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Ingeniería CivilFacultad de Ciencias
Físicas y Matemáticas
Universidad de Chile
Prof. Fabian Rojas B, Ph.D.
Primavera 2015
CI5201: Diseño Sísmico de Estructuras
Amplificación Dinámica de Suelo
Semana 4 - 15/09
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Hoy
2
-Propagación de Ondas a través de diferentescapas de Suelo
-Ecuación de Movimiento en una dimensión (1-D)
- Amplificación Dinámica de Suelos
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Propagación de Ondas P
3
Ref.: Class Notes, Geotechnical Earthquake Engineering, Adrian Rodriguez-Marek, Univ. of Washington, 2009
Onda Incidente InclinadaOnda Incidente Vertical
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Propagación de Ondas S
4
v
Onda Indicidente InclinadaOnda Incidente Vertical
Ref.: Class Notes, Geotechnical Earthquake Engineering, Adrian Rodriguez-Marek, Univ. of Washington, 2009
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Propagación de Ondas S
5
h
Ref.: Class Notes, Geotechnical Earthquake Engineering, Adrian Rodriguez-Marek, Univ. of Washington, 2009
Onda Indicidente InclinadaOnda Incidente Vertical
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Propagación de Ondas S
6
h
Ref.: Geotechnical Earthquake Engineering, Steven Kramer, Prentice Hall, 1996
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Propagación de Ondas S
7
h
Ref.: Geotechnical Earthquake Engineering, Steven Kramer, Prentice Hall, 1996
Ref.: Class Notes, Geotechnical Earthquake Engineering, Adrian Rodriguez-Marek, Univ. of Washington, 2009
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Ec. de Mov . de una Onda en 1-D
8
Ref.: Geotechnical Earthquake Engineering, Steven Kramer, Prentice Hall, 1996
Desplazamiento de la Partícula
La solución de la Ec. dif. parcial de 2do orden
Velocidad de Propagación de la onda:
Si el sistema es sometida a una carga
armonica permanente:
Largo de Onda (Wavelength)
Numero de Onda
y la onda solo se propaga en la direcciónpositiva se obtiene:
Material sin Amortiguamiento
O en forma compleja:
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Ec. de Mov . de una Onda en 1-D
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Ref.: Geotechnical Earthquake Engineering, Steven Kramer, Prentice Hall, 1996
La relación Deformación-Tensión para Kelvin-Voigt corte en un solido
La energia disipada en un solo ciclo
Una deformación de corte armónica permanente:
se obtiene:
Material con Amortiguamiento
lo que indica que la la energía disipada es proporcional a la frecuencia de
la carga
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Ec. de Mov . de una Onda en 1-D
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Ref.: Geotechnical Earthquake Engineering, Steven Kramer, Prentice Hall, 1996
Y el peak de energía es:
y remplazando en esta ec. lo calculado anteriormente se obtiene:
Material con Amortiguamiento
y si asumimos una solución para ondas armónicas:
con lo que el amortiguamiento es:
donde es la viscosidad equivalente
y usando esto podemos escribir la Ec. de Mov. como
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Ec. de Mov . de una Onda en 1-D
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Ref.: Geotechnical Earthquake Engineering, Steven Kramer, Prentice Hall, 1996
y sustituyendo la solución en la ecuación de ondas se obtiene:
donde A y B son constantes dependientes de las condiciones de borde y
Material con Amortiguamiento
es el numero de ondas complejo y puede ser escrito como
o
donde
con lo que la solución queda:
es el módulo de corte complejoo
donde:
Nota: la raíz positiva de k1 y la raíz negativa de k2 tienen
significado físico
Si
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Efecto de Sitio
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Ref.: Speedy Techniques to Evaluate Seismic Site Effects in Particular Geomorphologic Conditions: Faults, Cavities, Landslides and Topographic Irregularities
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Efecto de Sitio
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Amplificación Dinámica de Suelos
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Ref.: Geotechnical Earthquake Engineering, Steven Kramer, Prentice Hall, 1996
Ref.: http://eqseis.geosc.psu.edu/~cammon/HTML/Classes/IntroQuakes/Notes/earthquake_effects.html
Movimiento en la Roca ( bedrock motion): es el
movimiento que ocurre en la roca conectada en la
parte inferior del deposito del suelo
Movimiento en la Roca superficial
( rock outcropping motion): es elmovimiento que ocurre en la roca
que llega a la superficie
Movimiento Libre en la Superficie
(Free surface motion): es el
movimiento que ocurre en la parte
superior del deposito de suelo
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Amplificación Dinámica de Suelos
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Ref.: Geotechnical Earthquake Engineering, Steven Kramer, Prentice Hall, 1996
Capa de Suelo sin Amortiguamiento sobre Roca Rígida
La ecuación de Movimiento es:
y
Asumiendo un movimiento armónico en la base , la respuesta es de la
forma:
A Z = 0
se obtiene:
donde
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Amplificación Dinámica de Suelos
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Ref.: Geotechnical Earthquake Engineering, Steven Kramer, Prentice Hall, 1996
Capa de Suelo sin Amortiguamiento sobre Roca Rígida
la ecuación es satisfecha para la solución no trivial:
que describe la onda permanente
Y se puede definir la función de transferencia como:
y su modulo
A = B
Amplitud
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Amplificación Dinámica de Suelos
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Ref.: Geotechnical Earthquake Engineering, Steven Kramer, Prentice Hall, 1996
Capa de Suelo con Amortiguamiento sobre Roca Rígida
La ecuación de Movimiento es:
Asumiendo un movimiento armónico en la base , la respuesta es de la
forma:
donde
numero de onda complejo
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Amplificación Dinámica de Suelos
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Ref.: Geotechnical Earthquake Engineering, Steven Kramer, Prentice Hall, 1996
Capa de Suelo con Amortiguamiento sobre Roca Rigida
Se puede ver que la amplificación alcanzara un máximo
la función de transferencia se puede simplificar a:
y si usamos para valores de “y” pequeños, se tiene:
y si usamos la identidad
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Amplificación Dinámica de Suelos
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Ref.: Geotechnical Earthquake Engineering, Steven Kramer, Prentice Hall, 1996
Capa de Suelo con Amortiguamiento sobre Roca Rigida
Se puede observar que la función de amplificación alcanzara un máximo
para
lo que entrega un periodo natural de:
con lo que la frecuencia natural es:
y el periodo:
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Ref.: Geotechnical Earthquake Engineering, Steven Kramer, Prentice Hall, 1996
Capa de Suelo con Amortiguamiento sobre Roca Rígida
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Amplificación Dinámica de Suelos
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Capa de Suelo sin Amortiguamiento sobre Roca Flexible
La ecuación de Movimiento es:
con lo que tenemos dos ecuaciones de movimiento:
y como se estudio anteriormente la solución es de la forma
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Capa de Suelo sin Amortiguamiento sobre Roca Flexible
Ahora considerando las condiciones de borde
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Capa de Suelo sin Amortiguamiento sobre Roca Flexible
Condiciones de borde
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Capa de Suelo sin Amortiguamiento sobre Roca Flexible
Si sumamos las ecuaciones (*) y (**) y ademas definimos la constante
Razón de Impedancia ( )
con lo que se obtiene:
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Capa de Suelo sin Amortiguamiento sobre Roca Flexible
y el período del estrato del suelo queda
Y la Función de Amplificación queda definida como:
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Capa de Suelo con Amortiguamiento sobre Roca Flexible
La ecuación de Movimiento es:
como se estudio anteriormente la solución es de la forma
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Usando las condiciones de borde, para la superficie libre queda:
y a Zr = 0 (*)
(**)
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Capa de Suelo con Amortiguamiento sobre Roca Flexible
y si definimos la Razón de Impedancia Complejo como
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donde
sustituyendo las Ec. de los desplazamiento en (*)
y en (**)
o
y las velocidades de onda compleja
resolviendo las ecuaciones enconjunto se obtiene:
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Capa de Suelo con Amortiguamiento sobre Roca Flexible
la función de amplificación queda
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y se puede reescribir como:
y si asumimos que tenemos una onda viajando verticalmente con
Amplitud A, se tiene que la Amplitud del Suelo en la superficie libre sera
2As, con lo que obtenemos:
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Capa de Suelo con Amortiguamiento sobre Roca Flexible
igual a la solución obtenida anteriormente, y se observa que no se
tendrá resonancia, porque el denominador nunca será igual a cero.
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Y si usamos un amortiguamiento igual a zero se obtiene:
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Ref.: Geotechnical Earthquake Engineering, Steven Kramer, Prentice Hall, 1996
Como se estudio anteriormente
la solución para cada capa es de
la forma:
Y l a t e n s i ó n d e c o r t e q u e d a
representado por:
Con esto los desplazamiento en el borde entre la capa m y m+1, paralas dos capas son:
con lo cual se obtiene la condición de borde:
Multiples Capas de Suelo con Amortiguamiento sobre Roca Flexible
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Considerando que la tensión de corte tiene que ser continua, se tiene:
Y las tensiones de corte en la intersección de las capas m y m+1 son:
Sumando y restando las ecuaciones de compatibilidad de
desplazamientos y tensiones se tiene:
Multiples Capas de Suelo con Amortiguamiento sobre Roca Flexible
donde:
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Multiples Capas de Suelo con Amortiguamiento sobre Roca Flexible
la función de amplificación
puede se determinada
iterativamente a partir de:
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Preguntas ?