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DS
OF
T
AmintasAmintas
engenhariaengenharia
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DS
OF
T Resolução de Sistemas de Equações Lineares –
Métodos Diretos e Iterativos
Unidade 4
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Ementa:
4.1 - Introdução
4.2 – Método de Gauss
4.3 – Método da Pivotação
4.4 – Método de Jacobi
4.5 – Método de Jordan
4.6 – Método de Gauss Seidel
4.7 – Convergência dos métodos iterativos
4.8 – Refinamento da solução
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
4.1 – Introdução
Um sistema de equações lineares é definido como um conjunto “m” de equações que contêm “n” incógnitas, geralmente escrito na forma:
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
2211
22222121
11212111
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Este sistema de equações pode ser escrito em forma matricial como:
A.x=B
Onde A é uma matriz de ordem m x n, contendo os coeficientes das equações.
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
x é uma matriz n x 1, contendo as incógnitas. Esta matriz é escrita como:
nx
x
x
x2
1
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Finalmente, B é também uma matriz m x 1, e contém os termos independentes das equações.
mb
b
b
B2
1
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
O sistema de equações pode ser escrito como:
Ou então, em sua forma de matriz estendida:
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
nx
x
x
2
1
.
mb
b
b
2
1
mmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
C
2
1
21
22221
11211
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Já a matriz
é uma solução para o sistema de equações se, para cada xi=xi, tivermos uma identidade numérica para o sistema A.x=B.
nx
x
x
x2
1
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Definições:-Um sistema de equações algébricas lineares é dito homogêneo, se a matriz B do sistema é nula, isto é, os bj=0.
-Um sistema de equações algébricas lineares é dito compatível, quando apresenta uma solução, e dito incompatível, quando não apresenta solução.
(Neste curso, estudaremos os sistemas de equações compatíveis, que poderão se homogêneos ou não.)
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
-Quando o número de equações é igual ao número de incógnitas, o sistema de equações pode ser denotado por Snxn.
-Um sistema de equações é dito triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal forem nulos, ou seja:
nnnn
nn
nn
bxa
bxaxa
bxaxaxa
.
..
...
22222
11212111
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OF
TSistemas de Equações Lineares
-Um sistema de equações algébricas lineares é dito triangular inferior se todos os elementos acima da diagonal principal forem nulos, ou seja:
Os sistemas triangulares têm solução trivial se os elementos da diagonal principal forem diferentes de zero.
nnnnmm bxaxaxa
bxaxa
bxa
...
..
.
2211
2222121
1111
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OF
TSistemas de Equações Lineares
Transformações elementares:Transformações elementares são operações que podem ser feitas sobre o sistema de equações, sem que a solução seja alterada. As transformações elementares são:1.Trocar a ordem de duas equações do sistema;2.Multiplicar uma equação por uma constante não nula;3.Adicionar duas equações, substituindo uma delas pelo resultado.
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OF
TSistemas de Equações Lineares
Solução numérica para sistemas lineares:
Os métodos a serem mostrados neste curso são classificados como diretos e iterativos.
Os métodos diretos (Gauss, Pivotação e Jordan) determinam a solução em um número finito de passos.
Os métodos iterativos (Jacobi e Gauss Seidel) requerem em um número infinito de passos para fornecer a solução, devendo então existir critérios de interrupção.
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
4.2 – Método de Gauss
O método de Gauss consiste em, por meio de um número de (n-1) passos, transformar o sistema linear A.x=B em um sistema triangular equivalente, U.x=C.
Este método é mais usado em sistemas lineares de pequeno e médio portes (n=30 e n=50 respectivamente).
O algoritmo para resolução deste método é mostrado a seguir.
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Algoritmo Método de Gauss{Objetivo: Determinar a solução de um sistema de equações lineares.}Parâmetros de entrada: Matriz A, Vetor B, NParâmetros de saída: Matriz XLeia N, Matriz A, Vetor BInteiro: C, I, JReal: Mult, Vetor X[N]Para C ←1 até N-1 Passo 1 Faça Para I←C+1 até N Passo 1 Faça Mult ← -1 * Matriz A[I,C] / Matriz A[C,C] Vetor B[I] ← Vetor B[C] * Mult + Vetor B[I] Para J←C até N Passo 1 Faça Matriz A[I, J] ← Matriz A[C, J] * Mult + Matriz A[I, J] Fim Para Fim ParaFim ParaEscreva Matriz A, Vetor B
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OF
TSistemas de Equações Lineares
Para I←N até 1 Passo -1 Faça Vetor X[I] ← Vetor B[I] Para J←1 até N Passo 1 Faça Se I ≠ J Então Vetor X[I] ← Vetor X[I] –Matriz A[I,J]*Vetor X[J] Fim Se Fim Para Vetor X[I] ← Vetor X[I] / Matriz A [I, I]Fim ParaEscreva Vetor XFim Algoritmo
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Vejamos através de um exemplo como o método de Gauss é aplicado:
Exemplo: Dado o sistema de equações abaixo, determine a sua solução através do método de Gauss.
1.3.2
3.3.4.4
5.1.3.2
321
321
321
xxx
xxx
xxx
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Vamos escrever o sistema na forma de sua matriz ampliada (o algoritmo utiliza a Matriz A de coeficientes e o Vetor B de resultados):
Chamando de L1, L2 e L3 as linhas 1, 2 e 3, respectivamente, de C, escolhemos o elemento a11 como Pivô e calculamos os multiplicadores:
3
2
1
1
3
5
132
344
132
L
L
L
C
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Agora, substituímos os valores das linhas 2 e 3 de acordo com o seguinte esquema:
L1→L1
m21*L1+L2→L2
m31*L1+L3 →L3
12
2
22
4
11
3131
11
2121
a
am
a
am
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Temos agora a seguinte matriz resposta:
A partir desta matriz ampliada, repetimos o procedimento, utilizando como pivô agora o elemento a22=-2.
6
7
5
260
120
132
1C
32
)6(
22
3232
a
am
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Construindo as novas linhas:
L1→L1
L2→L2
m32*L2+L3 →L3
Teremos a nova matriz:
15
7
5
500
120
132
2C
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
O sistema original foi reduzido a um sistema de equações triangular equivalente dado por:
De modo trivial, chegamos à solução do problema:
x1=1, x2=2, x3=3
15.5
7.2
5.1.3.2
3
32
321
x
xx
xxx
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Problemas deste método:-Se houver algum elemento nulo na diagonal principal, não será possível encontrar a resposta (para isso, pode-se trocar as linhas de forma a corrigir este problema).-Valores de pivô muito próximos de 0 propagam erros de arredondamento muito facilmente, podendo até mesmo invalidar os resultados alcançados. O ideal é que os multiplicadores das linhas sejam todos menores que 1.
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
4.3 – Método da Pivotação
Este método é muito semelhante ao método de Gauss, somente exigindo que se troque as linhas de modo que o pivô seja sempre o maior valor em módulo na matriz.
Este método é pouco utilizado devido ao esforço computacional antes de cada cálculo, para que seja determinado o maior pivô.
O algoritmo deste método é mostrado a seguir:
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Algoritmo Método da Pivotação{Objetivo: Determinar a solução de um sistema de equações lineares.}Parâmetros de entrada: Matriz A, Vetor B, NParâmetros de saída: VetorXLeia NLeia Matriz ALeia Matriz BInteiro: C, C2, X, I, J, Linha_Maior, Coluna_MaiorReal: Mult, Vetor X[N], Temp, Maior_ValorLogico: Pode_Coluna[N]Para C ←1 até N-1 Passo 1 Faça Maior_Valor←0 Linha_Maior←0 Coluna_Maior←0 Para C2←C até N Passo 1 Faça Para J2←1 até N Passo 1 Faça Se (Matriz A[C2,J2] > Maior_Valor ) e Pode_Coluna[J2]Então Maior_Valor ← Matriz A[C2,J2]
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Linha_Maior←C2 Coluna_Maior←J2 Fim Se Fim Para Fim Para Pode_Coluna[Coluna_Maior] ← falso Para X ← 1 até N passo 1 Faça Temp←Matriz A[Linha_Maior,X] Matriz A[Linha_Maior,X] ←Matriz A[C,X] Matriz A[C,X]←Temp Fim Para Temp ← Vetor B[Linha_Maior] Vetor B[Linha_Maior] ←Vetor B[C] Vetor B[C] ←Temp Para I←C+1 até N Passo 1 Faça Mult ← -1 * Matriz A[I,Coluna_Maior] / Matriz A[C,Coluna_Maior] Vetor B[I] ← Vetor B[C] * Mult + Vetor B[I] Para J←1 até N Passo 1 Faça
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Matriz A[I, J] ← Matriz A[C, J] * Mult + Matriz A[I, J] Fim Para Fim ParaFim ParaEscreva Matriz A, Vetor BPara I←N até 1 Passo -1 Faça Para C = 1 até N Faça Se Vetor X[C]=0 e Matriz A[I,C] ≠ 0 Então X ← C Fim Se Fim Para Vetor X[X] ←Vetor B[I] Para J←1 até N Passo 1 Faça Vetor X[X] ←Vetor X[X] –Matriz A[I,J]*Vetor X[J] Fim Para Vetor X[I] ←Vetor X[I] / Matriz A [I, X]Fim ParaEscreva Vetor XFim Algoritmo
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Vejamos através de um exemplo como o método da Pivotação é aplicado:
Exemplo: Dado o sistema de equações abaixo, determine a sua solução através do método da Pivotação.
1.3.2
3.3.4.4
5.1.3.2
321
321
321
xxx
xxx
xxx
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Vamos escrever o sistema na forma de sua matriz ampliada (o algoritmo utiliza a Matriz A de coeficientes e o Vetor B de resultados):
Chamando de L1, L2 e L3 as linhas 1, 2 e 3, respectivamente, de C, escolhemos o elemento a21 ou a22 como Pivô (maior valor) e calculamos os multiplicadores:
3
2
1
1
3
5
132
344
132
L
L
L
C
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Utilizando a21 como pivô:
Agora, substituímos os valores das linhas 1 e 3 de acordo com o seguinte esquema:
m1*L2 + L1 →L1
L2→L2
m3*L2+L3 →L3
2
1
4
2
2
1
4
2
21
313
21
111
a
am
a
am
![Page 32: Cálculo Numérico - Unidade 4 - Sistemas de Equações Lineares](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032515/563db8fa550346aa9a98cfc4/html5/thumbnails/32.jpg)
DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Temos agora a seguinte matriz resposta (já colocando a linha 2 no lugar da linha 1):
A partir desta matriz ampliada, repetimos o procedimento, utilizando como pivô agora o elemento a32=-5.
252
73
2550
2110
344
C
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
5
1
5
1
32
222
a
am
Construindo as novas linhas:
L1→L1
m32*L3 +L2 →L2
L3 →L3
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Portanto, a matriz final é:
Mais uma vez, de modo trivial chegamos até a solução do problema:
x1=1, x2=2, x3=3
32
53
1002
550
344
C
![Page 35: Cálculo Numérico - Unidade 4 - Sistemas de Equações Lineares](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032515/563db8fa550346aa9a98cfc4/html5/thumbnails/35.jpg)
DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
4.4 – Método de Jordan
O método de Jordan é muito semelhante ao método de Gauss, tendo somente uma diferença:-O cálculo da pivotação leva em consideração todas as linhas da tabela, incluindo aquelas que já foram processadas. Assim, obtemos uma matriz diagonal ao final dos cálculos.
O algoritmo a seguir mostra os passos para a realização do método de Jordan.
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Algoritmo Método de Jordan{Objetivo: Determinar a solução de um sistema de equações lineares.}Parâmetros de entrada: Matriz A, Vetor B, NParâmetros de saída: Matriz XLeia N, Matriz A, Vetor BInteiro: C, I, JReal: Mult, Vetor X[N]Para C ←1 até N Passo 1 Faça Para I←1 até N Passo 1 Faça Se I ≠ C Então Mult ← -1 * Matriz A[I,C] / Matriz A[C,C] Vetor B[I] ← Vetor B[C] * Mult + Vetor B[I] Para J←1 até N Passo 1 Faça Matriz A[I, J] ← Matriz A[C, J] * Mult + Matriz A[I, J] Fim Para Fim Se Fim ParaFim Para
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Escreva Matriz A, Vetor BPara I←N até 1 Passo -1 Faça Vetor X[I] ← Vetor B[I] / Matriz A [I, I]Fim ParaEscreva Vetor XFim Algoritmo
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OF
TSistemas de Equações Lineares
Vejamos através de um exemplo como o método de Jordan é aplicado:
Exemplo: Dado o sistema de equações abaixo, determine a sua solução através do método de Jordan.
1.3.2
3.3.4.4
5.1.3.2
321
321
321
xxx
xxx
xxx
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Vamos escrever o sistema na forma de sua matriz ampliada (o algoritmo utiliza a Matriz A de coeficientes e o Vetor B de resultados):
Chamando de L1, L2 e L3 as linhas 1, 2 e 3, respectivamente, de C, escolhemos o elemento a11 como Pivô e calculamos os multiplicadores:
3
2
1
1
3
5
132
344
132
L
L
L
C
![Page 40: Cálculo Numérico - Unidade 4 - Sistemas de Equações Lineares](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032515/563db8fa550346aa9a98cfc4/html5/thumbnails/40.jpg)
DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Agora, substituímos os valores das linhas 2 e 3 de acordo com o seguinte esquema:
L1→L1
m21*L1+L2→L2
m31*L1+L3 →L3
12
2
22
4
11
3131
11
2121
a
am
a
am
![Page 41: Cálculo Numérico - Unidade 4 - Sistemas de Equações Lineares](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032515/563db8fa550346aa9a98cfc4/html5/thumbnails/41.jpg)
DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Temos agora a seguinte matriz resposta:
A partir desta matriz ampliada, repetimos o procedimento, utilizando como pivô agora o elemento a22=-2.
6
7
5
260
120
132
1C
32
)6(
2
3
2
3
22
323
22
121
a
am
a
am
![Page 42: Cálculo Numérico - Unidade 4 - Sistemas de Equações Lineares](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032515/563db8fa550346aa9a98cfc4/html5/thumbnails/42.jpg)
DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Construindo as novas linhas:
m1*L2+L1→L1
L2→L2
m3*L2+L3 →L3
Teremos a nova matriz:
15
72
11
500
1202
502
2C
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Agora, repetimos o procedimento, utilizando como pivô agora o elemento a33=5.
5
1
5
)1(
2
1
52
5
33
232
33
131
a
am
a
am
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Construindo novamente as linhas:
m1*L3+L1→L1
m2*L3+L2→L2
L3 →L3
Teremos a nova matriz:
15
4
2
500
020
002
2C
![Page 45: Cálculo Numérico - Unidade 4 - Sistemas de Equações Lineares](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032515/563db8fa550346aa9a98cfc4/html5/thumbnails/45.jpg)
DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
O sistema original foi reduzido a um sistema de equações triangular equivalente dado por:
De modo trivial, chegamos à solução do problema:
x1=1, x2=2, x3=3
15.5
4.2
2.2
3
2
1
x
x
x
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
4.5 – Método de Jacobi
O Método de Jacobi é um procedimento iterativo para a resolução de sistemas lineares. Tem a vantagem de ser mais simples de se implementar no computador do que outros métodos, e está menos sujeito ao acúmulo de erros de arredondamento. Seu grande defeito, no entanto, é não funcionar em todos os casos.
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Suponha um sistema linear com incógnitas x1, ..., xn da seguinte forma:
Suponha também que todos os termos aii sejam diferentes de zero (i = 1, ... , n). Se não for o caso, isso as vezes pode ser resolvido com uma troca na ordem das equações.
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
2211
22222121
11212111
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Então a solução desse sistema satisfaz as seguintes equações:
1111
2121222
2
1212111
1
..1
..1
..1
nnnnnnn
n
nn
nn
xaxaba
x
xaxaba
x
xaxaba
x
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
O Método de Jacobi consiste em estimar os valores iniciais para x1
(0), x2(0), ..., xn
(0), substituir esses valores no lado direito das equações e obter daí novos valores x1
(1), x2
(1), ..., xn(1).
Em seguida, repetimos o processo e colocamos esses novos valores nas equações para obter x1
(2), x2(2), ..., xn
(2), etc.
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Desta forma, temos:
)(1
)(1
)1(
)(2
)(212
22
)1(
)(1
)(121
11
)1(
11
12
21
..1
..1
..1
knn
knn
nn
k
kn
kk
kn
kk
nn
n
n
xaxaba
x
xaxaba
x
xaxaba
x
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Espera-se que com as iterações, os valores dos xi convirjam para os valores verdadeiros. Podemos então monitorar a diferença entre os valores das iterações para calcularmos o erro e interrompermos o processo quando o erro for satisfatório.
Entretanto, nem sempre o método converge. Na unidade 4.7 verificaremos alguns critérios de convergência.
A seguir é mostrado o algoritmo do método de Jacobi.
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Algoritmo Método de Jacobi{Objetivo: Determinar a solução de um sistema de equações lineares através do método iterativo de Jacobi.}Parâmetros de entrada: Matriz A, Vetor B, Vetor X, N, ErroParâmetros de saída: Vetor XInteiro: I, JReal: NovoVetorX[N], Erros[N]Lógico: Pode_SairLeia N, ErroLeia Matriz A, Vetor B, Vetor XPode_Sair ← FalsoRepita Para I ← 1 até N Passo 1 Faça NovoVetorX[I]=Vetor B[I] Para J ← 1 até N Passo 1 Faça Se I ≠ J Então NovoVetorX[I] ← NovoVetorX[I] - Matriz A[I,J]*Vetor X[I] Fim Se
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Fim Para NovoVetorX[I] ← NovoVetorX[I] / Matriz A[I,I] Erros[I] ← NovoVetorX[I]-Vetor X[I] Vetor X[I] ←NovoVetorX[I] Fim Para Pode_Sair ← Verdadeiro Para I ← 1 até N Passo 1 Faça Se Erros[I] > Erro Então Pode_Sair ← Falso Fim Se Fim Para Se Pode_Sair Então Interrompa Fim SeFim RepitaEscreva Vetor XFim Algoritmo
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Exemplo:
Dado o sistema de equações lineares abaixo, determine a sua solução de acordo com o método de Jacobi, considerando uma tolerância ε ≤ 10-2.
A solução analítica é x1=4/3 e x2=7/3.
3.2
1.2
21
21
xx
xx
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
De acordo com Jacobi, temos que:
Tomando uma solução inicial arbitrária x1=0 e x2=0, teremos a seguinte tabela de resultados:
)(1
)1(
)(2
)1(
32
1
1.2
1
2
1
kk
kk
xx
xx
![Page 56: Cálculo Numérico - Unidade 4 - Sistemas de Equações Lineares](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032515/563db8fa550346aa9a98cfc4/html5/thumbnails/56.jpg)
DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
K x1 x2 E(x1) E(x2)
0 0 01 0,5 1,5 0,5 1,52 1,25 1,75 0,75 0,253 1,375 2,125 0,125 0,3754 1,5625 2,1875 0,1875 0,06255 1,59375 2,28125 0,03125 0,093756 1,640625 2,296875 0,046875 0,0156257 1,648438 2,320313 0,007813 0,0234388 1,660156 2,324219 0,011719 0,0039069 1,662109 2,330078 0,001953 0,005859
![Page 57: Cálculo Numérico - Unidade 4 - Sistemas de Equações Lineares](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032515/563db8fa550346aa9a98cfc4/html5/thumbnails/57.jpg)
DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Portanto, o resultado aproximado para a tolerância solicitada é x1=1,66 e x2=2,33.
Outro método para realizar o teste de parada seria realizar k iterações.
![Page 58: Cálculo Numérico - Unidade 4 - Sistemas de Equações Lineares](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032515/563db8fa550346aa9a98cfc4/html5/thumbnails/58.jpg)
DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
4.6 – Método de Gauss Seidel
O método de Gauss Seidel é praticamente o mesmo do Jacobi. A única diferença é que os valores já calculados são utilizados para refinar os demais cálculos em cada iteração, ou seja:
![Page 59: Cálculo Numérico - Unidade 4 - Sistemas de Equações Lineares](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032515/563db8fa550346aa9a98cfc4/html5/thumbnails/59.jpg)
DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
)1(1
)1(1
)1(
)(2
)1(212
22
)1(
)(1
)(121
11
)1(
11
12
21
..1
..1
..1
knn
knn
nn
k
kn
kk
kn
kk
nn
n
n
xaxaba
x
xaxaba
x
xaxaba
x
![Page 60: Cálculo Numérico - Unidade 4 - Sistemas de Equações Lineares](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032515/563db8fa550346aa9a98cfc4/html5/thumbnails/60.jpg)
DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Algoritmo Método de Gauss Seidel{Objetivo: Determinar a solução de um sistema de equações lineares através do método iterativo de Gauss Seidel.}Parâmetros de entrada: Matriz A, Vetor B, Vetor X, N, ErroParâmetros de saída: Vetor XInteiro: I, JReal: NovoVetorX[N], Erros[N]Lógico: Pode_SairLeia N, ErroLeia Matriz A, Vetor B, Vetor XPode_Sair ← FalsoRepita Para I ← 1 até N Passo 1 Faça NovoVetorX[I]=Vetor B[I] Para J ← 1 até N Passo 1 Faça Se I ≠ J Então NovoVetorX[I] ← NovoVetorX[I] - Matriz A[I,J]*NovoVetor X[I] Fim Se
![Page 61: Cálculo Numérico - Unidade 4 - Sistemas de Equações Lineares](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032515/563db8fa550346aa9a98cfc4/html5/thumbnails/61.jpg)
DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Fim Para NovoVetorX[I] ← NovoVetorX[I] / Matriz A[I,I] Erros[I] ← NovoVetorX[I]-Vetor X[I] Vetor X[I] ← NovoVetorX[I] Fim Para Pode_Sair ← Verdadeiro Para I ← 1 até N Passo 1 Faça Se Erros[I] > Erro Então Pode_Sair ← Falso Fim Se Fim Para Se Pode_Sair Então Interrompa Fim SeFim RepitaEscreva Vetor XFim Algoritmo
![Page 62: Cálculo Numérico - Unidade 4 - Sistemas de Equações Lineares](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032515/563db8fa550346aa9a98cfc4/html5/thumbnails/62.jpg)
DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Exemplo:
Dado o sistema de equações lineares abaixo, determine a sua solução de acordo com o método de Gauss Seidel, considerando uma tolerância ε ≤ 10-2
3.2
1.2
21
21
xx
xx
![Page 63: Cálculo Numérico - Unidade 4 - Sistemas de Equações Lineares](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032515/563db8fa550346aa9a98cfc4/html5/thumbnails/63.jpg)
DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
De acordo com Gauss Seidel, temos que:
Tomando uma solução inicial arbitrária x1=0 e x2=0, teremos a seguinte tabela de resultados:
)1(1
)1(
)(2
)1(
32
1
1.2
1
2
1
kk
kk
xx
xx
![Page 64: Cálculo Numérico - Unidade 4 - Sistemas de Equações Lineares](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032515/563db8fa550346aa9a98cfc4/html5/thumbnails/64.jpg)
DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
K x1 x2 E(x1) E(x2)
0 0 01 0,5 1,75 0,5 1,752 1,375 2,1875 0,875 0,43753 1,59375 2,296875 0,21875 0,1093754 1,648438 2,324219 0,054688 0,0273445 1,662109 2,331055 0,013672 0,0068366 1,665527 2,332764 0,003418 0,001709
![Page 65: Cálculo Numérico - Unidade 4 - Sistemas de Equações Lineares](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032515/563db8fa550346aa9a98cfc4/html5/thumbnails/65.jpg)
DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Portanto, o resultado aproximado para a tolerância solicitada é x1=1,66 e x2=2,33.
Outro método para realizar o teste de parada seria após k tentativas.
![Page 66: Cálculo Numérico - Unidade 4 - Sistemas de Equações Lineares](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032515/563db8fa550346aa9a98cfc4/html5/thumbnails/66.jpg)
DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
4.7 – Convergência dos métodos iterativos
Como foi dito anteriormente, nem sempre os métodos de Jacobi e Gauss Seidel convergem para a resposta. Infelizmente não há um meio de se ter certeza absoluta da convergência em todos os casos.
Para determinados casos entretanto, podemos garantir a convergência se determinadas regras forem satisfeitas.
![Page 67: Cálculo Numérico - Unidade 4 - Sistemas de Equações Lineares](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032515/563db8fa550346aa9a98cfc4/html5/thumbnails/67.jpg)
DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Critério das Linhas:
É condição suficiente para que os métodos iterativos mostrados aqui convirjam se o coeficiente da diagonal principal de cada linha for maior em módulo que a soma de todos os demais coeficientes. Ou seja:
Para i = 1, 2, 3, ..., n.
1
n
jij
ijii aa
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Critério das Colunas:
É condição suficiente para que os métodos iterativos mostrados aqui convirjam se o coeficiente da diagonal principal de cada coluna for maior em módulo que a soma de todos os demais coeficientes. Ou seja:
Para j = 1, 2, 3, ..., n.
1
n
jii
ijjj aa
![Page 69: Cálculo Numérico - Unidade 4 - Sistemas de Equações Lineares](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032515/563db8fa550346aa9a98cfc4/html5/thumbnails/69.jpg)
DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Para garantir a convergência, basta que apenas um dos critérios seja satisfeito.
Entretanto, o contrário não pode ser dito. Se um sistema de equações não satisfizer nenhum dos critérios não podemos garantir que ele não irá convergir.
Muitas vezes, uma ordenação criteriosa das linhas e colunas de um sistema de equações pode levá-lo a satisfazer um dos critérios.
![Page 70: Cálculo Numérico - Unidade 4 - Sistemas de Equações Lineares](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032515/563db8fa550346aa9a98cfc4/html5/thumbnails/70.jpg)
DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
4.8 – Refinamento da solução
Quando se opera com números exatos, não se cometem erros de arredondamento no decorrer dos cálculos e transformações elementares. Entretanto, na maioria das vezes, deve-se contentar com cálculos aproximados, cometendo assim erros de arredondamento, que podem se propagar.
Para evitar isso, utilizam-se técnicas especiais para refinar a solução e minimizar a propagação de erros.
![Page 71: Cálculo Numérico - Unidade 4 - Sistemas de Equações Lineares](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032515/563db8fa550346aa9a98cfc4/html5/thumbnails/71.jpg)
DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Digamos que temos uma solução para um sistema de equações A.x=b, denotada por x(0). A solução melhorada será encontrada fazendo-se:
Onde δ(0) é uma parcela de correção para a solução.Para encontrarmos os valores de δ(0) fazemos:
A.δ(0) =r(0)
)0()0()1(xx
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Nesta equação, δ(0) é uma matriz de incógnitas, A é a matriz de coeficientes e r(0) é uma matriz coluna de resíduos, calculada de acordo com:
A.x(0) =r(0) Desta forma, pode-se fazer sucessivos refinamentos até que se alcance a precisão desejada.
![Page 73: Cálculo Numérico - Unidade 4 - Sistemas de Equações Lineares](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032515/563db8fa550346aa9a98cfc4/html5/thumbnails/73.jpg)
DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Exemplo:
O sistema de equações
Fornece as seguintes soluções quando resolvido pelo método de Gauss, retendo 2 casas decimais:
3,106.5,21.2,13.0,81.0,21
8,80.4,11.5,23.0,84.3,52
7,49.1,45.5,11.8,8.5,24
4,16.0,11.3,9.3.7,8
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
![Page 74: Cálculo Numérico - Unidade 4 - Sistemas de Equações Lineares](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032515/563db8fa550346aa9a98cfc4/html5/thumbnails/74.jpg)
DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
x=[0,97 1,98 -0,97 1,00]T
Calculando os resíduos:
r=b-A.x
00,1
97,0
98,1
97,0
.
5,212,130,810,21
4,115,230,843,52
1,455,118,85,24
0,113,90,37,8
3,106
8,80
7,49
4,16
r
594,0
594,0
214,0
042,0
r
![Page 75: Cálculo Numérico - Unidade 4 - Sistemas de Equações Lineares](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032515/563db8fa550346aa9a98cfc4/html5/thumbnails/75.jpg)
DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Encontrando os valores para o refinamento:
A.δ(0) =r(0)
Cuja resposta é:
594,0
594,0
214,0
042,0
.
5,212,130,810,21
4,115,230,843,52
1,455,118,85,24
0,113,90,37,8
2
2
2
1
0000,0
0294,0
0195,0
0295,0
)0(
![Page 76: Cálculo Numérico - Unidade 4 - Sistemas de Equações Lineares](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032515/563db8fa550346aa9a98cfc4/html5/thumbnails/76.jpg)
DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Corrigindo x(0), temos:
Cujo resíduo é:
000,1
999,0
000,2
000,1
0000,0
0294,0
0195,0
0295,0
00,1
97,0
98,1
97,0
)1(x
013,0
024,0
011,0
009,0
)1(r
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DS
OF
TSistemas de Equações Lineares
Recalculando δ(0) temos:
δ(1) = [-0,0002 -0,0002 -0,0007 0,0000]T
Portanto, o valor melhorado de x será:
x(2)=[1,000 2,000 -1,000 1,000]T
Cujos resíduos são:
r(2)=[0 0 0 0]T
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