Comment évaluer musicalement
les théories mathématiques de la musique?
Comment évaluer musicalement
les théories mathématiques de la musique?
Séminaire Musique & Mathématiques
(16 avril 2005)
François NICOLAS
L’exemple de la théorie de Mazzola
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 2
PlanPlan
• I. Les raisonances musique-mathématiques
• II. Le cas des théories mathématiques de la musique
• III. La théorie de Guerino Mazzola
– Harmonie– Contrepoint– Modulation– Geste
• IV. L’hypothèse d’une intellectualité mathématique
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 3
Trois types de raisonancesTrois types de raisonances
• Deux affinités électivesentre pensées musicale et mathématique
• Une raisonance privilégiéeentre intellectualité musicale et pensée mathématique
• D’autres raisonances possiblesPenser la musique avec les mathématiques?
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 4
Deux affinités électivestraditionnelles
Deux affinités électivestraditionnelles
• Par les nombresPythagore
St Thomas :« La musique s’en remet aux principes qui lui
sont livrés par l’arithmétique »
• Par les figuresExemple : Descartes
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 5
Ordonnancement arithmétiqueOrdonnancement arithmétiquedes intervalles musicauxdes intervalles musicaux
1 Unisson 1/1
2 Octave 2/1
3 Quinte 3/2
4 Quarte 4/3
5 Tierce majeure (do-mi) 5/4
6 tierce mineure (mi-sol) 6/5
7 petite tierce mineure (sol-si b) 7/6
8 Grande seconde majeure (si b – do) 8/7
9 Seconde majeure (do-ré) 9/8
10 petite seconde majeur e (ré-mi) 10/9
… … …
16 seconde mineure (si-do) 16/15
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 6
Descartes :Descartes :les figures du Compendium musicæ (1618)
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 7
Nouvelle conceptiondes affinités électivesNouvelle conceptiondes affinités électives
• Partage d’écriture
• Partage d’un souci logique
Descartes
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 8
Deux logiques orthogonalesDeux logiques orthogonales
Logique de la
démonstration mathématique
Principe d’identité
A = A
Principe de non contradiction
Non (A et non-A)
Principe de tiers-exclus
A ou non-A
Logique du
développement musical
Principe de différenciation
A ≠ A(’)
Principe de négation contrainte
A => (A et non-A)
Principe du tiers obligé
A => (A et B)avec B ≠ A et B ≠ non-A
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 9
Vulgarisation mathématique ?Vulgarisation mathématique ?
• Oublier la démonstration
• Effacer l’écriture mathématique
Vulgarisation musicale ?Vulgarisation musicale ?
• Oublier le développement
• Effacer la partition
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 10
Trois dimensions de l’intellectualité musicale
Trois dimensions de l’intellectualité musicale
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 11
Quelques intellectualités musicales…Quelques intellectualités musicales…
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 12
Le principe du contemporainLe principe du contemporain
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
• Pour Rameau, une théorie de la nouvelle musique tonale doit être une théorie
cartésienne de la musique.• Pour Boulez, une théorie du nouveau langage musical sériel doit être une
théorie axiomatisée et formalisée de la musique.
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 13
Trois raisonances privilégiéesou la conjonction musique-poésie-mathématique-philosophieTrois raisonances privilégiées
ou la conjonction musique-poésie-mathématique-philosophie
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 14
• I. Affinités naturelles
• ÉcrituresPenser l’écriture et la lettre musicales avec l’écriture et la lettre mathématiques• LogiquesPenser la logique musicale (et donc l’articulation raison/calcul) avec la logique mathématiquePenser le style diagonal de pensée avec la procédure diagonale de Cantor
• II. Raisonances privilégiées
• Ce que veut dire théoriserPenser le « avec » avec la théorie des modèlesPenser le monde de la musique avec la théorie des topos
• III. Raisonances supplémentaires possibles
• Penser la musique avec les mathématiquesPenser la perception musicale avec la théorie des pavagesPenser l’audition avec la théorie de l’intégrationPenser l’écoute musicale avec la théorie de la différenciationPenser l’écoute à l’œuvre avec les jeux mathématiques de taquinsPenser les modalités de l’entendre avec les théories mathématiques de l’intrinsèque et de l’extrinsèquePenser l’articulation musicale entre écriture et écoute avec l’articulation mathématique (de la théorie) des
ensembles et (de la théorie) des catégoriesPenser la composition musicale avec les théories mathématiques du local et du globalPenser l’entre-œuvres des concerts avec la théorie des catégoriesPenser la combinatoire musicale avec l’algèbrePenser le temps musical avec la théorie des équations différentiellesPenser la nature musicale avec la théorie des ordinaux et cardinauxPenser les rapports de l’œuvre à son matériau avec la théorie des nombres surréels
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 15
Trois types de raisonancesTrois types de raisonances
Raisonances Elles portent
sur
Elles rapprochent :
deux affinités électives
écritures & soucis logiques
Mêmes types de matières (littérales) ou manières de penser (« à la lettre »)
Mêmes soucis des formes (logiques) de la pensée
pensées musicale & ma-thématique
une raisonance privilégiée
ce que veut dire théoriser
L’intellectualité musicale se met « à l’école » de la pensée mathématique
autres raiso-nances
possibles [ divers ]
L’intellectua lité musicale se met « à l’écoute » de la pensée mathématique
intellectualité musicale (pensée musicienne)
& pensée mathématique
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 16
Différents types de théorie musicaleDifférents types de théorie musicale
• Théories mathématiques de la musiqueex. : G. Mazzola (The Topos of Music)
• Théories physiques de la musiquecf. acoustique, mécanique (organologie)…
• Théories philosophiques de la musiqueex. : Platon, St Augustin, Leibniz…
• Théories sociologiques de la musiqueex. : M. Weber, P.-M. Menger…
• Théories psychologiques de la musiquecf. « Les sentiments du musicien »
• Théories politologiques de la musiquecf. « Musique et pouvoir d’État… »
• …
• Théories musiciennes de la musique– musicologistes
Aristoxène, Zermelo…Forte, Lewin, Vieru…
– compositionnellesMessiaen, Carter…
• Théories musiciennes de la musique– musicologistes
Aristoxène, Zermelo…Forte, Lewin, Vieru…
– compositionnellesMessiaen, Carter…
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 17
« Théorie »
« de »
« la musique »
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 18
« Théorie d’un modèle »« Théorie d’un modèle »
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
A
B
α β
=======> ( Théorie )
( Modèle )
formalisation interprétation
syntaxe
sémantique
Système formel
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
A
B
α β
=======> ( Théorie )
( Modèle )
formalisation interprétation
syntaxe
sémantique
Système formel
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 19
Théorie formelle d’une théorie « naïve »Théorie formelle d’une théorie « naïve »
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
A B=======>(Théorie formalisée)
(Modèle)
Système formel
a b
α β
----------- >( )Théorie naïve
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
A B=======>(Théorie formalisée)
(Modèle)
Système formel
a b
α β
----------- >( )Théorie naïve
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
A B=======>Théorie mathématique
Modèle musical
a b
α β
-----------> Théorie musicienne
( démonstration )mathématique
( développement )musical
( déduction )musicienne
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
A B=======>Théorie mathématique
Modèle musical
a b
α β
-----------> Théorie musicienne
( démonstration )mathématique
( développement )musical
( déduction )musicienne
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 20
Non-commutativité !Non-commutativité !
A B=======>
a b
α β
----------->
=======>
-----------> Q
ƒ
g
F
P
G
d
D
d≠G°D°Fd≠G°D°F
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
A B=======>Théorie mathématique
Modèle musical
a b
α β
-----------> Théorie musicienne
( démonstration )mathématique
( développement )musical
( déduction )musicienne
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
A B=======>Théorie mathématique
Modèle musical
a b
α β
-----------> Théorie musicienne
( démonstration )mathématique
( développement )musical
( déduction )musicienne
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 21
Extension humoristiqueExtension humoristique
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
A
B=======>
a b
α β
----------->
D
F
ƒ
d
G
g
=======> C
H
c
h
γ ?
D'
extension
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
A
B=======>
a b
α β
----------->
D
F
ƒ
d
G
g
=======> C
H
c
h
γ ?
D'
extension
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
b ca
α β
----------->
ƒ
d
g
h
γ
extension
d’?
?
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
b ca
α β
----------->
ƒ
d
g
h
γ
extension
d’?
?
Rapprochementd’un lointain…
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 22
« Fibre créatrice d’un voisinage »« Fibre créatrice d’un voisinage »
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 23
Intension ironiqueIntension ironique
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
b ca
α β
----------->
ƒ
d
g
h
γ
----------->
’d
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
b ca
α β
----------->
ƒ
d
g
h
γ
----------->
’d
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
b ca
α β
----------->
ƒ
d
g
h
γ
------------------------------------------------------------->
[ ’]d
A B=======>
D
FG
=======> F
H
D'
C =======>
’D'
D ======>
’’D '
E =====>
’’’D'
? ? ?
i n t e n s i o n
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
b ca
α β
----------->
ƒ
d
g
h
γ
------------------------------------------------------------->
[ ’]d
A B=======>
D
FG
=======> F
H
D'
C =======>
’D'
D ======>
’’D '
E =====>
’’’D'
? ? ?
i n t e n s i o n
Éloignementd’un proche…
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 24
Isomorphie de deux théories musiciennesIsomorphie de deux théories musiciennes
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
YX ==========>
[ Contrepoint ]
(Théorie de Fux)
(Théorie mathématique)
α β
A B———>
α ' β '
A' B'———>
[ Harmonie ]
(Théorie de Riemann)
un ruban de Möbiusun tore
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
YX ==========>
[ Contrepoint ]
(Théorie de Fux)
(Théorie mathématique)
α β
A B———>
α ' β '
A' B'———>
[ Harmonie ]
(Théorie de Riemann)
un ruban de Möbiusun tore
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 25
Le ruban harmoniqueLe ruban harmonique
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 26
Une bande de Möbius?Une bande de Möbius?
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 27
… ou un cylindre !… ou un cylindre !
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 28
Formalisation mazzolienne du contrepointFormalisation mazzolienne du contrepoint
Le tore des tiercesLe tore des tierces
Les dichotomies
consonances | dissonances
Les dichotomies
consonances | dissonancesQuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 29
Une extension humoristiquedu contrepoint…
Une extension humoristiquedu contrepoint…
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 30
Du peu d’intérêt musicalde la génétique et de la poïétique…
Du peu d’intérêt musicalde la génétique et de la poïétique…
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
À nouveau,commutation mathématique
et non-commutation musicienne
ne s’accordent guère…
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 31
Formalisation mazzolienne de la modulationFormalisation mazzolienne de la modulation
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 32
Une extension humoristiqueUne extension humoristique
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
?
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
?
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 33
La formalisation mazzolienne du gesteLa formalisation mazzolienne du geste
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 34
Quelle « musique » ?Quelle « musique » ?
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 35
Le mathématicien désire que cela commute !Le mathématicien désire que cela commute !
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 36
Écouter la trace d’un corps-accordÉcouter la trace d’un corps-accord
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 37
Le même diagramme vu par un mathématicien…Le même diagramme vu par un mathématicien…
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 38
La partition comme produit,
limite du digramme {musicien, instrument}
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
Le corps-accord comme coproduit,
colimite du digramme {musicien, instrument} La spatialisation comme coproduit,
colimite du digramme {instrument, salle}
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
Désir mathématicien :trois limites !
Désir mathématicien :trois limites !
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 39
Intellectualités mathématiques ?Intellectualités mathématiques ?
• ?• Henri Poincaré (1854-1912)• Hermann Weyl (1885-1955)• ?• Alain Connes• René Guitart• Guerino Mazzola• …
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 40
Analogie ?Analogie ?QuickTime™ et un
décompresseur TIFF (non compressé)sont requis pour visionner cette image.
Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 41
Deux compréhensions duales de la musique ?
Deux compréhensions duales de la musique ?
Pour le musicien pensif,• la musique est un monde ; elle est comme un topos ;
• ses opérations sont essentiellement non-commutatives.
Pour le mathématicien théoricien de la musique,• la musique est un topos ; elle est comme un monde ;• la mathématique de ses opérations est commutative.