Download - Bevezetés az informatikába
Bevezetés az informatikába
Csernoch Mária
http://www.inf.unideb.hu/~csernochmaria/bev_info/
Számrendszerek
Számrendszerek
• A számrendszerek a számok megnevezésével és lejegyzésével kapcsolatos eljárások összessége.– nem helyiértékes (pl. egyiptomi, maya, római;
nehézkes bennük a számolás)– helyiértékes
• Babilónia (i.e.1750): hatvanas számrendszer (idő-, szögmérés)• India (i.sz. 600): tízes számrendszer (számjegyek: 1, 2, . . . , 9)• arabok (i.sz. 750): megjelenik a 0• Európában 1200–1600 között terjed el általánosan
Bináris Ternális Kvintális Oktális Decimális Duodecimális Hexadecimális
0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1
10 2 2 2 2 2 2
11 10 3 3 3 3 3
100 11 4 4 4 4 4
101 12 10 5 5 5 5
110 20 11 6 6 6 6
111 21 12 7 7 7 7
1000 22 13 10 8 8 8
1001 100 14 11 9 9 9
1010 101 20 12 10 a A
1011 102 21 13 11 b B
1100 110 22 14 12 10 C
1101 111 23 15 13 11 D
1110 112 24 16 14 12 E
1111 120 30 17 15 13 F
10000 121 31 20 16 14 10
Számrendszerek
Definíció: Az r alapú helyiértékes számrendszert a következő szabály definiálja:
(…𝑎2𝑎1𝑎0 .𝑎−1𝑎− 2…)𝑟=¿= ∑𝑖=−∞
∞
𝑎𝑖𝑟𝑖=¿¿=⋯+𝑎2𝑟
2+𝑎1𝑟 +𝑎0+𝑎−1𝑟−1+𝑎−2𝑟
− 2+⋯ .
Számrendszerek
• r szám: számrendszer alapszáma• jelek: a szám számjegyei• az számjegy által jelölt szám: a számjegy alaki értéke• hatvány: a számjegy helyiértéke
(i = 0;1;2; )• . (pont): az alappont
(…𝑎2𝑎1𝑎0 .𝑎−1𝑎− 2…)𝑟=¿= ∑𝑖=−∞
∞
𝑎𝑖𝑟𝑖=¿¿=⋯+𝑎2𝑟
2+𝑎1𝑟 +𝑎0+𝑎−1𝑟−1+𝑎−2𝑟
− 2+⋯ .
Számrendszerek
• valódi érték: az alaki érték és a megfelelő helyi érték szorzata
• érték:– a szám értékét úgy kapjuk, hogy az egyes
számjegyek értékét szorozzuk a helyiértékükkel, és mindezt összeadjuk
– valódi értékeket összeadjuk
Számrendszerek
számrendszer alapszám számjegyek alaki érték
kettes, bináris 2 0, 1 0, 1
Számrendszerek
számrendszer alapszám számjegyek alaki érték
kettes, bináris 2 0, 1 0, 1
nyolcas, oktális 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Számrendszerek
számrendszer alapszám számjegyek alaki érték
kettes, bináris 2 0, 1 0, 1
nyolcas, oktális 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
tízes, decimális 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Számrendszerek
számrendszer alapszám számjegyek alaki érték
kettes, bináris 2 0, 1 0, 1
nyolcas, oktális 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
tízes, decimális 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
tizenhatos, hexadecimális
16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
Számrendszerektízes számrendszer
3457,28 3457.28
3 E+4 sz+5 t+7 e+2 tized+8 sz á zad
3 ∙103+4 ∙102+5 ∙10+7+2 ∙10−1+8 ∙10− 2
𝑎𝑛𝑎𝑛−1𝑎𝑛−2…𝑎2𝑎1𝑎0.𝑎−1𝑎−2…𝑎−𝑚
𝑆 (10= ∑𝑖=−𝑚
𝑛
𝑎𝑖 ∙10𝑖
Számrendszerek
• számrendszer alapszáma (tetszőleges p>1)– számjegyek: 0, 1, …, p−1
• kettes számrendszer (bináris)– p = 2– számjegyek: 0, 1
• nyolcas számrendszer (oktális)– p = 8– számjegyek: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
• tizenhatos számrendszer (hexadecimális)– p = 16– számjegyek: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
n
mi
ii pa
n
mi
iia 2
n
mi
iia 8
n
mi
iia 16
10-es számrendszerbeli szám
• legnagyobb kitevő: n• legkisebb kitevő: −m• számjegyek száma: j = (n + 1) + m
n
mi
iias 1010(
Feladatok
• Számoljuk át tízes számrendszerbe az alábbi egész számokat!
– 10110011(2
– 456(8
– 235(16
– A2E(16
• Számoljuk át tízes számrendszerbe az alábbi tört számokat!
– 10001110.101(2
– 342.23(5
– 367.56(8
– A5D.F3(16
p-alapú (p>1, egész)számrendszerbeli szám
n
mi
ii pas 10(
Legkisebb és legnagyobbábrázolható számok
• Mi az adott számú pozíción egy számrendszerben leírható legnagyobb és legkisebb szám?
Bináris számrendszer
• legnagyobb• legkisebb• összes
Legnagyobb, összes ábrázolható számegész számok
• összes ábrázolható szám j pozíción (modulus: M)
• legnagyobb ábrázolható szám
• legkisebb ábrázolható szám
jpM
1 jpMax
0Min
𝑆𝑛=𝑎1 ∙𝑞𝑛−1𝑞−1
Legnagyobb, összes ábrázolható számtört számok
• egész rész– összes
– legnagyobb
– legkisebb
• tört rész– összes
– legnagyobb
– legkisebb1 k
e pMax
mt pMin
mkj ppM
j db
k db m db
ke pM
0eMin
mt pMax
11
mt pM
Mértékegységek
• bit– értéke
• 0• 1
– binary digit• kettes számrendszerbeli számjegy
• byte, bájt– 8 bit
Mértékegységek
Mértékegység Adatmennyiség
B (byte, bájt) 8 bit
KiB (kibibyte) 1024 byte
MiB (mebibyte) 1024 kiB
GiB (gibibyte) 1024 MiB
TiB (tebibyte) 1024 GiB
PiB (pibibyte) 1024 TiB
EB (exbibyte) 1024 PiB
Mértékegység Adatmennyiség
B (byte, bájt) 8 bit
kB (kilobyte) 1000 byte
MB (megabyte) 1000 kB
GB (gigabyte) 1000 MB
TB (terabyte) 1000 GB
PB (petabyte) 1000 TB
EB (exabyte) 1000 PB
1999, IEC (International Electrotechnical Commission) a számítástechnikában elterjedt váltószámok megnevezésére új prefixumok (kibi ← kilo binary)
Feladatok
• Számoljuk át tízes számrendszerből az alábbi egész számokat!
– 54(10=x(2
– 54(10=x(8
– 54(10=x(16
– 54(10=x(5
• Számoljuk át tízes számrendszerből az alábbi tört számokat!
– 45.55(10=x(2
– 111.45(10=x(4
– 23.45(10=x(5
– 23.45(10=x(8
– 54.45(10=x(16
Feladatok
• Számoljuk át tízes számrendszerből az alábbi számokat!
– 45.55(10=x(2
– 111.45(10=x(4
– 23.45(10=x(5
– 23.45(10=x(8
– 54.45(10=x(16
Számrendszerek, feladatok
Feladat
179 3
59 2
19 2
6 1
2 0
0 2
0 .45 3
1 .35
1 .05
0 .15
0 .45
1 .35
1 .05
0 .15
0 .45
1 .35
1 .05
20122.’1100’1100’1100’(3
0 .85 3
2 .55
1 .65
1 .95
2 .85
2 .55
1 .65
1 .95
2 .85
2 .55
1 .6520122.’2112’2112’2112’(3
179.45(10
179.85(10
20122.110011001100(3
20122.211221122112(3
Feladat
113 2
56 1
28 0
14 0
7 0
3 0
1 1
0 1
0 .45 2
0 .90
1 .8
1 .6
1 .2
0 .4
0 .8
1 .6
1 .2
0 .4
0 .81100001.0111001100(2
1100001.01’1100’1100’(2
113.45(10
1100001.0111001100(2 1100001.01’1100’1100’(2
0
44
0
4321
2 222i
i
i
iSSS
q
aS
11
1
44
33
12
12,
2
12 qa
44
44
12
12,
2
12 rb
r
bS
11
2
15
2
12
2
2
1
2
11
2
1
4
4
3
4
3
1
S
15
1
12
2
2
1
2
11
2
1
4
4
4
4
4
2
S
45.020
9
5
1
4
1
15
3
4
1
15
1
15
2
4
1S
1100001.0111001100(2 1100001.01’1100’1100’(2
𝑆=1
22+𝑆𝑖𝑠𝑚 𝑆 𝑖𝑠𝑚=𝐴1+𝐴2+⋯
𝐴1=1
23+1
24=2+124
=3
24
𝐴2=1
27+1
28=2+128
=3
28
𝑎1=3
24𝑞=
1
24
𝑆 𝑖𝑠𝑚=𝑎11−𝑞
=
3
24
1−124
=
3
24
24−124
= 324∙24
15= 315
𝑆=1
22+𝑆1=
14+315
=15+4 ∙360
=2760
=920
=0,45
𝐴=∑𝑖=0
3
2−3− 𝑖 𝑆 𝑖𝑠𝑚=∑𝑗=1
∞
𝐴 𝑗=∑𝑗=1
∞
∑𝑖=0
3
2− 3 ∙ 𝑗−𝑖
Aritmetikai műveletek különböző számrendszerekben
• Végezzük el az alábbi műveleteket a bináris számok körében!
01.1001
10.1001
11011
1111
0011
11.1111
10.11101
111.011101
111.010001
01.1001
11.1001
01.111
11.1001
1111.1001
0111.00001
10.1011
11.0011
Aritmetikai műveletek különböző számrendszerekben
• Végezzük el az alábbi műveleteket a hexadecimális számok körében!
A73.291
FED.CBA
1111
0011
83E.7A9
DCC.DCDC
50ED.80A
1010.001
E01.689
327.45A1
EBC.AD
11E.BEB
1111.1001
0111.00001
A10B.ED5
ECAE.CA
0.01’1100’1100’(2
2'1100'1100'.1100 y
x
1111
11001100
y
x
11011
1111
1100
1111
11011100
y
x
01234
01234
2121202121
22222
11011
27120816
012345
012345
202021212121
222222
001111
111100
11011
y
x
6000481632
60
27
y
x
20
9
y
x
45.0y
x
Feladatok
• Írjuk fel bináris, oktális és hexadecimális számrendszerben az alábbi decimális számokat!
– 3492.326(10
– 1000(10
– 1512.1533(10
– 112.3(10
– 12438.964(10
– 3096.123(10
– 12345.678(10
– 9977.66(10
Feladatok
• Írja át 10-es számrendszerbe a következő számokat! Az eredményt közönséges tört alakban adja meg!
– 1.333(5
– 7B.73’5’5…(16
– 102.2’32’32’…(4
– 1320.20’131’131’…(8
– 101110110.101’0101’0101’…(2