2() diper#leh den$an membalik kur%a & 1().
emudian kita men$$ambar
( ) ( ) realbilan$an0
!
1
>2sin2&!
=
ur&a & () diper#leh den$an men$$eser kur%a & 2() ke baah sebesar .
emudian kita men$$ambar
( ) realbilan$an0
5
!
1
>2c#s2&
+
=
ur&a & () diper#leh den$an men$$eser kur%a & () ke kiri sebesar 5?.
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
34/39
0,. er+akan /an$ diperintahkan
(a) 3erhatikan $ambar berikut ini !
eteran$an ;ambar
iketahui se$iti$a siku siku 3 /an$
sudut siku sikun/a di titik . Sudut @
adalah siku siku.
3
@
gambar 12
gambar 11
& ()& ()
*
4
2
2
& ()
1?5?5? 15? 25? ?
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
35/39
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
36/39
(( )
(( )
( )
( )
=
==
====
21
72
7521
75
72
3tan
75
21
3
c#s0
75
72
3
3sin
( ) ( )
( )( )
=
==
====
72
21
75
72
75
21
3
tan
75
72
3
3c#s0
75
21
3
sin
4. encari @
( ) ( ) ( )
( )25
54@
75
7221sin@
=
==
5. encari @
( ) ( ) ( )
( )25
441@
75
2121c#s@
=
==
. encari @3
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )25
14!4@3
@325
44175
@3@3
=
+
=
+=
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
37/39
5. encari 3
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )37
1127
37
4327
4
7
3033
=
+=
=+=
aka
( )11
543 =
7. encari luas se$iti$a @3
6uas se$iti$a @3 C ( ) ( )( )sin3@32
1
6uas se$iti$a @3 C
75
21
11
54
5
14!4
6uas se$iti$a @3 C **,7!5 Dsatuan luasE
(b) 3erhatikan $ambar 1 ! ahap tahap pen$er+aan '
(1) ;unakan identitas tri$#n#metri untuk se$iti$a 3
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )4
3!tan
3
3tan
#
+=
+==
(2) ;unakan identitas tri$#n#metri untuk se$iti$a 3
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
38/39
( )( )
( )
( )( ) ( )3tan
3tan
3tan
#
#
=
=
=
() ;abun$kan lan$kah (1) dan (2) untuk mendapatkan
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )4
tan!tan
tan
3tan
##
#
+=
+==
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) 2.
2
14
!
1!
!
1
4.
!tan)tan
!tan4.
##
#
=
=
=
=
(4) encari 3
( ) ( )( ) !23
tan3 #
=
=
(5) encari luas se$iti$a 3
6uas se$iti$a 3 C ( ) ( )32
1
6uas se$iti$a 3 C ( )( )!222
1
-
7/25/2019 Basic Mathematics and Solutions
39/39
6uas se$iti$a 3 C !2 Dsatuan luasE