DTH1B3 - MATEMATIKA
TELEKOMUNIKASI I
Limit dan Kekontinuan
By : Dwi Andi Nurmantris
CAPAIAN PEMBELAJARAN
Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi.
MATERI PEMBELAJARAN
Limit Kekontinuan
DEFINISI LIMIT
Perhatikan fungsi berikut ini.
1
1)(
3
X
Xxf
Fungsi tersebut tidak terdefinisi pada
x = 1 karena dititik ini f(x) berbentuk
0/0. Tetapi kita dapat mengamati
nilai-nilai f(x) untuk x mendekati 1.
DEFINISI LIMIT
Dari tabel dan grafik tersebut, kita dapat mengambil kesimpulan
bahwa f(x) mendekati 3 bilamana x mendekati 1. Dalam lambang
matematis kita tuliskan:
3
1
1lim
3
1
x
x
x 1
1)(
3
X
Xxf
Dibaca:
“limit dari ketika x cenderung
menuju ke nilai 1 adalah 3.”
DEFINISI LIMIT
Lxfcx
lim
Artinya : bila x dekat tetapi
tidak sama dengan c, maka
f(x) dekat ke L .”
DEFINISI LIMIT Limit Kiri dan Limit Kanan
c
1L
2L
c
●
º
f(x)
L
Jika x menuju c dari arah kiri (dari arah bilangan yang lebih kecil dari c, limit disebut limit kiri,
)(lim xfcx
Notasi
Jika x menuju c dari arah kanan (dari arah bilangan yang lebih besar dari c, limit disebut limit kanan,
)(lim xfcx
Notasi
Lxfcx
)(lim
Lxfxfcxcx
)(lim)(lim
Jika :
maka :
Jika :
)(lim)(lim xfxfcxcx
maka : adatidak)(lim
xf
cx
DEFINISI LIMIT Limit Kiri dan Limit Kanan
Contoh Soal
x
x
x 0lim.b
0Jika,1
0Jika,1)(
x
xxf
Carilah Limit dari fungsi berikut!
1lim2
x
x
x1lim
2
x
x
x
1lim1limlim222
x
x
x
x
x
x
xxx
x
x
x 2lim.a
a.
2
DEFINISI LIMIT Limit Kiri dan Limit Kanan
Contoh Soal
x
x
x 0lim.b
0Jika,1
0Jika,1)(
x
xxf
Carilah Limit dari fungsi berikut!
1lim0
x
x
x1lim
0
x
x
x
adatidaklimlimlim000
x
x
x
x
x
x
xxx
x
x
x 2lim.a
b.
0
METODE MENCARI LIMIT FUNGSI
1. Substitusi Langsung (Coba cara ini pertama kali)
2. Jika cara substitusi langsung gagal, maka tulis
kembali dengan mencari fungsi yang setara dengan
fungsi aslinya, Kemudian gunakan cara subtitusi
langsung. Metoda ini meliputi… • Faktorisasi.
• Rasionalisasi/Mengalikan dengan bilangan sekawan.
• Membagi dengan variabel pangkat tertinggi.
• Menggunakan fungsi identitas
• Cara lain yang legal
METODE MENCARI LIMIT FUNGSI Teorema Substitusi
Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka asalkan dalam kasus fungsi rasional, nilai
penyebut di c tidak nol.
cfxfcx
lim
METODE MENCARI LIMIT FUNGSI
Contoh 1
Carilah Limit dari fungsi berikut!
3
2lim xx
82lim 33
2
x
x
Solusi
Metode Substitusi langsung
METODE MENCARI LIMIT FUNGSI
Contoh 2
Carilah Limit dari fungsi berikut!
)3(
)9(lim
2
3
x
x
x
0
0
)3(
)9(lim
2
3
x
x
x
Solusi
Metode Substitusi langsung gagal
633
3
)3(
)3)(3(
)3(
)9(lim
2
3
x
x
xx
x
x
x
Metode Faktorisasi
METODE MENCARI LIMIT FUNGSI
Contoh 3
Carilah Limit dari fungsi berikut!
2
22lim
2
y
y
y
Solusi
Metode Substitusi langsung gagal
0
0
22
222
2
22lim
2
y
y
y
Kalikan dengan bilangan sekawanrasionalisasi pembilang
Coret faktor yang sama
Lakukan Substitusi Langsung
METODE MENCARI LIMIT FUNGSI
Contoh 4
Carilah Limit dari fungsi berikut!
23
523lim
2
2
xx
xx
x
Solusi
Metode Substitusi langsung gagal
?
?
23
523lim
2
2
xx
xx
x
23
523lim
2
2
xx
xx
x 2
2
/2/31
/5/23lim
xx
xx
x
3
001
003
/2/31
/5/23lim
2
2
x
Lakukan Substitusi Langsung
Bagi dengan variable pangkat tertinggi bagi dengan x2
METODE MENCARI LIMIT FUNGSI
Contoh 5
Carilah Limit dari fungsi berikut!
3
311
lim3
x
xx
Solusi
Metode Substitusi langsung gagal
Lakukan Substitusi Langsung
Kalikan pembilang dan penyebut dengan 3x
0
0
33
31
31
3
311
lim3
x
xx
Coret Faktor yang sama
LATIHAN SOAL
3
6lim.1
2
3
x
xx
x
3
9lim.2
9
x
x
x
1,2
10,
0,
)(dimana,2
2
xx
xx
xx
xf)(lim.32
xfx
SIFAT-SIFAT LIMIT
)(lim)(lim)()(lim.5 xgxfxgxfcxcxcx
)(lim)(lim)()(lim.4 xgxfxgxfcxcxcx
0)(limbila,)(lim
)(lim
)(
)(lim.6
xg
xg
xf
xg
xf
cx
cx
cx
cx
n
cx
n
cxxfxf ))(lim())((lim.7
genapdan0)(limbila,)(lim)(lim.8 nxfxfxfcx
ncx
n
cx
kkcx
lim.1 cxcx
lim.2 xfkxkfcxcx
limlim.3
SIFAT-SIFAT LIMIT
Contoh 1
Carilah Limit dari fungsi berikut!
4
32lim x
x
Solusi
16232lim2lim22lim44
3
4
3
4
3
xxx
xxx
SIFAT-SIFAT LIMIT
Contoh 2
Carilah Limit dari fungsi berikut!
xxx
23lim 2
4
Solusi
xxxxxxxxxxx 4
2
44
2
4
2
4lim2lim32lim3lim23lim
404243lim2lim32
4
2
4
xx
xx
TEOREMA LIMIT
TEOREMA APIT
LxhLxfcxcx
)(limserta)(lim
Lxgcx
)(lim
Misal untuk x disekitar/menuju c dan
maka
)()()( xhxgxf
SIFAT-SIFAT LIMIT
Contoh
Carilah Limit dari fungsi berikut!
Solusi
1
1sin)1(lim 2
1
xx
x
222 )1(1
1sin)1()1(
x
xxx
Karena 1)1
1sin(1
x
0)1(lim 2
1
x
x0)1(lim, 2
1
x
x
222 )1(1
1sin)1()1(
x
xxx
Maka dengan teorema Apit
01
1sin)1(lim 2
1
xx
x
KEKONTINUAN FUNGSI
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = c jika
(i) f(c) ada
ada)(lim xfcx
(ii)
(iii) )()(lim cfxfcx
Jika salah satu syarat tersebut tidak terpenuhi, maka f(x) tidak
kontinu di c.
KEKONTINUAN FUNGSI
c
(i)
º
f(c) tidak ada
f(x) tidak kontinu di x=c
c
(ii)
1L
2L
Karena limit kiri(L1) tidak sama dengan limit kanan(L2) maka f(x) tidak mempunyai limit di x=c
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=c
KEKONTINUAN FUNGSI
(iii)
c
●
º
f(c) f(c) ada )(lim xfcx
L
ada
Tapi nilai fungsi tidak sama dengan limit fungsi
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=c
cfxfcx
)(lim
KEKONTINUAN FUNGSI
(iv)
c
f(c)
f(c) ada )(lim xfcx
ada
)()(lim cfxfcx
f(x) kontinu di x=c
LATIHAN SOAL
Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkan alasannya
2
4)(
2
x
xxfa.
2,3
2,2
4)(
2
x
xx
xxfb.
2,1
2,1)(
2 xx
xxxfc.
TEOREMA KEKONTINUAN
TEOREMA 1
Jika fungsi f(x) dan g(x) kontinu di c, maka demikian juga:
1. kf(x) 2. f (x)+ g(x) 3. f (x)- g(x) 4. f(x) · g(x) 5. f(x)/g(x) asalkan g(c) tidak nol
6. f(x)n
7. 𝑓(𝑥)𝑛 asalkan f(c) > 0 jika n genap
TEOREMA KEKONTINUAN
TEOREMA 2 (Limit Komposit)
Jika
dan kontinu di g(c),
maka fungsi komposit f○g kontinu di c.
)(xg kontinu di c
)(xf
cgxgcx
)(lim
cgfxf
cgx
)(lim
)()(lim cgfxgfcx
TEOREMA KEKONTINUAN
Apakah kontinu di x = 2
solusi
Misalkan dan
fungsi kontinu di x=2
fungsi kontinu di x = g(2) = 4
63)( 2 xxxh
xxf )( 63)( 2 xxxg
)(xg
)(xf
Maka
fungsi kontinu di x = 2 63)( 2 xxxh
Contoh
TEOREMA KEKONTINUAN
TEOREMA 3 (Kontinu kanan dan Kontinu Kiri)
Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=c jika
)()(lim cfxfcx
Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=c jika
)()(lim cfxfcx
Fungsi f(x) kontinu di x=c jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=c
TEOREMA KEKONTINUAN
TEOREMA 4 (Kekontinuan pada suatu interval)
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f(x)
kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.
Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ] bila :
1. f(x) kontinu pada ( a,b )
2. f(x) kontinu kanan di x = a
3. f(x) kontinu kiri di x = b
TEOREMA KEKONTINUAN
TEOREMA 5 (Kekontinuan nilai antara)
Jika f(x) kontinu pada [a, b]
dan jika w sebuah bilangan antara f(a) dan f(b), Maka:
terdapat sebuah bilangan c di antara a dan b
sedemikian sehingga f(c) = w.