Théorème des restes
chinois
Citation
<< Une oeuvre où il y a des théories est comme un objet sur
lequel on laisse la marque du prix >>
Marcel Proust
Organisation
Dans un premier temps, nous présenterons la résolution mathématique du problème des congruences simultanées avec des différents Méthodes , d’abord dans la situation la plus simple où les modules sont premiers entre eux deux à deux, puis dans un cadre général.
Dans un seconde temps, nous établirons une résolution informatique du problème des congruences simultanées dans des différents langages (C++, JAVA, JAVA SCRIPT).
Sommaire
PARTIE MATHEMATIQUE
PARTIE INFORMATIQUE
I) BREF INTRODUCTION
II) DEMONSTRATION DU
THEOREME
III) QUELQUES APPLICATIONS
IV) ASTUCES ET METHODES
V) COMPARAISON DES DIFFERENTS METHODES
VI) CAS PARTICULIER
I) Base de Java
II) Algorithme
III) Langage Java
IV)Exécution Des Exemple à partir du Langage Java
V) Exécution Des Exemple à partir du Langage C++
VI) Exécution Des Exemple à partir du Langage JavaScript
I II
I) Bref Introduction
Par son histoire et sa religion, la chine a toujours mis l’accent sur l’astronomie. Ainsi, dans le but de prévoir des dates ou événements astronomiques, les astronomes chinois ont découverts le théorème des restes chinois. D’après certains textes, on peut évaluer l’apparition du théorème au 3ème siècle.
Le théorème a évolué au cours du temps sous diverses formes et avec l’apparition de nouveaux, dérivés du théorème initial.
Ce théorème, permettant de calculer des systèmes de congruences
Rappelons le Théorème de reste chinois
Théorème : Prenons m1, ..., mn des entiers supérieurs à 2 deux à deux premiers entre eux, et a1,...,an des entiers. Le système d'équations :
x=a1 mod m1 ... x=an mod mn
admet une unique solution modulo M=m1×...×mn donnée par la formule : x=a1M1y1+...+anMnyn mod Moù Mi=M/mi, et yi=Mi
-1 mod mi pour i compris entre 1 et n.
II)Démonstration du Théorème Prouvons d’abord l’existence d’une solution.
Pour tout 1< i < n, on pose Mi = M/mi
On pose x = a1*M1*x1 + a2*M2* x2 + . . + an*Mn*xn
Montrons que x constitue une solution du système de congruences
Prouvons ensuite l’unicité de la solution modulo M.
Soient x et x′ deux solutions du système de congruences
Montrons que x ≡ x′ mod M.
Quelques Applications
SYSTEME PROBLEME
X ≡ 3 mod 11
X ≡ 6 mod 8
X ≡ -1 mod 15
Combien l'armée de Han Xing comporte-t-elle de soldats si, rangés par 3 colonnes, il reste deux soldats, rangés par 5 colonnes, il reste trois soldats et, rangés par 7 colonnes, il reste deux soldats ?
III) Les Différents Méthodes Soit le Système :
X ≡ 3 mod 11X ≡ 6 mod 8X ≡ -1 mod 15
Pour résoudre ce système utilisons les Méthodes A et B
Application direct
X ≡ 1 mod 11
X ≡ 0 mod 8
X ≡ 0 mod 15
Avec l’identité de Bézout
On obtient donc X1 =-120X ≡ 0 mod 11
X ≡ 1 mod 8
X ≡ 0 mod 15
Avec x2 = -495
X ≡ 0mod 11
X ≡ 0 mod 8
X ≡ 1 mod 15
AVEC X 3= 616
Finalement on obtient
X = 3 x1 +6 x2 –x3 = - 3946
On rajoute a – 3946 des multiples de M= 8*11*15 = 1320
D’où : X’ = - 3946+
3*1320 =
Première Méthode : A
14
Seconde Méthode :B
X ≡ 3mod 11
X ≡ 6mod 8
En Cherchant T et U tels que :
3+11T= 6+8U
OU
11T-8U = 3
On peut résoudre ceci par l algorithme d’Euclide et par Bézout mais ici, on
constate que T=U= 1 est une solution
Par le même procède on obtient donc la solution recherche
Avec X=
14 mod 1320
Pour résoudre le problème utilisons la méthode c Combien l'armée de Han Xing
comporte-t-elle de soldats si, rangés par 3 colonnes, il reste deux soldats, rangés par 5 colonnes, il reste trois soldats et, rangés par 7 colonnes, il reste deux soldats ?
Le problème des soldats se réduit donc a :
X=2 mod 3X=3 mod 5X=2mod 7
Application direct
ZERO METHODE
Règle : « En comptant par trois, il en reste deux » : poser 140. « En comptant par cinq, il en reste trois » : poser 63. « En comptant par sept, il en reste deux » : poser 30.
Faire la somme de ces trois nombres, obtenir 233. Soustraire 210 de ce total, d’où la réponse.
Reponse : 23
En général, pour chaque unité restante d’un décompte par trois, poser 70 ; pour chaque unité restante d’un décompte par 5, poser 21 ; pour chaque unité restante d’un décompte par 7, poser 15. Si [la somme ainsi obtenue] vaut 106 ou plus, ôter 105 pour trouver la réponse
TROISIEME METHODE : C
On a donc M=m1×...×mn D’ou M=3*5*7=105 Mi = M/mi
M1=105/3 =35 M2= 105/5 =21 M3 =105/7=15
On sait que Yi Mi ≡ 1 mod mi ou
Yi ≡ Mi -1 mod mi on a donc
d’après Euclide étendue : Y1=U1=2 , Y2=U2=1 , Y3=U3=1
Finalement on obtient donc :
X=(a1M1Y1 + a2M2Y2 +
a3M3Y3) modulo 105
X=(2*35*2+ 3*21*1+ 2*15*1) modulo 105
X= 233 modulo 105
X = 23 mod 105
Parmi ces 3 Méthodes laquelle est la plus fiable
Quelles chemin faut’il
prendre ?
COMPARAISON DES DIFFERENTS METHODES A SAVOIR 3 méthodes
Méthode: C
Méthode :AMéthode : B
Cas particulier
Si les Mi ne sont pas premier entre eux ???????
Soit l’exemple suivant :
X=8 mod 12 X= 0 mod 4X=11 mod 15 X= 2 mod 3
X=1 mod 5
Algorithme
PROGRAMMER EN JAVA
PROGRAMMER C++
Programmer en Java Script
Clôture