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FACULTAD DE INGENIERA DE MINAS GEOLOGA Y METALURGIA
ESCUELA PROFESIONAL:INGENIERA DE MINAS
CURSO:MATEMTICA III
TEMA:Divergencia y Rotacional,
Coordenadas cilndricas y esfricas
INTEGRANTES:- Rodrguez Robles Erik
- Salvador Jara Paul
- Veramendi Santos Yaez J.
DOCENTE:Lic. Leiva Bernuy Rubn
Semestre acadmico:2014 II
CICLO:III
HUARAZ ENERO 2015
UNASAM
AO DE LA DIVERSIFICACIN PRODUCTIVA Y DEL FORTALECIMIENTO DE LA EDUCACIN
DIVERGENCIA, ROTACIONAL,
COORD. CILNDRICAS Y ESFRICAS
DIVERGENCIA DE UNA FUNCION VECTORIAL
Si una funcin vectorial es = (f1,f2,f3) , donde f1,f2,f3 son funciones escalares, entonces el producto escalar de la funcin vectorial y el vector simblico es decir: se denomina la divergencia de la funcin vectorial y se denota por div() =: es decir:
TEOREMA
Si y son dos funciones vectoriales, mostrar que
DEMOSTRACION
Si y entonces se tiene:
TEOREMA
Si es una funcin escalar, entonces la divergencia del gradiente de es
DEMOSTRACION
Como
La divergencia del gradiente se escribe como . Entonces se escribe como . Al operador le llamamos el Laplaciano, es decir:
Laplaciano = entonces se tiene:
DEFINICION
Una funcin escalar se dice armnica si es continua, tiene segundas derivadas continuas y satisface a la ecuacin de Laplace.
Mostrar que funcin , donde es una funcin armnica siempre que
ROTACIONAL DE UNA FUNCIN VECTORIAL
Si una funcin vectorial , donde son funciones escalares con primeras derivadas continuas entonces su producto vectorial o cruz con el vector simblico es:
PROPIEDADES
Sean y funciones vectoriales entonces
Sea una funcin escalar con segundas derivadas continuas entonces
Sea una funcin vectorial con segundas derivadas continuas entonces
Sean y funciones vectoriales, entonces
Ejemplo.Hallar el rotacional de
COORDENADAS CILINDRICAS
A las coordenadas cilndricas de un punto p del espacio denotaremos por p(r,,z) donde (r,) es la coordenada polar de la proyeccin de p sobre el plano polar y z es la distancia dirigida del plano polar al punto p.
Un punto p del espacio tiene dos representaciones una en coordenadas Cartesianas p(x,y,z) y la otra en coordenadas cilndricas p(r,,z). La relacin que existe entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas cilndricas es:; ; z=z.
Donde las coordenadas cilndricas r, son las coordenadas polares del punto (x, y, 0) en el plano XY, que es la proyeccin ortogonal del punto p sobre el plano XY.
Calculando el Jacobiano de las coordenadas cilindricas:
Ejm. Obtenga una ecuacin en coordenadas cartesianas para cada una de las siguientes superficies cuyas ecuaciones se han expresado en coordenadas cilndricas e identifique la superficie. A) r=6cos
COORDENADAS ESFRICAS
En un sistema de coordenadas esfricas se tiene: un plano polar y un eje Z perpendicular al plano polar con el origen del eje Z en el polo del plano polar.
A las coordenadas esfricas de un punto del espacio denotaremos por , en donde es el ngulo polar de la proyeccin de p en el plano polar y es el ngulo entre la direccin positiva del eje Z y el radio vector .
La relacin entre las coordenadas cartesianas y esfricas es: , , , , ,
.
Calculando el Jacobiano de las coordenadas esfricas se tiene:
Ejm. Obtenga una ecuacin en coordenadas cartesianas para cada una de las siguientes superficies cuyas ecuaciones se han expresado en coordenadas esfricas e identifique la superficie. a) psen=4
GRACIAS