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Esercizi su Limiti e Continuita
15 ottobre 2008
Funzioni Razionali e con Radicali
1. Si calcolino i limiti delle seguenti funzioni
(a) limx→+∞3x5−4x+1(1+2x)5
(b) limx→+∞x6−2x3+1
x−1
(c) limx→+∞x2+3x+2(x−1)3
(d) limx→+∞√
x4−x+1(2x−1)2
(e) limx→1x6−2x3+1
x−1 (f) limx→+∞x7/2+x5/3+x
2x1/3+3
(g) limx→+∞√
x5+4x4
3√x3+1(h) limx→0
(x2−1)3
x3+x
(i) limx→−∞√
x6−8(x2−1)2
(j) limx→+∞√
x + 1 +√
x− 1
(k) limx→−∞ x +√
x2 + 1 (l) limx→+∞ x−√
x2 + 1
(m) limx→+∞3√
x2 + 1− 3√
1− 2x2 (n∗) limx→+∞6√
(x2 + 1)2 − 6√
(x3 + 1)2
Soluzioni: (a) + 325 ; (b) +∞; (c) 0; (d) +1
4 ; (e) 0; (f) +∞; (g) +∞; (h) ∞; (i)0; (j) +∞; (k) 0; (l) 0; (m) +∞; (n) +∞.
Funzioni Trigonometriche
2. Si calcolino i limiti delle seguenti funzioni
(a) limx→0sin(x)
x (b) limx→0+1−cos(x)
x2 (c) limx→π2
sin(x)x−π
2
(d) limx→0sin(x2)
2x (e) limx→+∞ x sin( 1x) (f) limx→0
tan(x)x
(g) limx→0log(cos(x))
x2 (h) limx→0cos(x2)√x2−5x+1
(i) limx→0(tan(x))2
x
(j) limx→−∞ sin( 4x)x2
1
Soluzioni: (a) +1; (b) +12 ; (c) ∞; (d) 0; (e) +1; (f) +1; (g) −1
2 ; (h) +1; (i) 0;(j) −∞.
Funzioni Esponenziali e Logaritmiche
3. Si calcolino i limiti delle seguenti funzioni
(a) limx→0+(1 + x)1x (b) limx→0+
ln(1+x)x
(c) limx→0+ex−1
x (d) limx→0+esin x−1
2x
(e) limx→+∞ log(x + 1)− log(x2 − 1) (f) limx→(−1)+ log(x + 2)− log(x2 − 1)
(g) limx→+∞ ex
x2−1 − 2 (h) limx→(−1)±ex−1−3
x2−2x+1
(i) limx→0+ex−1
ln(1+3x) (j) limx→0+e(x−2)2−e8
x2
(k) limx→+∞ x(e1x − 1) (l) limx→+∞
e−x
ln( 1x)
(m) limx→0ex+xln(x) (n) limx→+∞
ex+xln(x)
(o) limx→0+ln(ex−1)√
x(p) limx→+∞
log(x4−1)log(x3−1)
Soluzioni: (a) e; (b) +1; (c) +1; (d) +12 ; (e) −∞; (f) +∞; (g) −1; (h) ±∞;
(i) +13 ; (j) −∞; (k) +1; (l) 0−; (m) 0−; (n) +∞; (o) 0+; (p) +4
3 .
Funzioni in generale
4. Si calcolino i limiti delle seguenti funzioni
(a) limx→+∞
(x+2x+1
)x(b) limx→0
(1+x)7−1x
(c) limx→0
3√
(1+x)2−2+ 8√x+1
x (d) limx→+∞2 log(x)+ex−
√x
x2−1
(e) limx→0cos3(x)−1
x2 (f) limx→1±log3(x)√
x−1
(g) limx→0±esin(x)−1
log4(x2+1)(h) limx→0
| sin(x)−sin(π2)|
x−π2
(i) limx→0sin(2x+x3) cos(x3)−sin(x3) cos(2x+x3)
x (j) limx→−∞e
4x log(x2)
x
2
Soluzioni: (a) e; (b) +7; (c) +138 ; (d) +∞; (e) −3
2 ; (f) ∓∞; (g) ±∞; (h) 0;(i) +2; (j) 0.
Continuita
5. Si determini per quali valori dei parametri reali a, b ∈ R la funzione f(x) econtinua
(a) f(x) =
{ √a + 2x x < 1
ax− 2 x ≥ 1
(b) f(x) =
{ eax−1x x < 0√
a4 + x x ≥ 0
(c) f(x) =
b log(1− x) x < 0
ax + b 0 ≤ x ≤ 2
ex−2 + a x > 2
Soluzioni: (a) a = 5±√
172 ; (b) 0, +1; (c) a = 1 , b = 0.
6. Determinare attraverso il Teorema degli Zeri, se esistono, le soluzioni delleseguenti equazioni e stabilire il numero delle soluzioni
(a) x3 + 2x + 1 = 0;
(b) 2x3 − 5x + 1 = 0;
(c) ex = 2− x2;
(d) | log(x + 1)| = 1− x;
(e) sin(x) = x2.
Soluzioni: (a) almeno una soluzione x ∈ (−12 0); (b) almeno 3 soluzioni
x1 ∈ (−∞, 0), x2 ∈ (0, +56), x3 ∈ (+5
6 , +∞); (c) almeno 2 soluzioni x1 ∈ (−∞, 0),x2 ∈ (0, +∞).
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