Esercizi su Limiti e Continuita

15 ottobre 2008

Funzioni Razionali e con Radicali

1. Si calcolino i limiti delle seguenti funzioni

(a) limx→+∞3x5−4x+1(1+2x)5

(b) limx→+∞x6−2x3+1

x−1

(c) limx→+∞x2+3x+2(x−1)3

(d) limx→+∞√

x4−x+1(2x−1)2

(e) limx→1x6−2x3+1

x−1 (f) limx→+∞x7/2+x5/3+x

2x1/3+3

(g) limx→+∞√

x5+4x4

3√x3+1(h) limx→0

(x2−1)3

x3+x

(i) limx→−∞√

x6−8(x2−1)2

(j) limx→+∞√

x + 1 +√

x− 1

(k) limx→−∞ x +√

x2 + 1 (l) limx→+∞ x−√

x2 + 1

(m) limx→+∞3√

x2 + 1− 3√

1− 2x2 (n∗) limx→+∞6√

(x2 + 1)2 − 6√

(x3 + 1)2

Soluzioni: (a) + 325 ; (b) +∞; (c) 0; (d) +1

4 ; (e) 0; (f) +∞; (g) +∞; (h) ∞; (i)0; (j) +∞; (k) 0; (l) 0; (m) +∞; (n) +∞.

Funzioni Trigonometriche

2. Si calcolino i limiti delle seguenti funzioni

(a) limx→0sin(x)

x (b) limx→0+1−cos(x)

x2 (c) limx→π2

sin(x)x−π

2

(d) limx→0sin(x2)

2x (e) limx→+∞ x sin( 1x) (f) limx→0

tan(x)x

(g) limx→0log(cos(x))

x2 (h) limx→0cos(x2)√x2−5x+1

(i) limx→0(tan(x))2

x

(j) limx→−∞ sin( 4x)x2

1

Soluzioni: (a) +1; (b) +12 ; (c) ∞; (d) 0; (e) +1; (f) +1; (g) −1

2 ; (h) +1; (i) 0;(j) −∞.

Funzioni Esponenziali e Logaritmiche

3. Si calcolino i limiti delle seguenti funzioni

(a) limx→0+(1 + x)1x (b) limx→0+

ln(1+x)x

(c) limx→0+ex−1

x (d) limx→0+esin x−1

2x

(e) limx→+∞ log(x + 1)− log(x2 − 1) (f) limx→(−1)+ log(x + 2)− log(x2 − 1)

(g) limx→+∞ ex

x2−1 − 2 (h) limx→(−1)±ex−1−3

x2−2x+1

(i) limx→0+ex−1

ln(1+3x) (j) limx→0+e(x−2)2−e8

x2

(k) limx→+∞ x(e1x − 1) (l) limx→+∞

e−x

ln( 1x)

(m) limx→0ex+xln(x) (n) limx→+∞

ex+xln(x)

(o) limx→0+ln(ex−1)√

x(p) limx→+∞

log(x4−1)log(x3−1)

Soluzioni: (a) e; (b) +1; (c) +1; (d) +12 ; (e) −∞; (f) +∞; (g) −1; (h) ±∞;

(i) +13 ; (j) −∞; (k) +1; (l) 0−; (m) 0−; (n) +∞; (o) 0+; (p) +4

3 .

Funzioni in generale

4. Si calcolino i limiti delle seguenti funzioni

(a) limx→+∞

(x+2x+1

)x(b) limx→0

(1+x)7−1x

(c) limx→0

3√

(1+x)2−2+ 8√x+1

x (d) limx→+∞2 log(x)+ex−

√x

x2−1

(e) limx→0cos3(x)−1

x2 (f) limx→1±log3(x)√

x−1

(g) limx→0±esin(x)−1

log4(x2+1)(h) limx→0

| sin(x)−sin(π2)|

x−π2

(i) limx→0sin(2x+x3) cos(x3)−sin(x3) cos(2x+x3)

x (j) limx→−∞e

4x log(x2)

x

2

Soluzioni: (a) e; (b) +7; (c) +138 ; (d) +∞; (e) −3

2 ; (f) ∓∞; (g) ±∞; (h) 0;(i) +2; (j) 0.

Continuita

5. Si determini per quali valori dei parametri reali a, b ∈ R la funzione f(x) econtinua

(a) f(x) =

{ √a + 2x x < 1

ax− 2 x ≥ 1

(b) f(x) =

{ eax−1x x < 0√

a4 + x x ≥ 0

(c) f(x) =

b log(1− x) x < 0

ax + b 0 ≤ x ≤ 2

ex−2 + a x > 2

Soluzioni: (a) a = 5±√

172 ; (b) 0, +1; (c) a = 1 , b = 0.

6. Determinare attraverso il Teorema degli Zeri, se esistono, le soluzioni delleseguenti equazioni e stabilire il numero delle soluzioni

(a) x3 + 2x + 1 = 0;

(b) 2x3 − 5x + 1 = 0;

(c) ex = 2− x2;

(d) | log(x + 1)| = 1− x;

(e) sin(x) = x2.

Soluzioni: (a) almeno una soluzione x ∈ (−12 0); (b) almeno 3 soluzioni

x1 ∈ (−∞, 0), x2 ∈ (0, +56), x3 ∈ (+5

6 , +∞); (c) almeno 2 soluzioni x1 ∈ (−∞, 0),x2 ∈ (0, +∞).

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