DERYWATYWY HEDGINGLiteratura uzupełniająca
W.Tarczyński, Instrumenty pochodne na rynku
kapitałowym, PWE, 2003
A.McDougall, Swapy, Dom Wyd.ABC, Kraków 2001
F.Taylor, Rynki i opcje walutowe, Dom Wyd.ABC, Kraków 2000
George Crawford, Bidyut Sen, Instrumenty pochodne,
narzędzia podejmowania decyzji, Liber, Warszawa, 2002
ZASTOSOWANIA POCHODNYCH
• Subsytut innych inwestycji (np..indeksy)
• Zabezpieczenie inwestycji
• Spekulacja
• Inżynieria finansowa
• Dźwignia finansowa odgrywa dużą rolę w
transakcjach pochodnych
HEDGE ? - EKSPOZYCJA;
POZIOM TOLERANCJI• Można dostarczyć wiele instrumentów
zabezpieczających pod warunkiem, że zna się
własną ekspozycję na ryzyko
• “Określ swoją ekspozycję (profil ryzyka) a
powiem Ci, jakich instrumentów należy użyć”
• Trzeba mieć prawidłowe oczekiwania zmian cen
i czasu, w jakim się one dokonają
• Mieć świadomość motywacji i tolerancji na
ryzyko (jakim kapitałem może ryzykować)
ZASTOSOWANIA POCHODNYCH
• Substytut innych inwestycji (np.indeksy)
• Zabezpieczenie inwestycji
• Spekulacja
• Inżynieria finansowa
• Dźwignia finansowa odgrywa dużą rolę w
transakcjach pochodnych
DERYWATY - INSTRUMENTY
POCHODNE• Derywaty (instrumenty pochodne)
• definicja: kontrakty, których wartość zależy od
wartości instrumentu (primary instruments), na
które są wystawione. Wartość zależy od cen
(obligacje, akcje, towary) lub nominalnej wartości
kontraktu (np.kursy walut). Instrumenty pochodne
zawsze mają jakąś wartość (dodatnią lub ujemną).
Rozliczenie jest odnoszone do przyszłości
• Wartość zmienia się w sposób ciągły w zależności
od rynku. Służą zabezpieczeniu lub spekulacji,
dostosowanie do potrzeb inwestorów (zwiększają
kompletność rynku)
DERYWATY - INSTRUMENTY
POCHODNE
• Istnieją w zasadzie dwa główne typy transakcji pochodnych: forward i opcje (inne to kombinacje tych podstawowych).
• Derywaty wypełniają paletę instrumentów (kompletność rynku) i mają najniższe koszty transakcyjne.
• Podstawą decyzji jest zysk & ryzyko.
• Transakcje derywatywne są grą o sumie zerowej
DERYWATY - INSTRUMENTY
POCHODNE• Fundamentalne założenie, że rynek powoduje brak istnienia
możliwości bezkosztowego arbitrażu (Modigliani Miller 1958 -efektywność rynków – prawo jednej ceny u klasyków) – ta sama cena dla tych samych cashflow, ryzyka i zysku !!!
• Valuation by replication – czyli nawet skomplikowany instrument można replikować na cash flow dający ten sam efekt.
• Założenie frictionless market – dla uproszczenia brak kosztów transakcyjnych, podatków, nieograniczone możliwości pożyczkowe po stopie wolnej od ryzyka, wolno sprzedawać short, ciągłość handlu
• Mogąc wycenić cash flow – można wycenić ryzyko instrumentu.
• Dla derywatów kluczową koncepcją jest net cost of carry
• Silna korelacja między cenami forward i przyszłymi cenami spot
WARTOŚĆ DERYWATÓW
• Wartość derywatów jest funkcją wartości
nominalnej lub ceny instrumentu (też
indeksu) pochodnego.
• Szeroki podział to instrumenty:
• Linearne – forward, future, swaps
• Nielinearne: opcje, warranty,
• Suma gry zysków i strat jest w samych
kontraktach zerowa
DERYWATY SEPARACJA
WOLUMENU I CEN
Innowacyjne zarządzanie
Zarządzanie ceną Zarządzanie wolumenem
Zakupy dostosowane
do popytu
Zarządzanie zapasami
Stała cena w okresie
Wykorzystanie cen
rynkowych
Wybór właściwego
instrumentu
hedgującego
ZARZĄDZANIE RYZYKIEM
Zarządzanie
ryzykiemhedging
instrumenty
strategie
ZARZĄDZANIE RYZYKIEM
hedging
ekspozycja
Ryzyko
środowisko
instrumenty
asset liability
mapowanie ekspozycji
wycena ryzyka
Var/stress test
strategie
organizacja
procedury
systemy
polityka
Zarządzanie
ryzykiem
• Produkty hedgujące symetryczne i
asymetryczne
• Produkty proste i złożone
• Doskonałe zabezpieczenie dają tylko
instrumenty symetryczne - tu korelacja = -1
• Produkty rynków dewizowych
• Produkty bazujące na stopach procentowych
• Commodities
• Produkty kredytowe
• Pogoda, indeksy ekonomiczne
HEDGING ZEWNĘTRZNY
INSTRUMENTY POCHODNE
• O ryzyku
symetrycznym:
– kontrakty terminowe
(outright, FRA),
– kontrakty terminowe
(futures),
– kontrakty wymiany
(swap)
• O ryzyku niesymetrycznym:
– opcje
– (cap, floor, collar)
– warranty (prawo subskrypcji
np.akcji po ustalonej cenie; rodzaj
opcji, trochę jak długi call)
– Egzotyczne (power option, cliquet,
reset, compound, lookback,
barrier&binary…)
Instrumenty pochodne w każdym momencie mają
wartość
Mogą służyć hedgowaniu, spekulacji, arbitrażowi,
tworzeniu pozycji syntetycznych
HEDGING SYMETRYCZNY
Hedge symetryczny ma doskonałą korelację negatywną dla krótkiej
i długiej pozycji
Zyski i straty z pozycji pierwotnej pokrywane są przez symetryczny hedge
Pozycja pierwotna Symetryczny hedge
Pozycja netto
ZYSK
STRATA
INSTRUMENTY POCHODNE
ROZWÓJ RYNKU
• Pozagiełdowe OTC
– opcje
– forwards
– swaps
– strukturyzowane
• Giełdowe
– opcje
– financial futures
– warranty
Forwardy stosowane były już w XII w
Giełdy towarowe XVII w
futures stosowane były już w XVI w
opcje stosowane były już w XVII w
swap dopiero od 1981 roku
INSTRUMENTY POCHODNE
GIEŁDOWE
IZBA
ROZLICZ.
GIEŁDABROKER BROKER
KLIENT KLIENT
RYNEK GIEŁDOWY
• Brak ryzyka kredytowego - Izba rozrachunkowa
gwarrantuje wykonanie kontraktów
• Instrumenty standardyzowane
• Jawność obrotu
• Jednorodność klientów
• Notowania cen
• Zamykanie transkacji z Izbą
• Płynność
• Depozyty zabezpieczające (initial margin,
maintenance margin, przyrost variation margin)
INSTRUMENTY POCHODNE
POZAGIEŁDOWE
BROKERBANK BANK
KLIENTKLIENT
RYNEK POZAGIEŁDOWY
• Ryzyko kredytowe
• Instrumenty niestandardowe
• Mała jawność obrotu
• Ograniczona symetryczność stron
• Ceny indywidualne
• Transakcje rzadko zamykane przed maturity
• International Swaps and Derivatives Association ISDA (1985)
KLIENCI
• RYNEK GIEŁDOWY
– Fundusze
inwestycyjne
– Fundusze
emerytalne
– Firmy
ubezpieczeniowe
– Klienci
indywidualni
• RYNEK
POZAGIEŁDOWY
– Przedsiębiorstwa
– Firmy
ubezpieczeniowe
– Fundusze
niepubliczne
– Klienci
indywidualni
– Banki
GENEZA• 1750 B.C. Kodeks Hamurabiego opcja defaultowania odsetek, gdy zbiór wyschnie lub zmyje go woda
• 350 b.c. Opcja na dostawy oliwy Arystoteles Polityka
• Rzym rynki towarowe - zorganizowane
• XI/XII w targi sformalizowane
• 1600 forwardy i opcje na cebulki tulipanów
• 1848 CBOT forward na zboże
• 1865 CBOT forwardy na rolne i surowce, standardowe kontrakty, izba rozliczeniowa
• 1870 NY Cotton Exchange futures na bawełnę
• 1878 Londyn Corn Trade futures
• 1882 Futures na kawę
• 1904 Winningpeg Canada futures na commodities
• 1919 San Paolo, Chicago Mercantile Exchange, 1933 Comex futures na srebro,1952 London Metal Exchange, 1960 Sydney Futures Exchange wełna,
• 1972 CME futures na FX
• 1973 Chicago Board Options Exchange na 16 akcji NY
• 1975 CBOT futures na stopę %, opcje na akcje Kanada, Amex, Philadelphia
• 1978 Opcje w Londynie, Holansii, NY futures na olej opałowy
• 1980 Londyn futures na ropę
• 1981 OTC interest rate swap
• 1982 powstaje LIFE futures na instrumenty finansowe, CME futures na S&P500, CBOT opcje na T-bondy, T-bills, Comex opcje na futures na złoto
• 1984 Singapore International Monetary Exchange futures w Azji, 1986 Hong Kong
• 1992 credit derivative na OTC
• 1996 NYMEX futures na prąd
• 2004 CBOT futures na volatility index i warianancję S&P500
HEDGING
• Ryzyko, które jest mierzalne może podlegać
zarządzaniu
• Hedging:
– Statyczny – polega na przyjmowaniu lub
wychodzeniu z pozycji w odpowiednim horyzoncie
(forward, futures…)
– Dynamiczny – polegający na ciągłej zmianie sald
struktury portfela (opcje…)
POCHODNE - RYZYKO KURSOWE
INSTRUMENTY
RYZYKO KURSOWE
przygotowaniekontraktu
podpisaniekontraktu
zrealizowaniekontraktu
wystawieniefaktury
Okresowesprawozdanie
datasprzedazy
waluty
Źródłem ryzyka jest czas, który upływa od momentu
podjęcia decyzji do momentu jej realizacji - ostatecznego
rozliczenia (transakcyjne, translacyjne, ekonomiczne,
podatkowe) data
platnosci
RYZYKO KURSOWE
• Zdefiniowanie pozycji (aktywa, pasywa,
terminy zapadalności, wymagalności…)
• Określenie poziomu dopuszczalnego
ryzyka (np.bpv, luka, duracja, greeks, VAR,
stress test, crash test...)
• Wybór narzędzi i strategii
zabezpieczających
PROFIL RYZYKA W EKSPORCIE
zysk
strata
kurs wymianye
P
PROFIL RYZYKA W IMPORCIE
zysk
strata
kurs wymiany
TRANSAKCJE DEWIZOWE
FX
forward
spot opcje
NDF
produkty
strukturalne
Fade-In Forw.
Conditional
Forward.etc
.
strategie
financialfutures
Currency
swaps
SPOT: WYMIANA WALUT FX
• SPOT fizyczna dostawa instrumentu lub towaru w
ciągu 2 dni roboczych (niekiedy dawniej 7 dni)
• Banki zapewniają swoim klientom możliwość
dokonywania transakcji dewizowych. Transakcje
opiewające na kwoty przewyższające
równowartość EUR 100 000 zawierane są
bezpośrednio z dealerami Interest and Currency
Management , Corporate Desk etc..
• Oferuje się wówczas kwotowania oparte o
aktualne ceny na międzybankowym rynku
walutowym. Dzięki temu klienci otrzymują
najlepsze kwotowania, aktualizowane z każdą
zmianą na rynku międzybankowym.
TRANSAKCJE SPOT
Data transakcji
Zawarcietransakcji
Pierwszy
dzieñ
Drugi
dzieñ
Rozliczenietransakcji
Standardowo transakcje na rynku walutowym s¹ rozliczane na
datê waluty SPOT, tzn na drugi dzieñ roboczy od momentu
zawarcia transakcji
Jeżeli klient nie posiada linii kredytowej waluta musi być
najpóźniej na koncie w dniu rozliczenia
(overnight (od dziś do jutra), tomnext (od jutra do dnia następnego),
spot (za dwa dni), spot next (od pojutrza do następnego), forward)
HEDGING WALUTOWY
FORWARD, FUTURES, NDF
RYNEK FORWARD
• Definicja: Transakcja kupna/sprzedaży ustalona w dniu
dzisiejszym na określoną datę w przyszłości (nie mniej
niż 2 dni - spot), po ustalonym kursie określonej kwoty
(outright) – czyli ilość, cena, data.
• Forward outright vs NDF (rozliczenie różnicą)
• Obowiązek dostarczenia, odbioru, rozliczenia,
symetryczny obowiązek dla obu stron kontraktu
• Standardowe terminy FX: {tom/next, spot,} 1 tydz., 1
mies., 2 mies, 3 mies, 6 mies, 12 mies.
• Przy płynnym rynku można wyjść z forward zawierając
kontrtransakcję. Hedge a spekulacja na rynku forward.
• Nieduże ryzyko kredytowe - settlement risk
• Forward może dotyczyć też stóp %, towarów, indeks etc
Zapłacę za szczeniaka 1000 PLN, jak tylko przestanie ssać sukę
MOTYWY TRANSAKCJI
FORWARD, FUTURES
• Zabezpieczające, spekulacyjne, arbitrażowe
• Instrumenty: waluty, papiery dłużne, akcje,
indeksy giełdowe, towary
• XVII w Holandia cebulki tulipanów, Japonia
ryż
• 1859 CBOT (utworzona 1848) pierwsze
futures oraz Chicago Mercantile Exchange
(1911)
• 1972 CBOT rynek futures International
Money Market (IMM)
16
Kontrakt Forward long - zakup
At the money forward
Elimiminuje ryzyko FX
Klient ponosi koszty negatywnego carry,
ponieważ stopa % dla PLN jest wyższa niż stopa %
dla EUR.
Klient nie partycypuje w aprecjacji PLN .
Notes
Koszt zerowy at the money forward
Klient: kupuje EUR
sprzedaje PLN
Wartość: EUR 10m
Strike: 5.06
Maturity: 12m
Warunki wymiany
W dniu realizacji klient zobowiązany jest dokonać
wymiany wartości nominalnych.
Klient jest związany kursem forward ale też jest
zabezpieczony przed aprecjacją Euro.
To jednak też nie pozwala klientowi partycypować w
aprecjacji PLN.
SPOT
ATMF EURPLN
Spot Ref. = 4.9000
FORWARD
• Wypłata z transakcji forward
WYPŁATA Z TRANSAKCJI FORWARD
Zysk
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Strata FORWARD=4 KURS
SYNTETYCZNY FORWARD
• SYNTETYCZNIE FORWARD SHORT: TO
SHORT (POŻYCZKA,KREDYT) W
OBLIGACJI ZAGRANICZNEJ I LONG
(LENDING) W OBLIGACJI KRAJOWEJ
• SYNTETYCZNIE FORWARD LONG: TO
LONG (INWESTYCJA) W OBLIGACJI
ZAGRANICZNEJ I SHORT (POŻYCZKA) W
OBLIGACJI KRAJOWEJ
FORWARD – ZAŁOŻENIA WYCENY
• Zakłada się brak istnienia bezkosztowego
arbitrażu (zasada jednej ceny dla dwóch
doskonałych substytutów)
• Substytut forward/futures to replikacja
transakcji polegającej na kupnie na kredyt i
przetrzymaniu aktywu (buy and hold, cost of
carry)
• Albo kupuję aktyw na kredyt (odsetki) albo
kupuję forward = ta sama wycena
FORWARD
MODEL COST OF CARRY• Cena forward bazuje nie na zgadywaniu czy
oczekiwaniach ale na cenie dostawy towaru w
przyszłości = spot + cost of carry
• Cost of Carry = Cena zakupu towaru + koszt
finansowania pozycji do terminu realizacji
• FORWARD PRICE = SPOT + COST OF CARRY
• Zakup kury na termin za np. 3 miesiące (karmienie
przez 3 miesiące)
• Kurs terminowy = spot+/-punkty swapowe (można
wyliczyć stopę implikowaną)
• Forward na $ = zakup USD za PLN (w kredycie) i
złożenie depozytu w USD (lokata)
WYCENA FORWARDStrategia Wartość dziś Wartość w t
Strategia I Wartość Spot =Kes Spot +cost of carry
= es (1+c)
Strategia II
Zainwestowanie kwoty
K*es
Koszt finansowania
-
K oraz zabezpieczenie
kursem forward ef
Kupno Forward
Zarobek (Kef-Kes)/Kes
Kes (1+i )/ef
K(1+i‘)
Łącznie strategia II Jeżeli równowaga to
zarobek = kosztowi
Kes (1+i)/ef-K(1+i’)=0
Cost of carry wynika z:
es (1+c)=ef=es (1+i)/(1+i‘)
1+c=(1+i)/(1+i‘)
Premia forward
(1+i)/(1+i‘)-1>0
Dyskonto forward
(1+i)/(1+i‘)-1<0
(1+i)
-------------=ef/es
(1+i‘)
TRANSAKCJA FORWARD
• Alternatywa sekwencji operacji:
– pożyczka na rynku krajowym
– kupno dewiz
– lokata za granicą
– sprzedaż dewiz na termin
• Wzór:
– e sub f - kurs forward
– e sub s - kurs spot
– e podstawa ln
– i - stopa krajowa (risk free)
– i‟- stopa zagraniczna
eee
eeii
sf
sf i
i
'*
'1
1*
COST OF CARRY
Terminy dotyczące transakcji
terminowych• KURS TERMINOWY - kurs rozliczenia ewentualnej transakcji terminowej,
powstały jako suma:
KURS SPOT + PUNKTY SWAPOWE = KURS TERMINOWY
PUNKTY SWAPOWE - różnica między kursem terminowym, a kursem spot,
wyliczana na podstawie różnicy w oprocentowaniu dwóch wymienianych
walut.
• r1 – oprocentowanie waluty terminowej
• r2 – oprocentowanie waluty bazowej
• Baza – baza dni (większość walut 360, wyjątek – GBP i PLN – 365)
))*(1(
))*(1(
2
1
baza
dnir
baza
dnir
spotForward
TRANSAKCJA SHORT FORWARD
W EKSPORCIE
zysk
strata
kurs wymiany
Zabezpieczenie transakcją terminową.
Profil przychodu z forward
Profil ryzyka
RYZYKO W TRANSAKCJI
EKSPORTOWEJ
brak ryzyka
zysk
strata
kurs wymiany
Zabezpieczenie transakcją terminową.
Transakcja forward polega na ustaleniu w dniu dzisiejszym kursu walutowego,
po jakim dokonana zostanie wymiana określonych sum
dwóch walut w ustalonym dniu w przyszłości (w dniu płatności kuponu).
Je¿eli w dniu płatności kuponu euro
na rynku pieniężnym kosztuje mniej niz F,
wówczas wynikające z tego korzyści
są zbilansowane stratą poniesioną
na transakcji forward
F
Jezeli w dniu platnosci kuponu euro na
rynku pienieznym kosztuje powyzej F,
wowczas straty z tytulu nadmiernej
dewaluacji zlotego zostaja pokryte zyskiem
wypracowanym na transakcji forward
FORWARD PLN
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
0 2 3 4 5 6 7
zysk forward
KUPNO (LONG) FORWARD 4 PLN/$, KUPNO 1000$
DZIAŁANIE FORWARD JAKO HEDGE• Zabezpieczenie ryzyka spadku kursu waluty polega na ustaleniu jej ceny przed datą wymiany.
• Daje to pewność korzyści, gdy kurs rynkowy waluty w dniu zapadnięcia forwarda jest niższy
niż kurs terminowy z dnia zawarcia transakcji.
• Odbiera to możliwość sprzedaży waluty na rynku, gdy kurs rynkowy waluty w dniu zapadnięcia
forwarda jest wyższy niż kurs terminowy z dnia zawarcia transakcji.
Forward
3.72
3.78
3.84
3.90
3.96
4.02
4.08
4.14
4.20
4.26
4.32
3.72 3.78 3.84 3.90 3.96 4.02 4.08 4.14 4.20 4.26 4.32
Kurs spot w dniu wygaśnięcia transakcji
Bez zabezpieczenia
Forward
• kurs rozliczenia transakcji
dewizowej w powyższym
przykładzie nie zależy od kursu
rynkowego i wygląda następująco:
Rzeczywisty kurs
sprzedaży
EUR/PLN
RYNEK FORWARD - WYCENA
• Zastosowanie: hedging, spekulacja
• Pokryty arbitraż stóp procentowych
– np kurs 4
– i=5%
– i’=2%
0599.04
360*100
180*21
360*100
180*5*44
360*100
'*%1
360*100
*%*
swappunkty
spotdnii
dniispotspot
swappunkty
i'
i
es
ef
i')(efi)es(
esi'esi')(efesi'esi
es
esef
i')(
i'i
1
1
11
1
1i:stopa% krajowa
i’:stopa% za granicą
es:kurs spot
ef:kurs forward
FORWARD - PRZYKŁAD
9,1% PLN p.a.
2.275% USD p.a.
PLN 4,4450
1 USD180 dniWartoϾpo 180 dniach 1.011375
USD/PLN 4,3000
Wartość po 180 dniach 1,0455
1.0455/1.011375=1.0337412
1.0337412*4.3=4.4450871
FORWARD - PRZYKŁAD
Obliczenie kursu terminowego (1)
Kurs Terminowy = Kurs Spotowy x 1 + PLN stopa procentowa
1 + USD stopa procentowa
Zalozenia: 6 mies. PLN WIBOR = 9,1%6 mies. USD LIBOR = 2,275%Kurs Spotowy = 4,3000
a wiec punkty swap’owe = 4,3000 x - 4.31 + (0.091x (180/360))
1 + (0.02275 x (180/360))
= 0.1451 Forward może być traktowany jako para pożyczek 0-kuponowych
Polski importer musi zapłacić 130 mln EUR za 2 miesiące (62 dni po dacie spot). Proszę
skalkulować kurs forwardowy wykorzystując poniższe kwotowania rynkowe:
SPOT EUR/PLN 4.00
Money Market 2 miesiące
EUR 1.90% - 1.95%
PLN 4.5% - 4.6%
Co musi zrobić bank aby zagwarantować klientowi już dziś kurs zakupu EUR/PLN za dwa
miesiące?
Już dziś musi pożyczyć PLN po stawce 4.6%
Następnie za pożyczone PLN kupuje na rynku EUR po 4.00
Zakupione EUR lokuje po stawce 1.9%
Trzy powyższe operacje obrazuje następujące równanie:
PUNKTY SWAPOWE = kurs Outright Forward – kurs spot. W Naszym przypadku:
4.0181 – 4.00 = 0.0181 czyli 1,81 grosza
PRZYKŁAD WYCENY FORWARD
0181.4
))360
62*019.0(1(
))365
62*046.0(1(
00.4
Forward
BAZA W TRANSAKCJI FORWARD
• Wartość wewnętrzna forward S-X ;
deterministyczna bo stopy % są znane ex ante
FORWARD
BAZA
SPOT
X, S
FORWARD
NY
FRANKFURT-3 -2 -1 0
0 1 2 3
-2
-1
0
1
2
2
1
0
-1
-2
RÓZNICE W STOPACH %
R
Ó
Z
N
I
C
E
W
K
U
R
S
A
C
H
EFEKTYWNE KURSY
3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3
4.0
3.9
3.8
3.7
BEZ HEDGU
FORWARD
KURS
EFEKTYWNY
PRZYSZŁY KURS SPOT
WPŁYW HEDGINGU NA CASH
FLOW
KURS FUNT/EURO 0.5 0.55 0.6 0.61 0.65
SPRZEDAŻ 500 550 600 610 650
KOSZT OPERACYJNY 550 550 550 550 550
DOCHÓD -50 0 50 60 100
ZYSK Z FORWARDU 0.61 110 60 10 0 -40
ZYSK PO
FORWARD 60 60 60 60 60
Hedge, forward po 0.61 Ł/EUR, przychód 1000 M euro
EKRAN Z BLOOMBERG
PREMIA DODATNIA RÓŻNICA MIĘDZY KURSEM TERMINOWYM A KASOWYM
DLA WALUTY KWOTOWANEJ (premia dla waluty o niższym oprocentowaniu
może być ze znakiem (-)) np. $ 9,3% (-174bps)
kurs terminowy 1/4.3 $/PLN-1/4 $/PLN
DYSKONTO - UJEMNA RÓŻNICA MIĘDZY KURSEM TERMINOWYM
A KASOWYM DLA WALUTY KWOTOWANEJ (dyskonto dla waluty
o wyższym oprocentowaniu) PLN 7,5% (+3000) KT 4.3- KK 4
ZNAK + DO WALUTY KWOTOWANEJ• Spot, dyskonto, kurs terminowy PLN
• 3,1780 - 3,1800 spot marża kupno/sprzedaż 20 bps
• 220 - 250 dyskonto PLN/premia USD
• 3,2000 - 3,2050 kurs terminowy marża 50 bps
• Spot, premia, kurs terminowy USD
• 0,3144 - 0,3147 spot USD/PLN marża 3 bps
• -24 - -22 premia USD
• 0,3120 - 0,3125 kurs terminowy marża 5 bps
WYCENA FORWARD
dlugiejpozycjidlaKeSV
WALUTDLA
dlugiejpozycjidlaKeSV
spotcenaS
PVforwardwdokonanainwestycjaKe
nettokontraktuforwardrynkowawartoscV
OGÓLNIE
tTitTi
tt
tTi
tt
t
tTi
t
)()('
)(
)(
)(
Wycena wartości forwardu
St 4,1
K 4
i 0,05
T-t 1
V t 0,295082
PREMIA;DYSKONTO
• Jeżeli i‟<i to Ft>St i jest premia forward
• Jeżeli i‟>i to Ft<St i jest dyskonto forward
FORWARD
14.03.02 3.89 102404250
14.03.03 4.16 109512000
14.03.04 4.47 117672750
14.03.05 4.78 125833500
26.325 M EUR
spot 3.5324
Kursy wyliczone z różnicy oprocentowania na powyższe terminy
FORWARD KOSZT
• Formalnie forward jest bez kosztu ale są koszty ukryte w kursie:
• - prowizja – mark-up
• - różnica w bid-ask spread w stopach i kursach walut
• - potencjalnie oportunity cost, gdy wymagane jest zabezpieczenie rozliczenia forwardu
• - może też wystąpić forward rate biased, obserwuje się, że rynek systematycznie wyżej wycenia kursy forward niż jest przyszłu kurs spot (implicit premium)
• Korzyść eliminacja ryzyka kursu walutowego
FORWARD
ZALETY
• Klient zna z góry swój
kurs walutowy
• Klient jest zabezpieczony
przed zmiennością kursu
• W szczególności, gdy
wybucha spekulacja
walutowa
WADY
• Nie można spekulować,
czy wycofać się z transakcji
• Klient nie może
partycypować w korzstnych
dla niego zmianach na
rynku
•Klienci biorą poważne
ryzyko kredytowe,
ponieważ forward oznacza
lewarowanie transakcji
FINANCIAL FUTURES• Kontrakt futures jest standaryzowanym, giełdowym, kontraktem
terminowym (ilość, termin, miejsce dostawy, rozliczenie). Elementem zmiennym jest tylko cena kontraktu. Przedmiotem obrotu jest kontrakt. Kupując lub sprzedając futures przyjmuje się ekspozycję na ryzyko rynkowe. Wartość dodana giełdy to większa płynność, niższe koszty i ryzyko rozliczenia. Rozliczenie cashowe.
• CURRENCY FUTURES
• INTEREST RATE FUTURES
• INDEX FUTURES
• COMMODITY FUTURES
• Cena futures – spot = swap
• Convergence= czyli pozytywne zbliżanie się futures do przyszłego spot – (tak nie jest dla commodities)
• Właściwie wyceniony futures powinien dawać neutralną pozycję – kupić i przetrzymać instrument albo kupić futures.
FINANCIAL FUTURES
• Różnice futures i forwards:
– Handel na zorganizowanych giełdach
– Standaryzowane kontrakty, terminy, kwotowania,
– Aktywny rynek wtórny
– Zyski i straty na futures są wykazywane
codziennie (sposób ciągły)
– Izba rozliczeniowa gwarrantuje rozliczenie
– Wycena mark to market
– Margin jako bufor up-front collateral
– Suma pozycji long musi się równać sumie pozycji
short
FINANCIAL FUTURES• Kontrakty futures na dostawy towarów były notowane na
giełdach towarowych od lat 60-tych XIX stulecia. Chicago
Board of Trade 1842
• Financial Futures pojawiły się na giełdach dopiero w 1972
roku (Chicago Mercantile Exchange).1982 futures na
index S&P (open outcry na otwartym parkiecie, 67 giełd)
• Profil ryzyka jest taki sam jak w forward ale
wyeliminowane jest ryzyko kredytowe (initial margin -
zróżnicowany od instrumentu, jeżeli przekroczy wartości
graniczne musi być uzupełnione – variation margin,
roszczenie do giełdy)
• Kontrakty futures są rozliczane w sposób ciągły (każdego
dnia) według rynku (można w uproszczeniu powiedzieć -
rozliczane w gotówce) mark to market
• Futures jest jakby serią jednodniowych forwardów
GIEŁDA:FINANCIAL FUTURES
• Wystandaryzowany kontrakt kupna lub sprzedaży,
na określony termin np 12.09,
• Kupno 1.VI 1.IX 12.IX
• spot 1.5$/Ł 1.59 $/Ł spot ?
• Futures 1.52 1.61
• strata spot 9c zysk na futures 9c
• initial margin 10-20%, maintaining margin 75%
initial margin, variation margin, izba rozliczeniowa
• F(aktyw, cena kontraktu, ilość kontraktów, termin)
INNY PRZYKŁAD
FX. Np $/Fs=0.4220
0.4220*125000Fs=52750$ za kontrakt, gdy Fs drożeje 0,4240
To wartosc kotraktu wyniesie 0,4240*125000=53000$ zysk 250$
Index
np.500$* indeks np 300,5=150250$
Surowce
• Styczeń cena surowca 500 kontrakt futures 500
• Czerwiec cena surowca 800.
• Strata na zakupie 300 ale zysk na futures 300
Obligacje
• 10 po 1000=1000 futures sprzedaje na czerwiec po 90 czyli za 900
• Cena spada czerwiec do 800
• Traci 200 a z futures odzyskuje 100
CURRENCY FUTURES
• Kalkulacja futures walutowego:
• es=4, i=8%, i‟=4% T=365
• eF=1.0408108*4=4.1632431
• Futures towarowy:
• Futures index
eTii
SF ee)'(
*
)()()1(
)()()1(
odsetekkosztPVdywidendyPVSi
F
yieldeconveniencPVskladukosztyPVSi
F
t
f
t
f
FINANCIAL FUTURES
• Wycena – generalnie jak przy forward, ale tu
zmiana wartości realizowana jest codziennie,
a nie na koniec okresu jak w forwardzie
• Wysoka korelacja cen futures i forwardów
• Zależność jest dwukierunkowa – wzrost
futures zależy od stóp%, ale i wzrost futures
jest zapowiedzią wzrostu stóp%
FINANCIAL FUTURES
• KALKULACJA KORZYŚCI Z FF
• SPOT 0.9800 10.10.02
• FF 0.9805 10.10.02 KUPNO 21.XII (LONG)
• FF (10.11.02) 0.9880 NA XII
• (0.9880-0.9805)*100000=750$
• Kontrakty F<lub=spot+cost of carry
• E(Spot t)=Ft jeżeli model oczekiwań poprawny
FUTURES -> RISK FREE RATE
ft
t
f
t
f
tf
irEPFE
rE
Pr
PPF
i
PPF
iP
PFi
)()(
)(
1)()1(
0
0
0
0
0
0
00
Stopa przychodu wynika z zabezpieczenia kontraktu futures
w obligacjach skarbowych oraz przychodu z kontraktu futures.
Oczekiwana stopa przychodu z racjonalnymi oczekiwaniami = risk
free rate
deterministyczny charakter wartości
r:stopa przychodu
if:risk free rate
P0:wartość bieżąca instrumentu
Ft:wartość przyszła instrumentu
FINANCIAL FUTURES
• International Monetary Market IMM Chicago 1972 7 walut (część
Chicago Mercantile Exchange CME),
• od 1985 łącznie z Singapurem SIMEX
• od 1987 Post(pre) market trade razem 24h
• NY Future Exchange, London LIFE, 30.09.82 4 waluty, Kanada,
Australia, Hong-Kong, Amsterdam….Polska
• Transakcje nierzeczywiste
• IMM 125000DM, 100000CAD, 250000FF,125000 FS, 62500 Ł,
initial margin 900-2000$, gwarancja wykonania
• Futures na złoto 100 uncji, T-bills, S&P (500$*index)…
• termin 3 środa III,VI,IX,XII, open outcry, clearing
• tick 10$,LIFE 2,5$
• 5% fizyczne dostawy,currency futures 14% wszystkich
transakcji futures, najczęściej nierzeczywiste
BAZA DLA FINANCIAL FUTURES
SPOT
CZAS
SPOT
FUTURES
Cena futures
Ryzyko bazy (F-Spot),gdy termin zapadalności futures
inny od terminu rzeczywistego kontraktu
Contango-spadek cen futures
Backwardation-wzrost cen futures
Kierunek zale¿y
od nachylenia
krzywej stóp
NON-DELIVERABLE FORWARD
Różnica pomiędzy „zwykłym-outright” FORWARDEM a NDF
polega przede wszystkim na sposobie rozliczenia transakcji.
W przypadku FORWARD’u następuje fizyczny przepływ
waluty.
W przypadku NDF’u następuje rozliczenie różnic kursowych
pomiędzy kursem terminowym a kursem referencyjnym
(kurs fixing’owy NBP) z dnia rozliczenia.
Nierzczywista transakcja typu forward - rozliczenie dokonywane jest w dacie waluty poprzez
zapłatę iloczynu różnicy między kursem referencyjnym a kursem oraz kwoty nominalnej
transakcji
NDF - ROZLICZENIE
• Płatność netto, mniejsze ryzyko kredytowe,
mniejsze ryzyko płynności
• Przykład
– klient kupił forward ef = 4.2 obecny kurs spot es =
4.1 kontrakt 10M USD
– bank uzyska:
– (4.2-4.1)/4.1 * 10 M USD = 243902.44 USD = 1 MPLN
NDF
• Deutsche Bank Polska oferuje również możliwość zamknięcia transakcji terminowych
bez dostawy, w której następuje jedynie płatność kompensacyjna między stronami
transakcji.
• Transakcja taka nosi nazwę NON-DELIVERY FORWARD (NDF)
• Płatność kompensacyjna NDF równa jest różnicy pomiędzy znanym wcześniej
kursem terminowym, a fixing„iem NBP z dwóch dni roboczych przed dniem
rozliczenia transakcji. • Efektywny kurs sprzedaży
waluty jest wynikiem
wyrównania między
bankiem a klientem różnicy
kursu ustalonego i kursu
spot w dniu realizacji
• Rekompensaty ze znakiem
ujemnym oznaczają kwoty,
jakie klient zapłaci na rzecz
banku, w przypadku gdy w
dniu realizacji kurs spot
znajdzie się na żądanym
poziomie
ARF
• AVERAGE RATE FORWARD (ARF) polega na zawarciu kilku transakcji terminowych
na różne daty rozliczenia po TYM SAMYM KURSIE TERMINOWYM.
• Sytuacja wyjściowa:
Nabywca chce sprzedać walutę - znane z góry kwoty w określonych terminach - od
T1 do T9.
Czas
T1 T2 T5T4 T6T3 T8 T9T7
Kurs w transakcji
AVERAGE RATE
FORWARD
Kursy rozliczenia
poszczególnych
transakcji terminowych
Ku
rs te
rmin
ow
y
• Zawierając transakcję AVERAGE RATE FORWARD sprzedawca waluty
rozlicza poszczególne transakcje po jednym kursie terminowym - w każdym
terminie od T1 do T9 .
• Daje to możliwości przejrzystego księgowania, a przez to efektywnego
zarządzania przepływami walutowymi.
MECHANIZM ARF - PRZYKŁAD.
Parforward
3.74
3.80
3.86
3.92
3.98
4.04
4.10
4.16
4.22
4.28
4.34
3.74 3.80 3.86 3.92 3.98 4.04 4.10 4.16 4.22 4.28 4.34
Kurs spot w dniu wygaśnięcia transakcji
Bez zabezpieczenia
Parforward
• W przypadku transakcji AVERAGE
RATE FORWARD możliwe jest
rozliczenie rzeczywiste jak również
rozliczenie NDF.
Rzeczywisty kurs
sprzedaży
EUR/PLN
SWAP
• Wymiana przyszłych cash flow np. vanilla
swap to wymiana flow o stałej stopie% na
flow o zmiennej stopie%.
• Przedmiotem wymiany może być każdy aktyw
• Np. waluty, akcje, obligacje, ropa etc.
• Alternatywą transakcji swap jest seria
forwardów
SWAP WALUTOWY
• Transakcja walutowa swap oznacza wymianę przez
dwie strony cash flows w różnych walutach wg
ustalonej formuły
• Transakcja swap walutowy składa się z transakcji
spot i forward zawartych w tym samym momencie
jako transakcje powiązane
• Klient kupuje walute spot i bank odsprzedaje walutę
forward
• Transakcja dwuwalutowa, dwukrotna wymiana
kapitałów, brak płatności odsetek
SWAP
• Swap np. walutowy polega na wymianie
przepływów gotówkowych denominowanych
w dwóch walutach w oparciu o zmienne lub
stałe stopy procentowe
• Podstawą swapów jest wycena przepływów
gotówkowych przyszłych okresów, gdzie
wartość bieżąca tych przepływów powinna
być sobie równa.
• Metodologia wyceny swapa jest taka sama
jak innego instrumentu finansowego
SWAP WALUTOWY
• Strona A kontraktu
swapowego:
• Płaci: R(PLN)=i*Kwota(PLN)
• Otrzymuje:
• R(EUR)=i‟*Kwota (EUR)
• Strona B kontraktu
swapowego
• Płaci:
• R(EUR)=i‟*Kwota (EUR)
• Otrzymuje:
• R(PLN)=i*Kwota(PLN)
BANK
A BANK
A
ODSETKI PLN
ODSETKI EUR
KAPITAŁ EUR
KAPITAŁ PLN
SWAP WALUTOWY
• Wykorzystuje się, gdy:
• bezpośredni dostęp do rynku jest
ograniczony,
• w celu wyrównania pozycji A/P,
• w celu obniżenia kosztów finansowania,
• dywersyfikacji ryzyka walutowego,
• dywersyfikacji bazy inwestorów
• ryzyko kredytowe - settlement risk
STOPA SWAPOWA
• Rynkowa stopa procentowa po stronie stałej
stopy procentowej swapa (payer swap = płaci
fixed rate)
• LUB:
• punkty swapowe doliczane do kursu
kasowego kompensujące różnicę parytetu
stóp procentowych dwóch walut
SWAP CENA
• Wartość swapa
• Wartość forwardu
• Wartość sumy
forwardów
ii
ii
i
T
i
iforward
i
Tforward
eFSnV
okresówwieludla
eFSV
PYPY
SV
)(
)(
($))('$
SWAPY WALUTOWE
FORWARD-FORWARD• Transakcja wymiany między dwoma terminami w
przyszłości.
• Np. Sprzedaż $ za 2 miesiące i odkupienie za 3
miesiące
• Może chce zamknąć wcześniejszą niekorzystną
transakcję oraz przesunąć forward o miesiąc
• Np.Kurs EUR.$ 1.1525-1.1555 EUR i= 4%
$ i=1.72%
• 1 mies 65 61
• 3 mies 165 181
• efekt 165-65=100 181-61=120
HEDGING
OPCJE
optio łac. Prawo, nie obowiązek
OPCJE – PLAIN VANILA• DEFINICJA: Prawo kupna (holder,buyer) lub sprzedaży (writer, seller)
po określonym kursie, w określonym czasie (do expiration
amerykańskie; w maturity europejskie, atlantyckie, Bermuda - kilka
terminów, azjatyckie średnia premia w danym okresie) aktywu (w tym
walut).
• Zobowiązanie niesymetryczne i nielinearne- można ale nie trzeba
korzystać z prawa, prawo do nieograniczonego zysku i
ograniczonego kosztu, opcja = ubezpieczenie
• Option writer (sprzedawca, wystawca) cena = premii, strike price
(zmiana ceny co 5c), premia jako % w danej walucie NPA(Notional
potential am.) Opcje na OTC lub giełdowe, opcje pokryte i niepokryte
(posiadanie przedmiotu opcji)
• Instrument bazowy - underlying (waluta, stopy%, papiery, indeksy)
• Cena bazowa, rozliczeniowa, wykonania (exercise, strike price)
• Opcje stosuje się, gdy kierunek zmian nie jest znany
• (greenshoe option- manager emisji ma krótką pozycję, którą pokrywa opcją na nową
emisję)
POJĘCIA DOTYCZĄCE OPCJI
• Plain Vanilla – zwykła opcja
• Strike/ exercise price– kurs rozliczenia, kurs po którym nabywca opcji może kupić (sprzedać) walutę
• Premia - cena, jaką nabywca płaci za opcję- wyrażona kwotowo, w postaci kursu walutowego lub
procentowo do kwoty nominału.
• Opcja Call – nabywca opcji Call ma prawo (nie obowiązek) kupienia waluty w przyszłości, po kursie
Strike
Przykład: Opcja USDCallPLNPut - nabywca ma prawo kupienia USDPLN po kursie Strike
• Opcja Put – nabywca opcji Put ma prawo (nie obowiązek) sprzedania waluty w przyszłości, po
kursie Strike
Przykład: Opcja USDPutPLNCall - nabywca ma prawo sprzedania USDPLN po kursie Strike
Opcja europejska:
• Opcja At-the-Money Forward (ATMF) - opcja, w której kurs Strike = kurs terminowy (Forward)
• Opcja Out-of-the-Money Fwd (OTMF) - opcja, w której kurs Strike jest gorszy niż kurs terminowy
• Opcja In-the-Money Forward (ITMF) - opcja, w której kurs Strike jest lepszy niż kurs terminowy
• Expiry - data wygaśnięcia opcji
• Delivery - data rozliczenia opcji
OPCJE
• Zabezpieczającym opcja pozwala redukować efekty pogorszające wynik pod wpływem czynnika ryzyka (downside protection).
• Spekulanci używają natomiast opcji do zlewarowania ryzyka. Premia za nabycie opcji jest zawsze tańsza od samego instrumentu.
• Kupione opcje nie dają nigdy negatywnej wypłaty –albo dodatnia, albo 0.
• Sprzedający opcję ma nieograniczone zobowiązanie.
• Opcje mogą być wpisywane w wiele produktów finansowych – depozyty, obligacje…
OPCJE
• Dzień transakcji – trade date
• Dzień płatności premii – premium date
• Dzień wygaśnięcia – expiry date
• Dzień dostawy – delivery date
• Rozliczenie
• Dostarczenie – deliverable
• Rozliczenie różnicowe – cash settled
• Bez zabezpieczenia no hedge=live price
• Zabezpieczenie – delta hedge – vol price
OPCJE CALL & PUT
OPCJE
prawo kupna
BUY
zobowiazanie
dostarczenia
SELL
OPCJA
CALL
prawo sprzedazy
BUY
obowiazek kupna
SELL
OPCJA
PUT
OPCJE
• Zakup opcji to jak kupno ubezpieczenie
• Rzeczywiste - rozliczenie dokonywane jest
przez wymianę kwot w walutach i np. w PLN
• Nierzeczywiste - rozliczenie w dacie jest
dokonywane jedynie przez zapłatę iloczynu
różnicy kursowej między kursem spot a kursem
referencyjnym oraz kwoty nominalnej transakcji
w walucie
• Ograniczona strata, nieograniczony zysk
• Efekt dźwigni, przy małym kapitale duże zyski
OPCJE - GENEZA• Pierwowzory Grecja/Rzym - transakcje - opcja na
zakup lub sprzedaż - głównie produktów rolnych
XVII w Holandia np. Cebulki tulipanów - przed
przybyciem statków
• CBOT (Chicago Board Of Trade) akcje 26.04.1973
Chicago Board Option Exchange, do 1977 tylko call
• 1981 instrumenty dłużne
• X 1982 pierwsze opcje obligacje rządowe
• 1984 opcje na futures (Chicago)soja 1985
kukurydza
• 1992 Filadelfia opcje walutowe na Ł
• 1995 Polska WIBOR, WIG
OPCJE - GENEZA
• Koniec XIX w poszukiwania reguł opcji – Russel Sage opisał parytet opcji call-put
• 1973 Fischer Black i Myron Scholes opisali mechanizm wyceny opcji europejskiej n a akcje bez wypłaty dywidendy
• Rozszerzenie modeli Garman- Kollhagen oraz Grabbe
• Merton opcje na akcje spółek wypłacających dywidendę
• Thorpe model znoszący ograniczenie krótkiej sprzedaży
• Cox i Ross wprowadzili model z nieciągłymi zmianami instrumentu bazowego
• Jarrow Rudd odejście od założeń rozkładu log-normalnego
• Merton wprowadzenie zmiennej stopy procentowej
• 1973 Merton zbudował pierwszy model do wyceny opcji barierowych dla opcji kupna w barierą wyjścia w dół
• Opcje złożone model Geske
• Opcje wsteczne model Goldman, Sosin, Gatto
• Lata 80. model Stulza – model na maksimum lub minimum dwóch instrumentów bazowych
• Ingersoll model opcji azjatyckich
PODSTAWOWE SKŁADNIKI OPCJI
• Typ opcji (Put/Call)
• Sposób wykonania opcji (europejskie
oznaczenia c,p (małe litery), amerykańskie
oraz C,P (duże litery), atlantyckie...)
• Rodzaj instrumentu bazowego (waluty,
akcje, bony skarbowe, CD, …underlying)
• Cena bazowa, cena wykonania (exercise,
strike price)
• Czas
• Premia za opcję – cena opcji czyli koszt dla
nabywcy
OPCJA PRZYKŁAD• Notowania premii
FX
forwar
d
Baza II V VIII II V VIII
3,8 c c c p p P
3,4000 4500 5300 5900 300 800 1400
3,6000 2500 3500 4100 1000 2000 2300
3,8000 1500 2500 3200 1600 2600 3200
4,0000 1000 1500 2400 2500 3500 4100
4,3000 200 900 1400 4500 5500 6000
MECHANIZM WYNIKU NA OPCJI
OPCJE
zysk
prawa
obowiazki
strata
kurs wymiany
ROZKŁAD PRAW I OBOWIĄZKÓW W TRANSAKCJI FORWARD
OPCJE
• Geneza - syntetycznie opcja to połączenie jakby w
portfelu kontraktu forward ze zobowiązaniem z
instrumentu nieobciążonego ryzykiem (risk free
rate) Zakup forward
Instrument bazowy
emitowany
bez ryzyka P=const
OPCJA BUY CALL
Wartość opcji S-X
oraz koszt długu
Wartość opcji =0
koszt spłata długu
OPCJE
Opcja
=
Ubezpieczemie
danej
transakcji
Premia opcyjna
=
Premia za
ubezpieczenie
OPCJE
•IMPLIKACJE:
•Nabywca opcji ma prawo, lecz nie obowiązek - zakupu lub
sprzedży waluty po określonej z góry cenie w określonym
terminie
•Nabywca opcji płaci za to prawo premię
Sprzedawca opcji ma obowiązek kupić lub sprzedać dany
instrument, jeżeli nabywca opcji zdecyduje się ją wykonać
•Efektywny kurs call ze względu na premię jest wyższy niż
forward
•Efektywny kurs put ze względu na premię jest niższy niż
forward
KALKULACJA OPCJI
• Przychód z opcji Buy Call:
– long call=max(S-X;0)
• Przychód z opcji Buy PUT:
– long put=max(X-S;0)
• Przychód z opcji Sell Call
– short call=max(S-X;0)
• Przychód opcji Sell PUT
– short put=max(X-S;0)
• Obliczając efektywny payoff korygujemy o
premię (+lub-)
17
Vanilla Options – ochrona upsideATM Vanilla Option
At the money vanilla option - Call Option
Premia płatnad upfront
Eliminuje ryzyko FX.
Potencjalnu udział w aprecjacji PLN.
Notes
Warunki wymiany:
Na koniec okresu klient ma prawo ale nie
obowiązekwymienić naminał po kursie striek
Klient jest całkowicie zabezpieczony przed wprecjacją
EUR ponad poziom strike (atmf) I może
partycypować w możliwej aprecjacji PLN
SPOT
ATMF
Klient: kupuje EUR Call / PLN Put
Nominał: EUR 10m
Strike: 5.0600 (at-the-money forward)
Maturity: 12m
Premia 4.35% od nominału
EURPLN
18
Vanilla Options – Zabezpieczenie
downside ATM Vanilla Option
At the money vanilla Option - Put Option
Premia płatna upfront
Eliminuje ryzyko FX downside
Potencjalna partycypacja gdy EUR się
aprecjonuje
Uwagi
Warunki wymiany:
Na koniec okresuklient ma prawo ale nie obowiązek
wymienić wartość nominalną po kursie strike
Klient jest w pełni zabezpieczony przed możliwą
aprecjacją PLN poniżej poziomu Strikel (atmf) i może
partycypować w przypadku wprecjacji EUR
SPOT
ATMF
Klient: kupuje EUR Put / PLN Call
Nominałl: EUR 10m
Strike: 5.0600 (at-the-money forward)
Maturity: 12m
Premia 4.35% od nominalnej wartości
EURPLN
OPCJA CALL / PUT: PAYOFF
•USD - Call = prawo do kupna USD
importer
USD - Put= prawo do sprzedaży USD
eksporter
czyli IMPORTER ->USD - Call / PLN - put
EKSPORTER ->USD - Put / PLN - call
Opcje europejskie:WARTOŚĆ KUPNA OPCJI KUPNA C=max[0,(forward (S)-Strike (X))]
WARTOŚĆ SPREDAŻY OPCJI KUPNA -C=max[0,(Strike (X)-forward (S))]
Układ wypłaty nielinearny (hockey stick)
C=0 C=SPOT-STRIKE
spot
C
C=0
C
-C=-SPOT +STRIKE
spot
OPCJA CALL LONG (BUY):
Zysk/strata
zysk
Koszt
PREMIA
kursy4 4.1 4.2 4.3
Zysk
punktprzelomu
OUT AT IN
REZULTAT
BIZNES
Wstępny kurs call=strike
np.forward 3M 4.1550
premia 250bps
4.1550+0.0250=4.1800
RISK-REWARD - za 250 bps
może partycypować w up-side
0
Strata
ATMF
SPOT
ZWIĄZEK CENY OPCJI I RYZYKA
X S
X S
OPCJA SHORT CALL (SELL):
zysk/strata
zysk
strata
4.0 4.1 4.2 4.3
Zysk
strata
X
OPCJA LONG PUT (BUY):
zysk/strata
4.0 4.1 4.2 4.3
zysk
Koszt-premia
Zysk
strata
ATMF
SPOT
OPCJA SHORT PUT(SELL):
zysk/strata
strata
zysk
4.0 4.1 4.2 4.3
Zysk
strata
Kombinacje opcji
Long Call Short Call
Long Put Short Put
OPCJE - POWTÓRZENIE
• Opcja jest dla właściciela
prawem (ale nie
obowiązkiem) zakupu lub
sprzedaży aktywów, po
określonej cenie, w
określonej przyszłości
– kupujący płaci premię
nabywcy
– sprzedawca (“writer”)
ma obowiązek zakupu
lub sprzedaży
aktywów, jeżeli
właściciel opcji zechce
ją wyegzekwować
DIAMENT Z OPCJI
LONG
CALL
SHORT CALL
LONG PUT
SHORT PUT
ZYSK
STRATA
ZABEZPIECZANIE RYZYKA
premium
EKSPORT
+
-
kurs wymiany
Tu pokazuje się jak z put i otwartej
pozycji dewizowej (lub forward)
powstaje syntetyczna opcja call
ZABEZPIECZANIE RYZYKA
premium
kurs wymiany
IMPORT
+
-Tu pokazuje siê jak z call i otwartej pozycji (lub forward)
powstaje syntetyczna opcja put (daje udział w zyskach kursowych)
OPCJA UZGODNIENIE
• Typ opcji (plain vanilla, azjatycka,
egzotyczna)
• Sprzedający/ kupujący
• Rodzaj opcji (europejska, amerykańska,
atlantycka)
• Typ opcji (call, put)
• Waluta, kwota, cena realizacji, data,
realizacji, data rozliczenia, premia, dzień
zapłaty premii
OPCJE
• Callable, putable, extendable..
• Cap, floor, spread
• Opcje odroczone (forward start options)
• Opcje na opcję na instrument pierwotny (copound
options)
• Opcje z wyborem typu buy/call (chooser options)
• Opcje z pułapami (barrier options, knock-in/out options,
digital)
• Opcje z wypłatą lub bez (binary, cash or nothing, gap
options, supershares)
• Opcje z premią zależną od minimalnej ceny (look back
options) ), opcje różnicowe (Qanto)
• Opcje azjatyckie (average options), bermudzkie
OPCJA A FORWARD
+
-
kurs wymiany
Long call _+ short put = syntetyczny long forwardTen sam strike oraz ten sam czas do wygaśnięcia opcji.
OPCJA A FORWARD
Short call + long put = syntetyczny short forward
Ten sam strike oraz ten sam czas do wygaśnięcia opcji.
OPCJA KOSZT
DZIEŃ FORW. PREMIA
14.03.02 3.89 4%
14.03.03 4.16 6%
14.03.04 4.47 8%
14.03.05 4.78 9%
Im agresywniejszy kurs tym wyższa cena opcji, im dłuższy okres, im większe
volatility
opcja call na 14.03.02 dla 3.89 wyniesie 4% od 26,325 M EUR
WARTOŚĆ OPCJI
• Intrinsic (wewnętrzna) = reference - strike
• czyli cena instrumentu bazowego - cena wykonania
• Wartość wewnętrzna call
• max{0,max(spot-strike) amerykańskie * (czasami futures)
• lub max(futures-strike)} europejskie
• Premia opcji (cena opcji) = time value + intrinsic value
(wewnętrzna, nieodłączna)
• Time value = premia - wartość wewnętrzna opcji
• Zawsze istnieje time value ze względu na niepewność
do wygaśnięcia opcji (w dniu wygaśnięcia =0)
• Cena opcji zależy od prawdopodobieństwa, że zostanie
ona zrealizowana, używa się modeli rozkładów gęstości
dla oceny prawdopodobieństwa
OPCJE - WARTOŚĆ
• Wartość wewnętrzna opcji:
• Wartość opcji jest nieujemna
• Wartość opcji amerykańskiej jest co najmniej
taka jak europejska
• In-the-money, at-the-money, out-of-the-money
),0(
),0(
eMax
Put
eMax
Call
e
e
strike
strike
OPCJE - WARTOŚĆ, WARTOŚĆ
CZASOWA & WEWNĘTRZNA• Opcja out of the money; at the money; in the
money
• Wartość opcji - intrinsic value= time value
• Intrinsic = ref.(spot lub forward) - strike price
• Time value wynika z możliwości zmian ceny
waluty do maturity - zawsze time value powiększa
intrinsic value
• Volatility nie jest zupełnie obiektywne na rynku -
bierze się pod uwagę przeszłe (hist.), bieżące i
przyszłe (implied)
• Niższe volatility dla buyer, wyższe jako seller opcji
OPCJE
Opcje europejskie: at the money strike=futures/forward
Opcje amerykańskie: zależy od relacji spot i forward:
CALL PUT
Forward > spot forward spot
Forward < spot spot forward
Dwa dni po dacie transakcji zapłata premii oraz dwa
dni po dacie ekspiracji opcji value date
OPCJE
• A) EUR call /Ł put
• spot EUR 1 = 0.6 Ł
• forward EUR 1 = 0.6175
• Czy strike 0.625 jest in, at, out of the money
• B) USD put/CHF call
• spot USD 1=CHF 1.7100
• forward USD 1=CHF 1.6855
• Czy strike 1.650 jest in, at, out of the money
• A) out, bo europejska i porównanie z forward
• B) out, bo amerykańska tu: do spot
WYCENA OPCJI
• Założenia, że no-arbitrage price relations (prawo jednej ceny), czyli cena rynkowa bez możliwości bezkosztowego arbitrażu (albo opcja albo replikacja)
• Opcja to tylko prawo a nie obowiązek
• Złożenie cen dla call i put daje forward a więc daje net cost of carry
• Istnieje parytet call i put
• Wycena opcji wychodzi z równości między zdyskontowaną wartością cash flow opcji a zdyskontowaną wartością różnicy instrumentu w przyszłości do ceny i spot (BS pokazali, że risk free rate wyłącza problem indywidualnych oczekiwanych stóp zwrotu (o ile jest neutralne podejście do ryzyka)
•
WYCENA OPCJI
• Balck, Scholes 1973, Merton 1973 – model jednookresowy, wartość opcji jest taka sama bez względu czy założymy risk neutral, czy risk averse individual. Rozkład zwrotu jest lognormal. Opcja europejska.
• Cox, Ross, Rubinstein 1979 opcje amerykańskie, discret jump, – Binominal
– Trinominal
– Monte Carlo simulation
• Dyskrecjonalne wersje geometrycznych ruchów Browna
WYCENA OPCJI PARYET PUT-CALL
• Dla opcji europejskiej premia put może być wyceniona
jako premia call + wartość zdyskontowana strike price –
cena instrumentu.
• Parytet put-call
opcjiawygasniecidoczast
ryzykaodawostopai
strikespot epremiapremiaitcallput
ln
*
WYCENA OPCJI PARYET PUT-CALL
TT
iT
iT
T
T
TT
SSXepcRAZEM
XXXeInwestycja
SXpputSell
XSccallBuy
XSXS
tWyplatatWyplataPozycja
0)(
0
10
iTiTiT eXFXeSepc )(
Bardziej generalna zależność put-call w opcji europejskiej:
WYCENA OPCJI• Przykład: strike call 3.9250 PLN/$ , premia 1500, break-even
= 3.9875, czas do wygaśnięcia opcji 180 dni, stopa wolna
od ryzyka 2%, S= 4 PLN/$ (oczekiwany spot = futures)
• Put-call parity opcja at the money put oraz call mają tę
samą premię (symetria put-call)
• P=-4+0.1500+3.9250*e^(0.02*180/360)=0.0359
• Tu premia w punktach bazowych,
• Gdy nierównowaga -arbitraż (patrz syntetyczny call i put)
prowadzą do wyrównania się premii at the money
opcjiawygasniecidoczast
ryzykaodawostopai
strikespot epremiapremiaitputcall
;;;
;;ln;
*
P= S C X e iT
0,035946 -4 0,15 3,925 0,99005
SKŁADNIKI TWORZĄCE WARTOŚĆ
OPCJI• Cena opcji składa się z następujących
komponentów:
• Cena opcji = wartość wewnętrzna + czasowa
• Dla wyższych cen premia zmienia się convex##### 100 83,00 0,05 10,00% ### ### 0,02 0,00
##### 100 84,00 0,05 10,00% ### ### 0,04 0,00
##### 100 85,00 0,05 10,00% ### ### 0,06 0,00
##### 100 86,00 0,05 10,00% ### ### 0,10 0,00
##### 100 87,00 0,05 10,00% ### ### 0,15 0,00
##### 100 88,00 0,05 10,00% ### ### 0,21 0,00
##### 100 89,00 0,05 10,00% ### ### 0,30 0,00
##### 100 90,00 0,05 10,00% ### ### 0,42 0,00
##### 100 91,00 0,05 10,00% ### ### 0,58 0,00
##### 100 92,00 0,05 10,00% ### ### 0,77 0,00
##### 100 93,00 0,05 10,00% ### ### 1,01 0,00
##### 100 94,00 0,05 10,00% ### ### 1,29 0,00
##### 100 95,00 0,05 10,00% ### ### 1,64 0,00
##### 100 96,00 0,05 10,00% ### ### 2,03 0,00
##### 100 97,00 0,05 10,00% ### ### 2,49 0,00
##### 100 98,00 0,05 10,00% 0,10 0,03 3,00 0,00
##### 100 99,00 0,05 10,00% 0,25 0,18 3,57 0,00
##### 100 100,00 0,05 10,00% 0,39 0,32 4,19 0,00
CENA OPCJI
Intrinsic
Time
WARTOŚĆ RYNKOWA OPCJI
Time value (premia-intrinsic)
Intrinsic value Max(S-X,0)
Strike ! price kurs
Wartość rynkowa
opcji
OUT AT IN
TOTAL VALUE (PREMIA)
Pay-out
OPCJA CALL
WARTOŚĆ WEWNĘTRZNA
• Realizacja opcji
• Wartość wewnętrznaCall = max[S-X,0]
• Wartość wewnętrznaPut = max[X-S,0]
Call Put
kurs > ceny bazowej In-the-moneyWartość wew. > 0
Out-of-the-moneyWartość wew. = 0
kurs = ceniebazowej
At-the-moneyWartość wew. = 0
At-the-moneyWartość wew. = 0
kurs < cena bazowa Out-of-the-money
Wartość wew.= 0
In-the-money
Wartość wew. > 0
WARTOŚĆ CZASOWA
• Wartość czasowa (time value) – funkcja
prawdopodobieństwa wystąpienia korzystnych dla
nabywcy zmian cen instrumentu.
• Wartość czasowa = Cena opcji - wartość
wewnętrzna
• Wartość czasowa jest składnikiem, jaką płaci nabywca
za szansę, że przez pozostałą część czasu kurs
instrumentu bazowego rozwinie się pozytywnie dla
niego.
• Z reguły wartość czasowa jest dodatnia.
• Wyjątek: gdy głęboko (deep-in-the-money Puts)
europejska
WARTOŚĆ OPCJI W CZASIE
EROZJA WARTOŚCI
Wartość opcji
w czasie
Data zapadalnościCzas do umorzenia
TIME VALUE - PRZYKŁAD
• Wartość czasowa tym większa im większe
jest prawdopodobieństwo znaczącej zmiany
instrumentu bazowego
OPCJE KUPNA OPCJE SPRZEDAZY
Kurs wyk. cena kurs opcji wartosc wewnetrzna wartosc czasowa kurs opcji wartosc wewnetrzna wartosc czasowa
1.5 1.6 0.165 0.1 0.065 0.05 0 0.05
1.3 1.25 0.074 0 0.074 0.108 0.05 0.058
OPCJE• Koszt opcji - premia zależy od: kwota, call czy
put, spot, strike, volatility, i,i’, data,
• Volatility: historyczna, zakładana, oczekiwana,
ocena pozycji przez dealera
• Motywy: ostrożnościowy, spekulacyjny,
rentowności
• Opcje inter-bank 5-10 mln$ zwykle do 3 lat
• Opcje walutowe, na stopy%, papiery
wartościowe, indeksy, commodities, futures
• Np.koszt opcji call można sprowadzić
syntetycznie do zakupu waluty na kredyt
NON-DELIVERABLE OPTION
• PRZYKŁAD:
• Rozliczenie dla opcji call: strike $3.9000,
referencyjny $4.0000
• 1000000$*(4.0000-3.9000)=10000PLN
• Rozliczenie opcji put: strike $4.1000,
referencyjny $4.0000
• 1000000$*(4.1000-4.0000)=10000PLN
GŁÓWNE CZYNNIKI
WYZNACZAJĄCE CENĘ OPCJI
Zmiana ceny
Wzrost Call Put
Kurs (S)
Ceny bazowej (X)
Reszta czasu ()
Stopa wolna od
ryzyka (r)
Volatility ()
ZMIENNOŚĆ
ZMIENNOŚĆ
• Zmienność ceny aktywu jest miarą ryzyka dotyczącego jego ceny w przyszłości
• Różne rodzaje zmienności powoduję, że cena opcji z modelu może się różnić od rzeczywistej ceny opcji (historyczna, z symulacji, zakładana, implikowana)
• Odchylenie standardowe jest dobrą miarą ale też z wadami. Mierzy rozrzut wokół wartości oczekiwanej i często przyjmuje się, że ma on rozkład normalny
• Tymczasem to nie rozkład cen ma charakter normalny lecz rozkład naturalnych logarytmów stóp wzrostu
ZMIENNOŚĆ
• W rozkładach symetrycznych = odchylenie standardowe
• Pozwala mierzyć prawdopodobieństwo
• Mierzy się ryzyko, aby zakończyć transakcję in the money
• Zmienność jest postawą wyceny opcji
• Mierzy jak wartość danego aktywu może fluktuować
(market confusion),
• Determinuje premię opcji
• Im większa zmienność tym większa szansa, że opcja stanie
się zyskowna i skończy in the money
• Dla rozkłądów niesymetrycznych modele binominalne,
trinominalne
TYPY ZMIENNOŚCI (VOLATILITY)
• ZAKŁADANA:
– Trzeba znać: cenę rynkową,
stopę %, dzień ekspirowania,
cenę strike
– Model Black-Scholes
• Zakładana zmienność jest
miarą raczej zmienności
opcji niż aktywu
• HISTORYCZNA:
– Zmienność statystyczna,
obserwacja przeszłości,
– Miarą zmienności jest
odchylenie standardowe
ceny aktywu (często 21-23
dni)
KWANTYFIKACJA ZMIENNOŚCI
VOLATILITY
• Ponieważ zmienność jest wartością
nieobserwowalną nie może być mierzona, a
jedynie szacowana.
• Zazwyczaj stosuje się dwie metody szacowania
zmienności:
– Zmienność historyczna:
• Zmienność szacuje się za pomocą historycznych danych o kursach.
– Zmienność zakładana (implied Volatility):
• Zmienność bazuje na cenach rynkowych instrumentów
derywatywnych.
ZMIENNOŚĆ
EUR/$=1
EUR/$=1.1
EUR/$=0.9
Zmienność = 10%, średnia kursu = 1
VOLATILITY PRZY GEOMETRYCZNYCH
RUCHACH BROWN’A
• Te kursy wskazują na tę samą zmienność
równą 0 (=0).
a) b) c)
• Te kursy mają tę samą zmienność (=/0).
d) e) f)
PROCES STOCHASTYCZNY
• Random walk (opisuje
błądzenie losowe, zakłócenie
losowe ma rozkład normalny
(0;1), dla procesu ciągłego
white noise)
• Geometryczne ruchy
Browna,
losowazmiennaX
cenyzmiennosc
losowejzmiennejwartoscidryft
WieneraGaussaprocestz
tXdBXdttdX
nageometryczOdmiana
BoBdttztBdttB
losowezakłakłócet
BoBttBtB
)1,0()(
)()(
)0(),()()(
)(
)0(),1()()1(
SZACOWANIE HISTORYCZNEJ
ZMIENNOŚCI
• Jeżeli zmiany kursu
odpowiadają
geometrycznym ruchom
Brown‟a (1905 teoria), to
rentowności w stałych
interwałach (z próby)
mają rozkład normalny
• Szacunek średniej :
i wariancji:
lub odchylenie
standardowe (Volatility)2=Wariancja
=Średnia
m
n
i
i mrn 1
2
1
1
n
i
i mrn 1
22
1
1
n
i
irn
m1
1
ANNUALIZACJA VOLATILITY
• Dla obliczenia zmienności
stosuje się różne przedziały
czasu - dzień, miesiąc,
kwartał.
• Aby uzyskać
porównywalność dokonuje
się anualizacji odchylenia
standardowego
• dla historycznej zmienności:
.
1
212
lub
*
ann
T
T
oznacza ilość obserwacji
w roku:
4 rentowność kwartalna
12 rentowność miesięczna
52 rentowność
tygodniowa
250 rentowność dzienna
VOLATILITY - IMPLICITE
• Przy szacowaniu pojawiają się następujące
problemy:
– Jak długi ma być czas obserwacji?
– W jakich interwałach obserwować kursy? (dziennie,
tygodniowo, miesięcznie ...)
• Każdy trader ma inną odpowiedź. A więc pogląd
odzwierciedla się w volatility.
• W centrum uwagi rynku jest przyszła
zmiennność rynku aby zweryfikować własne
oszacowania.
• Implicite zawarta zmienność w oferowanych
cenach jest tą implicite Volatility.
KWOTOWANIA, ROZLICZENIE
OPCJI
KWOTOWANIE OPCJI FX
• Czasami premia kwotowana jako % od
strike price
• Np. EUR call/Ł put, strike 0.625, call
Ł=0.025, czyli 0.025/0.625=4%, lub od
spotu 0.025/0.6=4.17%
• USD put/CHF call strike 1.6855, premia
0.0783 CHF/$, stąd 0.0783/1.6855=4.65%
• lub 0.0783/1.71=4.58% od spot (1.71)
KWOTOWANIA OPCJI
USD/PLN 1M 2M 3M 6M 1Y
KURS 4.0842 4.1224 4.1546 4.2459 4.3231
CALL 435/482 643/709 840/918 1266/1378 1825/1982
Np. 1 000 000 usd, koszt opcji call 643/10000*1000000=64300 pln
1 punkt bazowy 10 pln
OPCJA BREAK-EVEN• CALL
• BREAK-EVEN=STRIKE + PREMIA BPS
• PREMIA BPS=SPOT*PREMIA%
• PUT
• BREAK-EVEN=STRIKE-PREMIA BPS
• PREMIA BPS=SPOT*PREMIA %
• np.0.625 Ł/EUR+0.025=0.650, bo 0.6*4.17%=0.025
• np.1.71CHF/$*4.58%=-0.0783+1.6855=1.6072
OPCJE ROZLICZENIE
• CALL, strike 105, wartość aktywu 110 at
maturity, premia 10,
• nabywca może kupić po 105 i sprzedać po
110,
• zysk z realizacji opcji 110-105=5 ale,
• koszt opcji 10, a więc efektywnie 5-10=-5
• opcje kwotowane np. jako np. 5c od 1$ a
więc można łatwo wyliczyć premię
OPCJE ROZLICZENIE
• Sprzedawca opcji tworzy ryzyko
kredytowe, kupujący tego ryzyka jest
pozbawiony
• Istnieją przy strategiach opcyjnych net
settlement options, gdzie rozlicznie
następuje różnicą
• Ryzyko kredytowe - potencjalne ryzyko:
• Potencjalne ryzyko = stress spot - strike1
1
*,))1/*(645.1*(
put
call
spotpriceStress et
RYZYKO KREDYTOWE
• Opcja call 3 miesiące, strike 54$, spot 52$,
odchylenie standardowe na rok 26,5%
• Stress
price=52*e^(26,5%(3/12)^0.5*1.645=64.68
• Potencjalne ryzyko 64.68-54=10.68
• stress kurs $= 4*e^(15%(3/12)0.5*1.645=4.52
• potencjalne ryzyko 4.52-4=0.52
• W przypadku put różnica między strike - stress
=potencjalne ryzyko
EFEKTYWNY KURS FX BUY PUT
EUR.65
.64
.63
.62
.61
.60
.59
.58
.57
.55 .56 .57 .58 .59 .60 .61 .62 .63 .64
Aktualne przysz³e kursy
Efe
kty
wn
y k
urs
w h
ed
gu
FORWARD
BUY PUT
BEZ HEDGU
Czerwona linia pokazuje złożenie buy put EUR i forward - efektywne
i przekształcenie się ich w collar na kurs walutowy
collar
collar
OPCJE
• UPROSZCZONA CENA OPCJI
EUROPEJSKIEJ AT THE MONEY:
• CENA
OPCJI=0,4**T/365*(1/(1+i*(DNI/365))
• lub pierwiastek z 256 dni roboczych
• np. Volatility roczne 10%, 183 dni, i=10%
• 0,4*10%(0,5^0,5)*(1/(1+0,05))=2,69374%• lub volatility dzienne * dni^0.5
WYCENA OPCJI
OPCJE
CENA OPCJI A CENA BAZOWA
CENA INSTRUMENTU
CENA OPCJI BUY
CENA INSTRUMENTU
CENA WYKONANIA CENA WYKONANIA
CENA OPCJI SELL
CENA OPCJI BUY CENA OPCJI SELL
WYCENA OPCJI
MODELE DWUMIANOWE
OPCJE – GENEZA WYCENA
• Koniec XIX w poszukiwania reguł opcji – Russel Sage opisał parytet opcji call-put
• 1973 Fischer Black i Myron Scholes opisali mechanizm wyceny opcji europejskiej n a akcje bez wypłaty dywidendy
• Rozszerzenie modeli Garman- Kollhagen oraz Grabbe
• Merton opcje na akcje spółek wypłacających dywidendę
• Thorpe model znoszący ograniczenie krótkiej sprzedaży
• Cox i Ross wprowadzili model z nieciągłymi zmianami instrumentu bazowego
• Jarrow Rudd odejście od założeń rozkładu log-normalnego
• Merton wprowadzenie zmiennej stopy procentowej
• 1973 Merton zbudował pierwszy model do wyceny opcji barierowych dla opcji kupna w barierą wyjścia w dół
• Opcje złożone model Geske
• Opcje wsteczne model Goldman, Sosin, Gatto
• Lata 80. model Stulza – model na maksimum lub minimum dwóch instrumentów bazowych
• Ingersoll model opcji azjatyckich
WYCENA OPCJI
• Z kalkulatorem i rozkładem prawdopodobieństwa
inteligentna osoba mająca dobre rozumienie finansów
może wykalkulować cenę opcji - mimo, że model
matematyczny wyceny opcji jest skomplikowany
• Istnieje jednak wiele modeli wyceny opcji (założenia,
metoda)
• Podstawowe założenie racjonalności:
– Prawo jednej ceny oznacza, że jeżeli istnieją 2 instrumenty dające tę
samą wypłatę w przyszłości to aby nie wystąpił wolny od ryzyka
arbitraż to bieżące ceny tych instrumentów muszą być równe.
it
t
t
XeSc
oraz
SCc
musicallopcjiCana
:
WYCENA OPCJI
• Rozważmy alternatywę:
• Zakup opcji call
• Zakup na kredyt instrumentu X
XSXeS
miectrzebatoeponiewaz
XSXSXeSRAZEM
XXXekredytuz
SSSaktywuZakup
XSccallZakup
XSXS
KONIECPOCZATEKPOZYCJA
t
iT
t
iT
TT
iT
iT
TTt
T
TT
:1
0
0
WYCENA OPCJI
• Tu założenie tzw. niższego poziomu, gdzie konstrukcja polega na przyjęciu, że bez względu co się stanie w przyszłości wartość call nigdy nie spadnie poniżej wartości portfela. Czyli albo 0 albo Vt-Vo (wtedy nie ma arbitrażu wolnego od ryzyka)
• Jeżeli wypłata z opcji da się replikować portfelem = instrument oraz jego finansowanie, to przy założeniu jednej ceny, cenę opcji determinuje aktualna wartość portfela (replikacja).
• Portfel będzie pozbawiony ryzyka bez względu na zmiany ceny instrumentu podstawowego (neutralne ryzyko)
• Tu jednak opcja nie spełnia swojej roli a jedynie replikuje wypłaty, które już zostały osiągnięte przez utrzymanie istniejącego instrumentu.
WYCENA OPCJI (ARBITRAŻ)
Przykład wyniku założenia o arbitrażu bez ryzyka między instrumentami
OKRES 0 OKRES T
120
Akcja A 70
60
Ile powinna kosztować akcja B
100
Akcja B b?
50
Analiza:
120-100=20 b=
A-B= 70-b
60-50=10 stąd b= 70-10/1.11
Inwestor skalkuluje wynik pewny co najmniej 10 b= 60,99099
Czyli w warunkach arbitrażu cena bieżąca b<60,99
Tu założenie tzw. Niższego poziomu, gdzie konstrukcja polega na przyjęciu, że bez
względu co się stanie w przyszłości wartość call nigdy nie spadnie poniżej wartości
portfela. Czyli albo 0 albo Vt-Vo (wtedy nie ma arbitrażu wolnego od ryzyka)
WYCENA OPCJI
• Wycena opcji przeprowadzona na podstawie
drzew dwumianowych może się odbywać
poprzez wykorzystanie:
– techniki portfela replikującego wypłaty z opcji
(replicating portfolio)
– lub prawdopodobieństw w warunkach
powszechnej neutralności na ryzyko (risk neutral
approach)
WYCENA OPCJI - REPLIKACJA
PRZEPŁYWÓW
• I.Metoda portfela replikującego przepływy z opcji oznacza budowę portfela złożonego z instrumentów wolnych od ryzyka oraz określonej liczby instrumentów bazowych, których wartość oszacowano na moment wykonania opcji. (np.portfel z akcji kupionych z kredytu) Z założenia taki portfel ma generować dokładnie taki sam strumień pieniędzy, jaki przynosi wyceniona w każdym scenariuszu rozwoju sytuacji opcja.
• Z arbitrażu wynika, że wartość opcji call może być 0 lub nie mniej niż So-xBo(0,T), czyli niż zakup akcji (pozycja długa) powiększonej o finansowanie (pozycja krótka) (dlatego tu znak -)
MODEL DWUMIANOWY
• Założenia
– Istnieje określona dyskretna ilość prób
– Z każdej próby dwa rezultaty (up, down)
– Prawdopodobieństwo trwałe w czasie
– Próby są niezależne
– Nie jest potrzebne założenie o preferencjach ryzyka inwestorów
• J.C.Cox, S.Ross, M.Rubinstein 1978
• Proces:
– Skonstruowanie portfela o zerowym ryzyku
– Długa pozycja np. w akcjach, krótka w opcji (risk neutral) lub replikacja
wartości opcji przez portfel akcje i krótka w kredycie
– Proporcja akcji wynika z delta – hedge ratio
WYCENA OPCJI PORTFEL
REPLIKUJĄCY
• Warunki konstrukcji portfela replikującego
• m ilość instrumentów,
• B wartość instrumentów wolnych od ryzyka tworzących portfel replikujący przepływy z opcji
• rf stopa wolna od ryzyka
• Cu wartość opcji w dniu jej wygaśnięcia przy założeniu wzrostu wartości instrumentu bazowego
• Cd wartość opcji w dniu jej wygaśnięcia przy założeniu spadku wartości instrumentu bazowego
• m wyznacza ilość instrumentów (czyli delta zmiana wartości opcji do zmiany wartości instrumentu bazowego)
• Bo wzór na wartość instrumentów wolnych od ryzyka
• Znajomość m oraz Bo pozwala na kalkulację dzisiejszej wartości portfela doskonale replikującego przepływy z opcji i zastosowania prawa jednej ceny.
• PORTFEL REPLIKUJĄCY
00
0
0
0
0
1
1
)1(
)1(
BmSC
r
mSCB
r
mSCB
SS
CCm
CrBmS
CrBmS
f
dd
f
uu
du
du
dfd
ufu
MODEL DWUMIANOWY
PRZYKŁAD REPLIKACJA
• Opcja call na akcje w procesie dwumianowym (model drzewa
dwumianowego)
• Stopa wolna od ryzyka 25%
• Replikacja opcji w postaci portfela. Zastępujemy płatność opcji przez
portfel złożony z akcji kupionych za pożyczone pieniądze. Wartość obu portfeli
musi być równa C1 lub C2. Portfel składa się z m akcji i B wydatku
inwestycyjnego.
Cena spot So=100
cena opcji Co?
Su=150
Cu=50
Sd=50
Cd=0
Cu=m*Su+B
Cd=m*Sd+B
50=m*150+B
0=m*50+BB=-m*50
50=m*150-m*50->50=100*m->m=0.5 stąd B=-0.5*50=-25
czyli portfel składa się z 1/2 akcji i pożyczki 25
wartość zdyskontowana pożyczki Bo=B/(1+i) czyli -25/(1.25)=-20
wartość opcji Co=Bo+m*So=-20+0.5*100=50-20=30
Założenie akcja może wzrosnąć o 50
lub spaść o 50%
Z określonym prawdopodobieństwem
P(ω)=0,5=1-P(ω)
So=[p*Su+(1-p)Sd]/(1+i)
MODEL DWUMIANOWY PRZYKŁAD
So 100,00
Su 150,00
Sd 50,00
Cu 50,00
Cd 0,00
rf 0,25
m= 0,50
Bo= -20,00
Bo= -20,00
Call C= 30,0000
0
0
0
0
1
1
)1(
)1(
BmSC
r
mSCB
r
mSCB
SS
CCm
CrBmS
CrBmS
f
dd
f
uu
du
du
dfd
ufu
MODEL DWUMIANOWY – RISK
NEUTRAL
• Protfel składa się z akcji oraz opcji na akcje
• Założenie akcja może wzrosnąć o 50
• lub spaść o 50%
• Z określonym prawdopodobieństwem
• P(ω)=0,5=1-P(ω)
• So=[p*Su+(1-p)Sd]/(1+i)
• Założenie neutralności na ryzyko:
• Zdyskontowana wartość akcji musi =100 stąd p=0,75:
• 100=[p*150+(1-p)*50]/1.25 p=0.75
• Przy p=75% wartość zdyskontowana opcji:
• c=[0.75*50+0.25*0]/1.25=30
REPLIKACJA/POWIELANIE
POCHODNYCH ZA POMOCĄ
PORTFELA
• Np.T-t=4, volatility 0.4, S=140, I=12.47%, X=160.
• Black Scholes: Cena call wynosi 60.34 $, Delta 79%
• To można kupić opcję call za 60.34$
• Lub replikować przez portfel składający się z 79%
akcji od 140$=110.60$ oraz pożyczki z banku
110.60$-60.34$=50.26$
• Delta to pierwsza pochodna opcji względem ceny
akcji, czyli jak zmieni się cena opcji, gdy cena akcji
zmieni się o 1%
MODEL DWUMIANOWY –
NEUTRALNOŚĆ NA RYZYKO• Popularny model wyjaśnienia wyceny opcji (J.C.Cox,
S.Ross, M.Rubinstein, 1976)
• Przyjmuje się, że sprzedaż opcji nie wynika ze spekulacji
lecz kalkulacji kosztów (awersja do ryzyka oraz
neutralność na ryzyko)
• Dążenie do wykorzystania dźwigni finansowej –
finansowanie obligacjami zakupu.
• Dwa instrumenty - kasowy i opcja tak dobrane, aby ruch
cen był przeciwstawny, a przychód równy stopie wolnej
od ryzyka. Kupno ackji oraz pożyczka z banku
• Np. Długa kasowa i krótka na opcji kupna lub długa opcja
oraz krótki instrument. Taka proporcja aby dała i.– wart.końc.portfela=wart.końc.walorów spot-wart.koń.opcji
– wart.pocz.portfela=wart.pocz.walorów spot-war.pocz.opcji =i
WYCENA OPCJI – NEUTRALNOŚĆ NA
RYZYKO
• II.Metoda a/ portfela bez ryzyka oraz b/prawdopodobieństw w warunkach powszechnej neutralności wobec ryzyka:
• A/Budowany jest portfel złożony z jednej opcji w pozycji krótkiej oraz określonej liczby instrumentów bazowych. W założeniu portfel ten ma być wolny od ryzyka, a więc bez względu na przewidywane zmiany wartości instrumentu bazowego, wartość końcowa całego portfela musi pozostać na stałym poziomie. Taki portfel powinien dawać stopę wolną od ryzyka.
• B/Neutralny na ryzyko portfel daje stopę wzrostu = risk free. Stąd cena dzisiejsza aktywu = zdyskontowanej cenie przyszłej. Ale wartość przyszła oczekiwana aktywu zależy od „risk neutral” prawdopodobieństwa tego, że z „p” cena wzrośnie oraz, że z (1-p) spadnie.
• W obu przypadkach wyliczona wartość opcji w to jest taka sama
MODEL DWUMIANOWY – NEUTRALNY
NA RYZYKO• MODEL MOŻNA ZAPISAĆ:
• Instrument pierwotny So zabezpiecza się wystawieniem h
opcji call C. B - wartość wypłaty stała bez względu
na zmianę wartości instrumentu
• Ilość h musi być taka aby wypłata była B bez względu na
kierunek zmian cen (u wzrost, v spadek)
• Współczynnik zabezpieczenia h=
• Portfel WP złożony z instrumentu pierwotnego oraz
sprzedanych h opcji call trzeba porównać ze stopą wolną
od ryzyka
• stąd z prównania obu stron
• wylicza się wartość opcji call
• gdzie p oznacza tzw. Prawdopodobieństwo arbitrażowe
• Cu,Cv-max i min wartość opcji w T, Su,Sv-max,min cena
wygaśnięcia instrumentu,S-Oczekiwana cena bieżąca
instrumentu, C- bieżąca cena opcji, wp- wartość portfela
(akcje/opcje), i- stopa %, t- czas, du
d
it
du
it
it
uu
it
uu
du
dduu
SS
Sp
ppC
hCSh
kosztPWP
hCSKosztP
hWP
duh
hCShCSB
hCSB
es
CCe
eCS
eCS
CC
SS
*
(
0
)*)1(*(
*)(
*)(
)
00
MODEL DWUMIANOWY
PRZYKŁAD• Cena instrumentu w to 100, w t1 może być 120
lub 90, strike 110, wtedy cena wykonania opcji
wyniesie 10 lub 0. Czas opcji 1 rok, stopa wolna
od ryzyka 10%. Ile wyniesie cena opcji w modelu
dwumianowym?
Cena kasowa So 100
Cena wykonania 110
Su 120
Sd 90
Cu 10
Cd 0
h= -3 współczynnik zabezpiecznia
i= 0,1 stopa wolna od ryzyka
t 1 czas 1 rok
WP= 92,85488
Koszt P= ?
p= 0,016125 prawdopodobienstwo arbitrazowe
C= 0,145903 cena call
B=B1= 90 sprawdzenie dla SuCu
B=B2= 90 sprawdzenie dla SvCvdu
d
it
du
it
it
uu
it
uu
du
dduu
SS
Sp
ppC
hCSh
kosztPWP
hCSKosztP
hWP
duh
hCShCSB
hCSB
es
CCe
eCS
eCS
CC
SS
*
(
0
)*)1(*(
*)(
*)(
)
00
MODEL DWUMIANOWY CD
Cena
spot 100
S=150
S=175
S=187.5
S=50
S=25
S=12.5
Model dla zmiennych nieciągłych (skokowych)
a co gdy ilość okresów -> nieskończoności - to ten dąży do modelu Black-Scholes
WYCENA OPCJI – NEUTRALNOŚĆ NA
RYZYKO• ustalenie m pozwala określić ilość instrumentów bazowych
(delta)
• taki portfel jest wolny od ryzyka a więc stopa zwrotu z tego portfela musi być równa stopie wolnej od ryzyka.
• Ze wzoru trzeciego wyliczamy wartość bieżącą opcji C, do wzoru 3 podstawia się formułę m z wzoru 2 I przekształca się
• Wartość instrumentu bazowego jest sumą zdyskontowanych stopą wolną od ryzyka nieobarczonych ryzykiem przyszłych wartości instrumentu bazowego (certainty equivalent values)
• Wyznaczenie nieobarczonych ryzykiem przyszłych wartości instrumentu bazowego jest możliwe poprzez przemnożenie przyszłych obarczonych ryzykiem wartości tego instrumentu przez prawdopodobieństwa właściwe dla warunków powszechnej neutralności wobec ryzyka ( risk neutral probabilities), u: wzrost indkesu akcji, d: spadek indeksu akcji
• Daje to wzór na V
• P – prawdopodobieństwo w warunkach neutralności na ryzyko.
• Stąd można wyliczyć wartość bieżącą opcji C.
• Przemnożenie wartości opcji w momencie jej wygaśnięcia przez prawdopodobieństwa w warunkach neutralności na ryzyko pozwala wyznaczyć wolną od ryzyka wartość opcji, która po zdyskontowaniu daje jej wartość bieżącą.
f
du
f
f
f
du
f
f
d
f
u
f
uu
du
du
dduu
r
CppCC
du
rup
du
drp
r
pVpVV
r
du
ruC
du
drC
C
dtddtu
r
CmVCmV
VV
CCm
CmVCmV
1
))1((
)1(1
)1(
1
)1(
1
)1()1(
11
1
ROZKŁAD LOGNORMAL
• Jeżeli rozkład jest normalny o parametrach μ oraz σ to dla
lognormalnego rozkładu prametry μ‟ oraz σ‟ są:
Powstały różne modele oparte o różne założenia:
• Black-Scholes, rozkład log normal
• Black-Derman-Toy, binary interest tree
• Heat-Jarrow-Morton, techniki Monte Carlo
1'
'
2
2
2
2
2
ee
e
GENEZA
• Fischer Black- Myron Scholes 1973 zrobili dla opcji to co
Einstein dla teorii względności
• Podstawa matemetyczna wyceny opcji to identyfikacja
prawdopodobieństwa realizacji opcji
• Premia za opcję musi być równa oczekiwanemu zyskowi
• Podstawowy pomysł to specyfikacja warunków dla
dynamicznego hedgowania ceny instrumentu oraz że
portfel nie obciążony ryzykiem daje stopę przychodu
wolną od ryzyka
• Rozwiązanie równań dla tych warunków, dla przyjętych
granic wartości opcji w dniu ekspirowania, daje fair value
opcji w każdym czasie
• Zakłada się, że cena instrumentu zmienia się według
pewnego procesu stochastycznego
MODEL B-S
• To formuła wyceny zwykłych opcji europejskich
• Założenie, że logarytmy stóp zwrotu (z akcji) mają
rozkład normalny
• Zysk z opcji kupna max(St-X,0)
• Cena akcji podlega procesowi stochastycznemu z
multiplikatywnym ciągiem zmian – geometryczne
procesy ruchów Browna
• Czyli St=Sexp(lnSt/S)=Sexp(µt+εσt), gdzie zmienna
losowa ma rozkład normalny
• Rozwiązanie różniczkowe to model B-S
B-S
• Stochastyczny proces opisują geometryczne ruchy Browna o małych zmianach w czasie dt
• Logarytmiczny zwrot z aktywu ma rozkład normalny o nadziei dt i wariancji ^2dt
• Całkowity zwrot wynosi
• Proces zakłada, że końcowa wartość aktywu ma rozkład gdzie N(0,1)
• Z tego procesu B-S zbudowali model
)2/(ln)ln(
0ln
/
2
0SS
dtwariancjiimeanrozkladzieymnormaodz
dzdtSdS
T
BLACK-SCHOLES - ZAŁOŻENIA
• Opcja jest opcją europejską
• Nie istnieją podatki, koszty transakcyjne, depozyty
zabezpieczające, podatki, rynki kapitałowe doskonałe
• Udzielanie oraz zaciąganie pożyczek jest możliwe po stałej
stopie wolnej od ryzyka, kapitalizowanej w sposób ciągły
• Instrument bazowy może być w krótkiej sprzedaży
• Instrument bazowy w okresie opcji nie przynosi żadnego
dochodu/dywidendy
• Cena instrumentu jest ciągła w czasie
• Zmienność ceny oraz stopy zwrotu z aktywu w okresie opcji
są stałe (stała wariancja) i rozwija się jak proces Wiener‟a
• Stopa procentowa jest znana i stała
• Lognormalny rozkład przyrostu cen
SPECYFIKA MODELU DLA OPCJI
EUROPEJSKICH (BLACK-
SCHOLES)• The Option Pricing Model
• Dwie statystyki - wartość oczekiwana oraz odchylenie standardowe =
volatility. Rozkład log-normalny prawdopodobieństwo - to pole pod krzywą
Gaussa
• Założenie godziwej wartości rynkowej opcji (fair market price)
• Model ten jest rozwinięciem wielookresowego modelu dwumianowego dla
bardzo dużej ilości okresów
2
201
2
2
)/(ln
201
2
1
21
*
2
1)/(ln
2
1)()(
)()(
*
tt SS
ttGaussa
d dx
ii
eSSP
dxedxxdN
dNXedNSec
tVolatilitytoczekiwanaWartosc
B-S
d10
0,5
1N(d1)
(d)
d1(S)
FUNKCJA GĘSTOŚCI
PRAWDOPODOBIEŃSTWA
DELTA
SKŁADNIKI KALKULACJI OPCJI W
B-S• C = Call-cena wartość
• P = Put-cena wartość
• S = Kurs spot
• X = Cena bazowa, strike
• i = Stopa wolna od
ryzyka p.a.
= Volatility p.a.
zmienność implikowana
• T = Czas ekspiracji
• t = Czas obserwacji
(dziś) stochastyczny od dziś
do daty
=T-t= Reszta czasu do
ekspiracji (w latach)
• N(.) = Funkcja rozkładu
Rozkład normalny
standaryzowany
• n(.) = Funkcja gęstości
rozkładu normalnego
• e = liczba e
podstawa ln
BLACK-SCHOLES - OPCJA
EUROPEJSKA 1973
analiziewużżytzmiennarb
Wienerprocesz
momenturentownośe
ddtd
ynormarozkłozkN
opcjiczasuresztatT
zmiennośm
riskfreer
strikeX
Ffuturesspot
tt
tTbXStT
tT
tTbX
NXN
zSS
S
dd
S
d
dedSC
t
t
Tt
t
tTr
tt
///
//1
`
ln'(.)
``
%
/
)(
))(2/()/ln(
))(2
(ln
)(**)(*
1
2
12
2
1
2
)(
1
• Black-Scholes Option:
PV (call) = [FT N(d1) - X N(d2)] * e-rT
PV (put) = [X N(-d2) - FT N(d1)] * e-rT
gdzie: N(.) dystrybuanta rozkładu normalnego
d1 ={ln (FT/X) + (r+σ2 / 2) * (T-t)} / (σ (T-t) )
d2 = d1 - (σ (T-t) )
• Cena zależy od następujących parameterów:
FT Forward rate at maturity (funkcja spot i
stóp %)
X strike
T- t time to maturity
σ volatility
r discount rate (stopa % zagranicy)
• Ilustracja d1 and d2:
• N(d1)- prawdopodobieństwo, że nie przekroczy d1 czyli,
prawdopodobieństwo, że rentowność inwestycji nie zwiększy się
o więcej niż d1 od wartości oczekiwanej
• N(d2)- prawdopodobieństwo, że nie przekroczy d2
- N (d2) Prowdopodobieństwo egzekucji opcji
FTx N(d1) / N(d2) Najbardziej prawdopodobna
wartość aktywów
BLACK-SCHOLES - PRZYKŁAD
OBLICZENIE WARTOSCI OPCJI CALL
cena akcji 100 $
zmiennosc 0,2 20%
okres do wygasniecia 0,2 T-t ROKU
strike 98 $
stopa % 0,1 r=10%
ln S/X 0,020203 LN
skorygowany dochod 0,016 (r-0.5wariancji)*(T-t)
skorygowana zmiennosc0,089443 od.standar(T-t)
d2= 0,404759
N(d2)= 0,657172 dystrybuantaprawdopodbienstwo
wykonania opcji
65%bo opcja in the m
d1= 0,494201 d1=d2-skor.zmiennosc
N(d1)= 0,689418 dystrybuantawspol.delta
wspolczynnik dyskontujacy0,980199
WAROSC OPCJI CALL 5,81416 $
)(
))(2/()/ln(
))(2
(ln
)(**)(*
2
12
2
1
2
)(
1
tT
tTrXStT
tT
tTrX
NXN
dd
S
d
dedSC
t
tTr
tt
DLA OPCJI EUROPEJSKIEJ St TO CENA
BEZWARUNKOWEJ TRANSAKCJI TERMINOWEJ
eddStTr
tNXNP
)(
21)(*)(*
BLACK-SCHOLES – OPTION ON
FUTURES• Zastępuje się S przez
futures F i wtedy opcja call=
• W świecie neutralnego ryzyka formuła =
• Zmienna d2 zależy rzeczywiście od ceny wykonania opcji
• Przekształcając dochodzimy do wniosku, że
2
2
0
2
)()()(
)(
21
*
*)())(2/()ln()ln(
)(
])([)([)0,([
)](*)(*[
d
tTtTiSK
dNwykonanianeutralRisk
dSSfKedSSSfeKSMaxeEc
edNKdNFc
K K
tTitTi
T
tTi
tTi
BLACK-SCHOLES – PORTFEL
ZABEZPIECZAJĄCY
• Formułę B-S można przekształcić
w portfel replikujący: opcja C daje
dokładnie ten sam efekt co portfel
akcji oraz pożyczki. Wartość opcji
kupna równa się inwestycji netto w
akcje na kredyt.
• Drugie przekształcenie pokazuje
warunek neutralności na ryzyko –
definiuje portfel zabezpieczający
dla opcji zakupu. Kupując h akcji i
sprzedając opcję kupna tworzymy
portfel o zdefiniowanej wartości B,
która musi dać nam stopę wolną
od ryzyka. N(d1)=h=delta
eniazabezpieczilorazh
dNhająjązabezpieczportfel
ChSB
stronaprawatoCopcjęyreplikująePortfel
NXorazdNhgdzieBhSC
cenieprzekształ
NXdNC
ed
edS
tTr
tTr
t
:
)(
)(*)(
)(*)(*
1
)(
21
)(
21
B
OPCJA DYNAMIKABLACK SCHOLES OPTION PRICING Dynamic Chart Call
Inputs
Option Type: 1=Call, 0=Put 1 1
Standard Dev - Annual () 20% 2
Riskfree Rate - Annual (R) 8.0% 8
Exercise Price (E) $98.00 98
Time To Maturity - Yrs (T) 0.20 2
Dynamic Chart Outputs
Stock Price Now (Ps) $0.01 $20.00 $40.00 $60.00 $80.00 $100.00 $120.00 $140.00 $160.00 $180.00 $200.00 $0.01 $98.00 $200.00
Option Price $0.00 $0.00 $0.00 $0.00 $0.06 $5.59 $23.59 $43.56 $63.56 $83.56 $103.56
Intrinsic Value $0.00 $0.00 $102.00
d1 -101.760 -17.412 -9.720 -5.221 -2.029 0.448 2.471 4.182 5.663 6.970 8.140 -101.760 0.223 8.140
d2 -101.850 -17.502 -9.811 -5.311 -2.119 0.358 2.381 4.091 5.573 6.880 8.049 -101.850 0.133 8.049
N(d1) 0.000 0.000 0.000 0.000 0.021 0.673 0.993 1.000 1.000 1.000 1.000 0.000 0.588 1.000
N(d2) 0.000 0.000 0.000 0.000 0.017 0.640 0.991 1.000 1.000 1.000 1.000 0.000 0.553 1.000
Call Price (Vc) $0.00 $0.00 $0.00 $0.00 $0.06 $5.59 $23.59 $43.56 $63.56 $83.56 $103.56
-d1 101.760 17.412 9.720 5.221 2.029 -0.448 -2.471 -4.182 -5.663 -6.970 -8.140 101.760 -0.223 -8.140
-d2 101.850 17.502 9.811 5.311 2.119 -0.358 -2.381 -4.091 -5.573 -6.880 -8.049 101.850 -0.133 -8.049
N(-d1) 1.000 1.000 1.000 1.000 0.979 0.327 0.007 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000 0.412 0.000
N(-d2) 1.000 1.000 1.000 1.000 0.983 0.360 0.009 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000 0.447 0.000
Put Price (Pp) $96.43 $76.44 $56.44 $36.44 $16.49 $2.03 $0.02 $0.00 $0.00 $0.00 $0.00 $96.43 $2.77 $0.00
Dynamic Chart of Black Scholes Option Pricing
$0
$20
$40
$60
$80
$100
$0 $50 $100 $150 $200Stock Price Now
Op
tio
n P
ric
e
FORMUŁY OPCJI
Założenia Formuła opcji
b=r Tradycyjny Black-Scholes
b=r-q
q=-(1/T)ln[1-
NPV(dywidendy)/S]
Merton 1973 – model opcji akcji
z dywidendą q
b=0 Black 1976 model dla opcji na
futures, cap, floor
b=r-rf Garman & Kohlhagen 1983
opcje na waluty
ROZKŁAD DWUMIANOWY DRZEWO
Jarrow-Rudd (uproszczone)
Rozkład dwumianowy Drzewo JR
liczba krokow 9
rozmiar kroku 0,33 czyli 1/9-½
o 0,5 p(A)
cena końcowaliczba ścieżek
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 3,000 1 0,002
8 2,67 2,330 9 0,018
7 2,33 2 1,670 36 0,07
6 2 1,67 1,33 1,000 84 0,164
5 1,67 1,33 1 0,67 0,330 126 0,246
4 1,33 1 0,67 0,33 0 -0,330 126 0,246
3 1 0,67 0,33 0 -0,33 -0,67 -1,000 84 0,164
2 0,67 0,33 0 -0,33 -0,67 -1 -1,33 -1,670 36 0,07
1 0,33 0 -0,33 -0,67 -1 -1,33 -1,67 -2 -2,330 9 0,018
0 0 -0,33 -0,67 -1 -1,33 -1,67 -2 -2,33 -2,67 -3,000 1 0,002
SREDNIA 0,0000
Odchyle Std 1
UŚMIECH ZMIENNOŚCI
• Uśmiech zmienności to wykres wewnętrznej zmienności opcji będącej funkcją jej wykonania. Gdyby prawdziwe było założenie Balck-Scholes dotyczące normalności rozkładu to uśmiech zmienności byłby linią prostą
• Natomiast w rzeczywistości na krańcach wyraźnie implikowana zmienność rośnie, ponieważ rynek spodziewa się większych zmian
UŚMIECH VOLATILITY
AT-THE-MONEY CALL/PUT
IN THE MONEY CALL
OUT OF THE MONEY PUT
IN THE MONEY PUT
OUT OF THE MONEY CALL
IMP
LIE
D V
OL
AT
ILIT
Y WYKRES STRIKE PRICE
I ZMIENNOŚCI GRUP OPCJI
O TEJ SAMEJ DACIE EKSPIRACJI
ZMIENNOŚĆ OPCJI ROŚNIE WRAZ Z
RUCHEM IN LUB OUT OF THE MONEY
Im dalej od punktu at-the-money tym większa szansa, że cena się zmieni
Implied volatility
PUT at CALL
Dla pln call dro¿szy ni¿ putDelta
Delta
Implied volatility
GIEŁDA: OPCJE
• XII 1972 Philadelphia, później Chicago 73,
ale walutowe od 1882 Londyn IFFE 1985..
• Model wyceny opcji F.Black & M.Scholes
1973 (univ.Chicago)
• Opcje giełdowe - regulowany rynek: kontrakt,
przedmiot, kurs bazowy, tic, termin
rozwiązania opcji, open out cry, initial margin,
clearing, gwarancja wykonania, realizator
przypadkowy
• opcje na futures
OPCJE - WPŁYW ZMIENNYCH NA
PREMIĘ
Long
call
Short
call
Long
put
Short
Put
Wzrost ceny bazowej (SPOT) > < < >
Wzrost zmienności implikowanej > < > <
Wzrost stopy procentowej waluty bazowej < > > <
Wzrost stopy procentowej waluty kwotowanej > < < >
Upływ czasu < > < >
>Wzrost
<spadek
OPCJE
GREEKS
WRAŻLIWOŚĆ
HEDGING OPCJI
HEDGING OPCJI
• Opcje zmieniają się nieliniowo i mają nielinearną wypłatę
• Strata na opcji jest kombinacją dwóch czynników:– Ekspozycji
– Czynnika ryzyka
• A więc nie tylko ważny jest czynnik ryzyka ale i ekspozycja nominalna (często to wygląda jak sprzedaż instrumentu short)
HEDGING OPCJI
• Np.wartości instrumentu jest funkcją czynników ryzyka
• Korzystając z rozwinięcia Taylora można pokazać wpływ pochodnych cząstkowych na zmianę ceny instrumentu
...2
1
2
1'
'2
1'
'
2
1
2
1
,,
,,,
),,',,(
2
2
22
2
22
2
2
2
2
22
2
2
df
df
df
df
dii
fdi
i
f
dii
fdi
i
fdS
S
fdS
S
fdf
ekspiracjidoczaszmiennoscopcjiwykonaniacena
azagranicznstopakrajowastopaSpot
XiiSff tttttt
HEDGING OPCJI
• Aproksymacja ceny opcji przy delta-gamma opcji
delta
Delta-gamma
Rzeczywista cena
90 100 110
0
5
10
Wartość
opcji
Cena aktywu
GREEKS-MIERNIKI
WARAŻLIWOŚCI• Cena opcji ulega zmianie do jej ekspiracji
• Do momentu realizacji cena opcji jest wrażliwa na
zmianę wielu czynników
• Dealerzy posługują się podziałem ryzyka w opcji na
elementy cząstkowe - ułatwiające budowanie
oczekiwań i starają się uodpornić na zmiany
• Greeks pokazują zależności między założeniami
teoretycznymi a zmianami na rynku
• Mierzą siłę wpływu czynników na wartość opcji
• Są to współczynniki wrażliwości ceny opcji – dają
podstawy do szukania sprawiedliwej ceny opcji
GREEKS – POCHODNE CZĄSTKOWE
• Pochodne cząstkowe w pojedynkę pokazują
wrażliwość ceny opcji na czynniki ryzyka
WRAŻLIWOŚCI (GREEKS)
• Grupa współczynników
• Wyprowadzenie modelu
ceny opcji każdorazowo
z jednego czynnika
• Analiza dokonywana jest
przy izolowaniu od
innych czynników
• Ceny opcji call (ż) & put (z)
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
Call
Put
DELTA OPCJIDelta opcji pokazuje stopę zmiany premii (ceny opcji) względem zmiany
ceny instrumentu bazowego (spot np. o 1%)
Delta pokazuje wrażliwość ceny opcji na zmianę ceny spot instrumentu
Delta może też być definiowana jako prawdopodobieństwo, że opcja
ekspiruje in-the-money lub teoretyczna ilość transakcji futures, przy
których holder jest długi (przy call option)
Delta matematycznie jest pierwszą pochodną ceny opcji w punkcie
Delta zmienia się od -100% do 0% dla put i od 0% d0 100% dla call
Cena aktywu Spot (dla opcji europejskiej forward)
tan=delta=δPc/δSCena opcji
tu: call Pc
Wartość wewnętrznaCena opcji
DELTA OPCJI
1
-1CENA
CENA
DE
LTA
ZMIANA DELTA W OPCJI CALL I PUT
DELTA DLA OPCJI AT THE MONEY =0.5 CALL I -0.5 PUT
premia
cena
premia
cenastrikestrike
0,5
0.25
DELTA
• Put ma negatywne delta “negative relationship” bo
premia maleje, gdy rośnie cena danego aktywu
• Call ma pozytywny stosunek bo premia rośnie,
gdy rośnie cena danego aktywu
• At the money - delta 0.5, co znaczy, że premia
zmieni się o 0.5% na zmianę ceny o 1%
• Jeżeli delta zbliża się do 1 (call) lub -1 (put) to
oznacza, że procentowa zmiana premii jest taka
sama jak ceny tzn. Że nie ma time value i jest tylko
intrinsic value
DELTA• Delta to zmiana w procentach ceny opcji na każdy
procent zmiany ceny danego aktywu
• Delta pokazuje wrażliwość premii opcji w stosunku
do zmiany spot
• Delta np.100% dla underlying czyli pozycji długiej i
minus 100% dla krótkiej
• Dla każdej zmiany ceny aktywu o 1% cena opcji
zmienia się o 1%*Δ
• Np.USD/YEN spot 100, cena opcji call 5%, delta
=50%, gdy spot wzrośnie do 101 (1%) cena opcji
wzrośnie do 5%+1%*50%=5,5%
• Δcall=Δ*ΔSpot ile trzeba kupić spot aby pokryć
zmianę ceny opcji na skutek zmiany spot.
DELTA
• Delta hedging:
- Zabezpiecza wystawcę opcji przed ryzykiem strat
– strategia hedgingu z użyciem portfela opcji, które są niewrażliwe na zmiany cen aktywu
– Kupno lub sprzedaż aktywu w proporcji delta
– Strategia dynamiczna lub statyczna:
– dynamiczna: zmiana okresowa portfela aby utrzymać zakładaną deltę
– statyczna: tylko przyjęcie delty na początku
– Dodatnia korelacja ceny aktywu z wartością opcji call i ujemna z opcją put
• Neutralna delta
– Portfel, gdzie delty dodatnie i ujemne się znoszą. Zbilansowanie powoduje zmianę netto =0
– Strategie: short & long straddle, short & long strangle …
– Można zarobić bez względu na kierunek ruchu ceny aktywu
DELTA HEDGING
• Wielkość zabezpieczona H=Δ*Notional przy sprzedaży CALL
• Dla Δ=50% Notional=100$ Strike 400
• H=50%*100$=50$ przy cenie 400
• Przy wzroście ceny do 480 pozycja =-80
• Zmiana wartości opcji = Δ* Δceny=50%*-80=-40$
• Ale zmienia się też wartość akcji =50%*80=+40
• Czyli strata na cenie opcji -40=+40 zysk na zmianie ceny spot (czyli offset)
• Gdy Δ rośnie trzeba dokupić aktywów, gdy Δ maleje sprzedajemy aktywa
DELTA JAKO CZYNNIK HEDGE
• Delta jest hedge factor dla opcji:
– Reprezentuje ona, jaka jest potrzebna pozycja spot, aby
pokryć zmianę w cenie opcji na skutek ruchu spot
– np. Jeżeli kupujemy opcję o delta +32% to musimy
sprzedać 32% wartości nominalnej
– np. Jeżeli kupujemy opcję o delta -25% wtedy musimy o
25% zwiększyć nominał
• Tak więc, jeżeli sprzedamy $10m, 35 delta EUR
call/USD put musimy kupić $3.5m EUR/$, aby się
zabezpieczyć
DELTA JAKO CZYNNIK HEDGE
• Inny przykład: Wystawca opcji w dniu zakupu
sprzedał 10 mln eur za usd. Delta opcji była
0.5 (50% szans). Dziś delta opcji wynosi 0.6
(60% in the money). Tak więc sprzedawca
aby się zabezpieczyć na dzień realizacji opcji
musi dokupić 10% z kwoty 10 mln eur.
• To jest tzw. Procedura zabezpieczania delty,
czyli delta-zabezpieczona lub delta-neutral.
Wtedy małe ruchy instrumentu bazowego są
zabezpieczone dla sprzedawcy opcji
DELTA
• Delta rośnie im bliżej ekspiracji w pobliżu
ceny at the money
• Delta zmienia się silnie
• Delta zmienia się wraz ze zmiennością
• Dla obligacji: delta to zmiana duration pod
wpływem zmian stopy %, a gamma to
convexity, mierzy stopę zmiany duration
DELTA
Forward delta zawsze = 1
W opcji delta zmiania się przy
różnych wartościach zmiennej
DELTA
• 1. Wyprowadzenie z
kursu
• Wskazuję jak zmienia się
cena opcji przy zmianie
instrumentu bazowego o
jednostkę. Dla krótkiego
czasu pomija się czynnik
dyskontujący
• 0 <= C <= 1
• -1 <= P <= 0
C - P = 1
ti
C edNS
C
1
]1[ 11
dNeedN
S
Ptt ii
P
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
00
40
00
500
0
60
00
70
00
80
00
90
00
100
00
Call
Put
Gdy zmienia się spot bardzo rosną d1 oraz d2 a delta dąży dla call do 1 dla put do -1
DELTA; WRAŻLIWOŚĆ I
LEVERAGE
• Jeżeli spot się zmienia opcja o wysokiej delta
ma większą wartość absolutną niż opcja o
małej delta
• Jednakże opcje o małej delta mają większą
zmianę relatywnie do ceny opcji (wyższy
leverage) niż opcje z wysoką delta
DELTA PRZYKŁAD
Pozycja Spot 1.40
Cena
opcji
Delta Spot 1.41
Wartośc
opcji
Zmiana
absolutna
Zmiana
względna
2mies 1.4
USD call
CHF put
1.64% 51% 2% 0.36% 22%
2mies1.45
USD call
CHF put
0.53% 24% 0.70% 0.17% 32 %
DELTA EUR CALL/USD PUT: DNI
DO EKSPIRACJIDELTA
FORWARD
0%
50%
100% 1 DZIEŃ 30 DNI
45 DNI
10090 110
INTERPRETACJA
• Opcje mogą być dynamicznie hedgowane
• Kiedy zmienność jest wysoka, hedging
dynamiczny jest kosztowny a ceny opcji
wysokie
• Kiedy zmienność jest mała, dynamiczny
hedging jest tani a ceny opcji niskie
• Implied volatility reprezentuje oczekiwane
koszty dynamicznego hedgingu opcji
DELTA - PODSUMOWANIE
• Delta jest wrażliwościa ceny opcji na zmianę
spot
• Delta reprezentuje prawdopodobieństwo, że
opcja będzie in-the-money w maturity
• Delta jest czynnikiem hedgu do hedgowania
ceny opcji w stosunku do małych ruchów w
cenie spot
11
Volatility Smile
Volatility Smile
“Insurance” options (opcja ze strike dalekow out-of-
the-money) kosztuje proporcjonalnie więcej niż
opcja at-the-money. Opcja out-of-the-money jest
wyceniana przy uzyciu wyższegowkładu implied
volatilityniż volatility dla opcji at-the-money
Jeżeli spot porusza się w kierunku ekstremów, rynek
bedzie w unchartered / unfamiliar territory. Warunek
osiągnięcia przez spot poziomu strike out-of-the-
money, ktoś jest bardziej niepewny poziomu
przyszłego spot niż ja mam obawy dotyczące zmian
spot obecnie
Tak więc większe volatility jest stosowane kiedy
strike opcji porusza się poza poziom at the money.
Volatility Skew
Dodatkowo, uczestnicy rynku mogą mieć większe
obawy gdy spot porusza się w kierunku jednego
ekstremum.
Ta duza obawa odzwierciedla się w większej
zmienności przy zabezpieczeniu się w jednym
kierunku niż w drugim w stosunku do poziomu at
the money. Krzywy uśmiech. Np. Obawa, że
waluta sie łatwiej zdeprecjonuje niż aprecjonuje
Volatility
Atm X Delta CallX Delta Put
Volatility
Atm X Delta CallX Delta Put
Volatility
silnie rz¹dzi
cen¹ opcji
The volatility
smile
reprezentuje
pogl¹d rynku
opcji na Spot
GAMMA
• Gamma (γ ) mierzy zmianę delty względem spot
• a więc nie mierzy wrażliwości opcji, lecz wrażliwość
delty opcji
• Δ(ΔC/ΔS)=γ np. Δ=50%,Δ=70% γ=(70%-50%)=20%,
czyli zmiana ceny powoduje zmianę Δ o 20 pkt%
• Gamma ma się tak do delty jak przyspieszenie do
prędkości- tzw. Krzywizna opcji
• A więc sprzedawca opcji musi tym częściej
dokonywać zabezpieczenia im gamma jest wyższa.
• Wysokie gamma trudniej zabezpieczać opcje
• Dla tej samej delty: call gamma=put gamma
GAMMA OPCJI
• GAMMA (wrażliwość ) zmiana delta ceny opcji w stosunku do zmiany ceny
instrumentu bazowego
• Pokazuje jak delta jest wrażliwa na zmianę instrumentu bazowego
• im większa gamma tym większe ryzyko
• Matematycznie jest to druga pochodna ceny opcji
Cena aktywu
tan=deltaCena opcji
Błąd gamma
GAMMA
• 2. Wyprowadzenie z
kursu
• Wyprowadzenie Delta
względem zmiany kursu
• Pokazuje jak zmienia się
Delta przy zmianie ceny
instrumenu o jednostkę.
• Krzywizna funkcji opcji
• Dla opcji at-the-money
jest gamma najwyższa
i
d
i
PC
eeTS
deltanaWrazliwosc
tS
dne
S
C t
)2
(
1
2
2
21
2
11
0
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
0.0005
0.0006
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
GAMMA OPCJI• Możliwe wartości gamma mają kształt rozkładu o
normalnej gęstości i pokazują jak szybko zmienia się
delta względem ceny aktywu
Cena
Gam
ma
=Δ
Δc/Δ
S
Gamma najmniejsza dla głęboko out lub in the money
gamma najwyższa wokół at the money
gama dodatnia dla long option i negatywna dla short option
GAMMAgamma
forward
30%
20%
10%
0%
Kurs
odchyl.standardowe 10%
7 dni
30 dni
45 dni
GAMMA
• Kiedy kupuje się opcję ma się dodatnią
pozycję gamma
• Kiedy sprzedaje się opcję ma się ujemną
pozycję gamma
• Opcje z wysokim gamma wymagają
częstszego hedgu dostosowawczego niż
opcje o małym gamma
GAMMA - HEDGE
Pozycja Spot 1.40
Delta Gamma
Spot 1.41
Delta Gamma
2mies
1.45 USD
call CHF
put
24% 7.34% 29% 8.11%
1 tydz.1.4
USD call
CHF put
51% 28.58 71% 25.53%
• Przypadek 1. Trzeba kupić tylko 5% (29%-24%) nominału spot aby
utrzymać pozycję hedge delta
• Przypadek 2. Trzeba kupić 20% (71%-51%) nominału spot aby
utrzymać pozycję delta hedge
GAMMA - PRZYKŁAD OBLICZEŃ
cena akcji 100 $
zmiennosc 0,2 20%
okres do wygasniecia 0,2 T-t ROKU
strike 98 $
stopa % 0,1 r=10%
ln S/X 0,020203 LN
skorygowany dochod 0,016 (r-0.5wariancji)*(T-t)
skorygowana zmiennosc0,089443 od.standar(T-t)
d2= 0,404759
N(d2)= 0,657172 prawdopodbienstwo
wykonania opcji
65%bo opcja in the m
d1= 0,494201 d1=d2-skor.zmiennosc
N(d1)= 0,689418 wspol.delta
wspolczynnik dyskontujacy0,980199
WAROSC OPCJI CALL 5,81416 $
wspolczynnik 0,398942
(d1 2/2) 0,122117
EXP(d1 2/2) 0,885044
N'(d1)= 0,353081
gamma= 0,039476
INTERPRETACJA:
JEŻELI CENA AKCJI WZROŚNIE O 1$
TO DELTA WZROŚNIE O 0,0395
GAMMA
• Gamma jest zmianą delty ze względu na zmianę spot
i mierzy wrażliwość ceny opcji przy większych
ruchach spot.
• Gdy się kupuje/sprzedaje opcję ma się
pozytywne/negatywne gamma
• Gamma mierzy jak dostosować hedge aby być delta-
neutral, gdy zmienia się spot
• Gamma jest wysoka, gdy opcja jest bliska ekspiracji,
bliska strike price lub ma małe volatility
VEGA OPCJI
• Vega - stopa zmiany ceny opcji ze względu na zmianę volatility
Cena strike
veg
a
Vega może się zmieniać nawet bez zmian
ceny aktywu (zmiana implied volatility)
Vega może szybko rosnąć na skutek np.
szybkiego spadku lub wzrostu ceny aktywu
Vega spada w pobliżu ekspiracji opcji
VEGA
• Wyprowadzenie z
Volatility
• Pokazuje,jak zmienia się
cena opcji przy zmianie
volatility o jednostkę.
• Dla opcji at-the-money
wartość najwyższa
• Vega ma normalną
funkcję gęstości
t
t
i
d
i
PC
eeS
zmiennoscizmianynaWrazliwosc
dnteC
)2
(
1
21
2
1
100
%1
0
200
400
600
800
1000
1200
30
00
40
00
50
00
60
00
700
0
80
00
90
00
100
00
VEGA - PRZYKŁADcena akcji 100 $
zmiennosc 0.2 20%
okres do wygasniecia 0.2 T-t ROKU
strike 98 $
stopa % 0.1 r=10%
ln S/X 0.020203 LN
skorygowany dochod 0.016 r-0.5wariancji+(T-t)
skorygowana zmiennosc0.089443 od.standar(T-t)
d2= 0.404759
N(d2)= 0.657172 prawdopodbienstwo
wykonania opcji
65%bo opcja in the m
d1= 0.494201 d1=d2-skor.zmiennosc
N(d1)= 0.689418 wspol.delta
wspolczynnik dyskontujacy0.980199
WAROSC OPCJI CALL 5.81416 $
wspolczynnik 0.398942
(d1 2/2) 0.122117
EXP(d1 2/2) 0.885044
N'(d1)= 0.353081
gamma= 0.039476 VEGA= 15.79027
JEDNOPROCENTOWY PRZYROST
ZMIENNOŚCI SKUTKUJE WZROSTEM
WARTOŚCI OPCJI O 0.1579
VEGA
• Vega mierzy wrażliwość ceny opcji ze
względu na zmiany volatility
• Vega jest więc zmianą w procentach wartości
opcji na 1% zmiany implikowanej zmienności
• Vega call=vega put (dla danego strike)
• Vega jest duża, jeżeli opcja ma dużo czasu
do ekspiracji, bliska at-the- money, lub ma
wysoką absolutną zmienność
• Vega zmienia się jak pierwiastek z czasu
VEGA
90 100 110
10 dni
30 dni
60 dni
90 dniVEGA
SPOT
0
0,1
0,2
THETA LUB TIME DECAY
• Theta jest wrażliwością ceny opcji względem zmian w
czasie (ceteris paribus)
• Na początku opcja ma 100% swojej wartości w czasie
i maleje ta wartość z każdym upływającym dniem
(time decay)
• Wartość opcji neutralnej jest największa przed
wygaśnięciem
• Zwykle mierzy się theta na 1 dzień bazowy
• Gdy kupuje się opcję ma się negatywną pozycję theta
- płaci się za time decay
• Gdy sprzedaje się opcję ma się pozytywną pozycję
theta - zarabia się za time decay
THETA
• Theta zmiana procentowa ceny opcji ze względu
na zmianę czasu - time decay of a portfolio
• Miara reakcji ceny opcji na zmianę okresu do
terminu wygaśnięcia Theta= dC/dt
• Wartość zmienia się od 0 do ceny opcji kupna
• Theta może być wysoka dla opcji out of the
money, jeżeli zawiera dużo oczekiwanej
zmienności
• Theta jest zwykle najwyższa dla opcji at the
money
• Theta zwykle rośnie w ostatnim okresie przed
ekspiracją i może wpłynąć na posiadaczy opcji,
szczególnie gdy spada volatility
e
d
xxN
NSe
d
dc
ti
c
2/
1
2
2
1)(
2
)(
THETA
• Call/put theta: theta call=theta put (dla tej
samej delta)
• Im większa zmienność tym wyższa theta
• Im bliżej do “the money” tym wyższa theta
THETA
• Theta EUR call USD put zgodnie z volatility
theta
spot
5 dni
10 dni
15 dni
THETA/GAMMA
• Gdy się zmienia spot gamma oraz theta
poruszają się w tę samą stronę
• Relacja gamma/theta są stałe
• To co otrzymuje się lub płaci za time decay
jest uzależnione od ryzyka jakie się
podejmuje
THETA - PRZYKŁAD
cena akcji 100 $
zmiennosc 0.2 20%
okres do wygasniecia 0.2 T-t ROKU
strike 98 $
stopa % 0.1 r=10%
ln S/X 0.020203 LN
skorygowany dochod 0.016 (r-0.5wariancji)*(T-t)
skorygowana zmiennosc0.089443 od.standar(T-t)
d2= 0.404759
N(d2)= 0.657172 prawdopodbienstwo
wykonania opcji
65%bo opcja in the m
d1= 0.494201 d1=d2-skor.zmiennosc
N(d1)= 0.689418 wspol.delta
wspolczynnik dyskontujacy0.980199
WAROSC OPCJI CALL 5.81416 $
wspolczynnik 0.398942
(d1 2/2) 0.122117
EXP(d1 2/2) 0.885044
N'(d1)= 0.353081
gamma= 0.039476 theta -7.89514
PO UPŁYWIE 1/100 ROKU PREMIA
OPCYJNA MALEJE O 0,0789 $
THETA
• Theta jest wrażliwością ceny opcji na
jedniodniową zmianę w czasie - znana jako
time-decay
• Kiedy się kupuje/sprzedaje opcję ma się
negatywną/pozytywną pozycję theta
• Kiedy theta jest dodatnie, gamma jest
negatywne i odwrotnie
• Theta jest wielka, gdy opcja jest blisko
wygasnięcia, blisko at the money lub ma duże
volatility
RHO,PHI, LAMBDA OPCJI
• Rho - zmiana procentowa ceny opcji ze względu na zmianę stopy % - wrażliwość na zmiany stopy krajowej% rho=dC/dr.
• Phi - zmiana procentowa ceny opcji ze względu na zmianę zagranicznej stopy procentowej
• Lambda - zmiana procentowa premii do zmiany procentowej ceny
)(
:
)(
:
2
2
dNXei
p
putDla
dNXei
c
callDla
i
p
i
c
)('
:
)('
:
2
'
2
'
dNSei
p
putDla
dNSei
c
callDla
i
p
i
c
GREEKS
• Delta dodatnie - chcesz
wzrostu spot
• Gamma dodatnie - chcesz
ruchu spot w dowolnym
kierunku
• Theta dodatnia czas
zwieksza wartość opcji
• Vega dodatnia - chcesz
wzrostu implied volatility
• RHO,PHI dodatnie chcesz
wzrostu stóp %
• Delta ujemna - chcesz
spadku kursu bazowego
• Gamma ujemna - chcesz
stabilnego kursu
• Theta ujemna - upływ
czasu zmniejsza wartość
pozycji
• Vega ujemna chcesz
spadku volatility
• RHO,PHI ujemne chcesz
spadku stóp %
GREEKS - PODSUMOWANIEMIERNIK NOTACJA CALL PUT
DELTAS
Cc
)(1dN
C 1 CP
GAMMAS
C
c
2
TS
N dC
)(
1
CP
THETAT
Cc
)(
2
)(
2
1
ded NiE
T
NS iT
C
e
iT
CPiE
RHOi
C
c
)(2de NTE
iT
C
e
iT
CPTE
VEGA
Cc
)(1dNTS
C CP
20
Żargon opcji: The Greeks
The Greeks są miarami ryzyka przyjęcia pozycji oraz pomocą w zarządzaniu portfelem
Pierwsze pochodne
Delta
Vega
Theta
Rho
Drugie pochodne
Gamma
Vol Gamma
d Vega / d Spot
dSdP
ddP
dtdP
drdP
dSd
ddV
dSdV
Zmiana ceny opcji na 1% zmiany spot
Zmiana wartości opcji na 1% change w volatility
Zamiana wartości opcji powodowana upływem czasu
Zmiana wartości opocji powodowana przez 1%
zmiany walutowej stopy %
Zamiana w Delta powodowana przez 1% zmiany spot
Zmiana Vega powodowana 1% zmiany volatility
(czasami określana mianem “convexity”)
Zmiana w Vega powodowana 1% zmiany spot
OPCJE
• KORZYŚCI
– klient zna
maksymalny kurs
– partycypuje w
korzyściach
rynkowych
• WADY
– Klient płaci premię
OPCJE
• Strategia krótkoterminowa: zabezpieczenie delty
• Strategia średnioterminowa: wybór pomiędzy
dodatnią gammą a dodatnią deltą (nastawienie na
wahania lub ich brak)
• Strategia długoterminowa: handel vegą
(pozycjonowanie względem oczekiwanej zmienności)
• Analiza: krzywa volatility par walut, volatility w czasie
(np.. Dla miesiąca, kwartału, roku), volatility
względem delty np..ATM oraz delta-25, delta 50
OPCJE NA AKCJE warrantY
• warrant daje prawo nabywcy do zakupu (buy) lub sprzdaży (sell) określonej ilości tytułów do aktywów po stałej cenie w danej dacie (europejska) lub w danym czasie (amerykańska) w przyszłości
• Zwykle płaci się premię za cenę akcji w przyszłości
• Zwykle 4 rodzaje warrantów: europejskie, amerykańskie, bermudzkie, azjatyckie
• Wypłata z europejskiego call= max[0,S-X] put=[0,X-S]
• Np. call warrant 0,06c, parytet na akcje 10 warrantów, cena spot akcji 10$, a cena w warancie 11$. A więc opłaci się gdy cena przekroczy 11,60$ bo opłata za 10 warrantów 10*0,06$=60c
• Wycena jak opcje czyli Black-Scholes
STRATEGIE OPCYJNE
Strategie opcyjne to równoległa sprzedaż opinii
rynkowych, dzięki czemu strona zabezpieczająca otrzymuje
quasi-subsydiowanie kosztu zabezpieczenia
STRATEGIE OPCYJNE
• Tradersi przyjmują bardzo różne strategie w
zarządzaniu swoim ryzykiem
• Generalnie dążą do minimalizacji ryzyka (też stop loss)
• Profil ryzyka zależy czy są brokerami (unikanie
otwartych pozycji), czy spread traderami (limit straty),
czy market makersami
• Ryzyko zależy też od percepcji ruchów na rynku
• Doskonały hedge to skompensowanie opcji kontr opcją.
Ta strategia wymaga jednak dużych obrotów i licznych
klientów, aby była zyskowna
• Market makers nie robią opcji za opcję, bo ta strategia
jest kosztowna i nieefektywna
STRATEGIE OPCYJNE
ELEMENTY UKŁADANKI
Waluta long
Waluta short
Long call Long put
Short call Short put
STRATEGIE OPCYJNE - GRUPY• Naked - zakup tylko jednej opcji
• Hedge - zakup jednej np.akcji oraz jednej opcji
• Spread - zakup jednej opcji oraz sprzedaż innej opcji
• Combination - zakup call lub put jednej serii sprzedaż call lub put innej serii
• Strategie pionowe (money spreads) zakup i sprzedaż opcji o różnych cenach bazowych na ten sam termin: bull call spread, bull put spread, bear call spread, bear put spread.
• Strategie poziome: różny czas – calendar spread
• Strategie diagonalne: rózny czas i różna kombinacja opcji
• Konwersja kupno put, sprzedaż call i kupno kontraktu terminowego
• Ratio hedge (delta neutral)
STRATEGIE OPCYJNE
• Naked
• Hedge – pozycja w aktywie oraz opcja 4 warianty
• Spread pionowy:– vertical bull call- long call A, short call B
– vertical bull put - long put A, short put B
– vertical bear call - short call A long call B
– vertical bear put - short put A, long put B
• Horizontal spread (calender spread)
• Diagonal spread (różnica ukośna)
• Strip - long call, 2 long put
• Strap - 2 long call, long put
PRZYKŁAD STRATEGII HEDGE
• Zabezpieczenie przed
spadkiem kursu opcją
Kurs styczeń 3,500
Kurs lipiec 3000 ale premia
opcji zdrożała
Gotówkowo strata
A na cenie opcji zysk 550 bps
Transakcja gotówkowa
kurs
Opcja
Styczeń 3,500 Styczeń zakup
put 3,3500 IX
Premia 200bps
Lipiec 3,000 Lipiec sprzedaż
put na wrzesień
3,350; premia
750 bps
Strata 0,500 Zysk 550 bps
POŁĄCZENIE OPCJI Z AKTYWEM
BAZOWYM
LONG ASSET
SHORT CALL
EFEKT SYNTEYCZNY
SELL PUT
ZYSK
STRATA
x
POŁĄCZENIE OPCJI Z AKTYWEM
BAZOWYM
LONG CALL
SHORT ASSET
EFEKT SYNTEYCZNY
BUY PUT
ZYSK
STRATA
X
POŁĄCZENIE OPCJI Z AKTYWEM
BAZOWYM
LONG ASSET
LONG PUT
EFEKT SYNTEYCZNY
BUY CALL
ZYSK
STRATA
X
POŁĄCZENIE OPCJI Z AKTYWEM
BAZOWYM
SELL PUT
SHORT ASSET
EFEKT SYNTEYCZNY
SELL CALL
ZYSK
STRATA
X
SYNTETYCZNE PRODUKTY RYNKU
DEWIZOWEGO
• Synthetic long - długa pozycja forward: zakup call i
sprzedaż put, ten sam strike, expiry date,
• synthetic short - sprzedaż forward: zakup put oraz
sprzedaż call
• synthetic long call - zakup put i forwardu
• synthetic long put - zakup call i sprzedaż forward
• synthetic short call - sell put oraz sell forward
• synthetic short put - sprzedaż call zakup forward
ODWRÓCENIE POZYCJI
+ =
LONG PUT LONG WALUTA LONG CALL
LONG CALL SHORT WALUTA LONG PUT
+ =
STRATEGIE
SPREAD
SPREAD BYKA (wertykalny-CALL)
LONG CALL
SHORT CALL
SPREAD BYKA
K1 K2
Zakup call (droższy) dla jednej ceny i sprzedaż call dla wyższej ceny, to samo maturity
Jeżeli cena rośnie to pierwszy call zarabia, gdy cena rośnie dalej powyżej K2
to zysk jest ograniczony
Spread pionowy byka ogranicza upside dla long call i dlatego jest tańszy
Premia droższego call jest subsydiowana uzyskaną premią put
Zysk/strata
S
SPREAD BYKA (wertykalny-CALL)
Zakup opcji call:
waluta 1000000 FS
e1 kurs waluty 1,5 PLN/Fs
c1 cena opcji 0,15 groszy za opcję
k1 koszt opcji 150000
Sprzedaż opcji call:
waluta 1000000
e2 kurs waluty 1,9 PLN/Fs
c2 cena opcji 0,1 groszy za Fs
k2 koszt opcji 100000
Maksymalna strata: -50000 k2-k1
Maksymalny zysk: 350000 1000000*(e1-e2)-(k1-k2)
SPREAD NIEDŹWIEDZIA (wertykalny-
CALL)
LONG CALL
SHORT CALL
SPREAD NIEDŹWIEDZIA
K1 K2
Zakup call dla niższej ceny i sprzedaż call dla wyższej ceny, to samo maturity
Jeżeli cena spada zarabia się na short call, gdy cena spada dalej poniżej K1
to strata jest ograniczona
Spread pionowy niedźwiedzia ogranicza downside dla short call i dlatego jest tańszy
Zarabek na wyższej premii od short call i niższej od long call
ZYSK
STRATA
SPREAD BYKA (wertykalny- PUT)
K1 K2
Zakup put dla niższej ceny i sprzedaż put dla wyższej ceny, to samo maturity
Jeżeli cena rośnie zarabia się na long out, gdy cena rośnie dalej powyżej K2
to zysk jest ograniczony
SHORT PUT
LONG PUT
ZYSK
STRATA
SPREAD NIEDŹWIEDZIA (wertykalny -
PUT)
SHORT CALL
K1 K2
Sprzedaż put dla niższej ceny i zakup put dla wyższej ceny, to samo maturity
Jeżeli cena rosnie strata ograniczona, gdy cena spada dalej poniżej K1
to zysk jest ograniczony
LONG PUT
SHORT PUT
ZYSK
STRATA
-+
- - kurs wymianypremia K1
K2 K3
-
+
Long call K1, long call K3, short call K2 * 2,
Gra na oczekiwanej kurtozie rozkładu zwrotów
SPREAD MOTYLA - Butterfly
OTM OTM
ZYSK
STRATA
CALENDER SPREAD (horyzontalny)
• W tym samym momencie sprzedaż opcji w
pobliżu ekspiracji i zakup opcji o późniejszej
ekspiracji, obie dla tej samej strike price
• Zakłada wykorzystanie spadku wartości
czasowych opcji o różnych terminach
wygaśnięcia
• Gra na krzywej volatility względem
wygaśnięcia
CALENDER SPREAD (horyzontalny)
SHORT CALL
PREMIA DŁUGIEJ
OPCJI W DNIU
WYGAŚNIĘCIA
NETTO DOCHÓD
ZYSK
STRATA
DIAGONAL SPREAD (wertykalno-
horyzontalny)
• Jednoczesny zakup i sprzedaż opcji dla
różnych strike price oraz dla różnych
terminów
STRATEGIE KOMBINOWANE
KOMBINACJA OPCJI
• Opcje kombinowane to jednoczesny zakup
lub sprzedaż opcji call oraz put
• Zerokosztowe
• Straddle – stelaż
• Strangle – pętla
• Kondor
• Mewa
• Strips & straps
OPCJA ZEROKOSZTOWA
• Klient oczekuje zabezpiecznia opcją w
określonym przedziale
• Klient wybiera Zero Cost Collar
• Collar składa się z dwóch opcji: Buy i sell
(Buy call i sell put)
RISK REVERSAL• (Cylinder, superforward) kombinacja dwóch opcji o niskiej
wartości delta (out-of-the-money) - kupna i sprzedaży.
• To pokazuje, jak out of the money option są kwotowane
przez dealerów. Różnice w cenach opcji PUT oraz CALL dla
np.delta 0.25.
• Zakup opcji call z delta 0.25 i sprzedaż put z delta 0.25 (lub
odwrotnie), maks. oraz minimalny strike
• Jak widać rynek oczekuje rozwoju w takim kierunku, że w
obu przypadkach jest on korzystny, niska cena lub 0, gdy
obie opcje są o tym samym koszcie,
• Popyt i podaż na rynku powodują, że czasem opcje put i
call mają różną cenę
• Risk reversal ma uzasadnienie, że jego sprzedaż wpływa na
sytuację kupujących
RISK REVERSAL -Zero Cost Collar
Long
Call
Strike
Short
Put
Strike
StrikeStrike
+• premia za sprzedaż
put jest
inkorporowana do
zakupu call
• Struktura instrumentu
jest zero cost
Risk
Reversal
Risk Reversal
3.74
3.80
3.86
3.92
3.98
4.04
4.10
4.16
4.22
4.28
4.34
3.74 3.80 3.86 3.92 3.98 4.04 4.10 4.16 4.22 4.28 4.34
Kurs spot w dniu wygaśnięcia transakcji
Bez zabezpieczeniaForwardRisk Reversal
Rzeczywisty kurs
sprzedaży
EUR/PLN
• Efektywny kurs sprzedaży waluty
jest wynikiem wyrównania między
bankiem a klientem różnicy kursu
ustalonego i kursu spot w dniu
realizacji
• Rekompensaty ze znakiem
ujemnym oznaczają kwoty, jakie
klient zapłaci na rzecz banku, w
przypadku, gdy w dniu realizacji
kurs spot znajdzie się na żądanym
poziomie
21
Klient: kupuje EUR Call / PLN Put,
Strike = 5.6500
Sprzedaje EUR Put / PLN Call,
Strike = 4.8000
Nominał: EUR 10m
Maturity: 12m
Risk Reversal Finansowanie vanilla Call option poprzez vanilla Put option
Zero premium Collar
Ponieważ różnica stóp % i
volatility, potencjalna partycypacja nie
jest równa ryzyku downside
Od początku klient jest świadomy
najlepszego i najgorszego
scenariusza.
Uwagi
Warunki wymiany:
W dniu wygaśnięcia opcji, jeżeli EURPLN
jest pomiędzy dwoma strikami klient
poprostu robi transakcję na rynku
Klient jest chroniony powyżej 5.65
Klient partycypuje w stracie poniżej 4.80
ATMF
EURPLN5.65
4.80
forward jest w
zero cost collar
tam gdzie strikes
EUR Call / PLN
Put i EUR Put/
PLN Call są takie
same
PORÓWNANIE PROFILÓW
RYZYKA
Profit
LossUnderlying Business
PLN per USD
Forward
Option
Collar
PORÓWNANIE PROFILÓW
RYZYKA
Profit
LossUnderlying Business
PLN per USD
Forward
Collar
PORÓWNANIE PROFILÓW
RYZYKA
Profit
LossUnderlying Business
PLN per USD
Forward
Collar
PORÓWNANIE PROFILÓW
RYZYKA
Profit
LossUnderlying Business
PLN per USD
Forward
Collar
PORÓWNANIE PROFILÓW
RYZYKA
Profit
LossUnderlying Business
PLN per USD
ForwardCollar
PORÓWNANIE PROFILÓW
RYZYKA
Profit
LossUnderlying Business
PLN per USD
ForwardCollar
PORÓWNANIE PROFILÓW
RYZYKA
Profit
LossUnderlying Business
PLN per USD
Forward
+
-
kurs wymiany
-
premia
RISK REVERSAL (tzw. opcja 0 kosztowa lub collar)
+
Jednoczesny zakup put I sprzedaż call po różnych strike price
Złożenie opcji out of the money buy put oraz out of the money sell call
Gra na oczekiwanej skośności rozkładu
RISK REVERSAL Opcja 0-Cost, Collar
Zalety
• Klient jest zabezpieczony
przed wzrostem cen
• Klient chroniony jest w
przedziale
• Stukutra jest zero kosztowa
Wady
• Jeżeli rynek się przesunie
poza granicę strata jest
nieograniczona
+ +
-kurs wymiany
-
+
premia
Long straddle (bottom)-Opcje put long&call long,
LONG STRADDLE - STELAŻ
ATM
ZYSK
STRATA
LONG STRADDLE - STELAŻ
cena akcji opcja kupnaopcja sprzedażystelaz
X=30 x=30 zysk/strat
c=4 c=2
10 -4 18 14
20 -4 8 4
24 -4 4 0
28 -4 0 -4
30 -4 -2 -6
34 0 -2 -2
36 2 -2 0
40 6 -2 4
50 16 -2 14
kurs wymiany
-
+
premia
short straddle (top)
- short put&call ten sam strike i maturity (siedzieć okrakiem)
SHORT STRADDLE - STELAŻ
ATM
SHORT PUT
SHORT CALL
premia
--
+
ZYSK
STRATA
+ +
-kurs wymiany
premia
-
+
Long call+long put, ale różne strike price, to samo maturity
LONG STRANGLE - PĘTLA
ATM put ATM call
ZYSK
STRATA
LONG STRANGLE - PĘTLA
Cena akcji opcja kupnaopcja sprzedazystrangle
x=30 x=25
c=3 c=5
10 -3 10 7
17 -3 3 0
20 -3 0 -3
25 -3 -5 -8
30 -3 -5 -8
33 0 -5 -5
38 5 -5 0
40 7 -5 2
--
+
kurs wymiany
premia
-
+
Short call+short put, ale różne strike price, to samo maturity
SHORT STRANGLE - PĘTLA
ATM put ATM call
ZYSK
STRATA
24
Brak kierunku ani bullish ani bearish
Czysta gra na volatility
Brak ryzyka delta
EURPLNEURPLN
Strangle Straddle
Strike Strike
1
Strike
2
STRANGLE & STRADDLE volatility
+
- - kurs wymianypremia K1
K2
K4
K3
-
+
CONDOR
ZYSK
STRATA
SEAGUL - MEWA
LONG CALL
SHORT CALLSHORT PUT
K1 K2 K3
Zamknięcie ryzyka w określonych widełkach. Składa się z 3 opcji o niskim delta
z tym, że jedna delta jest bliska 0.
ZYSK
STRATA
SEAGULL - MEWA
Seagull
3.74
3.80
3.86
3.92
3.98
4.04
4.10
4.16
4.22
4.28
4.34
3.74 3.80 3.86 3.92 3.98 4.04 4.10 4.16 4.22 4.28 4.34
Kurs spot w dniu wygaśnięcia transakcji
Bez zabezpieczeniaForwardSeagull
• Seagull - strategia złożona z 3 opcji
- lepsze ustawienie barier niż w Risk Reversal
- przy ekstremalnie negatywnym rozwoju kursu – brak
zabezpieczenia
- strategia dla klientów o bardzo precyzyjnym „view rynkowym”
Rzeczywisty kurs
sprzedaży
EUR/PLN
• Efektywny kurs sprzedaży waluty jest
wynikiem wyrównania między bankiem a
klientem różnicy kursu ustalonego i
kursu spot w dniu realizacji
• Rekompensaty ze znakiem ujemnym
oznaczają kwoty, jakie klient zapłaci na
rzecz banku, w przypadku gdy w dniu
realizacji kurs spot znajdzie się na
żądanym poziomie
22
Klientt: kupuje EUR Call / PLN Put,
Strike = 5.4000
sprzedaje EUR Call / PLN Put,
Strike = 5.9500
sprzedaje EUR Put / PLN Call,
Strike = 4.8000
Nominałl: EUR 10m
Maturity: 12m
SEAGULL - MEWA
Kombinacja vanilla optionZero premium Seagull
Stosując dużą zmienność oraz
skrzywieniue klient sprzedaje upside po
rozsądnej wartości poprawiając ochronę
Od początku klient jest świadomy
pozytywnego oraz negatywnego
scenariusza.
UwagiWarunki wymiany:
W dniu, jeżeli EURPLN jest pomiędzy dwoma
strikami klient dokonuje transakcji z rynkiem
Klient jest chroniony ponad 5.40 ale ochrona jest
ograniczona do ponad 5.95
Klient partycypuje poniżej 4.80
ATMF
EURPLN5.40
4.80
5.95
23
INVERSE SEAGULL
Vanilla option CombinationZero premium Inverse Seagull
UwagiWarunki wymiany:,
w dniu, jeżeli EURPLN jest pomiędzy dwoma
strikami klient robi transakcję z rynkiem
Klient jest chroniony ponad 5.65
Klient partycypuje poniżej 4.90
Ale jest cap ponizej 4.55
ATMF
EURPLN5.65
4.90
4.55
Klient: kupuje EUR Call / PLN Put,
Strike = 5.6500
sprzedaje EUR Put / PLN Call,
Strike = 4.9000
kupuje EUR Put / PLN Call,
Strike = 4.5500
Nominał: EUR 10m
Maturity: 12m
Klient ogranicza zobowiązania
przy możliwej aprecjacji PLN
Od początku klient jest
świadomy najlepszego oraz
najgorszego scenariusza.
STRIPS & STRAPS
STRIPS & STRAPS
Zakup strip w pozycji długiej składa się z długiej
pozycji call oraz długiej put + dodatkowy put.
Zakup strap składa się z dwóch pozycji call oraz
zakupu jednej pozycji call
STRIP
DWIE OPCJE PUT ORAZ JEDNA OPCJA CALL
Zakłada się znaczną zmianę ceny ale prawdopodobieństwo spadku
Jest większe niż wzrostu
Zysk
Strata
STRAP
DWIE OPCJE CALL ORAZ JEDNA OPCJA PUT
Zakłada się znaczną zmianę ceny ale prawdopodobieństwo wzrostu
jest większe niż spadku
ZYSK
STRATA
OPCJE EGZOTYCZNE
Literatura
Izabela Pruchnicka-Grabias: Egzotyczne opcje finansowe. CeDeWu.Pl, Warszawa, 2006
N.A Chriss:Black-Scholes and beyond:option pricing models McGraw-Hill Book Co,NY 1997
D.F DeRosaOptions on foreign exchange, John Wiley&Sons, NY 2000
OPCJA EGZOTYCZNA
• W opcjach egzotycznych łamana jest co najmniej jedna
reguła z definicji opcji: cena opcji, cena realizacji opcji,
rodzaj instrumentu bazowego, ilość instrumentów
bazowych albo data wygaśnięcia opcji
• Np. Opcja europejska uzależniona od spełnienia się
dodatkowych warunków określonych przez strony
• Np. Czy cena przekroczy lub czy jest mniejsza od
ustalonej ceny strike.
– Można wyróżnić: różnicowanie kontraktów (contract
variation), opcje graniczne (path dependent options),
opcje scenariuszowe (limit dependent options), opcje
wieloczynnikowe (multi factor options)
– Opcje egzotyczne są nazywane produktami
zarządzania ryzykiem trzeciej generacji
OPCJE EGZOTYCZNE
• Zmodyfikowane prawo nabywcy do wykonania praw wynikających z opcji, pod warunkiem spełnienia się warunków określonych w kontrakcie
• Dodatkowe elementy – uśrednienie, bariera, okres etc.
• Niższa cena wynika z niższego ryzyka
• Cechą egzotycznych są wybuchające –skokowo zmieniające się Greeks
OPCJE EGZOTYCZNE
DEFINICJA:
Opcja egzotyczna to umowa, w której wystawca
opcji daje nabywcy prawo w danym czasie
lub w kilku punktach w czasie otrzymania
wypłaty, której wysokość jest zależna od
rozwoju kursu jednego lub wielu
instrumentów finansowych
Instrumenty - underlyings: akcje, kursy walut,
indeksy, futures, commodities…
OPCJE EGZOTYCZNE
• Opcje egzotyczne – termin użyty przez Mark
Rubinstein w 1990 roku – monografia Exotic
Options
• Wcześniej – lata 60-te - na opcje egzotyczne
mówiono boutique options lub designer
options
OPCJE EGZOTYCZNE - PODZIAŁ
• I.Nelken – kryteria podziału opcji egzotycznych
– Struktura funkcji wypłaty
– Stopień dźwigni finansowej
– Zależność wypłaty od ścieżki instrumentu
– Korelacja instrumentów bazowych
– Czas wyboru – czas wykonania
– Inne elementy
OPCJE EGZOTYCZNE - PODZIAŁ
• Michael Onga: Kryteria: struktura wypłaty, ciągłość funkcji dochodu z opcji, stopień uwarunkowania opcji ceną aktywu bazowego w okresie opcji, liczba instrumentów, czas wyboru ceny wykonania opcji, rodzaj instrumentu bazowego– Opcje pojedyncze (singular payoff options) nieciągły dochód
– Opcje elastyczne (time dependent) możliwość wyboru momentu realizacji
– Opcje złożone (compound) instrumentem bazowym inny kontrakt opcyjny
– Opcje nieliniowe (nonlinear payoff)
– Opcje korelacyjne (multivariate options) – więcej niż jeden instrument bazowy
– Opcje uwarunkowane (path dependent) uwarunkowane ścieżką ceny instrumentu bazowego
OPCJE EGZOTYCZNEOPCJE
EGZOTYCZNE
PATH
DEPENDENT
LIMIT
DEPENDENT
KORELACYJNE
Multi factor
PAYOFF
CONTRACT DEP
AZJATYCKA
LOOKBACK
BARRIEROWE
LADDER
FORWARD
START
SHOUTRATCHET
CLIQUET
CAPPED
WYMIENNE
OUTPERFORMANCE
ILORAZOWE
SPREAD
BEST-WORST
RAINBOW
BASKET
FLEXO
BEACH
QUANTO
BINARNEDUAL STRIKE
BINARNE
SUPERSHARES
GAP
OPTIOM
CONTINGENT
TIME
DEPENDANT
CHOOSER
PREFERENCE
POWEROPCJE NA OPCJE
OPCJE EGZOTYCZNEGrupa Nazwa RodzajPath dependent Barrier Partial,outside,multiple
Lookback Partials, modified
ladder Modefied, step-lock
Ratchet zapadkowe
Shout okrzykowe
Average azjatyckie
Capped
Caps floors
Singular paysoff Contingent premium
Digitals binarne Cash or nothing, correlations
Digitals barrier
Time dependant Chooser
Forward start
Ratchet zapadkowe
Multivariate Basket
Rainbow
Best/worst
Min or max of n-asset
Piramide, madonna, spread
Quantos
Nested zagnieżdżone Chooser, compound, caption, floortion
leveraged Power, curvilinear,inverse
Embeddos Dual-index, stepped cap, range floater,
range rover…
POCHODNE: STOPY
PROCENTOWE
INSTRUMENTY
Transakcje na stopach procentowych
Oferowane transakcje
depozyty FRA Produkty
strukturalneIR Swap
Caps/floorsDepo +
strategie
Financial F
RYZYKO STÓP PROCENTOWYCH
OTOCZENIE SCENARIUSZ RYZYKO ROZWIĄZANIE
Stagnacja Cięcia stóp % Inwestora Floating debt lub cap/collar
option
Zagrożenie
polityczne
Spadek stóp Inwestor Floating rate debt na okres
niepokoju
Deficyt
budżetowy
Wzrost stóp % Pożyczkobiorca Stała stopa poprzez IRS,
forward
Negatywna
stopa %
Wzrost stóp % Pożyczkobiorca Stała stopa % przez IRS,
forward
RYZYKO STÓP PROCENTOWYCHRyzyko stóp procentowych może występować w postaci ryzyka:
• Odsetkowego: niedopasowanie strumieni odsetek według różnych stóp w jednej
walucie
Przykład: Firma finansuje się przez kredyt o odsetkach naliczanych wg zmiennej stopy,
otrzymuje natomiast strumienie wpływów wg stopy stałej
• Odsetkowo – walutowego: niedopasowanie strumieni odsetek wg różnych stóp w
różnych walutach
Przykład: Firma finansuje się kredytem o odsetkach naliczanych wg zmiennej stopy w
EUR, otrzymuje natomiast strumienie wpływów wg stopy stałej w PLN (lub
zmiennej w PLN)
• Niestabilności kosztów finansowania
Rolą zarządzania ryzykiem stóp procentowych może być:
• Eliminacja niedopasowań strumieni wpływów i odpływów gotówki
• Eliminacja ryzyka niestabilnych / wysokich kosztów finansowania
– Najczęściej poszukiwana rola instrumentów zabezpieczających ryzyko stóp procentowych,
szczególnie w branżach o niskiej marży sprzedaży !
Droga efektywnego zarządzania ryzykiem stóp procentowych:
kwantyfikacja niedopasowańIndentyfikacja ryzyk Pogląd na krzywe (fwd vs forecast)
Dobór
Instrumentu
I
transakcja
FORWARD RATE AGREEMENT• FRA klient i bank umawiają się zastosować w
przyszłości określone oprocentowanie w odniesieniu
do kredytu lub depozytu (transakcja pozabilansowa)
• Krótkoterminowe zabezpieczenie przed
nieoczekiwanym wzrostem lub spadkiem stóp %.
• Jest to kontrakt nierzeczywisty i nie wymaga
zaciągania kredytu, czy składania depozytu.
• Nabywca FRA rozlicza się kwotą odsetek:
• PŁATNOŚĆ=NOMINAŁ*CZAS*RÓŻNICA STÓP %
• Rozliczenie odbywa się na początku okresu poprzez
wypłatę wartości zdyskontowanej
• Nabywca zabezpiecza sobie maksymalną stopę a
sprzedający FRA zabezpiecza sobie minimalną %
FRA
• Rozliczenie syntetycznego FRA polega na
skompensowaniu depozytu i dwóch lokat.
• Kupując FRA strona płaci stałą stopę
procentową a otrzymuje zmienną
DEPOZYT to DO t2
12%
LOKATA to DO t1
12,3%
LOKATA t1 DO t2
FRA 11%
Data
transakcji
S
L
• Mechanika zbliżona do FX-forward
– Rozliczenie gotówkowe netto
– Nabywca FRA otrzymuje „wyrównanie” jeśli stopa FRA jest niższa od stopy
referencyjnej
– Nabywca FRA płaci „wyrównanie” jeśli stopa FRA jest wyższa od stopy referencyjnej
– Stopa referencyjna – wartość stopy zmiennej (np. 6M-EURIBOR) w konkretnej dacie
w przyszłości
– Przykład – FRA 3/9:
FRA
Data transakcji Data referencyjna Data startu Data końca
6M-EURIBORFRA
Rozliczenie
gotówkowe FRA
OKRES ZABEZPIECZONY
3 miesiące 3 miesiące
FRA
Cena forward instrumentu zależy od kosztu finansowannia
Dla obligacji 0-coupon zachodzi zależność między stopą forward a stopą 0-coupon
Krzywa forward zawiera prognozę przyszłych stóp 0-coupon
Wartość transakcji FRA
forwardspot Pdnii
P )360
*1(*
nm
nm
n
nmm
m
m iii
,0,,0 11*1
T
TTS
alNoFSV
1
1*min**)(
FRA
0 3 6 9 12
3X6
6X9
9X12
Koszt po¿yczek
FRA jest nieobciążoną stopą forward
oczekiwaną na dzień początku kontraktu
3x6 to 3 miesiêczny forward oczekiwany
za 3 miesiące
stopy forward zależą również od rynku spot
Œrednia FRA = stopa swap
FRA
• Przykład: mam wziąć kredyt za rok na rok:
• FRA 11%
• Stopa rynkowa za rok 12%
• Zysk z zabezpieczenia -1%
• =======================
• Efektywny koszt kredytu 11%
• Oczywiście efekt transakcji przy niższej
przyszłej stopie % może być również
negatywny dla kupującego Forward interest
rate agreement
FRA: przykładUNHEDGE SHORT FRA
POZYCJA NETTO
ZYSK
STRATA
Stopa %
Klient pożycza pieniądze w przyszłości
i nie chce ryzyka zmiany stopy %
Klient ma pozycję wyjściową krótką
i używa FRA do jej zamknięcia
KORZYŚCI Z FRA
NIE WYMAGA WYPŁAT Z GÓRY
DOSTOSOWANIE DO KLIENTA
RYZYKO KLIENTA OGRANICZONE DO RÓŻNICY
STÓP PROCENTOWYCH
FRA TO TRANSAKCJE POZA BILANSEM A/P
FRA - rozliczenie
PLNnp
stopaFRAS
rynekstopaL
dniL
dnikwotaSL
.37.4854360/180*%61
360/180*1000000*%]5%6[
360/*1
360/**][
Profil przychodu z FRA
długa pozycja
zys
k
L-S
zysk
L-S
Profil przychodu z FRA
krótka pozycja
FRA - przykład
• Kredyt 100 M PLN za 3 miesiące wibor
• Zabezpieczenie dziś FRA 3x9 np.15.28%
• Za 3 mies. Stopa 16%
• Klient uzyskuje różnicę
• 100 M PLN*(16%-15.28%)*180/360=360T
• Przy płatności z 3 mies. Wartość
zdyskontowana
• 360T/[1+.16(180/360)]= 333,333PLN
• Ryzyko kredytowe partnerów
WYZNACZANIE FORWARD-FORWARD
dniSdniL
baza
baza
dniSS
baza
dniLL
FORWARDFORWAR
*}
*1
*1
{
L= 0,1
S= 0,09
dniL= 90
dniS= 60
baza= 360
Forward-forward 0,118226601
HEDGE DLA ROLLOVER
• Seria FRA nazywana jest strip i może być
używana dla zabezpieczenia się przed
ryzykiem stopy procentowej w kredycie
odnawialnym
• Ryzyko kredytowe przy FRA jest obustronne
ale niewielkie
FRA:FORWARD-FORWARD RATE
L - DNI
S DNI L-S DNI
SLS
L
SL
SLSL
dnidniS
dniL
rr
r
rrr
360*]1
360/*)1(
360/*)1([
)1)(1(1
Bank zobowiązuje się do finansowania po określonej z góry stopie przez okres L-S
FWD-FWD
• Stopa 3 mies. 15% p.a.
• stopa 9 mies 14% p.a.
• [1+.14*270/360] -1}*360/(270-90)
• [1+.15 * 90/360]
• {0.065}*2*100=13%
– dokładniej (1.105/1.0375)^2=1.1343532
• w kolejnym okresie koszt finansowania może
wynieść 13%
• Reinwestowanie jest na kliencie więc nie ma
ryzyka
PRZYKŁAD - PORÓWNANIE FRA I
STOPY RYNKOWEJ
• Stopa rynkowa 12 mies. 5,90625-6,03125
• 3 mies 5.90625
• 3-6 FRA 5.87
• 6-9 FRA 5.88
• 9-12 FRA 5.93
• Kalkulacja
(1+(5.906258%91/360)(1+5.87%*91/360)(1+
5.88%*91/360)(1+5.93%*91/360)-1=6.1139%
6.1139%*360/365=6.0301%
INTEREST RATE FUTURES
• Bony skarbowe 1 M Chicago Mercantile Ex
• Obligacje 5&30lat 100T.Chicago Board
• 3 mies euro$ 1 M Chicago Mercantile Ex
• Obligacje 5&10 lat RFN 250T$ EUREX
• 3 mies euroDM 1 M DEM LIFFE
• Gilts 50 T Funtów LIFFE
• 1 mies LIBOR 3 M DEM EUREX
• 3 mies. Bony skarbowe PGF
INTEREST RATE FUTURES
• Transakcje w kontraktach np. 1 M eurodolar
• Dostawa Marzec, Czerwiec, Wrzesień, Grudzień
• Kwotowanie 100%-stopa % np.1*(100%-4.5%)
np.1000000*0.955=955000 p.a.(przybliżenie)
• Rozliczenie cash (vs. LIBOR)
• Tick 0.005% = 1/2 bp
• Tick value 0.005% * 1 m
• Initial margin 675$, clearing house, pozycje mark to market
• Np. Jeżeli stopa wzrośnie do 5,5% wartość spadnie do 945000
(czyli kurs 94.5)
INTEREST RATE FUTURES
• Kalkulacja ceny Eurodollar
futures
• FQ kwotowanie futures
eurodolar np. 0,9447
• Ft stopa procentowa
• 0,25 = 3miesiące• Np. P=10tys[100-0,25(100-5,53)]=98,175
• Cena kontraktu w dniu
ekspiracji ]25,0100[*000,10
)25,0100(000,10
)]100(25,0100[*000,10
TT SP
F
FQP
FUTURES CONVEXITY ADJUSTMENT
• Stopy procentowe na kontrakty futures zmieniaja się jak w
obligacjach, czyli kontrakt traci jak stopy% rosną
• Pojawia się różnica w przypadku długich kontraktów
futures (ciągła zmiana) do zwykłych FRA (stały okres) co
implikuje wyższą stopę futures interest rate, która pokrywa
convexity adjustment:
21
2)2/1( ttrateforwardrateFutures
FUTURES CONVEXITY ADJUSTMENT
• Przykład
• Kontrakt 10 lat eurodolar t1=10 t2=10,25 stopa 10 lat plus 3 miesiące, volatility 1%
• Stąd adjustment:
• (½)0,01^2*10*10,25=0,51%
• Czyli stopa forward 6% dla futures powinna wynieść 6,51%
• To tylko ma sens przy bardzo długich kontraktach
FUTURES NA TREASURY BONDS
• Kontrakty na instrumenty > 15 lat
• lub na 2,5,10 treasury notes
• US, Kanada, Japonia, EU
• Nominal 100000$, skok 1/32, phisical delivery
• Np. kwotowanie 97 02 oznacza 97+2/32
• 100000(97+2/32)/100=97062,50
• Ważny conversion factor CF, gdy nie można nabyć
instrumentu
• Cost=price-Futures Qoute*CF
SWAPY
I.Tymuła, Swapy finansowe, Biblioteka menadżera i bankowca, Warszawa, 2000
A.Wolańska, Elementarne modele wyceny swapów walutowych i procentowych, Rynek
Terminowy, 8/2/2000
230
SWAP
•Swap (ang. Przehandlować):•Swap jest umową między dwiema stronami
dotyczącą wymiany strumieni płatności
A B
SWAPY
• Swapy - wymiana między partnerami różnych
strumieni/aktywów w określonym czasie w przyszłości wg
określonej formuły - początek 1981 rok (swap walutowy IBM -
Bank Światowy) ale już pierwsze w latach 60-tych na stopy%
• a właściwie wymiana cash flow z jednego aktywu na cashflow
z drugiego
• Swap to rodzaj derywatu modyfikującego A/P
• Pierwowzorem były pożyczki back to back MN‟s
• Podrap moje plecy, a ja podrapię twoje
• cel: redukcja ryzyka stopy procentowej, obniżanie stopy
procentowej, redukcji ryzyka walutowego i stopy procentowej,
łatwiejszy dostęp do funduszy
• Reguluje International Swap Dealers Assocciation
SWAPY RODZAJE
• Interest rate swap
• cross currency swap: fixed/fixed, fixed/float, float/float
• basis swap np.3 m libor na 6 mies.libor
• asset swap
• debt swap
• amortizning swap - skonsolidowanie rat amortyzacyjnych w jedną płatność
• forward dated swap - ustalenie przyszłych warunków
• zero-coupon swap
• callable swap - możliwość odroczenia swapa
• indexed swap - indeksowanie np.ceną ropy
• multilegged swap
• debt to equity, debt to debt, debt to money
• forward-forward swap, swaption
SWAPY RODZAJE
• INSTRUMENT:
– PROCENTOWE
– WALUTOWE
– WALUTOWO-PROCENTOWE
– TOWAROWE
– BONDS
– EQUITIES
– KREDYTOWE
– INDEKSOWE
WALUTY:
JEDNO, DWU WALUTOWE
• CZAS: KRÓTKIE DŁUGIE
• ZAMKNIĘCIE:
– W TERMINIE
– Z PRAWEM WCZEŚNIEJSZEGO ZAMKNIĘCIA
– Z PRAWEM PRZEDŁUŻENIA
ZMNIENNOŚĆ KWOTY:
DOPASOWANE
AMORTYZOWANE
ZALICZKOWE
ZMIENNE
ROZWÓJ RYNKU SWAPÓW
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
1987
1989
1991
1993
1995
1997
1999
IRS
CCS
231
SWAP % - INTEREST RATE SWAP
•Swap na stopy%:•W swapie na stopy procentowe np. zmienna na stałą
(floating vs. fix)” partnerzy dokonują w określonym
czasie wymiany płatności, gdzie A płaci B stałą stopę
procentową w zamian za co otrzymuje wypłaty według
zmiennej stopy procentowej po stopach ustalonych
zgodnie z referencjami.
SWAP % - INTEREST RATE SWAP
• Wymiana strumieni zgodnie z wcześniej uzgodnioną formułą
• Polega na wymianie płatności odsetkowych w różnych walutach (często fixed-floating)
• Najczęściej również wymiana końcowych wartości kapitału
• Cel - obniżenie kosztów finansowania, hedge
• Brak up-front fees,
• Ryzyko kredytowe ISDA
SWAP % - INTEREST RATE SWAP
PROFIL RYZYKA 5-LAT KREDYT
• Wartość nominalna 100 m EUR
• spłata 1X200X
• odsetki 6mEuribor +1%
• Wartość bieżąca odsetki EUR 23.74 :
kapitał EUR 80.82 ::
razem EUR 104.56
• Ryzyko odsetki 23.% kapitał 77%
232
SWAP % - INTEREST RATE SWAP
•PRZYKŁAD:•A i B zawierają umowę swap na stopy
procentowe w odniesieniu do kapitału EUR 100
000 000. A płaci corocznie 6% pa i otrzymuje
półrocznie libor + 0,5%. Czyli oszczędza na
liborze 0,5%
A B
5%
3M Libor -50
”ubezpieczenie na stopy %" ”swap stóp procentowych"
- zobowiązanie jednej ze stron - zobowiązanie obu stron
- kupujący ma prawo, a nie obowiązek - wymiana płatności
odsetkowych
- premia płacona z góry - bez premii
np. cap, floor
SWAP % - INTEREST RATE SWAP
SWAP % - INTEREST RATE SWAP
Przed.BBBPrzed. AAA
10.8% 10.9%
Libor+3/4
libor
Libor -1/4%-0.1%=0.35%
AAA 10.8%
libor +1/4%BBB 12%
libor +3/4%
10.9%+3/4%=11.65%-12%=0.35%
Klient BBBdostaje kredyt wg stałej stopy 10.9%
I daje kredyt po stopie Libor
Klient AAA osiąga korzyść z odpożyczenia po 10.9%
I otrzymuje kredyt po Libor a więc taniej niż rynek
BASIC SWAP
PLAIN VANILLA
Gdy kredyt wg stałej stopy to istnieje opcja wcześniejszej spłaty, tego nie ma
przy swapie, tzn. korzyść 0.35% jest premią za pozbycie się takiej opcji
KORZYŚCI KOMPARATYWNE
SWAP % - INTEREST RATE SWAP
• Korzyść absolutna, gdy koszty innego rynku
są niższe
• Korzyść komparatywna, gdy względne koszty
są niższe
FIRMA Fixed Float
A 10,8% Libor+1/4%
B 12% Libor+3/4%
INNY PRZYKŁAD SWAP NA STOPY % -IRS
KATEGORIA DEFINICJA PRZYKŁAD
NOTIONAL BAZA
KALULACJI
$ 100 M
INDEX FLOATING 3 MIES.LIBOR
TERMIN DLUGOŚĆ
UMOWY
3 LATA
RESET CZĘSTOSTLIW
OŚĆ STOPY
3 MIES
SWAP RATE STAŁA 5%
METODA
KALULACJI
KALKULACJA
DNI (A/360,)
ACTUAL/360
KLIENT BANK
FIXED 5%
FLOAT
LIBOR +150
ROZLICZENIE KASOWE W KAŻDYM RESET
(NOMINAŁ)(LIBOR-SWAPRATE)*{DNI/360)
PRZYKŁAD: (100)*(libor-5%)(90/360)
SWAP % - INTEREST RATE SWAP
• KWOTOWANIA:
• Kwotowane często jako spready do odpowiednich yieldów to maturity dla treasury notes
• Np. 31/34 pbs, czyli dla YTM 6,72% koszt wyniesie 6,72+0,31=7,03% w zamian za otrzymanie libor lub 6,72+0,34=7,06% za płacenie libor
• Dla partnera AA
SWAP % - INTEREST RATE SWAP
• Pozycja pozyskania stałej stopy jest jak długa
pozycja w obligacjach finansowana krótką
pozycją w obligacji o zmiennej stopie
procentowej
• Mechanika zbliżona do serii FRA na wiele dni referencyjnych
– Rozliczenie gotówkowe netto
– Nabywca IRS otrzymuje „wyrównanie” jeśli stopa FRA jest niższa od stopy referencyjnej
– Nabywca IRS płaci „wyrównanie” jeśli stopa FRA jest wyższa od stopy referencyjnej
– Praktycznie – zamiana strumieni odsetkowych liczonych wg stopy zmiennej na stała
– Rozliczenie dla każdego okresu odsetkowego dłuższej transakcji (np. przez 5 lat co 6
miesięcy)
– Możliwe wersje dla nominału bez amortyzacji, z amortyzacją liniową, niestandardową
– Przykład – IRS: client pays fixed% EUR, client recieves 6M-
EURIBOR
SWAP % - INTEREST RATE SWAP
6M Euribor
4.57%
Klient6M Euribor
BankFinansujący
SWAP % - INTEREST RATE SWAP• Zamiana ze stopy zmiennej na stałą (można to
interpretować jako serię transakcji forward na stopę%). Podstawą wyceny zmiennej nogi swapa są stawki 0-kuponowe na LIBOR (badania empiryczne wskazują jednak, że wyliczane przyszłe zmienne stopy z krzywej swapowej były zawsze zawyżone)
• Kapitał nominalny nie jest wymieniany lecz stanowi podstawę kalkulacji odsetek
• Możliwe obniżenie kosztów finansowania
• W zależności od swap curve różne rozłożenie kosztów finansowania w czasie
• Możliwość tailor made solution
• Ze względu na ryzyko ISDA Master agreement
• Market to market valuation (credit support annex)
SWAP % - INTEREST RATE SWAP
• IRS może być traktowany jako seria FRAs
• Stała stopa procentowa jest ważona czasem
średnią FRAs
• Można swapa traktować jak zamianę dwóch
obligacji, z których jedna płaci fixed, druga float
0 3 6 9 12
3 mies 3x6 6x9 9x12
Swap rate
czas
SCHEMAT ROZLICZANIA SWAPA NA
STOPY % - IRS
WIBOR 3M
WIBOR 3MWIBOR 3 M
WIBOR 3M
FIXED PÓŁROCZNIEFIXED PÓŁROCZNIE
BANK PłACI KLIENTOWI
KLIENT PłACI BANKOWI
ZAMIANA ZMIENNEJ STOPY 3 M NA STAŁĄ STOPĘ PÓŁROCZNĄ 10% p.a
SWAP % - INTEREST RATE SWAP
• ZALETY SWAP:
• Zabezpieczenie przed ryzykiem stopy%
• Równomierne rozłożenie kosztów odsetkowych
• Możliwość dopasowania swapa do cash-flow
• Wykorzystanie oczekiwanych obniżek stóp % do redukcji kosztów finansowania
• Możliwość wyjścia z transakcji przed dniem zapadalności
SWAP % - INTEREST RATE SWAP
• RYZYKO SWAP:
• Stopy % zmieniają się szybciej niż
oczekiwano
• Szybszy wzrost stóp obciąża tego kto płaci
zmienną stopę %
• Szybszy spadek stóp obciąża tego kto płaci
stałą stopę %
234
INTEREST RATE SWAP – STOPY%
•UWAGA: „Stopa % nie jest równa
stopie %“•Przy tym samym czasie i tej samej klasie
ryzyka np. AAA na pytanie o stopę procentową
uzyska się różne odpowiedzi np. : 4%; 4,05%;
4,1%
•Z czego to wynika ?
235
INTEREST RATE SWAP – STOPY%
•Np. roczny czynnik dyskontujący
•df = 0,961025.
To odpowiada na pytanie ile np. eur należy
zapłacić za 1 eur, który otrzyma się za rok.
Czynnik dyskontujący jest jakby obligacją
zerokuponową na okres 1 roku.
236
INTEREST RATE SWAP – STOPY%
•Stopa procentowa zależy od sposobu liczenia dni (day count
fraction ) oraz od składania odsetek Compounding (liniowo,
narastająco) :
•Przy metodzie liniowej
df = 1 / ( 1 + R * dcf(6.10.XX, 6.10.XX+1) )
Metoda dni „30/360“ lub „act/365“ przy tym
dcf(6.10.XX, 6.10.XX+1) = 1.
Ale przy metodzie „act/360“
dcf(6.10.XX, 6.10.XX+1) = 365/360 = 1,01388.
•Ta sama stopa i = 4% prowadzi w zależności od metody do
różnych czynników dyskontujących:
df = 0,961538 przy „30/360“
df = 0,961025 przy „act/360“
237
INTEREST RATE SWAP – STOPY%
•W podejściu teoretycznym często stosuje się stopę
procentową wynikającą z tzw. (continuous
compounding). Wtedy czynnik dyskontujący wynika z:
df = exp( - i * dcf(6.10.XX, 6.10.XX+1) )
Przy „act/365“ oraz 1 = 4% uzyskuje się
df = 0.960789
•Można też przy danej stopie procentowej i mówić o
stopie swapowej. Z krzywej stóp swapowych można
rekurencyjnie uzyskać czynniki dyskontujące dla
przyszłych okresów. Ale wtedy trzeba mieć informacj e o
wszystkich stopach swapowych składających się na
krzywą.
SWAP YIELD CURVE (EUR)
%
0 0.25 0.5 0.75 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A jak wygląda krzywa dla PLN?
3,65%
5,25%
SWAP CURVE vs FORWARD
LIBOR
PV(Fixed Rate)=PV(Forward LIBORs)
Spot Fixed swap rate
Forward Libor curve%
czas
Teoretycznie swap rate jest średnią forwardów na Libors
Rynek jest obojętny czy dostanie serię odsetek zmiennych
czy stałych pod warunkiem, że ich wartość jest równa w PV
KRZYWA SWAPOWA DYNAMIKA
US YIELD CURVE DYNAMICS Dynamic Chart
Monthly Dynamics: Month = lip-01Inputs Sigma= 3880% X = 0 Graph Inputs
T = 0,00 r = 0%
Row 0,0000
388 0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
Outputs
Time To Maturity 0,0833333 0,25 0,5 1 2 3 4 5 7 10 15 20 25 30
Yield To Maturity 3,43% 3,64% 3,62% 3,84% 4,24% 4,60% 4,93% 5,08% #N/A 5,68% 6,03% 6,10% 6,03% 5,58%
Dynamic Chart of US Yield Curve Dynamics
0%2%4%6%8%
10%12%14%16%
0 5 10 15 20 25 30Time To Maturity (Years)
Yie
ld T
o M
atu
rit
y
Wycena swapa z fixed coupon C używając YTM:
• Bierze się „Yield to Maturity‟ - the swap rate= r
• Znajduje sie present value (PV) DLA fixed rate bond,
coupon C – czyli stała noga swapa:
• Wartość swapa PV Fixed - FRN
432 )1(
100
)1()1()1( r
C
r
C
r
C
r
CPVFixed
FRNFixedSwap PVPVPV
INTEREST RATE SWAP – WARTOŚĆ
(YTM)
INTEREST RATE SWAP – WARTOŚĆ
eeW
eeW
WW
trKtrO
trKtrO
V
nforwardiiforward
ncoupnicoupi
n
ifloat
n
ifixed
floatfixed
**
** 00
W zasadzie obie nogi swapa powiny być równe w momencie zawierania umowy
tu szczególny przypadek obligacji oraz zobowiązania płaconego na bieżąco
Wyzwaniem jest określenie oczekiwanych przyszłych stóp procentowych,
czego można dokonać znając wartości stóp procentowych z krzywej swapowej
oraz wyliczając stawki 0-kuponowe a z nich stawki forward na przyszłe okresy
SWAP WYCENA – STAWKI 0-KUPONOWE
PVswap=PVfixed-PVfloat
71,110071.101
100
71.1012%)^6,31(
5,4100
%6,31
5,4
PVswap
PVfloat
PVfixed
Przykład 2 lata swap fixed 4,5% za libor
stopa 0-coupon na 2 lata 3,6%
Wartość swapa jest dodatnia, stała stopa otrzymywana
jest wyższa niż 0-coupon na ten termin
STRUKTURA TERMINOWA STÓP
PROCENTOWYCH
STRUKTURA TERMINOWA STÓP
PROCENTOWYCH
• Podstawą do dyskontowania przyszłych strumieni finansowych są stopy spot – zerokuponowe na odpowiednie okresy.
• Zmieniają się one w zależności od tzw. term to maturity.
• Zwykle aby abstrahować od ryzyka kredytowego bierze się pod uwagę stopy wolne od ryzyka – czyli stopy wynikające z oprocentowania zobowiązań skarbowych.
• Trzeba odróżnić krzywą stóp spot (czy też 0-coupon) od krzywej stóp swapowych, czy krzywej stóp forwardowych.
•
• Dyskontowanie cash flow stawkami
swapowymi nie dostosowanymi do terminów
dyskonta daje fałszywe wyniki (częsty błąd)
• Wyprowadzenie stawek zerokuponowych z
krzywej swapowej
• Rozdzielenie cash-flow na poszczególne
przepływy
• Znalezienie wartości bieżącej przy użyciu
stawki 0-coupon
• Dla niestandardowych terminów interpolacja
stóp
n
iiswap
Ti
tt
t
t
t
PVNPV
PVi
CFPV ioieCF
t)^1(0
SWAP WYCENA – STAWKI 0-KUPONOWE
• Podstawa to stawki swap
• 1 roczna stopa procentowa to stawka swap,
ale i 0-coupon
• Np. dla okresu 2 lat wartość bieżąca dla swap
i 0-coupon jest taka sama
• Rekurencja
3)^1(
%100
2)^1(1%100
2)^1(
%100
1%100
03
3
02
3
01
331
02
2
01
221
ir
ir
ir
ir
ir
PV
PV
SWAP WYCENA – STAWKI 0-KUPONOWE
SWAP WYCENA – STAWKI 0-KUPONOWE
• A) Obligacja 4% na 1 rok
• wypłata 104 za rok 104/(1+0.04)=100
• a więc stawka swap = 0-coupon
• B) Obligacja 2 lata, kupon 4.5% , wartość100
ROK Platnosc stopa dysk wartosc zdyskontowana
1 4.5 1/1.04=0.9615 4.3269
2 104.5 1/(1+x) 2 z
=========================== ==================
100
z=100-4.3269=95.6731
1/(1+x) 2=95.6731/104.5=0.9155 x=4.5113= 2 lata 0-coupon
SWAP WYCENA – STAWKI 0-KUPONOWE
• C) obligacja 4 lata, kupon 6%, wartość 100
ROK Platnosc Stopa dyskontowa Platnosci zdyskontowane
1 6 1/1.04=0.9615 5.7692
2 6 1/1.045113^2=0.9155 5.4932
3 6 1/1.050341^3=0.8630 5.178
4 106 1/(1+x)^4=y z
100
x=6.1274%= 4 letnia 0-coupon z=83.5596
106:83.5596=
RÓŻNICA YIELD I 0-COUPON
• Yield to maturity jest kalkulowaną średnią
stopą przyjmującą możliwość reinwestowania
według tej samej stopy
• Stawki 0-kuponowe są poszczególną stawką
w danym punkcie czasu (bez reinwestycji), są
najwłaściwsze do dyskonta cash flow
•
SWAP WYCENA – STAWKI 0-KUPONOWE
• Stawki zerokuponowe są powyżej
swapowych przy rosnącej yield curve oraz
poniżej przy malejącej yield curve
• Stawki swap to średnia ważona przyszłych
libor
• Krzywa swap oraz zerokuponowa są od
siebie zależne
• Stawki forward to przyszłe rynkowe (implied)
stopy libor - do wyliczenia
WYLICZENIE STAWEK FORWARD
ZE STAWEK 0-KUPONOWYCH
• Znając stawki zero dla
roku i dwóch lat można
wyliczyć forward dla
roku 21
2)^1(
3)^1(
1)1(
2)^1(
)1(*)1(2)^1(
02
03
2,1
01
02
1,1
1,10102
ii
i
ii
i
iii
i02
i01i11
iorTr
i
ij
ji
ji
ij
iijj
ji
ecoupondyskontowyczynnikDF
TT
DFDFf
TT
TrTrf
ratesForward
0
)/ln(
:
,
,
STAWKI FORWARD
• A) inwestycja 3 lata 0-rate 5.0341%
• B) inwestycja 2 lata 0-rate 4.5113%
• Forward:
• [(1.050341)^3/(1.045113)^2]-1=6.0875%
coupondyskontowyczynnikDF
e
e
TT
DFDFf
TT
TrTrf
ratesForward
i
T
T
ij
ji
ji
ij
iijj
ji
0
060797,023
)ln()/ln(
060797,023
2*045113,03*050341,0
:
)2(*045113,0
)3(*050341,0
,
,
SWAP – WYCENA
• Wycena swapa
swapwuzgodnionastopaK
forwardstopaf
eKfnV
i
i
Tr
iiii
)(
CURRENCY INTEREST RATE SWAP CIRS
• To umowa miedzy stronami, które
zobowiązują się do wymiany serii płatności
odsetkowych w różnych walutach,
naliczanych od uzgodnionej kwoty nominalnej
dla całego ustalonego okresu
• Zabezpieczenie ryzyka kursu walutowego i
stopy procentowej
CURRENCY INTEREST RATE SWAP CIRS
Waluta 1
% stałe
Waluta 1
% stałeWaluta 2
% zmienne
Waluta 2
% stałe
Waluta 2
% stałe
Waluta 1
% zmienne
Waluta 2
% stałe
Waluta 1
% zmienne
PRZEDSIÊBIORSTWO BANK
100 M USD
100 M USD
400 M PLN
Stała 6% w USD
WIBOR +spread
6% USD
Spłata nominałów na koniec okresu
CURRENCY INTEREST RATE SWAP CIRS
CROSS CURENCY SWAP
• Wymiana przepływów walutowych opartych o różne
stopy% i w różnych walutach = IRS + swap bazowy
• Zamiana płatności walutowych odsekowych
• Stopy forward kalkulowane z założenia arbitrażu
nieubezpieczonego (mając stopy % obu rynków)
• Wartość nominałów wymienia się standardowo na
początku transakcji
• CCS to złożenie swapa bazowego i walutowego -
CIRCUS: Combination Interest Rate and Currency
Swap lub Currency Coupon SWAP
CROSS CURRENCY SWAP
• Kurs forward z parytetu stóp procentowych
• CCS: taka sama analiza - czyli Discounted
Cash Flow, oba NPV=0, może być in-the-
money, out-of-the-money, at-the-money w
czasie trwania
• Ryzyko kredytowe - wahania kursów walut
• Wymiana strumieni odsetkowych po stopie zmiennej w jednej walucie na stopę stałą
w innej.
– Rozliczenie dla każdego okresu odsetkowego dłuższej transakcji (np. przez 5 lat co 6
miesięcy)
– Klasyczny wariant: wymiana kapitału początkowa + wymiana kapitału końcowa
– Wariant najczęstszy: bez wymiany początkowej + wymiana końcowa (bullet / amortyzacja –
zależnie od kredytu)
– Przykład – Cross Currency Swap: client pays fixed% PLN, client recieves 6M-
EURIBOR
initial exchange: none, final exchange: ammortized
6M Euribor
Fix PLN %
Klient6M Euribor
BankFinansujący
EUR 100 000
PLN 400 000
KlientEUR 100 000
BankFinansujący
Wymiana odsetek
Wymiana końcowa
+
CROSS CURRENCY SWAP
CROSS CURRENCY SWAP• A cross-currency swap jest wymianą fixed / floating rate cashflows w
jednej walucie za fixed / floating rate cashflows w innej walucie
• Kapitał wymieniany jest zwykle na początku
• Kombinacja:
– Interest rate swaps (IRS)
– Cross-currency basis swaps (BS)
Swap House Corporate A
EUR
Fixed Rate
US$
Floating Rate
=
Swap House Corporate A
EUR Fixed
EUR Floating
Swap House Corporate A
EUR Floating
US$ Floating
+
IRS
BS
13
CROSS CURRENCY SWAP
Spłata kredytu walutowego(EUR 100 MIO)
3M EURIBOR+marża 100 mio EUR
Zaciągnięcie kredytu(EUR 100 Mio)
Deutsche Bank Klient
Bank
Początkowa wymiana PLN(ekwiwalent EUR 100 mio)
Końcowa wymiananominalu kredytu PLN
Końcowa wymiananominalu kredytu
(100 mm EUR
Początkowa wymiana waluty kredytu(EUR 100 Mio)
3M WIBOR+marża XXX mio PLN.
3M EURIBOR+marża 100 mm EUR
CROSS CURRENCY SWAP
CROSS CURRENCY SWAP
• KORZYŚCI:
• Eliminacja ryzyka deprecjacji
• Eliminacja ryzyka wzrostu walutowych stóp
procentowych
• Stały koszt kredytu w długim okresie
CROSS CURRENCY SWAP
• RYZYKO:
• Brak możliwości obniżenia kosztu przy
spadających stopach na rynkach
• Brak możliwości korzystania z ewentualnej
aprecjacji danej waluty
STAWKI SWAPOWE - REUTERS
KRZYWA SWAP, 0-COUPON,
FORWARD DLA PLN
ROCZNE STOPY SWAP, 0-COUPON, FORWARD
swap rate 0-couponIndex0-coupon FORWARD
% % %
1 10.50 1.1050 10.50
2 9.70 1.0966 9.66 8.83
3 9.52 1.0948 9.48 9.11
4 9.49 1.0945 9.45 9.38
5 9.44 1.0940 9.40 9.19
6 9.34 1.0928 9.28 8.69
7 9.17 1.0907 9.07 7.79
8 9.00 1.0885 8.85 7.34
9 8.83 1.0863 8.63 6.87
10 8.65 1.0839 8.39 6.25
PROBLEM CONVEXITY STÓP %
SWAPY DRUGIEJ GENERACJI
• AMORTYZOWANY
• ZALICZKOWY
• ROLLER COASTER
• FORWARD START LUB DEFFERED
• EXTENDABLE
• CALLABLE
• PUTABLE
• CAPPED,FLOORED COLLARED
• SWAPTION
• TOTAL RETURN
• Zmiany wartości w czasie - maleje
• Kwota swapa rośnie w czasie
• Zmienna kwota w czasie
• Rozpoczęcie swapa w przyszłości lub opóźnienie w czasie
• Prolongowanie swapa w czasie
• Prawo wcześniejszego wyjścia
• Prawo wyjścia
• Prawo limitowania stóp w swapie odpowiednio
• Opcja na swapa
• Swap całkowitego dochodu zachowanie aktywu
CAP, FLOOR, COLLAR
Opcje na stopy procentowe
OPCJE NA STOPY PROCENTOWE
•DEFINICJA:•Muszą być dwa punkty w czasie t1 < t2. Na koniec okresu (t1, t2 ) caplet wypłaca (czyli w t2 )
•• Nominal*dcf( t1, t2 ) *max( RRef ( t1, t2 ) – cena bazowa, 0).
•Oznaczenia:
• RRef ( t1, t2 ) referencyjna stopa % dla okresu np. libor
• dcf( t1, t2 ) Day count fraction, np. (t2- t1)/360.
•Caplet jest opcją call na referencyjną stopę procentową:
CAP FLOOR• Cap to OTC kontrakt, gdzie
sprzedawca godzi się płacić
kupującemu kontrakt kwotę
wynikającą z różnicy stopy
referencyjnej oraz stopy rynkowej
• Cap opcja call na stopę %
• Floor opcja put na stopę %
• Składniki:
• Nominalna kwota
• Stopa referencyjna
• Stopa procentowa wykonania
• Częstość rozliczeń
• Termin
flooriiP
capiiC
TFT
cTT
)0,max(
)0,max(
CAP
•PRZYKŁAD:•Kupiono ex ante Caplet na okres odsetkowy 1.7.
do 1.10 na 3 miesięczny libor ze stopą bazową
3% na nominał EUR 10.000.000.
•29.6 (tzn. na 2 dni robocze przed okresem
odsetkowym) libor był zafiksowany 3,125%. Dnia
1.10. nastąpiła wypłata
• 10.000.000 EUR * 0,125% * 92 / 360 = 3194,44
EUR
• Mechanizm zbliżony do opcji FX-Call
– Rozliczenie dla każdego okresu odsetkowego dłuższej transakcji (np. przez 5 lat co 6
miesięcy)
– Zabezpieczenie przed wzrostami zmiennej stopy procentowej w długim okresie
– Pełna możliwość korzystania ze spadków stopy zmiennej
– Przykład – Cap na 6M-EURIBOR: klient płaci premię upfront,
klient płaci 6M-EURIBOR, ale nie więcej niż Strike
– Odpowiednikiem FX-Put jest Floor – instrument zabezpieczający przed spadkami stopy
referencyjnej
CAP
FLOOR
•DEFINICJA:•Istnieją dwa punkty w czasie wyznaczające okres (t1, t2) , tzn. w t2 flooret wypłaca:•• Nominal * dcf( t1, t2 ) * max( cena bazowa - RRef ( t1, t2 ) , 0).
•Oznaczenia:
• RRef ( t1, t2 ) stopa referencyjna w okresie np Libor,
•Floorlet jest opcją Put na referncyjna stopę%:
• dcf( t1, t2 ) część płacona za okres Day count fraction, np. (t2- t1)/360.
•
CAP FLOOR
•DEFINICJA:•Cap (Floor) jest serią Caplets (lub Floorlets) na
następujące po sobie okresy odsetkowe.
•ZASTOSOWANIE: •np. Zawierając swapa, gdzie płaci się stopę
zmienną a otrzymuje stałą można przez zakup
cap z bazową ceną 3% zabezpieczyć się przed
zapłatą wyższych niż 3 % odsetek.
CAP FLOOR
•WYCENA:•Wystarczy znaleźć formułę wyceny dla caplets i
floorlets aby poprzez ich sumowanie obliczyć cap
& floor.
•Proste podejście pokazuje Black 76.
CAP
• Każdy caplet jest
wyceniany wg modelu
Black
• Cap jest sumą capletów
• Cena caplet
12
1
21
1
2//)/ln(
)]()([
dd
KFd
edKNdFNc
cc
k
r
k
K
k
k
k
ZWIĄZEK INSTRUMENTÓW
PIERWOTNYCH
CZAS
SWAP - SERIA TRANSAKCJI FORWARD,
FORWARD SERIA TRANSAKCJI OPCYJNYCH
CAP/FLOOR
• Sprzedający capa/floora musi wywiązać się z przyjętego na
siebie zobowiązania, czyli płaci różnicę pomiędzy poziomem
zmiennego oprocentowania referencyjnego (np. 1M WIBOR) i
przyjętym w instrumencie poziomem oprocentowania.
• Cap stworzono, by umożliwić kupującemu zabezpiecznie przed
wzrostem stóp procentowych. Jednocześnie zastosowanie tego
instrumentu umożliwia wykorzystanie sytuacji, gdy stopy
procentowe spadają.
• Analogicznym instrumentem, który z kolei zabezpiecza przed
spadkiem stóp procentowych jest floor.
• Kupujący musi z góry zapłacić pewną cenę za tego typu
zabezpieczenie.
CAP, FLOOR, COLLAR• Caplet, floorlet jednostkowa opcja na konkretny termin
• Cap - za premię kupno zabezpieczenia przed wzrostem stóp%
ponad stopę referencyjną (chroni pożyczkobiorcę),
• floor - zabezpieczenie przed spadkiem stóp % (chroni
inwestora),
• collar kupno cap i sprzedaż floor
• Cap to seria opcji put (europejskich)- prawo dostarczenia po
określonej cenie, w praktyce wykorzystywana zawsze, gdy jest
in the money
• Floor - seria opcji call (europejskich) - prawo otrzymania po
określonej cenie
• Kompensata może być wypłacana albo na początku lub na
końcu okresu odsetkowego
• Mechanizm zbliżony do transakcji FX-RiskReversal
– Rozliczenie dla każdego okresu odsetkowego dłuższej transakcji (np. przez 5 lat co 6
miesięcy)
– Zabezpieczenie przed wzrostami zmiennej stopy procentowej w długim okresie
– Ograniczona możliwość korzystania ze spadków stopy zmiennej
– Przykład – Cap na 6M-EURIBOR: client pays NO premium upfront,
client pays 6M-EURIBOR, but
not higher then Strike Cap
and not lower then Strike Floor
COLLAR
OPCJE NA STOPĘ PROCENTOWĄ
CAP, FLOOR
• Elementy transakcji strike price, notional principal amount
(NPA), premia upfront (w punktach bazowych)
• Ryzyko kredytowe jest asymetryczne, w odniesieniu do klienta
banku niewielkie
• Przykład strike cap ic= 5,75%, aktualna ir=6,5%, NPA 1M, 3 m
• np. 1000000* (6,5%-5,75%)*91/365:
(1+6,5%*91/365)=1840.04
• Trzeba doliczyć koszt opcji np.1,5% up front/3(średni okres
kredytu)=0.3%
TKORWyplataFLO
TKWyplataCAP
iiii
rf
cr
*}max{
*}max{
CAP WYCENA
• Cash flow z CAP
• Cap suma caplets
• Z formuły Black-Scholes-Merton
• Φ dystrybuanta rozkładu normalnego
• Cj to opcja call na libor –R
• B(t,T) stopa dyskontowa
• dj z wzoru
• σ zmienność stopy F(t,T-1,T)
tT
tTE
TTtF
d
TTtFTtB
TRTTtF
tTdEdTTtFTtBN
tCaplettCap
ETRNC
jj
jj
jj
j
jj
j
J
L
jj
n
j
jjjjjjj
n
j
j
j
L
j
1
1
21
1
11
1
11
1
1
)(5.0),,(
ln
),,(1
1),(
),(),,(
()(),,((*),(**
)()(
]),([**
CAP PRZYKŁAD
• Przykład wyceny cap
• Cap na 1 mln
• Cap rate 5%
• Volatility 20%
• Stopa na rynku 5,5%
• Dyskonto
• Zmienność na ½ roku
cap 1000000
cap rate 0,05
volatility 0,2
okres 184
forward rate 0,055
Pvfactor 0,947181 1/(1+0,55*(365/360))
volatility 0,141814 *SQRT(t)
d1 0,742987
d2 0,601174
N(d1) 0,7713
N(d2) 0,6012
cap= 0,011709
cap na 184 0,005984
INTEREST RATE CALL
Long call
Net position
4%
PROFIT
LOSSUNHEDGE - SHORT EUROIBOR
STRATA MA CAP - NIE ZAPŁACI WIĘCEJ NIŻ 4%
INTEREST RATE COLLAR
UNHEDGE
LONG CAP
SHORT FLOOR
NET POSITION CAP
4%
3.75%
4.25%
Cena capa zależy od:
• im dłuższy okres ważności instrumenty tym cena wyższa
• im wyższa oczekiwana zmienność stóp procentowych
(volatility) tym cena wyższa
• im wyższy poziom stóp procentowych przyjętych jako
poziom zabezpieczenia tym cena niższa
Cena floora zależy od :
• im dłuższy okres ważności instrumenty tym cena wyższa
• im wyższa oczekiwana zmienność stóp procentowych
(volatility) tym cena wyższa
• im niższy poziom stóp procentowych przyjętych jako
poziom zabezpieczenia tym cena niższa
CAP FLOOR CENA
PORÓWNANIE KOSZTÓW
POŻYCZEK
Bez hedgu
Cap
Interest rate swap
Cap strike price
Efektywny
koszt
po¿yczki %
%
5%
5%
Koszt np.2%
Bez hedgu - pełne ryzyko
swap - fix dla stopy
opcja cap - korzyść przy niskich stopach
7%
CAP, FLOOR, COLLAR
• Skala korzyści zależy od: steep yield
environment lub flat yield envinronment
FIRMABANK
Min(wibor6;15%)
WIBOR6-50BP
FIRMABANK
Max[(floor%-6wibor);0]
premia
14
Opcje na stopę procentową - cap & floor
Stopaprocentowa
StawkaCap
czas
Stopa procentowa p³acona przez posiadacza opcji CAP
Stawka WIBOR
StawkaFloor
czas
Stopa procentowaotrzymywana przez posiadacza opcji FLOOR
Stawka WIBOR
Stopaprocentowa
CAP, FLOOR
14
Opcje na stopę procentową - collar
Stopaprocentowa
Cap
Time
Stopa placona przez posiadacza COLLAR
Stawka WIBOR
Floor
Collar
COLLAR
CAP, FLOOR, KOSZTY
• Premia jest płatna up-front, a więc trzeba
policzyć roczny koszt premii
• Np. 5 lat cap, strike 7%, premia 1,79% od
kwoty (notional)
• Trzeba uwzględnić wartość pieniądza w
czasie - premia płatna up-front
CAP A PRICING
• Cap vs Caplets - seria call opcji europejskich
z tym samym strike na LIBOR
• Cap zależy od yield curve (jak kształtują się
FRA)
• Koszty cap są wysokie, dlatego strategie -
risk reversal - collar - redukcja premii (buy
cap sell floor np. 5 lat collar z cap 7%, floor
5%, premia 1.79 - 0.45 = netto 1.34%
• lub participating option
FLOOR WYCENA
• Cash flow z floor
• Floor suma floorlet
• Black Scholes Merton
• Stopa call R na libor
• Dyskonto
• dj wg wzoru, σ
zmiennośćtT
tTE
TTtF
d
TTtFTtB
TRTTtF
tTdEdTTtFTtBN
tFloorlettFloor
TRENF
jj
jj
jj
j
jj
j
J
L
jj
n
j
jjjjjjj
n
j
j
j
L
j
1
1
21
1
11
1
11
1
1
)(5.0),,(
ln
),,(1
1),(
),(),,(
()(),,((*),(**
)()(
)],([**
INNE INSTRUMENTY HYBRYDY
SWAPY & ETC
SWAPTIONS
• Nabywca ma prawo ale nie obowiązek uzyskać
stałą cenę na swap na dany dzień lub w
określonym czasie w przyszłości
• Jest to opcja na kontrakt w postaci swapa (pre-
wyspecyfikowanego) (od 1 roku do >30lat)
• Rozliczenie gotówką, jako różnica między
zdyskontowaną wartością strike price a bieżącą
wartością swapa na dzień rozliczenia swaption
• Stopa % - Strike, ekspiracja, premia,
• Może być europejska, bermudzka, amerykańska
SWAPTIONS
•DEFINICJA:•Swaption jest opcją na swap na stopy
procentowe. Nabywca swaption ma prawo
wejść w transakcję swap, której warunki
zostały wcześniej ustalone w umowie
swapowej. W zależności czy płaci stałą stopę,
czy uzyskuje stopę stałą rozróżnia się między
Payer- oraz Receiver- Swaption.