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Secções Cônicas
Um Pouco da Hist ória das Curvas Cônicas Um Pouco da Hist ória das Curvas Cônicas
Associado à história das curvas cônicas temos o nome de
Apolônio, que nasceu na cidade de Perga, região da
Panfília (atualmente Turquia) por volta de 262 a.C. e
viveu, aproximadamente, até 190 a.C.
Apolônio foi contemporâneo de Arquimedes que viveu,
aproximadamente, entre 287 a.C. e 212 a.C. e,
juntamente com Euclides (aprox. 325 a.C. a 265 a.C.)
forma a triade considerada como sendo a dos maiores
matemáticos gregos da antiguidade. Estudou com os
discípulos de Euclides em Alexandria e foi astrônomo
notável.
Um Pouco da Hist ória das Curvas Cônicas Um Pouco da Hist ória das Curvas Cônicas
Sua obra prima é Secções Cônicas composta por 8
volumes (aproximadamente 400 proposições!).
Embora Apolônio tenha sido o matemático que
mais estudou e desenvolveu as cônicas na
antiguidade, essas curvas já eram conhecidas
em sua época, sendo os precursores
Manaecmo, Aristeu e o próprio Euclides.
I nt rodução
Uma secção cônica é uma curva que resulta
da intersecção entre um plano e uma
superfície cônica assente numa base circular,
que se estende indefinidamente através do
seu vértice em ambas as direções.
Existem cinco tipos possíveis de secções
cônicas: a elipse; a hipérbole; a parábola; a
circunferência; e um par de retas
concorrentes. Estes dois últimos são casos
particulares da elipse e da hipérbole,
respectivamente.
Geratriz: G
Vértice: V
Eixo: e
Uma Superfície Cônica de RevoluçãoSuperfície Cônica de Revolução é gerada quando uma reta G intercepta outra reta e fixa, girando em
torno dela.
Curvas CônicasCurvas Cônicas
As Curvas CônicasCurvas Cônicas são produzidas por um
plano secante sobre uma Superfície Superfície
Cônica de RevoluçãoCônica de Revolução.
Dependendo do ângulo que forma o plano
secante com o eixo da superfície cônica,
surgem diferentes curvas cônicas.
Se o ângulo é maior, igual ou menor que o semiangulo do vértice da superfície cônica, obtem-se, respectivamente, uma elípse, uma parábola, ou uma hipérbole.
Secções Cônicas Secções Cônicas
Algumas Aplicações das Cônicas Algumas Aplicações das Cônicas
O interesse pelo estudo das cônicas remonta a
épocas muito recuadas. De fato, estas curvas
desempenham um papel importante em vários
domínios da física, incluindo a astronomia, a
economia, a engenharia e em muitas outras
situações.
Vejamos então algumas sit uações onde est as curvas Vejamos então algumas sit uações onde est as curvas
: aparecem: aparecem
Algumas Aplicações das Cônicas Algumas Aplicações das Cônicas
Suponhamos que temos uma
lanterna direcionada para
uma parede, então o feixe
de luz emitido desenhará
nessa parede uma curva
cônica, conforme a figura.
Dependendo da inclinação
da lanterna relativamente
à parede, assim se obtém
uma circunferência, uma
elipse, uma parábola ou
uma hipérbole.
Algumas Aplicações das Cônicas Algumas Aplicações das Cônicas
A superfície formada pela água
dentro de um copo é
elíptica, sendo circular
apenas no caso em que o
copo está direito, isto é, está
alinhado com o nível, na
horizontal.
Se animarmos o copo com um
movimento rotativo sobre si
próprio, a superfície do
líquido nele inserido será a
de um parabolóide. Esta
técnica é frequentemente
usada para se obter este
tipo de superfície.
Algumas Aplicações das Cônicas Algumas Aplicações das Cônicas
Na astronomia, Kepler mostrou que os
planetas do sistema solar descrevem
órbitas elípticas, as quais têm o sol
num dos focos. Também os satélites
artificiais enviados para o espaço
percorrem trajetórias elípticas.
Mas nem todos os objetos que circulam
no espaço têm órbitas elípticas.
Existem cometas que percorrem
trajetórias hiperbólicas, os quais ao
passarem perto de algum planeta com
grande densidade, alteram a sua
trajetória para outra hipérbole com
um foco situado nesse planeta.
Leis de Kepler
Algumas Aplicações das Cônicas Algumas Aplicações das Cônicas
Também as trajetórias dos projéteis, num ambiente sob a ação da
força de gravidade, são parabólicas.
Já no ambiente terrestre, onde existe a resistência do ar, essas
trajetórias são elípticas, mais propriamente, arcos de elipses.
Ao rodar em torno do seu eixo de simetria, a parábola, gera
uma superfície parabólica ou parabolóide.
O interesse dos espelhos parabólicos resulta das seguintes
propriedades da parábola e do parabolóide: Todo o raio
luminoso que incide num espelho parabólico, paralelamente ao
eixo, reflete-se passando por um ponto fixo, designado por foco.
Reciprocamente, todo o raio luminoso que incide no espelho
parabólico passando pelo foco reflete-se paralelamente ao eixo.
.
Em óptica e Acústica
Os arcos de cônicas surgem em Engenharia e
Arquitetura, em pontes, pórticos, cúpulas. Torres e
arcos, devido às suas propriedades físicas e estéticas.
Por exemplo, o cabo de suspensão duma ponte,
quando o peso total é uniformemente distribuído
segundo o eixo horizontal da ponte, tem a forma de
uma parábola.
Em Engenharia e Arquitetura
Um simples inst rumento ajudando a salvar vidas
Já imaginou ter um fogão em casa com energia solar? Pois, a
idéia já é possível. O estudo com esse fogão tem mais de 10
anos de desenvolvimento, tendo iniciado na Alemanha. São
coletores solares de alto desempenho que aquecem um fluido
térmico e transportam calor para panelas. O fogão pode ficar no
interior da casa e os coletores, do lado de fora, para captar
energia do sol. Este instrumento foi implantado na Etiópia para
ajudar a suprir a necessidade de alimento, e não só na África
como também no sertão nordestino, esta idéia boa e barato faz
sucesso.
Algumas Aplicações das Cônicas Algumas Aplicações das Cônicas
Fazendo uso da propriedade
refletora da parábola,
Arquimedes construiu
espelhos parabólicos, os
quais por refletirem a luz
solar para um só ponto,
foram usados para incendiar
os barcos romanos quando
das invasões de Siracusa.
Lembre-se que a
concentração de energia gera
calor.
Algumas Aplicações das Cônicas Algumas Aplicações das Cônicas
De fato, as propriedades refletoras das cônicas, e
não somente as da parábola, têm contribuindo
para a construção de telescópios, antenas,
radares, faróis, ópticas dos carros, lanternas,
etc...
Só para dar uma amostra de objetos mais
cotidianos que usam a propriedade refratora
das cônicas, mencionamos os seguintes: os
óculos graduados, as lupas e os microscópios.
Algumas Aplicações das Cônicas Algumas Aplicações das Cônicas
A partir da propriedade refletora das parábolas, os engenheiros civis construíram pontes de suspensão parabólica.
A arquitetura moderna se valem das formas cônicas…
Curvas Cônicas
elipse parábola hipérbole
A Elípse como Lugares Geomét ricos A Elípse como Lugares Geomét ricos
A ElipseElipse é o lugar geométrico dos pontos que satisfazem a condição de que a soma das distâncias a outros pontos fixos F1 e F2, chamados focos, é constante e igual a 2a, sendo 2a a longitude do eixo maior MN da elipse.
ElipseElipse
, : Const rução da Elipse dados dois e ixos por pontos , : Const rução da Elipse dados dois e ixos por pontos
Sean los ejes MN y ST:
•Se hallan los focos F1 y F2, como ya se ha explicado.
•Se toma un punto A cualquiera del eje mayor, situado entre uno de los focos y el centro, y con radio MA y centro en F1 se traza el arco 1 y con radio NA y centro F2 se traza el arco 2; estos dos arcos se cortan en el punto V de la elipse.
Repetindo a mesma operação com outros pontos B, C, etc., vão-se determinando pontos da elipse que posteriormente se unem.
Marcam-se os focos F1 e F2 sobre o eixo MN.
Toma-se um ponto A qualquer do eixo maior, situado entre um dos focos e o centro, e com o raio MA e centro em F1 se traça o arco r1 e com o raio NA e centro F2 se traça o arco r2; estes dois arcos se interceptam no ponto V da elipse.
Sejam os eixos MN e ST:
As Cônicas como Lugares Geomét ricos As Cônicas como Lugares Geomét ricos
Circunf erência é o lugar geométrico dos pontos P que estão a uma
mesma distância r de um ponto fixo A do plano, onde r é a
medida do raio da circunferência e o ponto A é o centro da
circunferência.Observe que a circunferência é um caso particular da elipse, que ocorre quando os focos F1 e F2 coincidem.
r
P
A
A Hipérbole como Lugares Geomét ricos A Hipérbole como Lugares Geomét ricos
A hipérbole é uma curva plana, aberta, com dois ramos e se define como o lugar geométrico dos pontos cuja diferença de distâncias a outros dois fixos F1 e F2, chamados focos, é constante e igual a 2a, sendo 2a o valor do eixo real V1 e V2.
HipérboleHipérbole
r1-r2= 2a Eixo real: V1V2= 2a
Distância focal: F1F2= 2c
Eixo virtual
, Const rução da Hipérbole dados os vért ices e os f ocos , Const rução da Hipérbole dados os vért ices e os f ocos
Los datos son: MN = 2 a y F1 F2 = 2c:
Se elige un punto A cualquiera en el eje real MN, situado a la derecha del foco de la derecha o a la izquierda del foco de la izquierda.
Con centros en F1 y F2 y radios MA y NA respectivamente se trazan los arcos 1 y 2 que se cortan en el punto V de la curva. Se verifica que: VF1 – VF2 = 2 a = MN.
r2
r1V
r2
Repitiendo la misma operación con otros puntos B, C, etc., se obtienen puntos que, unidos posteriormente con plantilla o a mano, nos definen la hipérbola.
Os dados são: MN= 2a e F1F2= 2c
Eixo real: MN= 2a= V1V2
Distância focal: F1F2= 2c
r1- r2= 2a
Se exige um ponto A qualquer no eixo real MN, situado a direita de ambos os focos.
Com centros em F1 e F2 e raios MA e NA respectivamente se traçam os arcos 1 e 2 que se cortam no ponto V da curva. Se verifica que:
VF1-VF2= 2a= MN
Repetindo a mesma operação com outros pontos B, C, etc, se obtém pontos que, unidos posteriormente, nos define um ramo da hipérbole. Então, usando simetria em relação a reta perpendicular a MN em seu ponto médio O obtém-se o outro ramo da hipérbole.
A Parábola como Lugares Geomét ricos A Parábola como Lugares Geomét ricos
A parábola é uma curva plana, aberta e de um ramo. Se define como o lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de um ponto fixo F chamado foco, e de uma reta fixa d chamada diretriz.
ParábolaParábola
, Const rução da Parábola dados o f oco e a dire t riz , Const rução da Parábola dados o f oco e a dire t riz
•El vértice es el punto medio del segmento MF.
•Se toma un punto cualquiera A del eje y se traza la recta m perpendicular al eje
•Con centro en el foco F y radio AM se traza un arco que corta a la perpendicular m en los puntos P y P´, puntos de la parábola. Se cumple que PF = PE
Repitiendo la misma operación con otros puntos B; C; etc., se obtienen puntos que unidos posteriormente a mano o con plantilla, nos determinan la parábola.
Os dados são: a diretriz d o eixo e e o foco F.
O vértice V é o ponto médio do segmento MF.
Escolha um ponto qualquer A do eixo e e trace a reta m perpendicular a esse eixo.
Com centro no foco F e raio AM trace um arco que corta a perpendicular m nos pontos P e P’, pontos da parábola. Verifique que PF= PE.
Repetindo a mesma operação com outros pontos B, C, etc, se obtém pontos, que unidos posteriormente, nos determinam a parábola.
dir
etri
z
?Quantos pontos det erminam uma Cônica ?Quantos pontos det erminam uma Cônica
Um procedimento bastante comum quando
usamos softwares Geométricos no estudo de
Cônicas, é o de que cinco pontos determinar
uma cônica…
Vamos justificar este fato. . .
Determinação da equação de uma cônica dados cinco pontos Determinação da equação de uma cônica dados cinco pontos
quaisquer.quaisquer.
Determinação da equação de uma cônica dados cinco pontos Determinação da equação de uma cônica dados cinco pontos
quaisquer.quaisquer.
Exemplo de determinação da equação de uma cônica, conhecendo Exemplo de determinação da equação de uma cônica, conhecendo
cinco pontos quaisquer.cinco pontos quaisquer.
Represent ação da Cônica do Exemplo ant erior Represent ação da Cônica do Exemplo ant erior
Esta Figura foi gerada pelo Esta Figura foi gerada pelo Cabri-Geomètre. Cabri-Geomètre. Obtenha-a usando o Obtenha-a usando o GeoGebraGeoGebra..