Lista de Trigonometria – Arcos e Ângulos
1. Complete a tabela.
GRAUS RADIANOS GRAUS RADIANOS
0º 180º
30º 210º
45º 225º
60º 240º
90º 270º
120º 300º
135º 315º
150º 360º
2. Expresse em graus: a) rad
9
10
b) rad
8
11
c) rad
9
d) rad
20
e)
rad3
4
3. Determine em radianos a medida do ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 4 horas.
4. (UFRGS) Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arco de 12
radianos, que arco ponteiro maior percorre? 5. (UNICAMP) Um relógio foi acertado exatamente ao meio-dia. Determine as horas e os minutos que estará marcando esse relógio após o ponteiro menor ter percorrido um ângulo de 42º. 6. (CEFET–MG) Qual a medida, em graus, do menor ângulo central formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 9h 30min? 7. (PUC) Um relógio foi acertado exatamente às 6h. Que horas o relógio estará marcando após o ponteiro menor (das horas) ter percorrido um ângulo de 72º? 8. (CESGRANRIO) Um mecanismo liga o velocímetro (marcador de velocidade) a uma das rodas
dianteiras de um automóvel, de tal maneira que, quando essa roda gira rad.72 , uma
engrenagem que compõe o velocímetro gira rad.2 . Quando a roda gira rad.
5
18
, essa
COLÉGIO SHALOM
Ensino MÉDIO – 2º ANO
Profº:RONALDO VILAS BOAS COSTA
Disciplina: MATEMÁTICA
Aluno (a): __________________________. No. _____
TRABALHO DE
RECUPERAÇÃO
VALOR 12,0
INSTRUÇÕES:
1. LEIA com atenção cada questão;
2. PROCURE compreender o que está sendo pedido;
3. ELABORE respostas completas;
FAÇA uma letra legível;
Respostas a lápis não terão direito à revisão;
Não é permitido o uso de corretivo e nem rasuras.
engrenagem gira quantos graus? 9. Um engenheiro civil precisa fazer uma planilha de custos para uma
obra e um dos itens a ser resolvido é quantos metros de cerca de
arame farpado devem ser comprados para cercar o terreno.
Sabe-se que o terreno tem a geometria da figura. O preço por
metro de cerca é de R$ 3,00. Quanto será gasto nessa cerca?
Dados: 4,12
, 7,13
, 2,25
e 3 .
10. Determine.
a) o comprimento de um arco de circunferência (em cm), sabendo que ela tem 12cm de raio e o
ângulo central correspondente mede 20°.
b) o ângulo central (em radianos) correspondente a um arco de 15cm de comprimento, sabendo
que ela tem raio de 20cm.
c) a medida do raio de uma circunferência (em cm), sabendo que nela um ângulo central de 15°
corresponde a um arco de 30cm.
11. A roda dianteira de uma bicicleta tem 40cm de raio. Quantos metros ela percorre ao dar 5.000
voltas? Quantas voltas ela deve dar para percorrer 9420m?
12. As rodas de um automóvel têm 70cm de diâmetro. Determine o número de voltas efetuadas
pelas rodas quando o automóvel percorre 9.891 km. Adote 14,3 .
13. Obtenha as menores determinações não negativas dos arcos.
a) 1300º b) 1440º c) 170º d) rad
2
11
e) rad
5
43
f) –
1200º
14. Dê as expressões gerais dos arcos côngruos a:
a) 1700º b) – 700º c) rad
4
49
d) rad.11 e)
rad8
33
15. Marque um “X” nos pares que representam arcos côngruos.
( ) 740º e 1460º ( ) 400º e 940º ( ) rad
3
38
e rad
3
26
( ) rad
5
74
e rad
5
19
16. Os arcos da forma º30.)1(º180. kk , Zk , têm extremidades em que quadrantes?
17. Determine os valores de:
a) º180º902º540cos3 tgseny b) º720secº630cos2º9004 seny
18. Determine os valores máximos e mínimos das expressões:
a) 3
1cos4
xy
b) 5
52 senxy
c) 23 2 xseny
19. Que valores de m satisfarão a ambas as condições: msenx 3 e 1cos mx .
20. Determine o valor positivo de m que satisfaz simultaneamente às condições: 12sec mx e 42 mtgx
.
21. Sendo x um arco do 2º quadrante e 5
3senx
, determine: a) xcos b) tgx c) xsec
22. (U. F. VIÇOSA-MG) Sabendo que 3
1senx
e
x
2 , o valor de 1cot
secseccos
gx
xx
é:
( ) 4
23
( ) 3
22
( ) 4
23
( ) 3
22
( ) 3
23. (F. M. Triângulo Mineiro – MG) Se x0 e 3cos3 senxx , pode-se afirmar que:
( ) 1tgx ( ) 2
11 tgx
( ) 2
1
2
1 tgx
( )
12
1 tgx
24. Relacione.
(a) º5240cos (b) º1200sen (c) )º210(sen (d) º330cosº1202º150 sentg
( ) 2
1
( ) º20cos ( ) 6
3
( ) º30cos
25. (UF-AL) A expressão )º120cos(º540
º3001
tg
sen
é igual a:
( ) 3
3
( ) 4
3
( ) 4
32
( ) 32 ( ) 32
1- Qual o comprimento de uma circunferência de raio 5 cm?
2- Os ponteiros de um relógio 11 horas e 45 minutos. O menor ângulo entre os ponteiros é de:
a) 60°30’
b) 72º
c) 82°30’
d) 60º
e) 85º
3- Calcular o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio nos seguintes instantes:
a) 10h30min b) 2h15min c)13h35min d) 14h25min e)3h42min
4- Reduzir ao primeiro quadrante:
a) sen 120° b) cos 240° c) tg315° d) sen 225° e)cos 135°
5-Calcular, por redução ao primeiro quadrante:
a) sen 150° b) sen 225° c) sen 330° d) sen 3/4 e) cos 11/6 f) tg 5/3
g) cos 5/4 h) sen 11/6 i) cos 5/6 j) tg 35/4 k) tg 15/4
6- (UFRGS) Considere que a espiral representada na figura abaixo é formada por oito semicírculos
cujos centros são colineares. O primeiro semicírculo tem diâmetro 8 e, para cada um dos demais
semicírculos, o diâmetro é a metade do diâmetro do semicírculo anterior.
Qual é o comprimento dessa espiral?
7- Determine o valor numérico das expressões, para x :
a) xxtgxsenxy 8sec224cos
b)
)4(sec2
)2cos(2
cot2
)(
xsenxx
sen
xx
gsenx
xf
Lista de exercícios de Trigonometria Professor Jayme
1 – Num triângulo retângulo sabe-se que o cosseno de um ângulo vale 5/13. Determine as possíveis medidas dos três lados do triângulo. 2 – Calcule as medidas dos catetos do triângulo retângulo da figura, sabendo que AB = 10 e cos x = 3/5.
3 – Uma circunferência tem 20 cm de raio. Qual o comprimento de um arco de 72º? 4 –Transforme em graus as seguintes medidas de arcos em radianos.
a) 4
3 b)
6
7 c)
6
d)
3
16 e) 1 rad f)
3
2 g)
4
7
5 –Transforme em radianos as seguintes medidas de arcos em graus. a) 30º b) 300º c) 1080º d) 135º e) 330º f) 20º g) 150º 6 – Complete, nas figuras, as medidas dos arcos trigonométricos correspondentes.
7 – Calcule o valor de x na figura abaixo:
8 –Indique no ciclo trigonométrico as extremidades que correspondem na circunferência aos seguintes arcos
a) 6
5 b)
5
6 c)
4
d)
2
3
9 –Quais os menores valores não negativos côngruos aos seguintes arcos: a) 1125º b) 1035º c) -840º d) -300º e) 410o 10 – Sabendo que x é um arco do primeiro quadrante e que sen x = 0,8 , determine cos x e tg x.
11 – Sabendo que 00 270180 x e que sen x = 0,6 , determine cos x e tg x. 12 – Calcule o valor de: a) sen 150o b) sen 120o c) sen 300o d) sen 270o 13 – Calcule o valor de: a) cos 150o b) cos 120o c) cos 300o d) cos 270o 14 – Calcule o valor de: a) tg 150o b) tg 120o c) tg 300o d) tg 270o
Exercícios de Trigonometria
1º(JAMBO/PV) A medida de um ângulo é 225º. Em radianos, a medida do mesmo ângulo é:
1. 5
4
2. 4
5
3. 4
3
4. 4
7
5. 3
2
2º(JAMBO/PV) O valor de sen
4
cos 4
cos
42
é:
2
2
2
2
23
2 2
n.r.a 3º(JAMBO/PV) O domínio e o conjunto imagem da função definida por y = tg 2x, sendo D o domínio e I o conjunto imagem, são representados por:
a) D = { x IR / x 4
} e I = IR*
b) D = { x IR / x 4
e x 4
3
} e I = IR* c) D = IR e I = IR
d) D = { x IR / x 2
K
4
, K Z} e) D = IR* e I = IR
4º(JAMBO/PV) O valor de log
4
5tg
é: a) -2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2
5º(JAMBO/PV) Seja a função f, de IR em IR definida por f(x) = 1 + 4 sen x. O conjunto imagem dessa função é o intervalo:
a) 5,3
b) 5,3
c) 4,3
d) 4,3
e) 1,1 6º(JAMBO/PV) O conjunto imagem da função f : IR IR, definida por f(x) = 2 sen x – 3, é o intervalo:
[-1, 1]
[-5, 5]
[-5, 1]
[-1, 5]
[-5, -1]
7º(JAMBO/PV) O período da função dada por y = sen
42
x
é:
a)
b) 2
c) 4
d) 2
e) 8
8º(JAMBO/PV) O período da função: f(x) = 4cos
3
4
1x
é:
a) 8
b) 7
c) 6
d) 3
e) 2 9º(JAMBO/PV) Calcular os valores de k que verificam simultaneamente as igualdades:
sen x = k – 1 e cos x = 23 k
1. 1 2. 0
3. 2
3
4. 2 5. –1
10º(JAMBO/PV) O domínio da função f(x) = sec
X
2
é: a) IR
b)
k2
x
c) Zk,kx
d) {x -1 ou x 1} e) n.r.a.
11º(JAMBO/PV) O valor da expressão
xtgx
xsen 2
2
2
cos
2
é: (a) -1 (b) –2 (c) 2 (d) 1 (e) 0
12º(JAMBO/PV) A função trigonométrica equivalente a xx
xsenx
cosseccos
sec
é: a) sen x b) cotg x c) sec x d) cossec x e) tg x
13º(JAMBO/PV) No círculo trigonométrico um ângulo é tal que seu seno vale 5
3
e encontra-se no segundo quadrante. A tangente deste ângulo vale:
1) 4
3
2) 3
4
3) –1
4) 4
3
5) 3
4
14º(JAMBO/PV) Se sec x = 3 e tg x < 0, então sem x vale:
a) 3
22
b) 2
23
c) 3
22
d) 2
23
e) 2
2
15º(JAMBO/PV) O valor da expressão x =
21
2
tg
tg
quando cos 7
3
e tg < 0 é:
a) 31
104
b) 31
1012
c) 15
102
d) 7
103
e) n.r.a.
16º(JAMBO/PV) A expressão:
xtgx
xxsen
2cos
2cos
vale: 1. -2 2. –1 3. 0 4. 1 5. 2
17º(JAMBO/PV) Simplificando a expressão y =
xsenxsen
xx
2)(
)cos()2cos(
, temos: 1. y = tg x 2. y = cotg x
3. y = sen x cos x 4. y = - sen x 5. y = - cos x
18º(JAMBO/PV) Simplificando-se a expressão )cos()cos(
)()(
baba
basenbasen
resulta: 1. cotg a 2. tg a 3. tg b 4. cotg (a + b) 5. n.r.a.
19º(JAMBO/PV) cos(75º) é igual a:
1. 2
3
2
2
2. 2
2
2
3
3. 2
1
2
3
4. 4
2
4
6
5. 4
2
4
6
20º(JAMBO/PV) Sendo , então cos ( ) vale:
1. sen
2. cos
3. –sen
4. –cos 5. n.r.a.
Lista de exercícios sobre Matrizes e Determinantes
6. Determine a matriz A = (aij)3x3 tal que aij = i – j. 7. Construa as seguintes matrizes:
A = (aij)3x3 tal que aij =
ji ,0
ji ,1
se
se
B = (bij)3x3 tal que bij =
ji se 3j,-i
ji se2j, i
8. Construa a matriz A = (aij)3x2 tal que aij =
ji ,
ji ,1
2 sei
se
9. Seja a matriz A = (aij)3x4 tal que aij =
ji ,22
ji ,
ji
seji
, então a22 + a34 é igual a:
10. Determine a soma dos elementos da 3º coluna da matriz A = (aij)3x3 tal que aij = 4 + 3i –i.
11. Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária da matriz A = (aij)3x3.
12. Dada a matriz A = (aij)4x4 em que aij =
ji ,.
ji ,
seji
seji
, determine a soma dos elementos a23 +a34.
13. Seja a matriz A = (aij)5x5
tal que aij = 5i – 3j. Determine a soma dos elementos da diagonal principal dessa matriz.
14. Determine a soma dos elementos da matriz linha (1x5) que obedece a lei: aij = 2i2 – 7j.
15. Determine a e b para que a igualdade
7 10
b 4 3a
=
7 10
b 2a
seja verdadeira.
16. Sejam A =
2 0
1- 4
3 2
e B =
5 8
1- 7
0 2
, determine (A + B)t.
17. Dadas as matrizes A =
2- 4
1 3
e B =
2- 1
y- xyx
, determine x e y para que A = Bt.
18. Resolva a equação matricial:
2 2 4
3 5 1
2 5 3
2- 1- 1
7 2 0
5 4 1
= x +
5 9 1
3- 1- 8
2 7 2
.
19. Determine os valores de x e y na equação matricial:
4 3
2 1.2
5 7
4- 4
3
x2
y.
20. Se o produto das matrizes
1
2 0 1
1- 1 0.
1 1
0 1y
x
é a matriz nula, x + y é igual a:
21. Se
2
1.4.
3 1
1- 3
y
x
, determine o valor de x + y.
22. Dadas as matrizes A =
,5- 2
3 0
B =
1- 0
4 2
e C =
0 6
2 4
, calcule:
a) A + B b) A + C c) A + B + C
23. Dada a matriz A =
2- 1 0
4 3 2
0 1- 1
, obtenha a matriz x tal que x = A + At.
24. Sendo A = (aij)1x3 tal que aij = 2i – j e B = (bij)1x3 tal que bij = -i + j + 1, calcule A + B.
25. Determine os valores de m, n, p e q de modo que:
5 1
8 7
3q-
n-n
p
2m
qp
m
.
26. Determine os valores de x, y, z e w de modo que:
5- 8
0 1
1- 4
3 2
w
y
z
x
.
27. Dadas as matrizes A =
4 3
1 2
, B =
5 2
1- 0
e C =
1 6
0 3
, calcule:
a) A – B b) A – Bt – C
28. Dadas as matrizes A =
8 2 6
2- 4 0
, B =
0 6- 12
9 6 3
e C =
2 1- 1
0 1- 0
, calcule o resultado das seguintes operações:
a) 2A – B + 3C b)
CBA
3
1
2
1
29. Efetue:
a)
2
3.
4 1
3- 5
b)
3 0
1- 2.
4 1
2 5
c)
2 1 2
2 2 1
1 2 2
.
1 1 0
0 1 1
0 0 1
30. Dada a matriz A =
1 0 0
0 0 1
0 1- 2
, calcule A2.
31. Sendo A =
1 5
2 3
e B =
0 2
1- 3
e C =
4
1
, calcule: a) AB b) AC c) BC
32. Considere as matrizes A = (aij) e B (bij) quadradas de ordem 2, com aij = 3i + 4j e bij = -4i
– 3j. Sabendo que C A + B, determine C2.
33. Calcule os seguintes determinantes:
a)
3- 1
8 4-
b)
7- 3
3 8
c)
8 3 1
6 4 3-
9- 6 4-
34. Se a = 4 3
1 2
, b =
1 3
7 21
e c =
3 5
2- 1-
, determine A = a2 + b – c2.
35. Resolva a equação x5
x x
= -6.
36. Se A =
4 3
3 2
, encontre o valor do determinante de A2 – 2ª.
37. Sendo A =
33 b
b a
a, calcule o valor do determinante de A e em seguida calcule o valor
numérico desse determinante para a = 2 e b = 3.
38. Calcule o valor do determinante da matriz A =
3 1 2
6 7 5
0 1- 4
39. Resolva a equação
2-
1 4
2- 1 3
5 1
3 2 1
xx
x
40. Se A = (aij)3x3 tal que aij = i + j, calcule det A e det At.
41. Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o peso
médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A, em que: 3
2 2 0
x- 0 3
1 1- 1
, com base na fórmula p(x) = det A, determine:
o peso médio de uma criança de 7 anos
a idade mais provável de uma criança cuja o peso é 30 kg.
42. Calcule o valor do determinante da matriz A=
sen x- x cos
xcos- x sen
.
43. Resolva a equação 1- 1 -
1 3
x= 3.
44. Se A =
5 4
1- 2
, calcule o valor do determinante de
A
A2
7
2
.
45. Considere a matriz A = (aij)2x2, definida por aij = -1 + 2i + j para 2x1 e 21 i .
Determine o determinante de A.
46. Determine o determinante da seguinte matriz 1 2 0
x1- 3
1 2x
.
47. Dada a matriz A = 2 1 0
5 4 1-
3 2 1
e a = det A, qual o valor de det (2A) em função de a?
48. Seja A = (aij)3x3 tal que aij = i – j. Calcule det A e det At.
49. Calcule os determinantes das matrizes A =
7- 1- 2
4 3 1-
2 0 1
e B =
7- 6- 1
2 4- 3
0 0 1
, usando o teorema de Laplace.
50. Resolva as equações:
a) 7 5
2x x
= 0 b) x5
x x
= 0 c) 1- x1
5 3x
= 0
51. Sabendo – se a = 1 5
2 3-
e b =
10 4
6 2
, calcule o valor de 3a + b2.
52. Dada a matriz A = 3 1
4 2
, calcule: a) det A b) det A2
53. Determine o valor de cada determinante:
a) 4 3 2
3 1 4
5 2 3
b) 5 2- 4
1 3 2-
0 3 0
c) 0 3 4
1 1 1
0 2 2
54. Calcule o determinante da matriz P2, em que P é a matriz P =
2 2 0
1- 1 2
1 1- 2
.
55. Na matriz
9 3- 1
4 2 1
x x1 2
, calcule: f)seu determinante g) os valores de x que anulam esse determinante
56. Determine em IR a solução da equação: 2 1 3
1- 2- 1-
x x 2
= 8 – log84.
57. Sabendo que a = 2 2
3 1
e b = 3 1 1
1 2 2
1 3 1
, efetue a2 – 2b.
58. Determine a solução da equação: x- 2
8 x 3
= 0.
59. Determine o determinante da matriz
sen x 2 x 2
xcos sen x
co.
60. Resolver a equação 4 4
4 x x
xx x
x= 0
61. Resolva as equações:
a) 2 1 3
x4 2
1 4 2
= 0 b) 3- x 2
x 1 0
2- 3 2
= 2 c) 1- x2
1 x 3
x3 1
x
x
= 0
1ª LISTA DE GEOMETRIA ANALÍTICA II
1-) Escreva a matriz A=
3x2ija, onde ija
=2i+3j
2-) Escreva a matriz B=
3x3ijb, onde ijb
= j
i
.
3-) Escreva a matriz C=
1x4ijc, onde
jic 2
ij .
4-) Escreva a matriz D=
3x1ijd, onde ijd
= i – j.
10-) Dadas as matrizes A=
3a
21
e
3b
3xB
, determinar a, b e x para que
A=tB .
11-) Determinar os valores de a e b, tais que:
3a
2b
3b
1a2
12-) Determine x e y na igualdade:
5-) Escreva a matriz A=
3x4ija, onde
jise,1
jise,2a ij
6-) Escreva a matriz A=
3x3ija, onde
jise,0
jise,jia ij
7-) Escreva a matriz A=
3x2ija, onde
jise,ji
jise,ji2a ij
8-) Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos da diagonal principal. Determine o traço de cada uma das matrizes A =
101
532
102
Be34
21
.
9-) Dada a matriz A=
41
21
, determinar: a-) a transposta de A b-) a oposta de A
5
9
4
5
y
xlog2
3
13-) Seja A=
3x2ija, onde ija
=i + j. Determine m, n e p em B=
5p2m1n
43nm
a fim de que tenhamos A=B. 14-) Determine a, b, x e y, tais que:
.11
23
yx2ba
yxba
15-) Determine x e y, tais que:
a-)
.
64
5
3
x
y
xlog
2
2
b-)
.y2x51
05
71
0y3x2
CONSTRUÇÃO DE MATRIZES
1) Escreva a matriz A=(a ij)2x3, em que aij = 2i 3j.
2) Construa a matriz A= (aij)2x3 de modo que aij = 3i2 – j
3) Escreva a matriz B=(b ij)3x3, em que b ij = j
i. Que elementos pertencem às diagonais principal
e secundária de B? 4) Escreva as matrizes C=( c ij)4x1, em que c ij = i² = j, e D=(d ij)1x3, em que d ij = i-j. Que matrizes especiais são essas? 5) Escreva a matriz A=(a ij)4x3, em que a ij = 2, se i ≥ j -1, sei < j
6) Escreva a matriz A=(a ij)3x3, em que a ij = i + j, se i = j
0, se i ≠ de j.
Forneça os elementos que pertencem às diagonais principal e secundária de A.
-2, se i > j
7) Determine a matriz B = (bij)3x3 tal que bij= 1, se i = j 3, se i < j
8) Escreva a matriz B = (bij) nos seguintes casos: a) B e uma matriz do tipo 3 x 4 com: bij = -1 para i = 2j bij = a para i ≠ 2j aij = 0 para i+j = 4 b) A é uma matriz quadrada de 4a ordem com: aij = -1 para i+j ≠ 4 c) A é uma matriz quadrada de 3a ordem com aij = 2i +3j – 1
2ª PARTE : IGUALDADE DE MATRIZES OPERAÇÕES COM MATRIZES
6. Sejam as matrizes:
A= 1 2 3
B= -2 0 1
C=
-1
D=
2 -1 1 3 0 1 2 2 -1
4 Calcule:
f) A + B g) 2A - 3B h) AC i) BC j) CD k) DA l) DB m) 3AD n) D(2A + 3D)
2 x2 2. Seja A= Se A = At encontre o valor de x. 2x-1 0 3. Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Quando uma afirmativa for falsa, tente consertá-la para que se torne verdadeira. a) (-A)t = - (At).
b) (A+B)t = Bt + At. c) (-A) (-B) = - (AB) d) Se A e B são matrizes simétricas, então AB = BA. e) Se podemos efetuar o produto AA, então A é uma matriz quadrada. 4. Dadas
1 -3 2 1 4 1 0 2 1 -1 - 2
A= 2 1 -3 B= 2 1 1 1 C= 3 -2 -1 -1
4 -3 -1 1 -2 1 2 2 -5 -1 0
Mostre que AB = AC. 5. Dadas
2 -3 -5 -1 3 5 2 -2 -4
A= -1 4 5 B= 1 -3 -5 C= -1 3 4
1 -3 -4 -1 3 5 1 -2 -3
a) Mostre que AB = BA = 0, AC = A e CA = C. b) Use os resultados de (a) para mostrar que ACB = CBA, A2 – B2 = (A–B) (A+B) e (A + B)2 = A2 + B2. c) Calcule o determinante de cada matriz pela regra de Sarrus. 6) Sejam X e Y matrizes de mesma ordem, determine a, a R para que X = Y.
7) Calcule x e y em cada caso, para que as matrizes A e B sejam iguais: a) A = x + y e B = 2 2x – y 4
2
x 0 3 4 0 3
b) A = e B = 5 4 1 5 5 + y 1 x + y 2 4 2 c) A = e B = 4 8 4 x – y
2x + 3y 2 d) A = e B = 3x – y 3 8) Dadas as matrizes: A = 1 2 B = 1 0 e C = 1 -1.
. 3 4 2 3 0 1 teste as propriedades:
a) A . (B+C) = AB + AC b) A.(B.C) = (A.B).C
6) Determine a matriz A = (aij)3x3 tal que aij = i – j.
7) Construa as seguintes matrizes:
A = (aij)3x3 tal que aij =
ji ,0
ji ,1
se
se
B = (bij)3x3 tal que bij =
ji se 3j,-i
ji se2j, i
8) Construa a matriz A = (aij)3x2 tal que aij =
ji ,
ji ,1
2 sei
se
9) Seja a matriz A = (aij)3x4 tal que aij =
ji ,22
ji ,
ji
seji, então a22 + a34 é igual
a:
10) Determine a soma dos elementos da 3º coluna da matriz A = (aij)3x3 tal que aij = 4 + 3i –i.
11) Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos
da diagonal secundária da matriz A = (aij)3x3.
12) Dada a matriz A = (aij)4x4 em que aij =
ji ,.
ji ,
seji
seji, determine a soma dos
elementos a23 +a34.
13) Seja a matriz A = (aij)5x5 tal que aij = 5i – 3j. Determine a soma dos
elementos da diagonal principal dessa matriz.
14) Determine a soma dos elementos da matriz linha (1x5) que obedece a lei: aij = 2i2 – 7j.
15) Determine a e b para que a igualdade
7 10
b 4 3a=
7 10
b 2aseja
verdadeira.
16) Sejam A =
2 0
1- 4
3 2
e B =
5 8
1- 7
0 2
, determine (A + B)t.
17) Dadas as matrizes A =
2- 4
1 3e B =
2- 1
y- xyx, determine x e y para
que A = Bt.
18) Resolva a equação matricial:
2 2 4
3 5 1
2 5 3
2- 1- 1
7 2 0
5 4 1
= x +
5 9 1
3- 1- 8
2 7 2
.
19) Determine os valores de x e y na equação matricial:
4 3
2 1.2
5 7
4- 4
3
x2
y.
20) Se o produto das matrizes
1
2 0 1
1- 1 0.
1 1
0 1y
x
é a matriz nula, x + y é
igual a:
21) Se
2
1.4.
3 1
1- 3
y
x, determine o valor de x + y.
22) Dadas as matrizes A = ,5- 2
3 0
B =
1- 0
4 2e C =
0 6
2 4, calcule:
a) A + B b) A + C c) A + B + C
23) Dada a matriz A =
2- 1 0
4 3 2
0 1- 1
, obtenha a matriz x tal que x = A + At.
24) Sendo A = (aij)1x3 tal que aij = 2i – j e B = (bij)1x3 tal que bij = -i + j + 1, calcule A + B.
25) Determine os valores de m, n, p e q de modo que:
5 1
8 7
3q-
n-n
p
2m
qp
m.
26) Determine os valores de x, y, z e w de modo que:
5- 8
0 1
1- 4
3 2
w
y
z
x.
27) Dadas as matrizes A =
4 3
1 2, B =
5 2
1- 0e C =
1 6
0 3, calcule:
a) A – B b) A – Bt – C
28) Dadas as matrizes A =
8 2 6
2- 4 0, B =
0 6- 12
9 6 3e C =
2 1- 1
0 1- 0,
calcule o resultado das seguintes operações:
a) 2A – B + 3C b)
CBA
3
1
2
1
29) Efetue:
a)
2
3.
4 1
3- 5 b)
3 0
1- 2.
4 1
2 5 c)
2 1 2
2 2 1
1 2 2
.
1 1 0
0 1 1
0 0 1
30) Dada a matriz A =
1 0 0
0 0 1
0 1- 2
, calcule A2.
31) Sendo A =
1 5
2 3 e B =
0 2
1- 3e C =
4
1, calcule:
a) AB b) AC c) BC 32) Considere as matrizes A = (aij) e B (bij) quadradas de ordem 2, com aij =
3i + 4j e bij = -4i – 3j. Sabendo que C A + B, determine C2. 33) Calcule os seguintes determinantes:
a)
3- 1
8 4- b)
7- 3
3 8 c)
8 3 1
6 4 3-
9- 6 4-
34) Se a = 4 3
1 2
, b =
1 3
7 21
e c =
3 5
2- 1-, determine A = a2 + b – c2.
35) Resolva a equação x5
x x= -6.
36) Se A =
4 3
3 2, encontre o valor do determinante de A2 – 2ª.
37) Sendo A =
33 b
b a
a, calcule o valor do determinante de A e em seguida
calcule o valor numérico desse determinante para a = 2 e b = 3.
38) Calcule o valor do determinante da matriz A =
3 1 2
6 7 5
0 1- 4
39) Resolva a equação 2-
1 4
2- 1 3
5 1
3 2 1
xx
x
40) Se A = (aij)3x3 tal que aij = i + j, calcule det A e det At.
41) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo
de 500 crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o peso médio p(x), em quilogramas, era dado pelo
determinante da matriz A, em que:
3
2 2 0
x- 0 3
1 1- 1
, com base na fórmula p(x) = det
A, determine:
f) o peso médio de uma criança de 7 anos g) a idade mais provável de uma criança cuja o peso é 30 kg.
42) Calcule o valor do determinante da matriz A=
sen x- x cos
xcos- x sen.
43) Resolva a equação 1- 1 -
1 3
x= 3.
44) Se A =
5 4
1- 2, calcule o valor do determinante de
A
A2
7
2
.
45) Considere a matriz A = (aij)2x2, definida por aij = -1 + 2i + j para
2x1 e 21 i . Determine o determinante de A.
46) Determine o determinante da seguinte matriz
1 2 0
x1- 3
1 2x
.
47) Dada a matriz A =
2 1 0
5 4 1-
3 2 1
e a = det A, qual o valor de det (2A) em
função de a?
48) Seja A = (aij)3x3 tal que aij = i – j. Calcule det A e det At.
49) Calcule os determinantes das matrizes A =
7- 1- 2
4 3 1-
2 0 1
e B =
7- 6- 1
2 4- 3
0 0 1
, usando o teorema de Laplace.
50) Resolva as equações:
a) 7 5
2x x = 0 b)
x5
x x= 0 c)
1- x1
5 3x = 0
51) Sabendo – se a = 1 5
2 3-
e b =
10 4
6 2, calcule o valor de 3a + b2.
52) Dada a matriz A = 3 1
4 2, calcule:
a) det A b) det A2 53) Determine o valor de cada determinante:
a)
4 3 2
3 1 4
5 2 3
b)
5 2- 4
1 3 2-
0 3 0
c)
0 3 4
1 1 1
0 2 2
54) Calcule o determinante da matriz P2, em que P é a matriz P =
2 2 0
1- 1 2
1 1- 2
.
55) Na matriz
9 3- 1
4 2 1
x x1 2
, calcule:
f) seu determinante g) os valores de x que anulam esse determinante
56) Determine em IR a solução da equação:
2 1 3
1- 2- 1-
x x 2
= 8 – log84.
57) Sabendo que a = 2 2
3 1e b =
3 1 1
1 2 2
1 3 1
, efetue a2 – 2b.
58) Determine a solução da equação: x- 2
8 x 3
= 0.
59) Determine o determinante da matriz
sen x 2 x 2
xcos sen x
co.
60) Resolver a equação
4 4
4 x x
xx x
x
= 0
61) Resolva as equações:
a)
2 1 3
x4 2
1 4 2
= 0 b)
3- x 2
x 1 0
2- 3 2
= 2 c)
1- x2
1 x 3
x3 1
x
x
= 0
Questões:
01. Obter a matriz A = (aij)2x2 definida por aij = 3 i - j.
02. Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 eAt sua transposta, determine A,
tal que A = 2 .At.
03. (UNIV. CATÓLICA DE GOIÁS) Uma matriz quadrada A é dita simétrica se A
= AT e é dita anti-simétrica se AT = -A, onde AT é a matriz transposta de A.
Sendo A uma matriz quadrada, classifique em verdadeira ou falsa as duas
afirmações:
(01) A + AT é uma matriz simétrica
(02) A - AT é uma matriz anti-simétrica
04. Se uma matriz quadrada A é tal que At = -A, ela é chamada matriz anti-
simétrica. Sabe-se que M é anti-simétrica e:
Os termos a12, a13 e a23 de M, valem respectivamente:
a) -4, -2 e 4
b) 4, 2 e -4
c) 4, -2 e -4
d) 2, -4 e 2
e) 2, 2 e 4
a) x = y = 0
b) x = y = m = n = 0
c) x = y e m = n
d) y = -2x e n = -2m
e) x = -2y e m = -2n
06. Na confecção de três modelos de camisas (A, B e C) são usados botões
grandes (G) e pequenos (p). O número de botões por modelos é dado pela
tabela:
Camisa A Camisa B Camisa C
Botões p 3 1 3
Botões G 6 5 5
O número de camisas fabricadas, de cada modelo, nos meses de maio e junho,
é dado pela tabela:
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B 50 100
Camisa C 50 50
Nestas condições, obter a tabela que dá o total de botões usados em maio e
junho.
07. Sobre as sentenças:
I. O produto das matrizes A3 x 2 . B2 x 1 é uma matriz 3 x 1.
II. O produto das matrizes A5 x 4 . B5 x 2 é uma matriz 4 x 2.
III. O produto das matrizes A2 x 3 . B3 x 2 é uma matriz quadrada 2 x 2
É verdade que:
a) somente I é falsa;
b) somente II é falsa;
c) somente III é falsa;
d) somente I e III são falsas;
e) I, II e III são falsas.
08. (MACK) Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x m, então:
a) existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3;
b) existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3;
c) existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3;
d) existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B;
e) existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B.
a) 3
b) 14
c) 39
d) 84
e) 258
10. (PUC) Se A, B e C são matrizes quadradas e At, Bt e Ct são suas matrizes
transpostas, e igualdade falsa entre essas matrizes é:
a) (A = B) . C = A . C + B . C
b) (A + B)t = At + Bt
c) (A . B)t = At . Bt
d) (A - B)C = AC - BC
e) (At)t = A
Resolução:
01.
02.
03. (01) verdadeira
(02) verdadeira
04. B
05. E
06.
Maio Junho
Botões p 500 400
Botões G 1100 1050
07. B 08. C 09. D 10. C
9) Dada a matriz A = 5 2 , temos At + 2A será: 7 -3 a) 15 11 b) 7 1 c) 44 11 d) 15 6 e) 5 7 16 -9 2 -4 16 20 21 -9 2 -3
10) Dada a matriz A = -1 0 , temos A . At é a matriz: 1 2 a) 1 0 b) 1 -1 c) 2 2 d) 1 1 e) 0 -2
0 4 - 1 5 2 4 4 1 -2 4
14) (UFRS) A matriz fornece em reais o custo das porções de arroz, carne e salada usadas num restaurante: Arroz carne salada 1 arroz 1 2 1 P1
C= 3 carne P = 1 2 1 P2
2 salada 2 2 0 P3
A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usadas na composição dos pratos tipo P1, P2 e P3 desse restaurante: A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos tipo P1, P2 e P3 é: 7 4 9 2 2
f) 9 b) 4 c) 11 d) 6 e) 2 8 4 4 8 4 2 3 -1 2 15) (FECILCAM-2010) Sejam as matrizes A = 4 5 e B = 7 -5 A alternativa correta é
(f) A matriz transposta de (A - B) é (A - B)t = 10 3 1 3
(g) O produto de A - B é igual ao produto de B - A; (h) c) O determinante da matriz A é igual ao determinante da matriz B;
0 1/11
(i) A matriz inversa de (A+B) é (A+B)-1 = 1/5 - 1/55
(j) A soma de (A+B) é igual a soma de (A + ( - B)).
16) Calcule os determinantes das matrizes abaixo:
(a) A
2 4 0
0 2 1
3 0 2
(b) A
21
00
21
42
1
2
2
4
0
1
1
1
(c) A=
2
2
22
11
01
x
x
x
ATENÇÃO!!!!!!! É obrigatório constar TODOS os cálculos no trabalho a ser entregue.
GABARITO DE TRIGONOMETRIA 1. B 2. B 3. D 4. C 5. A 6. E 7. A 8. A 9. C 10. C 11. C 12. E 13. A 14. C 15. B 16. E 17. B 18. B 19. E 20. D