Processamento Digital de Sinais – Aula 18– Professor Marcio Eisencraft – abril 2012
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Aula 18 Propriedades da Transformada Z
Transformada Z inversa Bibliografia
� OPPENHEIM, A.V.; WILLSKY, A. S. Sinais e Sistemas, 2a edição, Pearson, 2010. ISBN 9788576055044.
Páginas 451-462.
� HAYKIN, S. S.; VAN VEEN, B. Sinais e sistemas, Bookman, 2001. ISBN 8573077417. Páginas 456-460.
6.3. Propriedades da Transformada Z
� As propriedades da Transformada Z são generalizações das propriedades das
transformadas de Fourier de tempo discreto estudadas em capítulo anterior.
� Vamos apenas citar as seguintes importantes propriedades sem demonstração.
Linearidade
[ ] [ ][ ] ( ) ( )zXazXanxanxa 22112211 +=+Z ; 21
: xx RDCRDCRDC ∩
Deslocamento no tempo
[ ][ ] ( )zXznnx n00
−=−Z ; xRDCRDC :
Mudança de escala na frequência
[ ][ ]
=a
zXnxan
Z ; xRDCRDC : multiplicado por a
Espelhamento
[ ][ ]
=−z
Xnx1
Z ; xRDCRDC : invertido
Conjugação complexa
[ ][ ] ( )∗∗∗ = zXnxZ ; xRDCRDC :
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Diferenciação no domínio z
[ ][ ] ( )dz
zdXznnx −=Z ; xRDCRDC :
Esta propriedade também é chamada de propriedade de “multiplicação por uma
rampa”.
Multiplicação
[ ] [ ][ ] ( )∫−
=C
dz
XXj
nxnx ννννπ
12121 2
1Z ;
21: xx RDCRDCRDC ∩ invertido
em que C é um contorno fechado que engloba a origem e está contido no RDC
comum.
Convolução
[ ] [ ][ ] ( ) ( )zXzXnxnx 2121 =∗Z ; 21
: xx RDCRDCRDC ∩
� Esta última propriedade transforma operação de convolução no domínio do
tempo numa multiplicação entre duas funções. Esta propriedade é bastante
significativa em muitos sentidos.
� Primeiramente, utilizando esta propriedade podemos fazer a convolução de
dois sinais finitos de maneira mais simples, como mostra os exercícios a se-
guir.
Exercícios
1. (INGLE; PROAKIS, 2000, p. 85) Sendo [ ] { }4,3,21 =nx para 20 ≤≤ n e
[ ] { }6,5,4,32 =nx para 30 ≤≤ n , utilize as propriedades da Transformada Z
para determinar [ ] [ ]nxnx 21 ∗ .
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2. (INGLE; PROAKIS, 2000, p. 85) Sendo ( ) 11 32 −++= zzzX e
( ) 122 5342 −+++= zzzzX , determine [ ]nx1 , [ ]nx2 e [ ] [ ] [ ]nxnxnx 213 ∗= .
� Um segundo uso importante da propriedade da convolução é nos cálculos da
resposta de sistemas como veremos numa próxima aula.
� Esta interpretação é particularmente útil ao se verificar a expressão da trans-
formada Z no Matlab. Note que como o Matlab é um processador numérico
(ao menos que o toolbox Symbolic seja usado) não se pode obter diretamente
a transformada Z.
� Uma solução para este problema seria a seguinte: seja [ ]nx uma sequência
com transformada racional
( ) ( )( )zA
zBzX =
em que ( )zB e ( )zA são polinômios em 1−z . Se usarmos os coeficientes de ( )zB e
( )zA como os vetores b e a da função filter e excitarmos este filtro com
uma sequência impulso [ ]nδ então usando a propriedade da convolução e tam-
bém que [ ][ ] 1=nδZ , a saída do filtro será [ ]nx .
� Esta é uma abordagem numérica para se calcular a antitransformada Z; na
próxima aula discutiremos a abordagem analítica.
6.3.1. Alguns pares comuns de Transformadas Z
� Usando a definição e as propriedades da Transformada Z, pode-se determinar
a transformada das sequências mais comuns. A seguir é dada uma lista de al-
gumas destas sequências.
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Figura 1 – Tabela de transformadas Z (LATHI, 2007).
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� As principais propriedades das Transformadas Z estão listadas na tabela a
seguir.
Figura 2 – Propriedades das Transformadas Z (OPPENHEIM; WILKY; NA-
WAB, 1999).
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Exercícios
3. (INGLE; PROAKIS, 2000, p. 87) Usando as propriedades e a tabela acima,
calcule a transformada Z de:
(a) ( )( ) ( )2
2 0,5 cos 2 23
n
x n n n u n
π− = − − −
(b)
(c)
(d) [ ] ( ) [ ]nunnxn
−= 415,14
cos265,20π
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6.4. Inversão da Transformada Z
� Como no caso das Transformadas de Laplace, devemos evitar a integração no
plano complexo necessária para obter a transformada Z inversa.
[ ] ( )[ ] ( )∫−− ==
C
n dzzzXj
zXnx 11
21π
Z.
� Uma abordagem mais prática é o uso da tabela de transformadas vista na se-
ção anterior.
� A maior parte das transformadas ( )zX de interesse prático são funções racio-
nais (razão de polinômios em z ). Tais funções podem ser expressas como
uma soma de funções mais simples usando a expansão em frações parciais.
� Este método funciona porque para cada [ ]nx definido para todo 0≥n , existe
uma correspondente ( )zX definida para 0rz > (em que 0r é uma constante) e
vice-versa.
Exercícios
4. (LATHI, 1998, p.677) Encontre a transformada z inversa de ( )( )32
98
−−−zz
z .
5. (NISE, 2002, p. 567) Determine a função no domínio do tempo amostrado tal
que a transformada seja:
( ) ( )( )7,05,0
5,0
−−=
zz
zzF .
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6.4.1. Transformada Inversa pela expansão de ( )zF em séries de potências
� Por definição
( ) [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] …
⋯
++++=
++++=
=
−−−
∞
=
−∑
3210
32
0
3210
3210
zfzfzfzf
z
f
z
f
z
ff
znfzFn
n
� Assim, temos uma série em 1−z . Assim, se pudermos expandir ( )zF numa
série de potências em 1−z , os coeficientes desta série de potência podem ser
identificados como [ ]0f , [ ]1f , [ ]2f , [ ]3f ,... e assim por diante.
� Uma ( )zF racional pode ser expandida numa série de potências de 1−z pela
divisão de seu numerador pelo seu denominador. Considere por exemplo,
[ ] ( )( )( )( ) …++++=
−−−−= −−− 321
2
87,1123,119,9715,02,0
27zzz
zzz
zzzF
Assim, [ ] 70 =f , [ ] 9,91 =f , [ ] 23,112 =f , [ ] 87,113 =f ,... e assim por diante.
Exercícios
6. (NISE, 2002, p. 567) Determine a função no domínio do tempo amostrado tal
que a transformada seja:
( ) ( )( )7,05,0
5,0
−−=
zz
zzF
utilizando séries de potências.
7. (NISE, 2002, p. 568) Determine [ ]nf se ( ) ( )( )( )( )( )9,07,05,0
21
−−−++=
zzz
zzzzF .
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8. (NISE, 2002, p. 598) Para cada ( )zF , obtenha [ ]nf usando expansão em fra-
ções parciais:
(a) ( ) ( )( )( )( )( )8,06,05,0
53
−−−++=
zzz
zzzzF
(b) ( ) ( )( )( )( )( )8,05,01,0
4,02,0
−−−++=
zzz
zzzF
(c) ( ) ( )( )( )( )6,05,0
2,01
−−++=zzz
zzzF
9. (NISE, 2002. p. 598) Para cada ( )zF no Exercício 8, faça o seguinte:
(a) Obtenha [ ]nf utilizando expansão em séries de potência.
(b) Verifique os resultados contra as respostas do Exercício 8.