[2002-ordin.suppletiva]Quesito9. Dato un tetraedro regolare, si consideri il quadrilatero avente per vertici i punti medi degli spigoli di due facce. Dimostrare che si tratta di un quadrato.
Con riferimento alla figura a lato, nel quadrilatero KLMN :
il lato LM è uguale e parallelo al lato KN perché entrambi paralleli allo spigolo AB ed uguali alla metà di esso ( per una nota proprietà dei triangoli)
analogamente il lato NM è uguale e parallelo al lato KL perché entrambi paralleli allo spigolo VC ed uguali alla metà
di esso
Essendo gli spigoli del tetraedro regolare uguali fra loro , i quattro lati sono uguali fra loro e a due a due paralleli
Per verificare che si tratta di un quadrato possiamo procedere in 2 modi
1) METODO TRIGONOMETRICODeterminiamo la lunghezza della diagonale MK sapendo che nel triangolo VBK
dove è la lunghezza dello spigolo
( Teorema di Carnot) →
Applicando ora il Teorema di Carnot al triangolo MBK dove
→
Questo prova che il quadrilatero KLMNè un quadrato
2) METODO GEOMETRICO
Ricordiamo che gli spigoli opposti , come AB e VC, sono sghembi, ma hanno direzioni tra loro ortogonali.
Infatti, per il teorema delle 3 perpendicolari, la retta AB è perpendicolare al piano VBC
Anche le rette KL , parallela a VC , e KN, parallela ad AB, hanno direzioni ortogonali e pertanto formano un angolo retto.
Il quadrilatero KLMN è quindi un rombo con un angolo retto , cioè un quadrato.