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Ejemplo Branch & Bound Ejemplo FCPA Bibliografa
Clase Auxiliar:Ejemplos de B&B y FCPA
Diego A. Moran R.
IN77O
18 de junio de 2008
Diego A. Moran R. Modelos y Algoritmos de Optimizacion
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Ejemplo Branch & Bound Ejemplo FCPA Bibliografa
Contenidos
1 Ejemplo Branch & Bound
2 Ejemplo FCPA
3 Bibliografa
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Ejemplo Branch & Bound Ejemplo FCPA Bibliografa
Contenidos
1 Ejemplo Branch & BoundPreliminaresAlgunas opciones de BrancheoAplicando Branch&Bound
2 Ejemplo FCPA
3 Bibliografa
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Preliminares
Problema a Resolver
zIP = max 7x1 + 2x2x1 + 2x2 45x1 + x2 202x1 2x2 7
x Z2+Introduciremos variables de holgura x3, x4, x5 R+. No esnecesario pedir integralidad.
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Ejemplo Branch & Bound Ejemplo FCPA Bibliografa
Preliminares
Resolviendo la relajacion (1)
El tableau en el optimo es:
zLP + 311x3 +1611x4 =
33211
+ x1 111x3 + 211x4 = 3611+ x2 + 511x3 +
111x4 =
4011
+ 811x36
11x4 + x5 =7511
con x1, x2 Z+ y x3, x4, x5 R+.
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Ejemplo Branch & Bound Ejemplo FCPA Bibliografa
Preliminares
Resolviendo la relajacion (2)
Es decir,
z0LP =33211
x0 =(
36511
4011
0 07511
)El resultado no es el optimo entero hay que branchear,en x1, x3 o x2, variables fraccionarias.
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Algunas opciones de Brancheo
Forma muy usada de elegir la variable
Definiendo la parte fraccionaria:
f ij = xij x ij
Se usa la regla:
maxjN i
mn{Dij ,D+ij }con
Dij = pij f
ij
D+ij = p+ij (1 f ij )
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Algunas opciones de Brancheo
Maxima infactibilidad
El criterio de maxima infactibilidad esta dado seteando:
D0j = f0j y D
+0j = 1 f 0j
Es decir, los coeficientes valen uno:
pij = p+ij = 1
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Algunas opciones de Brancheo
Aplicando lo anterior al ejemplo
Calculando,
D01 =3
11, D+01 =
811
, D02 =7
11,D+02 =
411
Y ocupando la regla para elegir la variable:
maxj{1,2}
mn{D0j ,D+0j } = max(
311
,4
11
)=
411
= D+02
Con esto,podramos decidir branchear en la variable x2(x2 3 o x2 2) y examinar el hijo derecho asociado.
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Algunas opciones de Brancheo
Uso de penalizaciones (1)
De las restricciones podemos ver que si x3 o x4crecen, entonces x2 decrece. Con esto podemossetear p+02 =.Siguendo con este razonamiento, zLP decrece en 35(161 ) por unidad que x2 disminuye cuando x3 (x4)sehace variable basica. Con esto podemos setear:
p02 = mn(
35,161
)=
35
Similarmente,
p+01 = 3 y p01 =
162
= 8.
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Algunas opciones de Brancheo
Uso de penalizaciones (1)
De las restricciones podemos ver que si x3 o x4crecen, entonces x2 decrece. Con esto podemossetear p+02 =.Siguendo con este razonamiento, zLP decrece en 35(161 ) por unidad que x2 disminuye cuando x3 (x4)sehace variable basica. Con esto podemos setear:
p02 = mn(
35,161
)=
35
Similarmente,
p+01 = 3 y p01 =
162
= 8.
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Algunas opciones de Brancheo
Uso de penalizaciones (2)
Calculando
D01 =3 811
=2411
, D+01 =8 311
=2411
D02 =35 7
11=
2155
, D+02 =Luego,
maxj{1,2}
mn{D0j ,D+0j } = max(
2411
,2155
)=
2411
= D01 = D+01
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Algunas opciones de Brancheo
Uso de penalizaciones (3)
Basados en lo anterior, podramos branchear en lavariable x1.Pero, la evidencia emprica indica que estos calculosno valen la pena para problemas de gran tamano.
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Uso de penalizaciones (3)
Basados en lo anterior, podramos branchear en lavariable x1.Pero, la evidencia emprica indica que estos calculosno valen la pena para problemas de gran tamano.
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Aplicando Branch&Bound
Comienza el Bracheo
Usando el criterio de maxima infactibilidad, decidimosbranchear en x2, agregando las restriccion:
x2 4 (x2 t = 4, t 0)Al subproblema as generado lo llamaremos nodo 1
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Aplicando Branch&Bound
Comienza el Bracheo
Usando el criterio de maxima infactibilidad, decidimosbranchear en x2, agregando las restriccion:
x2 4 (x2 t = 4, t 0)Al subproblema as generado lo llamaremos nodo 1
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Aplicando Branch&Bound
Continuando con el branching. . .
Las restricciones del subproblema (nodo 1) quedandadas por:
zLP + 311x3 +1611x4 =
33211
+ x1 111x3 + 211x4 = 3611+ x2 + 511x3 +
111x4 =
4011
+ 811x3 +611x4 + x5 =
7511
+ 511x3 +111x4 + t = 411
con x , t 0.OBS: En un sistema computacional la restriccion deacotamiento no es agregada explcitamente.
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Aplicando Branch&Bound
Primera poda
El algoritmo simplex dual muestra inmediatamenteque el problema es primal infactible (miren la ultimarestriccion).Con esto podamos el nodo 1, por infactibilidad.
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Aplicando Branch&Bound
Primera poda
El algoritmo simplex dual muestra inmediatamenteque el problema es primal infactible (miren la ultimarestriccion).Con esto podamos el nodo 1, por infactibilidad.
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Aplicando Branch&Bound
Explorando otro nodo
Analizando el unico otro subproblema posible, quellamaremos nodo 2, que corresponde al IP original conla restriccion adicional
x2 3, (x2 + s = 3, s 0)La relajacion lineal resultante se escribe:
zLP + 311x3 +1611x4 =
33211
+ x1 111x3 + 211x4 = 3611+ x2 + 511x3 +
111x4 =
4011
+ 811x3 +6
11x4 + x5 =7511
511x3 111x4 + s = 711Diego A. Moran R. Modelos y Algoritmos de Optimizacion
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Aplicando Branch&Bound
Relajacion lineal nodo 2
Una iteracion del algoritmo dual entrega:
zLP + x1 + 75x4 +35s =
1495
+ x1 + 15x4 15s = 175+ x2 + s = 3
+ 25x4 + x5 +85s =
295
+ x3 + 15x4 115 s = 75Con esto z2LP =
1495 y x
2 =(
175 3
75 0
295
)
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Aplicando Branch&Bound
Explorando el nodo 2nodo 3
Puesto que x21 es fraccionaria, brancheamos en x1,examinando primero el hijo izquierdo, quellamaremos nodo 3, pues f 21