DIAGRAMMI DI BODE
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Vi Vo
Calcolo dell’uscita del circuito di figura:
iiii
C
C
o VRCj
V
Cj
RCj
CjV
CjR
CjV
XR
XV
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+=
+=
+
=+
=1
1
1
1
1
1
Si definisce Funzione di Trasferimento il rapporto tra Uscita ed
Ingresso:
[1] ⇒+
===RCjV
VjGFdT
i
o
ωω
1
1)(
∠−∠=∠
=
io
i
o
VVG
V
VG
⇒
∠+∠=∠
⋅=
GVV
VGV
io
io
MODULO della F. di T.:
[2] =)( ωjG =+ RCjω1
1
2221
1
CRω+
Se ( ) 110 222=+⇒= CRωω 1
1
1)( ==ωjG
Se ( ) ∞→+⇒∞→2221 CRωω 0
1)( =
∞=ωjG
Alla frequenza = 0 il modulo di |G| vale 1
dunque |Vo|=|Vi|cioè il segnale in uscita
non viene attenuato dal filtro.
Ad alta frequenza il modulo di |G| vale 0
Dunque |Vo|= 0 cioè non c’è segnale in
uscita.
Per valori di frequenza intermedi |G| è
compreso tra 0 ed 1
Dunque l’ uscita |Vo|= |G||vi| è minore
dell’ingresso; in uscita si ha un segnale
attenuato
Il circuito è dunque un PASSA BASSO:
“passano” i segnali in bassa freq. vengono
attenuati quelli in alta freq.
DIAGRAMMI DI BODE
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FASE della F. di T.:
[3] =∠ )( ωjG ( ) ( ) =−°=+∠−∠ RCarctgRCj ωω 011 ( )RCarctg ω−
Se °=−⇒= 0)0(0 arctgω °=∠ 0))(( ωjG
Se °−=∞−⇒∞→ 90)(arctgω °−=∠ 90))(( ωjG
Alla frequenza = 0 la fase di G vale 0°
dunque fase di Vo = fase di Vi cioè il segnale in
uscita non viene sfasato dal filtro.
Ad alta frequenza la fase di G vale -90°
Dunque la fase di Vo = fase di Vi -90° cioè
l’uscita è sfasata di 90° in ritardo.
Per valori di frequenza intermedi la fase di
G è compresa tra 0 ed -90°
Dunque in uscita si ha un segnale
ritardato di un angolo compreso tra 0° e 90°.
DIAGRAMMI DI BODE
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DECIBEL ED ASSI LOGARITMICI
ioVGV ⋅= esempio:
ioVV ⋅=
100
1
L’ amplificazione e l’attenuazione (in generale: Guadagno) possono essere espresse:
• come numero puro:
[4] i
o
V
VG = esempio: 01.0
100
1==G
• in decibel:
[5] GGdB
log20= esempio: dBGdB
4010log2001.0log20 2−===
−
Noto il guadagno in decibel, per calcolare il guadagno come numero puro:
⇒=⇒=20
loglog20 dB
dB
GGGG
[6] 2010
dBG
G =
Guadagno Guadagno Guadagno
Numero puro decibel Numero puro decibel Numero puro decibel
1 0dB 0.707 -3dB
10 20dB 0.1 -20dB 1.414 +3dB
100 40dB 0.01 -40dB 2 +6dB
1000 60dB 0.001 -60dB 0.5 -6dB
N.B.
|G|dB = 0dB corrisponde a |G| = 1
quindi iiio
VVVGV =⋅=⋅= 1 cioè uscita = ingresso
|G|dB =-3dB corrisponde a |G| ≅ 0.7 quindi ioVV ⋅= 7.0 cioè uscita = 70% ingresso
|G|dB =20dB corrisponde a |G| =10 quindi io
VV ⋅=10 cioè uscita = 10 volte ingresso
Assi logaritmici:
DIAGRAMMI DI BODE
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DIAGRAMMI DI BODE
sono una rappresentazione approssimata realizzata su assi logaritmici.
Diagramma di BODE del MODULO:
2221
1log20
1
1log20)(
CRRCjjG
dBωω
ω+
=+
=
Se ωωωω2R2C2 << 1 ⇔ RC
1<<ω
in ( ) ⇒+2222221 CRtrascuroCR ωω 1log20
1
1log20)( =≅
dBjG ω = 0dB
Se ωωωω2R2C2 >> 1 ⇔ RC
1>>ω
in ( ) ⇒+ 11 222trascuroCRω
dBRCRCCR
jGdB
)log(201
log201
log20)(222
ωωω
ω −==≅
Calcoliamo la differenza tra|G| alla generica pulsazione ωωωωx >>1 e |G| 1 decade dopo cioè
in 10⋅⋅⋅⋅ωωωωx :
=−⇒−≅
−≅
dBxdBx
xdBx
xdBxjGjG
dBRCjG
dBRCjG)()10(
)10log(20)10(
)log(20)(ωω
ωω
ωω
dBCR
CRRCRC
x
xxx 20)1(20
10log20)log(20)10log(20 −=−⋅=
=+−
ω
ωωω
quindi dB
jG )( ω cala di 20dB ogni decade
DIAGRAMMI DI BODE
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Approssimando, ritengo vere le considerazioni precedenti anche per:
RC
1<ω ed
RC
1>ω .
Prolungando la retta di pendenza -20dB/dec verso sinistra, toccherà l’asse delle ascisse
in RC
1=ω , infatti:
dB
CRRC
RCjG
dB
01log201
1log20)
1(
22
2==
≅
ωωωω=1/RC prende il nome di PULSAZIONE di TAGLIO (ωωωωt)
Il valore esatto di |G| in 1/RC è:
dB
CRCR
RCjG
dB
32
1log20
11
1log20)
1(
22
22
−=
=
+
= ⇔ 707.010 20
3
==
−
G
Quindiio
VV 7.0≅ anziché io
VV = come indicato dal valore approssimato (0dB)
Dunque utilizzando il diagramma di Bode si compie un errore massimo pari al 30% (-
3dB) del valore esatto.
DIAGRAMMI DI BODE
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DIAGRAMMA DI BODE DELLA FASE
( )RCarctgjG ωω −=∠ )(
°−=∠→∞=
°−=
−=∠→=
°=∠→=
=∠
90
4511
00
)(
ω
ω
ω
ω CRCR
arctgRC
jG
1 decade prima di 1/RC °−=
⋅−=∠→⋅= 71,5
10
11
10
1CR
CRarctg
RCω
1 decade dopo di 1/RC °−=
−=∠→⋅= 29,84
10110 CR
CRarctg
RCω
Quindi risulta accettabile approssimare l’andamento della fase a:
>→°−
≤≤
→°−
<→°
=∠
RCse
RCRCse
dec
RCse
jG
11090
110
1
10
145
1
10
10
)(
ω
ω
ω
ω
DIAGRAMMI DI BODE
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DIAGRAMMI DI BODE DI CASI PARTICOLARI
Quindi una F. di T. dalla forma: ωτ
ω
ωω
jj
jG
t
+=
+
=1
1
1
1)(1 dove
tωτ
1=
τ
ω
sssG
t
+=
+
=1
1
1
1)(1 dove s = jωωωω ha il seguente diagramma di Bode:
τssG +=1)(2
)(
1)(
1
2sG
sG = →
−∠=
∠=∠
−=−===
)()(
1)(
)()(log20)(
1log20
)(
1)(
1
1
2
11
11
2
sGsG
sG
sGsGsGsG
sGdB
dB
dB
DIAGRAMMI DI BODE
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τssG +=1)(2
Rappresentando G2 = 1+jωτ sul piano di
Gauss si vede che:
se ω = 0:
G2 giace sull’asse dei reali ed ha modulo 1
(0 dB) e fase 0°
se ω → ∞ :
G2 si allunga e tende alla verticale quindi
avrà modulo ∞ (∞ dB) e fase 90°
Queste considerazioni coincidono con
quanto indicato dai diagrammi di Bode
τssG −= 1)(3
Rappresentando G3 = 1-jωτ sul piano di
Gauss si vede che:
se ω = 0:
G3 giace sull’asse dei reali ed ha modulo
1 (0 dB) e fase 0°
se ω → ∞ :
G2 si allunga e tende alla verticale “in
giù” quindi avrà modulo ∞ (∞ dB) e
fase -90°
Quindi il modulo di G3 ha lo stesso
andamento del modulo di G2 mentre la
fase di G3 è “il negativo” di quella di G2
DIAGRAMMI DI BODE
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G2
Re
Im
G3
τssG −= 1)(3
Oppure possiamo dire che G3 essendo il complesso coniugato di G2:
)()( *
23 sGsG = →
−∠=∠
=
23
23
GG
GGdBdB
Quindi:
τssG
−=
1
1)(4
−∠=∠
−=
34
34
GG
GGdBdB
DIAGRAMMI DI BODE
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G5=jωτ
Re
Im τssG =)(6 Im→∈= ωτj
°=∠
=
90
log20
5
6
G
GdB
ωτ τω log20log20 +=
Ponendo:
cxy
c
x
GydB
+=
=
=
=
20
log20
log
6
τ
ω
Sul diagramma di Bode
1. Il modulo risulta essere una retta di pendenza 20 dB/dec
2. taglia l’asse y in 20logτ
3. taglia l’asse x in ω = 1/τ
Infatti:
1. Se calcolo |G6|dB in ωx ed ad 1 decade dopo cioè in 10ωx:
( ) ( ) =+−+=− τωτωωω log20log20log2010log20)()10( 66 xxdBxdBxGG
dBx
xxx 20
10log20log2010log20 ==−=
ω
ωωω
2. Per trovare l’intersezione con l’asse delle ordinate si pone logω=0 in:
τω log20log206 +=dB
G risulta τlog206 =dB
G
3. Per trovare l’intersezione con l’asse delle ascisse si pone 06 =dB
G in:
τω log20log206 +=dB
G risulta ⇒+= τω log20log200
τωωτωττω
110log0loglog =⇒=⇒=⇒=+⇒
N.B.
Dal diagramma risulta che, se logω → -∞
(cioè ωωωω →→→→ 0) ⇒|G6|dB → -∞ quindi
G6=10-∞ = 0 ⇒
Vo = 0⋅Vi = 0
a frequenza 0 l’uscita è 0
DIAGRAMMI DI BODE
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G5
Re
Im
k>0 k<0
Re)(7 →∈= ksG
<°
>°=∠
=
0180
00
log20
7
7
kse
kseG
kGdB
DIAGRAMMI DI BODE
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DIAGRAMMI DI FUNZIONI COMPOSTE
Se la F. di T. si può esprimere come prodotto o rapporto di F. di T. più semplici di cui sono
noti i diagrammi di Bode,
)()(
)()()(
sGsG
sGsGsG
DC
BA
⋅
⋅=
dato che:
dBDdBCdBBdBAdBsGsGsGsGsG )()()()()( −−+=
)()()()()( sGsGsGsGsG DCBA ∠−∠−∠+∠=∠
i diagrammi di Bode di G si possono ottenere per via grafica sommando o sottraendo i
diagrammi di Bode delle F. di T. componenti.
Risulta però più semplice eseguire le somme: quindi è preferibile fare:
dBDdBC
dBBdBAdB sGsGsGsGsG
)(
1
)(
1)()()( +++=
∠+
∠+∠+∠=∠
)(
1
)(
1)()()(
sGsGsGsGsG
DC
BA
DIAGRAMMI DI BODE
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Es. ( ) )()(11
1
1
1)( 212
11
2 sGsGsss
ssG ⋅=+⋅
+=
+
+= τ
ττ
τ → si sommano moduli e fasi di G1
e G2 anziché eseguire la sottrazione grafica di 2 G del “tipo 2” con diversa pulsazione di taglio
( 21 ττ ≠ )