Universita degli Studi di LecceFacolta di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Dipartimento di Fisica
Tesi di Laurea
Estensioni Supersimmetriche del ModelloStandard e Meccanismo di Stueckelberg
Laureando: Simone Morelli
Relatore: Dr. Claudio Coriano
Anno Accademico 2004-2005
Ringraziamenti
I miei piu sentiti ringraziamenti vanno al mio relatore, Claudio Coriano. Lo ringrazio
perche il suo costante impegno, la sua inesauribile dedizione e la disponibilita incon-
dizionata che mi ha sempre dimostrato durante la realizzazione di questa tesi sono, in
assoluto, valori umani da non dare per scontati. Un ringraziamento particolare e ri-
volto anche a Marco poiche il suo aiuto, i suoi consigli e.... la sua pazienza sono stati di
fondamentale importanza per poter arrivare a tagliare questo importante traguardo.
Grazie alla mia speciale compagna di studi Elisa per aver condiviso con me gioie
e dolori “accademici”, la nostra amicizia ha costituito il nostro sostegno reciproco.
Ringrazio tutti i miei amici che mi sono stati vicini durante la realizzazione della tesi,
nonostante i miei sbalzi di umore!!! Senza il loro sostegno l’impegno richiesto dal
lavoro di tesi sarebbe risultato senz’altro un ostacolo insormontabile. Grazie a mio
fratello e ai miei genitori che mi sono sempre stati accanto, l’intero lavoro di tesi e
dedicato a loro.
i
Contents
Introduzione2
Capitolo 1. Teorie di gauge 31.1 Invarianza di gauge abeliana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Teorie di Yang-Mills: Invarianza di gauge non abeliana . . . . . . . . 7
Capitolo 2. Rottura spontanea di simmetria 152.1 Rottura spontanea di una simmetria globale continua . . . . . . . . . 16
2.2 Il meccanismo di Higgs abeliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Il meccanismo di Higgs per teorie di gauge non abeliane . . . . . . . . 23
Capitolo 3. Il Modello Standard 253.1 Le masse dei bosoni di gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Accoppiamento dei fermioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 I termini di massa per i fermioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Capitolo 4. Anomalie chirali 314.1 Simmetrie classiche e quantistiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Simmetrie chirali in QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 Anomalie delle correnti chirali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4 Teorie di gauge libere da anomalie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.5 Cancellazione delle anomalie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
ii
Contents iii
Capitolo 5. Meccanismo di Stueckelberg 435.1 Proca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2 Stueckelberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Capitolo 6. Cancellazione delle anomalie non standard 516.1 Due gruppi U(1) anomali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.2 Assegnazione delle cariche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.3 Estensione del Modello Standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Capitolo 7. Supersimmetria 657.1 Indici puntati e non puntati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.2 Matrici di Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.3 Spinori di Weyl e di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.4 Relazioni tra spinori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.5 Formule di Fierz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.6 Estensione supersimmetrica dell’algebra di Poincare (Dirac) . . . . . . 75
7.7 Estensione supersimmetrica dell’algebra di Poincare (Weyl) . . . . . . 78
7.8 Operatori di Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.9 Superspazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.10 Di!erenziazione rispetto alle variabili di Grassmann . . . . . . . . . . 81
7.11 Integrazione rispetto alle variabili di Grassmann . . . . . . . . . . . . 83
7.12 Supercampi e trasformazioni di supersimmetria . . . . . . . . . . . . 85
7.13 Supercampi chirali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.14 Supercampi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.15 Intensita di campo supersimmetrica abeliana . . . . . . . . . . . . . . 94
7.16 Lagrangiana e azione dai campi chirali . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.17 Lagrangiana e azione dai campi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.18 Teorie di gauge supersimmetriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
iv Contents
Capitolo 8. Modello Standard supersimmetrico minimale 1058.1 Supercampi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.2 Lagrangiana supersimmetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.3 Espansione in componenti di LSoft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.4 Espansione in componenti di LSusy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.5 Bosoni di gauge e gaugini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.6 Lagrangiana on-shell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.7 Spinori a quattro componenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.8 Lagrangiana a quattro componenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.9 Il potenziale di Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Capitolo 9. Il Modello Standard supersimmetrico non minimale 1279.1 Neutralino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.2 Chargino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Capitolo 10. Il Modello di Stueckelberg supersimmetrico 13510.1 Estensione dell’MSSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
10.2 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
v
Introduzione
Il Modello Standard delle interazioni fondamentali e la struttura teorica portante sulla
quale si fonda tutta la nostra conoscenza attuale in fisica delle particelle elementari.
Come e noto, tale teoria non e una teoria completa, giacche, ad esempio, non introduce
una massa per i neutrini ed e anche soggetta ad una forte dipendenza delle costanti
di rinormalizzazione del settore scalare da un cuto! che puo essere molto piu grande
della scala elettrodebole (problema della gerarchia di gauge).
La supersimmetria, introdotta negli anni ’70 come metodo per risolvere il prob-
lema delle gerarchie di gauge raddoppia lo spettro della teoria mediante l’introduzione
di una nuova simmetria globale, detta supersimmetria i cui gradi di liberta campis-
tici sono raccolti in supermultipletti. Ogni supermultipletto ha un numero bilanciato
di gradi di liberta fermionici e bosonici e contiene la medesima carica sotto trasfor-
mazioni di gauge nonche la stessa massa. Ovviamente la supersimmetria come sim-
metria deve essere rotta per diventare fenomenologicamente accettabile. Ad esempio
i quarks sono accompagnati da partners scalari detti “squarks”, anche questi aventi
la stessa carica di colore dei quarks, ma di statistica bosonica. Non avendo nessun
esperimento condotto fino ad ora rilevato degli “squarks”, e naturale che la massa dei
quarks e degli “squarks” deve essere di!erente. Questo implica che la supersimmetria
deve essere rotta. Il problema della rottura della supersimmetria e pertanto un ele-
mento cruciale per rendere la teoria valida sul piano sperimentale. Al momento l’unico
modo per rompere la superimmetria e quello di introdurre i cosiddetti “soft breaking
terms”, che mentre danno massa ai partners supersimmetrici al contempo non gener-
ano nuovamente le divergenze quadratiche nel settore scalare che sono responsabili,
appunto, del problema delle gerarchie di gauge.
Recentemente ci sono stati dei tentativi di incorporare alcune idee provenienti
dalle teorie di unificazione di stringa nell’ambito di modelli supersimmetrici e!ettivi
(minimali e non minimali) mediante sia una estensione supersimmetrica del modello
1
2 Introduzione
standard con gruppi di gauge abeliani addizionali, sia proponendo un meccanismo di
cancellazione delle anomalie diverso dal Modello Standard. La presenza di gruppi di
gauge addizionali abeliani e una delle caratteristiche essenziali di queste teorie che
devono necessariamente dare luogo a bosoni di gauge molto pesanti in modo da non
contraddire la fenomenologia elettrodebole nota. Una delle domande da porsi e la
seguente: come si puo rompere una simmetria abeliana senza intaccare il meccanismo
di Higgs tradizionale del Modello Standard? La risposta e contenuta nel ben noto
meccanismo detto “di Stueckelberg” che fornisce un metodo per dare massa a bosoni
di gauge abeliani senza per questo intaccare il meccanismo di Higgs tradizionale.
Entrambi i meccanismi (di Higgs e di Stueckelberg) sono responsabili della rottura
delle simmetrie in questi modelli.
In questa tesi passeremo in rassegna il Modello Standard, la sua estensione super-
simmetrica minimale, descriveremo il settore del neutralino nel modello non minimale
e ci avvieremo verso una discussione del meccanismo di Stueckelberg in questi modelli.
Estensioni supersimmetriche del meccanismo di Stueckelberg sono state presentate di
recente nella letteratura. Queste estensioni sono caratterizzate dalla presenza di un
settore di gauge addizionale del tipo U(1)Y ! U(1)X contenente, appunto, il gruppo
di ipercarica U(1)Y and un gruppo U(1)X privo di anomalie chirali. Dimostreremo
che un meccanismo di cancellazione delle anomalie non canonico richiede forme di
Chern-Simons ed operatori di dimensione 5 che introducono un assione nello spettro.
Questa analisi, che e preliminare e precede ogni estensione supersimmetrica, verra
da noi studiata in un capitolo dedicato alla cancellazione delle anomalie chirali in
semplici modelli del tipo U(1) ! U(1). Vedremo che, almeno per i modelli studiati,
otteniamo l’ indicazione che accoppiamenti di tipo Chern-Simons non sono su"ci-
enti per garantire la cancellazione delle loro anomalie dando consistenza a queste
teorie. L’ultima parte della tesi vertera su una analisi del modello di Stueckelberg
supersimmetrico.
Capitolo 1
Teorie di gauge
L’espressione “simmetria dinamica” (Gross[1]) indica una simmetria talmente restrittiva
da determinare completamente la struttura della lagrangiana del sistema fisico in
questione. L’esempio piu importante di tali simmetrie e senz’altro costituito dalle
simmetrie di gauge locali su cui e basato il Modello Standard della fisica delle par-
ticelle elementari. Le teorie dinamiche “costruite” sull’imposizione dell’invarianza
rispetto a trasformazioni di gauge locali sono chiamate “teorie di gauge” ed e tanto
sorprendente come tutte le interazioni fino ad oggi considerate fondamentali emergano
nell’ambito di tali teorie che la procedura di imporre l’invarianza di gauge su una teo-
ria libera per ottenere la teoria di interazione del sistema fisico considerato puo essere
assunta a principio dinamico: il “principio di simmetria di gauge”. La Cromodinamica
Quantistica, o QCD per brevita, che rappresenta la moderna teoria delle interazioni
forti, e ottenuta, per l’appunto, applicando il principio di gauge al gruppo SU(3)
di colore, cosı come la teoria unificata elettrodebole di Glashow-Salam-Weinberg e
basata sul gruppo di gauge ottenuto dal prodotto SU(2)!U(1). Il “prototipo” delle
teorie di gauge e la ben nota Elettrodinamica Quantistica, o QED, che e una teoria
di gauge abeliana; essa, infatti, puo essere “costruita” imponendo che la lagrangiana
dell’elettrone libero sia invariante rispetto a trasformazioni locali del gruppo U(1) e
rinormalizzabile.
1.1 Invarianza di gauge abeliana
Consideriamo (gauge[2]) la densita di lagrangiana per un campo fermionico libero
3
4 Capitolo 1. Teorie di gauge
LF = !(i"µ#µ "m)! . (1.1)
Chiaramente essa possiede una simmetria globale U(1) corrispondente all’invarianza
della teoria rispetto a cambiamenti di fase costante
!(x)#!!(x) = e"iq!!(x), (1.2)
!(x)#!!(x) = !(x)eiq! . (1.3)
In virtu del Teorema di Noether la corrispondente corrente conservata risulta
essere
Jµ = q!"µ! (1.4)
che e la ben nota corrente elettromagnetica. Adesso vogliamo estendere l’invarianza
della lagrangiana fermionica a trasformazioni di gauge locali, cioe consideriamo trasfor-
mazioni di fase con parametro $ = $(x)
!(x)#!!(x) = e"iq!(x)!(x), (1.5)
!(x)#!!(x) = !(x)eiq!(x). (1.6)
Sostituendo ai campi i loro trasformati si trova che la lagrangiana fermionica si
trasforma nel seguente modo
L!F = LF + q!"µ!#µ$ = LF + Jµ#µ$(x) , (1.7)
cioe la teoria libera non possiede invarianza per trasformazioni di gauge locali.
Si puo comunque ottenere l’invarianza ricalibrando la lagrangiana LF con l’aggiunta
di un termine di interazione tra la corrente fermionica Jµ e un nuovo campo Aµ,
ottenendo cosı la nuova lagrangiana L di espressione
1.1. Invarianza di gauge abeliana 5
L = LF "e
qJµAµ . (1.8)
Allora, considerato che J !µ = Jµ, la richiesta di invarianza L! = L diventa
L!F "e
qJµA!
µ = LF + Jµ#µ$ "e
qJµA!
µ
= LF "e
qJµAµ ; (1.9)
quindi la richiesta di invarianza impone la seguente legge di trasformazione per il
campo Aµ
e
qJµAµ + Jµ#µ$ =
e
qJµA!
µ (1.10)
nella quale si puo elidere Jµ ad ambo i membri, in quanto diverso da zero, e
ottenere cosı il seguente vincolo
A!µ = Aµ +
q
e#µ$(x) (1.11) abelian
(q = e) che riproduce la ben nota trasformazione di gauge che lascia invariante
l’azione dell’ elettromagnetismo.
Quindi, imponendo sulla lagrangiana fermionica libera l’invarianza rispetto a trasfor-
mazioni di fase locali, siamo stati costretti ad introdurre nella lagrangiana un campo
vettoriale Aµ, detto campo di gauge, mediante un termine “aggiunto a mano” che
e esattamente il termine di accoppiamento tra un fermione ed un fotone: "JµAµ.
Allora volendo trattare a tutti gli e!etti il nuovo campo Aµ come un campo fisico, si
deve aggiungere alla lagrangiana L il termine cinetico per il fotone che ovviamente
dovra essere invariante rispetto alla trasformazione (abelianabelian1.11); questo limita la scelta ad
un termine cinetico del tipo
" 1
4Fµ"F
µ" (1.12)
6 Capitolo 1. Teorie di gauge
dove Fµ" = #µA" " #"Aµ e il tensore del campo elettromagnetico con la solita
normalizzazione. Si noti, in particolare, che un eventuale termine di massa m2#A
µAµ
e proibito dalla richiesta di invarianza di gauge; questo impone che la particella di
gauge, ovvero il fotone, sia priva di massa. Quindi la richiesta di invarianza della
lagrangiana fermionica libera per trasformazioni di fase locali ci porta, automatica-
mente, a considerare la lagrangiana di interazione dell’ Elettrodinamica Quantistica
LQED = "1
4Fµ"F
µ" + !(i"µ#µ "m)! " e
qJµAµ . (1.13)
Gli ultimi due termini della LQED
!(i"µ#µ "m)! " e
qJµAµ = !(i"µ#µ "m)! " e!"µAµ! (1.14)
possono essere scritti in forma piu compatta introducendo l’operatore di “derivata
covariante” per lo spinore, definito come
Dµ ! = (#µ + ieAµ)!, (1.15)
che rispetto a trasformazioni di gauge locali abeliane si trasforma in
D!µ !! = (#µ + ieA!
µ)U! =!#µ + ie
"Aµ +
q
e#µ$
#$U! . (1.16)
Utilizzando il risultato #µU = "iq#µ$U e banale verificare la seguente legge di
trasformazione “covariante”
D!µ !! = UDµ ! , (1.17)
quindi, evidentemente, la combinazione !Dµ! risulta gauge-invariante. Allora la
lagrangiana della Elettrodinamica Quantistica diventa semplicemente
LQED = "1
4Fµ"F
µ" + !(i"µDµ "m)! . (1.18)
,
1.2. Teorie di Yang-Mills: Invarianza di gauge non abeliana 7
1.2 Teorie di Yang-Mills: Invarianza di gauge non abeliana
In questo paragrafo estendiamo il “principio di gauge” ai gruppi di simmetria non
abeliani ((mike[3])). La piu semplice generalizzazione e costituita dallo studio del gruppo
di simmetria SU(2) di iIsospin. Il campo fermionico sia, nella rappresentazione fon-
damentale di SU(2) I = 12 , il doppietto di spinori
! =
%!1
!2
&(1.19)
che sotto una trasformazione del gruppo diventa
!#!! = e"ig 12 $i%i! (i = 1, 2, 3), (1.20)
dove gli angoli $i = g%i di rotazione nello spazio dell’isospin sono stati costruiti
con gli %i che sono parametri reali e inserendo la costante reale g in analogia con la
carica q che compare nelle trasformazioni del gruppo U(1) dell’elettromagnetismo;
nella rappresentazione fondamentale del gruppo SU(2) i generatori $i2 sono matrici
2!2 che, ovviamente, soddisfano la relazione di commutazione dell’algebra del gruppo
!&i
2,&j
2
$= i%ijk
&k
2(i, j, k = 1, 2, 3), (1.21)
dove il tensore totalmente antisimmetrico di Levi-Civita %123 = 1 rappresenta le
costanti di struttura del gruppo, mentre le &i sono le matrici di Pauli
&1 =
%0 1
1 0
&, &2 =
%0 "i
i 0
&, &3 =
%1 0
0 "1
&.
Vogliamo studiare prima di tutto la simmetria della lagrangiana fermionica libera
LF = !(i#/ " m)! sotto trasformazioni globali (parametri %i costanti) del gruppo
SU(2)
!(x)#!!(x) = U !(x), (1.22)
!(x)#!!(x) = !(x) U † . (1.23)
8 Capitolo 1. Teorie di gauge
La lagrangiana rispetto a tali trasformazioni risulta invariata, infatti
L!F = !U †(i#/"m)U! = !(i#/"m)! = LF , (1.24)
avendo utilizzato l’unitarieta della matrice U . Allora, in virtu del teorema di
Noether, la corrispondente quantita conservata risulta essere la corrente di isospin
Jµi = g!"µ 1
2&i! . (1.25)
Adesso vogliamo studiare la simmetria della LF rispetto a trasformazioni locali
(con parametri %i = %i(x)) del gruppo SU(2), quindi consideriamo
!(x)# !!(x) = U(x) !(x), (1.26)
!(x)# !!(x) = !(x) U †(x) ; (1.27)
sostituendo si trova che la lagrangiana fermionica libera non e invariante a causa
della dipendenza della matrice di trasformazione dal punto dello spazio-tempo; si
ottiene infatti
L!F = !U †(i"µ#µ "m)U! = LF + !i"µU †(#µU)! . (1.28)
Seguendo una procedura analoga a quella del caso abeliano, costruiamo la la-
grangiana gauge-invariante aggiungendo un termine di interazione tra la corrente di
isospin Jµi e i nuovi campi Ai
µ (g svolge il ruolo di costante di accoppiamento proprio
come la carica e dell’elettromagnetismo)
L = LF " Jµi Ai
µ = LF " g!"µ
'1
2&iA
iµ
(! = LF " g!"µAµ! (1.29)
dove e stato introdotto un campo di gauge Aiµ (i=1,2,3) per ogni generatore del
gruppo di simmetria considerato (in generale, per un gruppo di simmetria SU(n), ci
1.2. Teorie di Yang-Mills: Invarianza di gauge non abeliana 9
saranno n2"1 campi di gauge), e la matrice Aµ che agisce direttamente sul doppietto
! ha la seguente espressione
Aµ(x) =1
2&iA
iµ(x) =
1
2
%A3
µ A1µ " iA2
µ
A1µ + iA2
µ "A3µ
&. (1.30)
Adesso la richiesta di invarianza L! = L diventa
L!F " g!!"µA!µ!
! = LF + !i"µU †(#µU)! " g!"µU †A!µU!
= LF " g!"µAµ! (1.31)
che significa imporre la seguente legge di trasformazione finita per Aµ(x)
A!µ(x) = UAµ(x)U † +
i
g(#µU)U †; (1.32) finita
per trovare l’espressione della trasformazione infinitesima espandiamo al primo
ordine l’esponenziale U = e"ig 12 $i%i
U = 1" ig'(x), (1.33)
U † = 1 + ig'(x) (1.34)
dove, per snellire la notazione, e stata introdotta la matrice 2!2 hermitiana '(x) =12&i%i(x). Allora, andando a sostituire nella trasformazione finita (
finitafinita1.32), si trova al
primo ordine in %
A!µ(x) = Aµ(x) + #µ'(x) + ig[Aµ(x), '(x)] ; (1.35)
e usando esplicitamente Aµ = 12&iAi
µ(x), insieme alle parentesi di commutazione
tra i generatori)
$i2 , $j
2
*= i%ijk
$k2 si ottiene la trasformazione infinitesima per ogni
singolo campo di gauge Aµi
10 Capitolo 1. Teorie di gauge
A!µ
i(x) = Aµi(x) + #µ%i(x)" g%ijkAµ
j(x)%k(x), (1.36) infinites
in cui notiamo la presenza del terzo termine (dipendente dalla “carica” g) che
non ha analogo nell’elettromagnetismo, e che nasce dal fatto che i tre campi di gauge
(A1µ, A
2µ, A
3µ) si trasformano come un vettore nello spazio interno dell’isospin, cioe sono
le componenti di un tripletto (I = 1) nella rappresentazione aggiunta di SU(2). A
questo punto e utile introdurre la derivata covariante per il doppietto !
Dµ ! = (#µ + igAµ)! (1.37)
che rispetto a trasformazioni di gauge locali non abeliane si trasforma in
D!µ !! = (#µ + igA!
µ)U! =
+#µ + ig
'UAµ(x)U † +
i
g(#µU)U †
(,U!
= UDµ! + [(#µU)" (#µU)]! = UDµ! ; (1.38)
quindi, evidentemente, la lagrangiana cosı costruita
L = !(i"µDµ "m)! (1.39)
risulta gauge-invariante. Per completare la costruzione della lagrangiana dobbi-
amo aggiungere un termine per i campi di gauge che, separatamente, deve essere
invariante rispetto alle trasformazioni date dalla (infinitesinfinites1.36). Per inciso notiamo che, come
il fotone, anche i campi di gauge di un generico gruppo SU(n) sono privi di massa
poiche il corrispondente termine AiµA
iµ romperebbe l’invarianza di gauge. In analo-
gia con il termine cinetico dell’elettromagnetismo, per ognuno degli n2 " 1 campi di
gauge, abbiamo
" 1
4F i
µ"Fiµ" , (1.40) cinetic
a condizione che la definizione del tensore F iµ" dei campi di gauge sia opportuna-
mente generalizzata. Se definiamo Fµ" come
1.2. Teorie di Yang-Mills: Invarianza di gauge non abeliana 11
Fµ"(x) =1
2&iF
iµ"(x) (1.41)
e usiamo la relazione di normalizzazione tr(&i&j) = 2(ij allora il termine di la-
grangiana per i campi di gauge puo essere riscritto piu convenientemente
" 1
4F i
µ"Fiµ" = "1
2tr(Fµ"F
µ") . (1.42)
Definendo Fµ" in termini delle derivate covarianti
Fµ" = DµA" "D"Aµ (1.43)
si verifica la legge di trasformazione
F !µ" = UFµ"U
† (1.44)
che, evidentemente, lascia invariante il termine cinetico (cineticcinetic1.40) dei campi di gauge,
poiche la traccia e invariante rispetto a trasformazioni unitarie. Esplicitamente risulta
Fµ" = #µA" " #"Aµ + ig[Aµ, A" ], (1.45)
ovvero in termini dei singoli campi di gauge
F iµ" = #µA
i" " #"A
iµ " g%ijkA
jµA
k" . (1.46)
Nel tensore F iµ" dell’i-esimo campo di gauge va notata la presenza del termine
“extra” dipendente dalla carica g che rende la teoria molto diversa dalla QED; infatti
quando si va ad esplicitare il prodotto F iµ"F
iµ" nella lagrangiana si trovano dei termini
cubici e quartici nei campi di gauge che descrivono auto-interazioni tra i bosoni vettori
e questo si verifica perche i bosoni vettori stessi trasportano carica g, al contrario dei
fotoni che, quindi, non possono interagire tra loro. Questa di!erenza rispetto alla
12 Capitolo 1. Teorie di gauge
QED discende proprio dal fatto che il gruppo di gauge considerato, nel caso specifico
SU(2) ma in generale SU(n), e non abeliano (ovvero le costanti di struttura del
gruppo sono diverse da zero). La discussione dell’invarianza rispetto a trasformazioni
locali del gruppo SU(2) puo essere estesa ad un generico gruppo SU(n). In generale
una teoria invariante rispetto a trasformazioni locali di un gruppo di simmetria non
abeliano e detta teoria di Yang-Mills e, come e noto, la Cromodinamica Quantistica
(per brevita QCD) e proprio una teoria di Yang-Mills con simmetria di gauge “esatta”
del gruppo SU(3) di colore. Essa viene costruita (Ryder[4]) applicando alla simmetria di
colore del modello a quark una procedura analoga a quella eseguita per il gruppo
SU(2) di isospin. Infatti i fermioni della teoria, ovvero i quarks, vengono assegnati
alla rappresentazione fondamentale di tripletto del gruppo SU(3)
q =
-
./qR
qG
qB
0
12 , (1.47)
che rispetto ad una trasformazione locale del gruppo diventa
q# q ! = e"ig 12&a%a(x)q (a = 1, ..., 8), (1.48)
dove gli %a sono i parametri reali che specificano la trasformazione, mentre i gen-
eratori &a2 , nella rappresentazione fondamentale del gruppo, sono matrici 3!3 che,
ovviamente, soddisfano la relazione di commutazione dell’algebra di SU(3)
+)a
2,)b
2
,= ifabc
)c
2, (1.49)
dove le fabc sono le costanti di struttura, e le )a sono le note matrici di Gell-
Mann con normalizzazione tr()a)b) = 2(ab. Come al solito, si parte dalla lagrangiana
fermionica libera
LF = q(i"µ#µ "m)q (1.50)
1.2. Teorie di Yang-Mills: Invarianza di gauge non abeliana 13
e richiedendone l’invarianza rispetto a trasformazioni di gauge locali siamo con-
dotti a costruire una nuova lagrangiana L aggiungendo “a mano” un termine di
interazione fermione-campo di gauge
L = LF " gq"µ
'1
2)aA
aµ
(q = LF " gq"µAµq , (1.51)
dove e stato introdotto un campo di gauge Aaµ (gluone) per ogni generatore del
gruppo, e la matrice Aµ che agisce direttamente sul tripletto q e data da
Aµ =1
2)aA
aµ =
1
2
-
./A3
µ + 1#3A8
µ A1µ " iA2
µ A4µ " iA5
µ
A1µ + iA2
µ "A3µ + 1#
3A8
µ A6µ " iA7
µ
A4µ + iA5
µ A6µ + iA7
µ " 2#3A8
µ
0
12 . (1.52)
Ripetendo la costruzione gia ampiamente descritta per il gruppo SU(2), e facendo
attenzione a rimpiazzare le costanti di stuttura %ijk del gruppo SU(2) con le costanti
di struttura fabc del gruppo SU(3), otteniamo la trasformazione infinitesima per i
singoli campi di gauge
A!µ
a(x) = Aµa(x) + #µ%a(x)" gfabcAµ
b(x)%c(x) , (1.53)
in cui la presenza del terzo termine (dipendente dalla carica g) indica che gli
8 gluoni (Aµa; a = 1, ..., 8) sono le componenti di un ottetto nella rappresentazione
aggiunta di SU(3). Successivamente si introduce la derivata covariante per il tripletto
Dµq = (#µ + igAµ)q (1.54)
che, rispetto a trasformazioni di gauge locali, si trasforma in modo “covariante”
Dµq # (Dµq)! = UDµq . (1.55)
Infine, per completare la costruzione della lagrangiana invariante di gauge, ag-
giungiamo il termine cinetico dei campi di gauge (non si possono inserire i termini di
massa per i gluoni poiche romperebbero l’invarianza)
14 Capitolo 1. Teorie di gauge
" 1
4F a
µ"Faµ" = "1
2tr(Fµ"F
µ") (1.56)
avendo introdotto, per ogni campo di gauge, il tensore F aµ" cosı definito
F aµ" = #µA
a" " #"A
aµ " gfabcA
bµA
c" . (1.57)
Allora la lagrangiana completa della Cromodinamica Quantistica diventa
LQCD = q(i"µ#µ "m)q " gq"µ
'1
2)aA
aµ
(q " 1
4F a
µ"Faµ" (1.58)
= q(i"µDµ "m)q " 1
4F a
µ"Faµ" , (1.59)
nella quale va sottolineata la presenza di termini cubici e quartici di auto-interazione
tra i gluoni, provenienti dallo sviluppo del termine cinetico dei campi di gauge.
Per concludere vale la pena fare un’ultima osservazione; dai risultati ottenuti
nei paragrafi precedenti e chiaro (Ross[5]) che aggiungendo gli opportuni termini alla
derivata #µ si “costruisce” una derivata covariante che ci permette di scrivere una
lagrangiana invariante rispetto a trasformazioni di gauge, simultaneamente, in tutti
gli spazi interni di trasformazione che si vogliono considerare
Dµ = #µ + ig1Bµ + ig2&i
2W i
µ + ig3)a
2Aa
µ , (1.60)
in cui, per chiarezza, abbiamo rinominato i campi di gauge e le costanti di accop-
piamento dei gruppi di simmetria U(1), SU(2) ed SU(3). Tuttavia non esiste alcun
principio teorico che indichi quali spazi interni di trasformazione esaminare per avere
una descrizione completa dei costituenti elementari della natura: quarks, leptoni e
i campi di gauge che ne permettono l’interazione. Ad oggi i dati sperimentali sug-
geriscono di costruire tale descrizione sul gruppo SU(3) di colore per le interazioni
forti, e sul gruppo SU(2)! U(1) elettrodebole.
Capitolo 2
Rottura spontanea di simmetria
Nel precedente capitolo abbiamo visto che la simmetria di gauge non e compatibile
con la presenza dei termini di massa per i corrispondenti campi di gauge. L’invarianza
di gauge quindi puo funzionare per la QED, poiche e noto che il fotone ha massa nulla,
ma come puo essere applicata alla descrizione delle interazioni deboli che sono mediate
da bosoni vettori con masse dell’ordine di 100 GeV? Benche a priori nulla ci vieti di
rompere esplicitamente la simmetria inserendo nella lagrangiana dei termini di massa
per i campi di gauge, questo di fatto e proibito dal vincolo di rinormalizzabilita. Si
deve allora trovare un modo per applicare l’invarianza di gauge alle interazioni deboli
che permetta di generare le masse dei bosoni vettori senza per questo distruggere la
rinormalizzabilita della corrispondente teoria. Questo e possibile mediante la rottura
spontanea della simmetria di gauge. La natura ci fornisce molti esempi di rottura
spontanea di simmetria, tra cui, in particolare, quello dei materiali ferromagnetici: al
di sopra della temperatura di Curie il ferro e paramagnetico e gli spin degli elettroni di
valenza sono distribuiti isotropicamente, ma quando la temperatura scende al di sotto
del punto di Curie avviene una transizione di fase e il ferro diventa ferromagnetico. Gli
spin, o equivalentemente i momenti magnetici degli elettroni di valenza, si orientano
spontaneamente in una direzione comune non fissata a priori; lo spazio all’interno del
materiale ferromagnetico non e piu isotropo poiche mostra una direzione preferenziale
risultando, pertanto, magnetizzato.
15
16 Capitolo 2. Rottura spontanea di simmetria
2.1 Rottura spontanea di una simmetria globale continua
Consideriamo (Bailin[6]) un campo scalare complesso * = 1#
2(*1 + i*2)ei' (dove per conve-
nienza abbiamo fattorizzato una fase () descritto da una lagrangiana
L = (#µ*)(#µ*$)" V (*,*$) (2.1)
che risulta invariante rispetto ad una trasformazione globale del gruppo U(1)
*(x)#*!(x) = e"iq!*(x), (2.2)
*$(x)#*! $(x) = eiq!*$(x) (2.3)
(con q e # costanti reali) purche valga la seguente relazione per il potenziale
V (*, *$) = V (**$) (2.4)
la cui forma
V (*,*$) = µ2**$ +1
4)(**$)2 (2.5)
e fissata dalla richiesta di rinormalizzabilita; si richiede ) > 0 a"nche il potenziale
sia limitato inferiormente per *#$. Allora se µ2 e positivo V ha un minimo assoluto
solo in * = 0; invece se µ2 e negativo V possiede un minimo in un valore di * %= 0
|*c|2 = "2µ2
), (2.6) min
e se ( e la fase arbitraria di *c di modo che
*c =1&2
vei'; (2.7) minimo
2.1. Rottura spontanea di una simmetria globale continua 17
allora , per il potenziale V, abbiamo tutta una circonferenza di minimi degeneri
nel piano di assi coordinati (*1, *2), di raggio v tale che (*12 + *2
2) = v2, con v =
("4µ2/))1/2. Ogni particolare scelta di *c rompe spontaneamente la simmetria U(1)
globale, infatti rispetto ad una trasformazione di gauge lo stato fondamentale |*c >
viene trasformato in un di!erente stato fondamentale |e"iq!*c >. Poiche < 0|*|0 >=
*c allora dalle relazioni (minmin2.6) e (
minimominimo2.7) segue che solo *1 ha valore di aspettazione non
nullo sul vuoto che possiamo scrivere come
< 0|*i|0 >= v(i1 (i = 1, 2). (2.8)
Allora, senza perdere di generalita, possiamo definire dei nuovi campi *i aventi
valore di aspettazione nullo sul vuoto
*i = *i " v(i1 (i = 1, 2), (2.9)
in termini dei quali la lagrangiana assume la seguente espressione
L =1
2(#µ*1)(#
µ*1) +1
2(#µ*2)(#
µ*2) + µ2*12+ ... (2.10)
in cui abbiamo omesso per brevita le costanti e i termini quartici e cubici di
interazione in *1 e *2. I primi due termini della lagrangiana sono i termini cinetici
dei nuovi campi, mentre dal terzo termine notiamo che *1 ha acquisito una massa
(positiva) al quadrato data da "2µ2, mentre non compare il corrispondente termine di
massa per *2 che nel nostro modello appare, quindi, come un campo scalare a massa
nulla, detto bosone di Goldstone. Come e noto dal teorema di Goldstone, questi modi
senza massa sono conseguenza della rottura spontanea della simmetria continua di un
sistema fisico. Infatti, consideriamo un gruppo di simmetria di gauge non abeliano
G, ed n campi scalari reali che si trasformano come una rappresentazione del gruppo
*(x) =
-
....../
*1
*2
.
.
*n
0
1111112. (2.11)
18 Capitolo 2. Rottura spontanea di simmetria
Rispetto ad una trasformazione di gauge globale infinitesima risulta
*(x) # *!(x) = *(x) + (*(x) (*(x) = " igT a#a*(x) (2.12)
dove g ed #a sono costanti reali, e i generatori T a sono matrici hermitiane n! n
che soddisfano l’algebra di Lie del gruppo [T a, T b] = ifabcT c. Poiche, in generale,
siamo interessati a lagrangiane della forma
L =1
2(#µ*)T (#µ*)" V (*) , (2.13)
allora, utilizzando le equazioni del moto unitamente alla conservazione della cor-
rente di Noether associata alla simmetria globale del nostro modello, otteniamo
#V T
#*T a* = 0 '* . (2.14)
Rompendo spontaneamente la simmetria risulta che il potenziale V ha un minimo
in un certo v che fissa il valore di aspettazione sul vuoto degli operatori di campo
< 0|*(x)|0 >= v, (2.15)
in corrispondenza del quale
#V
#*
333(=v
= 0 . (2.16) condiz
Quindi, in generale, lo stato fondamentale |v > non e invariante rispetto a trasfor-
mazioni di gauge, cioe
(1" ig#aT a)v %= v '#a << 1 , (2.17)
e questo significa che per almeno un valore dell’indice a deve risultare iT av %= 0.
Possiamo definire dei nuovi campi traslati
2.1. Rottura spontanea di una simmetria globale continua 19
* = *" v (2.18)
con valore di aspettazione nullo sul vuoto < 0|*|0 >= 0, ed esprimere la L in
termini di questi nuovi campi utilizzando la condizione di minimo (condizcondiz2.16)
L =1
2
'(#µ*i)(#
µ*i)" *i*j#2V
#*i#*j
333(=v
(" V (v) + O(*3), (2.19)
dal secondo termine della quale si capisce che le masse dei campi *i sono gli
autovalori della “matrice di massa” definita come
(m2)ij (#2V
#*i #*j
333( =v
. (2.20)
Derivando rispetto a * la relazione di simmetria )V T
)( T a* = 0, troviamo in * = v
(m2)iT av = 0 (a = 1, ..., N) , (2.21)
percio (m2) possiede almeno un autovettore corrispondente ad un autovalore nullo,
e di conseguenza *T iT av e un bosone di Goldstone. Supponiamo che lo stato fon-
damentale |v > sia invariante rispetto a trasformazioni di gauge appartenenti al sot-
togruppo massimale S di G. Allora possiamo scegliere i generatori T a(a = 1, .., N)
di G in modo che i primi M generino il sottogruppo S. Allora, poiche |v > e lasciato
invariante dalle trasformazioni di S, vale che
T av = 0 (a = 1, ..,M) (2.22)
mentre per i rimanenti N "M vettori vale che
T av %= 0 (a = M + 1, .., N) (2.23)
e ne segue che ci sono N "M bosoni di Goldstone.
20 Capitolo 2. Rottura spontanea di simmetria
2.2 Il meccanismo di Higgs abeliano
Il meccanismo di Higgs consiste nell’applicare la rottura spontanea ad una simmetria
di gauge locale allo scopo di generare le masse dei bosoni vettori senza per questo
perdere la rinormalizzabilita della corrispondente teoria di gauge. Consideriamo la
lagrangiana con simmetria U(1) globale, definita nel paragrafo precedente
L = (#µ*)(#µ*$)" µ2**$ " 1
4)(**$)2 ; (2.24)
l’imposizione della simmetria di gauge locale U(1) porta alla costruzione della
lagrangiana dell’Elettrodinamica Scalare
LSQED = (Dµ*)(Dµ*)$ " µ2*$*" 1
4)(**$)2 " 1
4Fµ"F
µ" , (2.25)
in cui Fµ" = #µA" " #"Aµ e il tensore invariante del campo di gauge Aµ, mentre
Dµ* = (#µ + iqAµ)* e (Dµ*)$ = (#µ " iqAµ)*$ sono le derivate gauge-covarianti di
U(1). Quando µ2 e positivo la simmetria U(1) locale non e rotta e chiaramente la
lagrangiana descrive (a parte il termine *4 di auto-interazione) l’accoppiamento di
una particella scalare con massa µ e carica q con il campo elettromagnetico Aµ di
massa nulla. Invece quando µ2 < 0 la simmetria e rotta spontaneamente e l’operatore
di campo * prende valore di aspettazione sul vuoto
< 0|*|0 >=1&2vei' v = ("4µ2/))1/2 (2.26)
con fase ( arbitraria. Come nel paragrafo precedente esprimiamo * in termini dei
campi reali *1 e *2 in modo da poter cambiare variabili passando ai campi traslati
*i (i = 1, 2) con valore di aspettazione nullo sul vuoto. Nelle nuove variabili la derivata
covariante diventa
Dµ* =ei'
&2[#µ*1 + i(#µ*2 + qvAµ) + iqAµ(*1 + i*2)], (2.27)
in cui troviamo il campo di gauge Aµ accoppiato al bosone di Goldstone *2. Allora
vale il seguente sviluppo
2.2. Il meccanismo di Higgs abeliano 21
|Dµ*|2 =1
2|(#µ*1 " qAµ*2) + i(#µ*2 + qvAµ + qAµ*1)|2 (2.28)
che contribuisce alla lagrangiana con i seguenti termini
|Dµ*|2 =1
2(#µ*1)
2 +1
2(#µ*2)
2 +1
2q2v2AµA
µ + qvAµ#µ*2 + ... (2.29)
dove sono stati omessi i termini di interazione. Quindi nelle nuove variabili
l’espressione della lagrangiana diventa
L =1
2(#µ*1)
2 +1
2(#µ*2)
2 + µ2*12+
1
2q2v2AµA
µ + qvAµ#µ*2 + ... (2.30)
Lo spettro del nostro modello e costituito da un bosone di Goldstone *2 a massa
nulla, da una particella scalare massiva *1 con massa m2(*1) = "2µ2 e, finalmente,
anche da un bosone vettore Aµ massivo con massa m(A!) = qv. Tuttavia la presenza
del termine qvAµ#µ*2 suggerisce che in realta non e questo la spettro “fisico” da
considerare. Infatti siamo partiti da un campo di gauge a massa nulla Aµ con due
gradi di liberta trasversali e gli abbiamo dato massa “mescolandolo” con il bosone di
Goldstone in modo da ottenere un nuovo campo di gauge A!µ = Aµ + 1
qv#µ*2 al quale
e stato attaccato un grado di liberta longitudinale. In realta sfruttando l’invarianza
di gauge possiamo eliminare *2 dalla lagrangiana, infatti confrontando l’espressione
A!µ = Aµ + 1
qv#µ*2 con la generica trasformazione di gauge Aµ#Aµ + #µ# notiamo
che A!µ puo essere ottenuto da Aµ mediante un’opportuna trasformazione di gauge,
tale che
#(x) =1
qv*2(x) . (2.31)
Questo suggerisce che l’intera dipendenza della lagrangiana dal modo “spurio” di
Goldstone puo essere cancellata da una scelta di gauge. Poiche per costruzione vale
che
* =1&2(v + *1 + i*2)e
i' (2.32)
22 Capitolo 2. Rottura spontanea di simmetria
allora, rispetto ad una trasformazione di gauge *#e"iq!(x)*, si ha
*! =1&2(v + *!1 + i*!2)e
i', (2.33)
quindi scegliendo q# = arctan (2
v+(1(gauge unitaria) si ottiene *!2 = 0. Ribattez-
zando *!1 ( H, rispetto a questa trasformazione di gauge si ha
*#*! =1&2(v + H) (2.34)
e la derivata covariante acquisisce la seguente espressione
Dµ*# (Dµ*)! =ei'
&2(#µH + iqv + iqA!
µH), (2.35)
dove, ovviamente, A!µ rappresenta il campo trasformato nella scelta di gauge uni-
taria. Sostituendo nella lagrangiana del nostro modello i vari termini trasformati, e
usando il valore v/&
2 che minimizza il potenziale, si ottiene
L =1
2[(#µH)(#µH) + 2µ2H2]
"1
2µ2v2 " )
16(H4 + 4vH3)
"1
4F !
µ"F!µ" +
1
2q2A!
µA!µ(v2 + 2vH + H2) , (2.36)
dove F !µ" = #µA!
" " #"A!µ. Cosı il bosone di Goldstone e stato “mangiato” dal
campo di gauge trasformato A!µ che ha acquisito una massa qv; c’e anche un altro
campo che ha preso massa, esso e il campo scalare H di Higgs, reale con massa
("2µ2)1/2. Quindi il numero totale di gradi di liberta era 4 in partenza ed e rimasto
inalterato; invece di avere un bosone di gauge Aµ a massa nulla con 2 gradi di liberta
trasversali e un campo complesso * composto da due campi reali, adesso abbiamo un
bosone vettore massivo A!µ con due modi trasversali e uno longitudinale, piu un campo
H scalare reale. In questa situazione, chiaramente, l’invarianza di gauge e rotta ma
2.3. Il meccanismo di Higgs per teorie di gauge non abeliane 23
si puo dimostrare che la rinormalizzabilita della teoria e comunque preservata. In
realta, in una teoria di gauge spontaneamente rotta, la simmetria e semplicemente
“nascosta” dalla scelta dello stato fondamentale, solo che nella gauge unitaria, usata
per eliminare i modi di Goldstone spuri, questo non e evidente.
2.3 Il meccanismo di Higgs per teorie di gauge non abeliane
Consideriamo un gruppo di simmetria G non abeliano ed n campi scalari reali
*(x) =
-
....../
*1
*2
.
.
*n
0
1111112. (2.37)
Poiche siamo interessati ad un’invarianza di gauge locale sostituiamo la derivata
#µ con la derivata covariante Dµ = #µ + igT aAaµ, dove i generatori T a (a = 1, ..., N)
sono matrici n ! n che soddisfano l’algebra di Lie del gruppo [T a, T b] = ifabcT c. La
lagrangiana completa invariante di gauge e
L =1
2(Dµ*)T (Dµ*)" V (*)" 1
4F a
µ"Faµ" (2.38)
in cui
F aµ" = #µA
a" " #"A
aµ " gfabcAb
µAc" . (2.39)
Quando la simmetria e spontaneamente rotta alcuni operatori di campo prendono
valore di aspettazione sul vuoto
< 0|*(x)|0 >= v (2.40)
24 Capitolo 2. Rottura spontanea di simmetria
e ovviamente
#V
#*
333(=v
= 0 ; (2.41)
allora possiamo definire dei nuovi campi traslati * = * " v che hanno valore di
aspettazione nullo sul vuoto < 0|*|0 >= 0, in termini dei quali vale che
(Dµ*)T (Dµ*) = (#µ*)T (#µ*) + 2g(#*T )iT avAaµ
+ g2AaµA
bµvT T aT bv + ... (2.42) deriv
dove sono stati omessi i termini cubici e quartici di interazione. Supponiamo di
scegliere i generatori T a in modo che i primi M generino il sottogruppo massimale S
di G che e lasciato invariante dalla rottura spontanea di simmetria, allora risulta che
T av = 0 (a = 1, ..,M) (2.43)
mentre
T av %= 0 (a = M + 1, .., N), (2.44)
quindi nella (derivderiv2.42) gli N"M modi di Goldstone *T iT av(a = M+1, .., N) risultano
accoppiati ai corrispondenti bosoni di gauge. Allora i bosoni di gauge Aaµ con a =
1, ...,M restano a massa nulla poiche non sono accoppiati ai modi di Goldstone,
mentre i rimanenti N "M bosoni di gauge prendono massa. Infatti il terzo termine
della (2.42) da massa ai bosoni vettori; le masse sono trovate diagonalizzando la
“matrice di massa”
(M2A)ab ( g2vT T aT bv (a, b = 1, .., N) (2.45)
dove per a, b = 1, ..,M risulta che (M2A)ab = 0 e quindi i primi M bosoni di gauge
restano a massa nulla.
Capitolo 3
Il Modello Standard
3.1 Le masse dei bosoni di gauge
Il modello unificato dell’interazione elettrodebole di Glashow, Salam e Weinberg e una
teoria di gauge spontaneamente rotta “costruita” sul gruppo di simmetria SU(2) !U(1) di Glashow (
Peskin[7],
Martin[8]). Sia il campo scalare * nella rappresentazione spinoriale
di SU(2) con carica 1/2 sotto il gruppo U(1), che sotto una trasformazione di gauge
diventa
* # ei*a$aei+/2*, (3.1)
dove &a = +a/2. Allora la derivata SU(2)!U(1)-covariante ha la seguente espres-
sione
Dµ* = (#µ " igAaµ&
a " i1
2g!Bµ)* (3.2)
dove Aaµ e Bµ sono i bosoni di gauge dei gruppi SU(2) ed U(1), e g, g! sono le
rispettive costanti d’accoppiamento. Se il campo * acquista valore di aspettazione
sul vuoto
< * >=1&2
%0
v
&(3.3) aspettaz
allora dal modulo quadro della derivata covariante emergono i termini di massa
dei bosoni vettori
25
26 Capitolo 3. Il Modello Standard
1
2( 0 v )
'gAa
µ&a +
1
2g!Bµ
( 'gAbµ& b +
1
2g!Bµ
( %0
v
&(3.4)
che valutati esplicitamente, usando &a = +a/2, diventano
1
2
v2
4
)g2(A1
µ)2 + g2(A2µ)2 + ("gA3
µ + g!Bµ)2*; (3.5)
quindi compaiono tre bosoni vettori massivi
W±µ =
1&2(A1
µ) iA2µ), mW =
v
2g (3.6)
Z0µ =
14g2 + g!2
(gA3µ " g!Bµ), mZ =
v
2
4g2 + g!2 (3.7)
mentre il quarto bosone vettore, “ortogonale” a Z0µ, rimane a massa nulla
Aµ =14
g2 + g!2(g!A3
µ + gBµ), mA = 0 (3.8)
e sara identificato con il campo elettromagnetico. Consideriamo l’accoppiamento
tra un campo fermionico, che si trasforma secondo una rappresentazione di SU(2) e
con carica Y di U(1), e i rispettivi campi di gauge, allora la derivata covariante ha
una espressione
Dµ = #µ " igAaµT
a " ig!Y Bµ (3.9)
che in termini degli autostati di massa dei bosoni vettori diventa
Dµ = #µ " ig&2(W+
µ T+ + W"µ T")" i
14g2 + g!2
Zµ(g2T 3 " g!2Y )
"igg!4
g2 + g!2Aµ(T 3 + Y ) (3.10)
3.1. Le masse dei bosoni di gauge 27
dove T± = (T 1± iT 2), di modo che nella rappresentazione spinoriale di SU(2)
risulti T± = 12(+
1± i+2) = +±. E!ettuando le seguenti identificazioni, rispettiva-
mente, per la carica elettrica
e =gg!4
g2 + g!2, (3.11)
e per l’operatore di carica
Q = T 3 + Y (3.12)
otteniamo per il termine di accoppiamento con il campo elettromagnetico l’espressione
usuale ieAµQ. Inoltre definiamo l’angolo di Weinberg $w (angolo di mixing) in modo
che valga il seguente cambiamento di base da (A3, B) a (Z0, A)
%Z0
A
&=
%cos $w " sin $w
sin $w cos $w
&%A3
B
&(3.13)
quindi
cos $w =g4
g2 + g!2, sin $w =
g!4g2 + g!2
. (3.14)
Infine riorganizzando il termine di accoppiamento con lo Z0
g2T 3 " g!2Y = (g2 + g!2)T 3 " g!2Q (3.15)
otteniamo la forma usuale per la derivata covariante
Dµ = #µ " ig&2(W+
µ T+ + W"µ T")" i
g
cos $wZµ(T 3 " sin2 $wQ)" ieAµQ, (3.16) der cov
dove e stata usata la relazione
g =e
sin $w. (3.17)
28 Capitolo 3. Il Modello Standard
3.2 Accoppiamento dei fermioni
La derivata covariante costruita nel precedente paragrafo permette l’accoppiamento
dei bosoni vettori con i campi fermionici una volta che i numeri quantici di questi
ultimi siano specificati. A questo scopo si tenga presente l’evidenza sperimentale
che il bosone W si accoppia solo agli stati left-handed di quarks e leptoni, quindi e
necessario riprodurre il diverso accoppiamento tra componenti left-handed e right-
handed dei campi fermionici con i bosoni di gauge delle interazioni deboli. E noto
che il termine cinetico per i campi di Dirac si separa in
!i#/! = !Li#/!L + !Ri#/!R. (3.18)
Quando si accoppia il bispinore ! ad un campo di gauge assegniamo !L e !R a
di!erenti rappresentazioni del gruppo di gauge utilizzando due distinte derivate co-
varianti, cosı possiamo fare in modo che solo la componente left-handed dei campi
fermionici dei quarks e dei leptoni sia accoppiata ai bosoni W. Assegniamo le compo-
nenti left-handed fermioniche a doppietti di SU(2)
L =
%,e
e"
&
L
, QL =
%u
d
&
L
, (3.19)
(sono sottintese le tre generazioni), mentre le componenti right-handed a singoletti
di SU(2) indicati come
eR; uR, dR. (3.20)
Una volta assegnato il valore di T 3 ad un campo fermionico, il valore di Y cor-
rispondente e determinato dalla relazione Q = T 3 + Y . Per i campi right-handed
eR, uR, dR risulta che T 3 = 0, e Y viene assegnato in modo da riprodurre i valori noti
delle cariche Q. Per i campi left-handed i valori assegnati sono Y = "1/2 per il doppi-
etto leptonico e Y = +1/6 per il doppietto di quark, le cui componenti corrispondono
a T 3 = ±1/2.
Nella lagrangiana del Modello Standard i termini di interazione elettrodebole tra
leptoni e quarks nascono da
3.3. I termini di massa per i fermioni 29
L = L(iD/)L + eR(iD/)eR + QL(iD/)QL + uR(iD/)uR + dR(iD/)dR. (3.21)
In ogni termine compare una derivata covariante diversa, in cui T a e Y sono va-
lutati nella rappresentazione alla quale appartengono i campi fermionici su cui agis-
cono. Per estrarre le conseguenze fisiche degli accoppiamenti fermioni-campi di gauge
dobbiamo lavorare in termini degli autostati di massa dei bosoni vettori utilizzando
l’espressione (der covder cov3.16) per la derivata covariante, allora i termini cinetici diventano
L = L(i#/)L + eR(i#/)eR + QL(i#/)QL + uR(i#/)uR + dR(i#/)dR
+g(W+µ Jµ+
W + W"µ Jµ"
W + Z0µJ
µZ) + eAµJ
µEM , (3.22)
dove le correnti indicate hanno le seguenti espressioni
JµEM = e"µ("1)e + u"µ
'+
2
3
(u + d"µ
'"1
3
(d; (3.23)
Jµ+W =
1&2(,L"µeL + uL"µdL); (3.24)
Jµ"W =
1&2(eL"µ,L + dL"µuL); (3.25)
JµZ =
1
cos $w
!,L"µ
'1
2
(,L + eL"µ
'"1
2+ sin2 $w
(eL
+ eR"µ(sin2 $w)eR
+ uL"µ
'1
2" 2
3sin2 $w
(uL + uR"µ
'"2
3sin2 $w
(uR
+ dL"µ
'"1
2+
1
3sin2 $w
(dL + dR"µ
'1
3sin2 $w
(dR
$. (3.26)
3.3 I termini di massa per i fermioni
I termini di massa per i fermioni non possono essere semplicemente aggiunti “a mano”
poiche tutti i termini del tipo m!! = m(!L!R + !R!L) violano l’invarianza di
30 Capitolo 3. Il Modello Standard
gauge, in quanto le componenti left-handed !L e le componenti right-handed !R di
un campo fermionico appartengono a di!erenti rappresentazioni di SU(2), quindi
possiedono numeri quantici diversi, e hanno di!erenti cariche di U(1). Per dare
massa ai leptoni ed ai quarks dobbiamo utilizzare il meccanismo di rottura spontanea
di simmetria. Come detto nel paragrafo precedente, per dare massa ai bosoni vettori
W e Z assumiamo che un campo scalare *, nella rappresentazione spinoriale di SU(2)
con carica 1/2 sotto il gruppo U(1), prenda valore di aspettazione (aspettazaspettaz3.3). Con il campo
* dotato di questi numeri quantici possiamo costruire un termine gauge-invariante di
accoppiamento tra eL, eR e lo stesso *
Le = ")eL · * eR + h.c., (3.27)
in cui compare il prodotto scalare di SU(2) tra i doppietti L ed *, e )e e una
costante di accoppiamento adimensionale. Sostituendo al doppietto * il suo valore di
aspettazione otteniamo
Le = ")eveLeR + h.c. (3.28)
cioe l’elettrone ha acquisito una massa
me =1&2)ev. (3.29)
Allo stesso modo possiamo scrivere i termini di massa per i quarks
Lq = ")d QL · * dR " )u %ab QLa *†b uR + h.c. (3.30)
e sostituendo il valore di aspettazione di * questi termini diventano
Lq = " 1&2)d v dL dR "
1&2)u v uL uR + h.c., (3.31)
quindi i quarks d e u hanno acquisito massa rispettivamente
md =1&2)dv , mu =
1&2)uv. (3.32)
Capitolo 4
Anomalie chirali
Lo strumento principale nella dimostrazione della rinormalizzabilita di un teoria e
rappresentato (Zee[9]) dall’utilizzo delle identita di Ward che sono una espressione dell’
invarianza di gauge della teoria considerata. Tuttavia in teorie con correnti assiali
si possono presentare dei contributi cosiddetti “anomali” alle identita di Ward, cosı
che la rinormalizzabilita viene perduta. Un importante vincolo per la costruzione di
qualunque modello fisico e, quindi, l’organizzazione di queste “anomalie” in modo
tale che si cancellino; il Modello Standard ne e l’esempio piu mirabile.
4.1 Simmetrie classiche e quantistiche
Decomponendo un campo di Dirac !(x) in componenti left- e right-handed
!(x) = !(x)L + !(x)R =1
2(1" "5)!(x) +
1
2(1 + "5)!(x) (4.1)
la lagrangiana fermionica assume l’espressione
L = !(i#/"m)! = !Li#/!L + !Ri#/!R "m(!L!R + !R!L), (4.2)
in cui il termine cinetico connette parte left- con parte left- e right- con right-, men-
tre il termine di massa connette parte left- con right- e viceversa. La trasformazione
di fase globale
31
32 Capitolo 4. Anomalie chirali
!#ei!! (4.3)
evidentemente lascia la lagrangiana invariata, e applicando il teorema di Noether
otteniamo la corrente vettoriale associata a tale simmetria
Jµ = !"µ! (4.4)
la quale soddisfa la legge di conservazione #µJµ = 0. Sotto questa simmetria le
componenti left- e right- del bispinore si trasformano come
!L = ei!!L !R = ei!!R. (4.5)
Se m = 0 allora la L e dotata di un’altra simmetria, nota come simmetria chirale
(conservazione del numero di fermioni left-handed e separatamente del numero di
fermioni right-handed), sotto la trasformazione
!#ei!#5!, (4.6)
e il teorema di Noether ci dice che la corrente assiale
J5µ = !"µ"5! (4.7)
e conservata: #µJµ5 = 0. Questa equazione di conservazione e valida, come
equazione di campo classica, non solo nella teoria di fermione libero a massa nulla,
ma anche nelle teorie di gauge QED e QCD a massa nulla. Sotto questa simmetria
le componenti left- e right- del bispinore si trasformano in maniera opposta
!L = e"i!!L, !R = ei!!R. (4.8)
In fisica si parla di simmetria classica se una trasformazione *#* + (* lascia
l’azione S(*) invariata, si parla di simmetria quantistica se resta invariato l’integrale
4.1. Simmetrie classiche e quantistiche 33
sui cammini5
D* eiS((). Purtroppo nella seppur “semplice” teoria di fermione a
massa nulla L = !i"µ#µ! risulta che, mentre classicamente le correnti assiale e
vettoriale sono conservate, quantisticamente la conservazione della corrente assiale
va perduta. Questo “accidente” prende il nome di anomalia, o anomalia assiale, o
anomalia chirale. Se rendiamo gauge-invariante la teoria di fermione a massa nulla
otteniamo
L = !i"µ(#µ " ieAµ)! " 1
4Fµ"F
µ" , (4.9)
dove il campo vettoriale Aµ rappresenta il fotone. Si verifica che (Zee[9]) classicamente
#µJµ5 = 0, (4.10)
ma quantisticamente compare il termine anomalo
#µJµ5 =
e2
(4-)2'µ",-Fµ"F,-, (4.11)
ovvero, quantisticamente, la quadri-divergenza della corrente assiale non e piu
nulla. Notiamo che per la lagrangiana di un fermione massivo
L = !(i"µ#µ "m)! (4.12)
risulta che l’invarianza sotto trasformazioni !# ei!#5! e rovinata dal termine di
massa, cioe gia classicamente la corrente assiale non e conservata; in questo caso di
fermione massivo l’anomalia si manifesta comunque, dal punto di vista quantistico,
nella presenza di un termine aggiuntivo nella quadri-divergenza. Infatti classicamente
risulta che
#µJµ5 = 2m!i"5!, (4.13)
e quantisticamente
#µJµ5 = 2m!i"5! +
e2
(4-)2'µ"&-Fµ"F&-. (4.14)
34 Capitolo 4. Anomalie chirali
4.2 Simmetrie chirali in QCD
Discutiamo le simmetrie chirali in QCD tenendo in considerazione soltanto i quarks
piu leggeri u e d, approssimando la loro massa a zero. In questa approssimazione la
lagrangiana fermionica di QCD diventa
L = uiD/u + diD/d, (4.15)
in cui sono stati messi a zero i termini di massa "mddd " muuu. Questa la-
grangiana possiede simmetria di isospin, cioe resta invariata sotto trasformazioni di
SU(2) unitarie che agiscono sui campi. Poiche nella nostra approssimazione non com-
paiono i termini di massa allora non si “mescolano” la parte left- di un quark con la
parte right-, e risulta che la lagrangiana considerata e invariante separatamente sotto
le trasformazioni unitarie
%u
d
&
L
# UL
%u
d
&
L
%u
d
&
R
# UR
%u
d
&
R
. (4.16) simm
Complessivamente, quindi, la lagrangiana di QCD a massa nulla e invariante sotto
il gruppo di simmetria SU(2)L ! SU(2)R ! U(1)L ! U(1)R. Se indichiamo con Q il
doppietto di quarks, allora le componenti chirali sono indicate come
QL =
'1" "5
2
( %u
d
&
L
, QR =
'1" "5
2
( %u
d
&
R
(4.17)
e le correnti associate alla simmetria in questione sono
JµL = QL"µQL, Jµ
R = QR"µQR, (4.18) corr
JµaL = QL"µ&aQL, Jµa
R = QR"µ&aQR, (4.19) corr2
dove &a = +a/2 sono i generatori di SU(2). La somma tra le correnti JµL e Jµ
R che
compaiono in (corrcorr4.18) da la cosiddetta corrente del numero barionico
4.3. Anomalie delle correnti chirali 35
Jµ = Q"µQ, (4.20)
mentre la somma tra le correnti JµaL e Jµa
R scritte nella (corr2corr24.19) da le correnti di
isospin
Jµa = Q"µ&aQ. (4.21)
Le correnti Jµ e Jµa cosı costruite sono associate alle trasformazioni di simme-
tria (simmsimm4.16) con UL = UR. Invece le di!erenze tra le correnti left- e right- scritte
rispettivamente nella (corrcorr4.18) e nella (
corr2corr24.19) danno le correnti assiali
Jµ5 = Q"µ"5Q, Jµ5a = Q"µ"5&aQ. (4.22)
Si verifica che la legge di conservazione classica di queste correnti non e soddisfatta
dalla corrente assiale Jµ5, mentre la conservazione delle correnti Jµ5a non e distrutta
dalla presenza di anomalie come vedremo nel prossimo paragrafo.
4.3 Anomalie delle correnti chirali
A questo punto ci chiediamo se le simmetrie chirali della QCD discusse nel paragrafo
precedente sono a!ette da anomalia. Iniziamo con il considerare le modifiche alle
leggi di conservazione chirale apportate dall’accoppiamento delle correnti assiali di
quarks Jµ5a e Jµ5 con i campi gluonici della QCD, cioe consideriamo l’accoppiamento
di fermioni con massa nulla ad un campo di gauge non abeliano. L’anomalia nel caso
non abeliano “contiene” il risultato abeliano in cui la carica e sia stata sostituita con
l’appropriata carica g di SU(3), e l’intensita di campo F*+ abeliana con quella non
abeliana F c*+, ovvero l’anomalia per le correnti assiali di isospin e
#µJµ5a = " g2
16-2'*+µ"F c
*+F dµ" tr[ &atctd ], (4.23)
36 Capitolo 4. Anomalie chirali
in cui la somma prevista dalla traccia e fatta sui colori e sui sapori, e dove F c*+ e il
tensore del campo di gauge (gluone), &a e una matrice di isospin, e le tc sono matrici
di colore. Risulta che
tr[&atctd] = tr[&a]tr[tctd] = 0 · tr[tctd] = 0, (4.24)
poiche tr[&a] = 0. Quindi la conservazione “classica” delle correnti assiali di isospin
Jµ5a non e a!etta da anomalie. Pero nel caso della corrente assiale Jµ5 (singoletto di
isospin) nella traccia non compare piu la matrice &a di isospin e l’anomalia non e piu
nulla, infatti calcolando le traccia sui sapori nf (nel nostro caso nf = 2)
tr[ tctd ] =1
2nf(
cd (4.25)
si ottiene la seguente anomalia:
#µJµ5 = "g2nf
32-2'*+µ"F c
*+F cµ" . (4.26)
Quindi la corrente assiale Jµ5 non e conservata “quantisticamente” in QCD.
Sebbene le correnti assiali di isospin Jµ5a non ricevano un contributo anomalo dalle
interazioni in QCD, esse comunque sono a!ette da un’anomalia che scaturisce dall’
interazione dei quarks con l’elettromagnetismo. Si verifica, infatti, che l’anomalia
elettromagnetica delle correnti assiali di isospin e
#µJµ5a = " e2
16-2'*+µ"F*+Fµ" tr[ &aQ2 ], (4.27)
dove Fµ" e il tensore del campo elettromagnetico e Q e la matrice diagonale delle
cariche elettriche
Q =
%23 0
0 "13
&, (4.28)
4.4. Teorie di gauge libere da anomalie 37
e la traccia corre sui sapori e sui colori. Poiche le matrici nella traccia non dipen-
dono dal colore allora la somma sul colore da semplicemente un fattore 3. La traccia
sui sapori da risultato diverso da zero per a = 3, infatti in questo caso si ottiene
#µJµ53 = " e2
32-2'*+µ"F*+Fµ" . (4.29)
4.4 Teorie di gauge libere da anomalie
Consideriamo una teoria di fermioni a massa nulla. Poiche la lagrangiana non contiene
termini di massa allora i due stati di elicita !L e !R del bispinore di Dirac ! non
vengono “mescolati”; i termini cinetici nella base di autostati di elicita sono scritti
come
L = !†Li+ · #!L + !†
Ri+ · #!R. (4.30)
Costruiamo l’accoppiamento di questo sistema fisico ad un campo di gauge as-
segnando i campi left-handed !L ad una rappresentazione r del gruppo di gauge G
e i campi right-handed !R ad una rappresentazione di!erente, in particolare ci in-
teressa il caso in cui gli !R siano invarianti sotto il gruppo G. Allora la lagrangiana
gauge-invariante diventa
L = !†Li + ·D!L + !†
Ri+ · #!R, (4.31)
dove la derivata covariante ha la seguente espressione: Dµ = #µ " igAaµt
ar . In
quattro componenti la lagrangiana diventa
L = !i"µ
'#µ " igAa
µtar
'1" "5
2
((!. (4.32)
Questa lagrangiana e invariante sotto la trasformazione di gauge locale
38 Capitolo 4. Anomalie chirali
! #'
1 + i.ata'
1" "5
2
((! (4.33)
Aaµ # Aa
µ +1
g#µ.
a + fabcAbµ.
c. (4.34)
Poiche i fermioni right-handed sono campi liberi possiamo trascurare la presenza
di questi campi e considerare solo la lagrangiana gauge-invariante per i fermioni left-
handed. In e!etti nel Modello Standard l’idea di campi di gauge che si accoppiano solo
a fermioni left-handed e di fondamentale importanza per comprendere l’interazione
con i bosoni W. Nella piu generale teoria di gauge per fermioni di massa nulla possi-
amo assegnare i fermioni left-handed ad una qualunque, arbitraria, rappresentazione r
del gruppo di gauge G; a livello classico, infatti, non c’e alcuna restrizione sulla rapp-
resentazione r alla quale assegnare i fermioni left-handed, ma a livello delle correzioni
quantistiche ad un loop molte scelte possibili diventano inconsistenti a causa della
anomalia assiale. In una teoria di gauge per fermioni left-handed di massa nulla con-
sideriamo i diagrammi a triangolo in cui i bosoni di gauge non abeliani interagiscono
con la corrente associata alla simmetria di gauge
Jµa = !"µ
'1" "5
2
(ta!. (4.35)
Si verifica che
< p, ,, b; k,), c|#µJµa|0 >=
g2
8-2'*"+&p*k+ Aabc, (4.36)
dove Aabc e una traccia sulle matrici del gruppo nella rappresentazione r, ovvero
Aabc = tr[tar{tbr, tcr}]. Questo significa che la corrente Jµa non e conservata a meno
che Aabc non si annulli, e, poiche l’intera costruzione di una teoria gauge-invariante
e basata sull’esistenza di una esatta simmetria globale, allora la non-conservazione
della corrente Jµa risulta davvero “problematica”. L’unico modo per superare questa
di"colta consiste nel richiedere la condizione
Aabc = 0. (4.37)
4.4. Teorie di gauge libere da anomalie 39
Ad esempio si consideri la teoria di gauge elettrodebole; organizziamo le compo-
nenti left- handed di quarks e leptoni di prima generazione in doppietti di SU(2)
QL =
%u
d
&
L
, L =
%,
l
&
L
, (4.38)
e i bosoni W siano i campi di gauge che si accoppiano a questo gruppo di SU(2).
Valutiamo Aabc sostituendo ta = &a = +a/2, e se usiamo la relazione {+b, +c} = 2(bc
otteniamo
Aabc =1
8tr[+a · 2(bc] = 0. (4.39)
Se i fermioni QL e L si accoppiano anche all’elettromagnetismo allora il fattore
Aabc in questo caso diventa
tr[Q{& b, & c}], (4.40)
in cui Q e la matrice delle cariche elettriche, e semplificando si ottiene
1
2tr[Q](bc, (4.41)
in cui la somma prevista dalla traccia deve essere fatta sulle cariche elettriche del
doppietto di quarks QL (con un fattore 3 per tener conto del colore) e del doppietto
leptonico L, ovvero
tr[Q] = 3(2
3" 1
3) + (0" 1) = 0. (4.42)
Risulta, quindi, che la teoria elettrodebole descritta dai doppietti left-handed QL
e L puo essere consistentemente combinata con la QED solo se vengono presi in
considerazione un egual numero di doppietti per quarks e leptoni. In alcuni casi e
possibile semplificare il calcolo di Aabc notando che e un invariante del gruppo di
40 Capitolo 4. Anomalie chirali
gauge G totalmente simmetrico nei tre indici nella rappresentazione aggiunta. Per
alcuni gruppi tale invariante non esiste quindi Aabc = 0; ad esempio in SU(2) la
rappresentazione aggiunta ha spin 1 e la composizione di due spin 1 da come risultati
simmetrici spin 0 piu spin 2 ma e escluso lo spin 1, quindi in SU(2) non esiste un
tensore simmetrico che accoppi due spin 1 a dare uno spin 1, ovvero in una teoria di
gauge SU(2) deve risultare che Aabc = 0.
4.5 Cancellazione delle anomalie
Abbiamo visto che una corrente assiale che e conservata a livello delle equazioni del
moto classiche puo acquistare una quadri-divergenza diversa da zero tramite i dia-
grammi ad un loop che accoppiano questa corrente assiale ad una coppia di bosoni
di gauge. Le teorie in cui i bosoni di gauge si accoppiano a correnti chirali possono
essere rese gauge-invarianti solo se il contributo anomalo si annulla, e si dimostra che
una volta annullato il contributo anomalo dai diagrammi a triangolo allora, automati-
camente, si annullano anche gli altri contributi anomali ad un loop a quadrato e a
pentagono. Precisamente i termini anomali si sommano a zero quando si somma su
tutte le specie fermioniche che possono circolare in questi diagrammi. Nel modello
di Glashow-Salam-Weinberg l’evidenza sperimentale che le correnti dell’interazione
debole siano left-handed ci ha forzati a considerare un accoppiamento chirale con i
campi di gauge. Il termine anomalo di un diagramma a triangolo di tre bosoni di
gauge Aaµ, A
b" , A
c& e proporzionale a
tr["5ta{tb, tc}], (4.43)
in cui la traccia prevede la somma su tutte le specie fermioniche, l’anticommutatore
viene dal considerare la somma di due diagrammi a triangolo in cui i fermioni circolano
in direzioni opposte. La presenza della "5
"5 =
%"1 0
0 1
&(4.44)
4.5. Cancellazione delle anomalie 41
Figure 4.1: Tutte i possibili diagrammi a triangolo.
tiene conto del fatto che l’anomalia e associata alle correnti chirali, e da un fattore
"1 per fermioni left-handed e invece un fattore 1 per fermioni right-handed. Quindi
per teorie come la QED e la QCD in cui i bosoni di gauge si accoppiano ugualmente
ai fermioni left- e right-handed risulta che le anomalie si annullano automaticamente.
Per valutare le anomalie del Modello Standard lavoriamo con i bosoni di gauge di
SU(2) ! U(1) che compaiono prima del mixing di Weinberg a dare gli autostati di
massa. Stiamo considerando fermioni di massa nulla, con diversi numeri quantici per
i fermioni left- e right-. Consideriamo non solo le anomalie dei diagrammi a triangolo
con tre bosoni di SU(2)!U(1), ma anche le anomalie dei diagrammi in cui compaiono
i bosoni di SU(2)!U(1) assieme ai bosoni di SU(3) di colore. Naturalmente possiamo
omettere i diagrammi a triangolo con tre bosoni di SU(3) o di un bosone di SU(3) con
due gravitoni poiche in questi casi gli accoppiamenti godono di simmetria left-right
quindi le anomalie sono automaticamente annullate.
Tutte le possibili anomalie si devono cancellare se vogliamo che le identita di Ward
della teoria di gauge SU(2)!U(1) siano verificate. Utilizzando la nota proprieta delle
matrici di Pauli {+a, +b} = 2(ab si verifica che la traccia sopra indicata tr["5ta{tb, tc}]si annulla, quindi l’anomalia di tre bosoni di gauge di SU(2) e sempre zero. Le
anomalie contenenti un bosone di SU(3) o un bosone di SU(2) in ogni caso sono
proporzionali a
tr[ta] = 0 o tr[&a] = 0. (4.45)
Le altre anomalie non triviali sono quelle di un bosone di U(1) con due bosoni
di SU(2) o due bosoni di SU(3), l’anomalia di tre bosoni di U(1) e infine l’anomalia
di un bosone di U(1) con due gravitoni. L’anomalia di un bosone di U(1) con due
bosoni di SU(3) e proporzionale al fattore
tr[ tatbY ] =1
2(ab ·
6
q
Yq, (4.46)
dove la somma7
q corre sui quarks left- e right-handed con un fattore (-1) per
42 Capitolo 4. Anomalie chirali
ogni contributo da un quark left-handed. Utilizzando le cariche assegnate ai quarks
di prima generazione calcoliamo esplicitamente la somma
6
q
Yq = "2 · 1
6+ (
2
3) + ("1
3) = 0. (4.47)
Per l’anomalia di un bosone U(1) con due bosoni di SU(2) si ottiene un fattore
tr[&a& bY ] =1
2(ab
6
L
YL (4.48)
in cui la somma corre sui fermioni left-handed L e QL, quindi
6
L
YL = "("1
2)" 3 · 1
6= 0 (4.49)
dove il fattore 3 tiene conto del colore dei quarks. L’anomalia di tre bosoni di
U(1) e proporzionale alla somma sui leptoni e quarks left-handed e right-handed
tr[Y 3] = "2("1
2)3 + ("1)3 " 3[2(
1
6)3 " (
2
3)3 " ("1
3)3] = 0. (4.50)
Infine l’anomalia gravitazionale con bosone di gauge U(1) e proporzionale a
tr[Y ] = "2("1
2) + ("1)" 3[2(
1
6)" (
2
3)" (
1
3)] = 0. (4.51)
Dunque il Modello Standard e completamente libero da tutte le possibili anomalie
assiali tra le correnti di gauge.
Capitolo 5
Meccanismo di Stueckelberg
Dai risultati di teoria di stringa risulta possibile generare modelli fenomenologici di
bassa energia (dell’ordine di 10-100 Tev) la cui simmetria di gauge e
U(3)! U(2)! U(1). (5.1)
Modelli di questo genere emergono dalla cosiddetta “teoria delle brane”. Queste
simmetrie sono riscrivibili come
SU(3)! SU(2)! U(1)a ! U(1)b ! U(1)c, (5.2)
dove, in generale, gli U(1) addizionali rispetto al Modello Standard sono anomali,
cioe contengono accoppiamenti chirali. L’origine delle anomalie e dovuta al fatto che
i fermioni !i della teoria hanno cariche assiali e vettoriali rispetto ai gruppi abeliani
U(1). Gli accoppiamenti tipici infatti sono della forma
!("µgV " "µ"5gA)Dµ!, (5.3)
in cui la derivata covariante e cosı costruita
Dµ = (#µ + i ga qa Aaµ + i gb qb Ab
µ + i gc qc Acµ). (5.4)
In generale questi accoppiamenti generano correnti assiali del tipo
43
44 Capitolo 5. Meccanismo di Stueckelberg
!"µ"5! = Jµ5 (5.5)
che non sono conservate, e siccome la presenza di anomalie danneggia la rinormal-
izzabilita della teoria e necessario che queste si cancellino. Per avere una teoria con
simmetria di gauge vicina al Modello Standard bisogna rendere pesanti i bosoni di
gauge dei gruppi addizionali. Naturalmente questo potrebbe essere fatto con una mod-
ifica del meccanismo di Higgs, ma risulterebbe molto complicato; invece un metodo
alternativo e costituito dal meccanismo di Stueckelberg che consiste nell’introdurre
un campo scalare in grado di dare massa ai gruppi di gauge abeliani, pur mantenendo
la rinormalizzabilita del modello considerato. Va notato comunque che fino ad oggi
il meccanismo di Higgs rappresenta l’unico modo per dare massa ai bosoni di gauge
non abeliani preservando la rinormalizzabilita.
5.1 Proca
Un campo di spin 1 massivo Vµ, in generale complesso, puo essere descritto (Ruegg[10]) da
una lagrangiana di Proca
L = "1
2F †
µ"Fµ" + m2V †
µ V µ (5.6)
con intensita di campo
Fµ" = #µVµ " #"Vµ. (5.7)
Le equazioni del moto che discendono dalla lagrangiana sono
#µFµ" + m2V" = 0 (5.8)
e derivando si ottiene la condizione di Lorentz
5.2. Stueckelberg 45
#"#µFµ" + m2#"V" = 0 * # · V = 0 (5.9)
dove e stata sfruttata l’antisimmetria del tensore Fµ" negli indici. Sfortunata-
mente, si dimostra che la quantizzazione di questo modello prevede le seguenti par-
entesi di commutazione:
[Vµ(x), V"(y)] =)V †
µ (x), V †" (y)
*= 0, (5.10)
)Vµ(x), V †
" (y)*
= " i
'gµ" +
1
m2#µ#"
($m(x" y), (5.11) commutat
dove $m(x" y) e la funzione di Jordan-Pauli, tale che in presenza di un termine
di massa valga la condizione
(#2 + m2)$m(x) = 0. (5.12)
Ovviamente il commutatore (commutatcommutat5.11) di!erisce da quello che appare in QED per
la presenza del termine + 1/m2, e si puo dimostrare che proprio la presenza di
questo termine rende la teoria non rinormalizzabile poiche da origine a divergenze
(quadratiche) ad alte energie, non eliminabili mediante la procedura di rinormaliz-
zazione.
5.2 Stueckelberg
Per risolvere il problema della non rinormalizzabilita Stueckelberg introdusse un
campo scalare B, detto appunto campo di Stueckelberg, tale che
(#2 + m2)B(x) = 0, (5.13)
con regole di quantizzazione
46 Capitolo 5. Meccanismo di Stueckelberg
[B(x), B(y)] = 0, (5.14))B(x), B†(y)
*= i$m(x" y). (5.15)
La lagrangiana considerata e
LSt = "#µA†" #µA" + m2A†
µAµ + #µB
†#µB "m2B†B (5.16)
che descrive un campo massivo carico di spin 1 accompagnato dallo scalare di
Stueckelberg. Il vantaggio di questa formulazione e l’assenza dalle parentesi di com-
mutazione di termini con derivate che renderebbero problematico il comportamento
ad alte energie. La lagrangiana LSt possiede 5 gradi di liberta contati come comp-
lessi, invece dei tre su"cienti a descrivere un campo vettoriale massivo, che vengono
ridotti a quattro imponendo una condizione alla Gupta-Bleuler (indispensabile per
una hamiltoniana definita positiva)
S(x)|phys >= 0, (5.17)
dove l’operatore S e costruito prendendo le componenti
S(x) = ( # · A + mB(x) )("), (5.18)
cioe e stato decomposto #µAµ = (#µAµ)(+) + (#µAµ)("), dove (#µAµ)(+) contiene
gli operatori di creazione, mentre (#µAµ)(") contiene gli operatori di distruzione, e
analogo discorso vale per la trasformata di Fourier del campo B. In e!etti i gradi
di liberta scendono a tre considerato che la lagrangiana di Stueckelberg possiede una
simmetria di gauge
Aµ # A!µ = Aµ + #µ#(x), (5.19)
B # B! = B + m#(x), (5.20)
5.2. Stueckelberg 47
in cui la funzione di gauge complessa #(x) soddisfa l’equazione
(#2 + m2)#(x) = 0. (5.21)
In e!etti l’invarianza di gauge diventa evidente se riscriviamo la L come
L = " 1
2F †
µ"Fµ" + m2
'A†
µ "1
m#µB
†( '
Aµ " 1
m#µB
(
" (#µA†µ + mB†)(#"A
" + mB), (5.22)
dove Fµ" = #µA" " #"Aµ. Vale la pena osservare che se si definisce il campo
vettoriale
Vµ = Aµ "1
m#µB (5.23)
allora si verifica che
LSt = LProca " (# · A† + mB†)(# · A + mB), (5.24)
e la LSt coincide con la LProca sugli stati fisici
< phys|#"A" + mB|phys! >= 0. (5.25)
La lagrangiana per un modello con campo di gauge U(1) massivo e costituita dalla
somma di una parte di gauge
Lg = "1
4(#µA" " #"Aµ)2 +
1
2(#µB "mAµ)2, (5.26)
di una parte scalare
48 Capitolo 5. Meccanismo di Stueckelberg
Ls = |#µ%" ieAµ%|2 " )
'%†%" f 2
2
(2
, (5.27)
e di una parte fermionica
Lf = !(i#/ + gA/"M)!, (5.28)
in cui e, g, ) ed m, f, M sono parametri di cui i primi tre adimensionali, mentre gli
ultimi tre con dimensione di una massa. Sono tutti termini usuali eccezion fatta per
la massa del fotone m accompagnata dallo scalare di Stueckelberg B. Si introducono
le derivate covarianti
Dµ% = #µ%" ieAµ%, Dµ! = #µ! " igAµ!. (5.29)
Il valore di aspettazione del campo scalare complesso % e dato da
< % >=f&2
(5.30)
che e un numero reale. Naturalmente se f %= 0 la simmetria di gauge U(1) risulta
spontaneamente rotta e il fotone acquisisce massa tramite entrambi i meccanismi, di
Higgs e di Stueckelberg; in ogni caso m %= 0, quindi il bosone del modello risulta
massivo.
Un esempio piu completo e rappresentato da un modello con simmetria G!U(1).
Possiamo usare il meccanismo di Stueckelberg contemporaneamente al meccanismo
di Higgs per dare massa ai bosoni di gauge del gruppo G ed al bosone di gauge del
gruppo abeliano U(1). La lagrangiana invariante di gauge e una somma di termini
associati rispettivamente ai campi di gauge, agli scalari e ai campi fermionici:
L = Lg + Ls + Lf . (5.31)
5.2. Stueckelberg 49
La lagrangiana di gauge Lg contiene gli usuali termini cinetici per i campi vettoriali/W µ e V µ, ma anche il termine di massa alla Stueckelberg per V µ, assieme al termine
cinetico per il campo di Stueckelberg B (con ipercarica ed isospin nulli):
Lg = "1
4/F 2
µ" "1
4F 2
µ" +1
2(mVµ " #µB)2 (5.32)
dove le intensita per i campi di gauge sono
Fµ" = #µV" " #"Vµ, (5.33)
/Fµ" = #µ/W" " #"
/Wµ + g /Wµ , /W" . (5.34)
La lagrangiana scalare e data da
Ls = |Dµ%|2 " )
'%†%" f 2
2
(2
, (5.35)
dove % e un doppietto di isospin debole; la derivata covariante e rappresentata
dall’operatore
Dµ% =
'#µ " i
g
2/& · /Wµ " i
g!
2Vµ
(%. (5.36)
I minimi del potenziale sono posti in |%†%| = f2
2 e il valore di aspettazione sul
vuoto e < % >= f#2, con f reale.
50
51
Capitolo 6
Cancellazione delle anomalie nonstandard
In questo capitolo cercheremo di evidenziare, mediante lo studio di un modello non
supersimmetrico basato su una semplice teoria del tipo U(1) ! U(1), i problemi che
emergono quando si richiede una cancellazione delle anomalie di tipo non tradizionale
-come invece avviene per l’ipercarica- utilizzando operatori addizionali di dimensione
4 e superiori. Il primo tentativo che verra da noi fatto sara quello di considerare in-
terazioni di dimensione 4, l’interazione di Chern-Simons, che, a prima vista, potrebbe
sembrare l’interazione giusta per avere un nuovo meccanismo di cancellazione. Dal
nostro studio emerge che tale cancellazione utilizzando solo Chern-Simons non e suf-
ficiente a rendere la teoria libera da anomalie, e si ricade nell’ambito del meccanismo
gia noto, cioe quello del Modello Standard. La soluzione del problema, quindi, sembra
indicare che solo mediante l’introduzione di un termine assionico aF F la cancellazione
non standard appare possibile.
Iniziamo quindi a studiare una versione semplificata del modello che contiene un
gruppo di gauge della forma U(1)A!U(1)B, ed un campo di Higgs * (campo scalare
complesso) che genera la rottura di simmetria come nel Modello Standard. Oltre a
questo abbiamo anche un addizionale campo scalare a che genera la massa per uno
dei due bosoni di gauge. Successivamente passeremo a studiare un modello con tre
U(1), del tipo U(1)! U(1)! U(1). La lagrangiana e data da
L = |(#µ + igBµ)*|2 " 1
4F 2
A "1
4F 2
B + (#µa + MBµ)2 + )(|*|2 " v2)2
+ !i"µ[#µ + ieAµ + ig"5Bµ]! + LCS (6.1)
52 Capitolo 6. Cancellazione delle anomalie non standard
dove LCS definisce la lagrangiana di Chern-Simons
LCS = E1AµB"FA,-%
µ",- + E2AµB"FB,-%
µ",-. (6.2)
Va notato che il termine di Chern-Simons non e invariante sotto trasformazioni
di gauge. Come vedremo la richiesta di invarianza di gauge per una teoria anomala
imporra delle condizioni sui coe"cienti E1 ed E2 che sono al momento arbitrari.
Analizziamo brevemente la struttura di questa lagrangiana; oltre ai campi *, a, e i
due campi di gauge Aµ e Bµ corrispondenti ai gruppi U(1)A e U(1)B rispettivamente,
compare un accoppiamento del campo fermionico ! sia con Aµ che con Bµ. Questo
accoppiamento e di tipo vettoriale per A, invece e di tipo vettor- assiale per B. Stiamo
dando massa al bosone di gauge B mediante il meccanismo di Stueckelberg. Data la
presenza di accoppiamenti assiali del fermione con il bosone di gauge B, la teoria, in
generale, e anomala.
Scegliamo una parametrizzazione polare per il campo scalare *
* = 0 ei./v (6.3)
la cui trasformazione di gauge puo essere riscritta in termini delle componenti
polari, ed e!ettuiamo una trasformazione di gauge (A:
(AAµ = #µ 'A,
(Aa = 0,
(A0 = 0,
(A1 = 0,
(ABµ = 0,
(A! = "i e 'A !,
(6.4)
la cui struttura richiede qualche precisazione. Innanzitutto abbiamo introdotto
un parametro di gauge %A(x) ed e facile riconoscere nelle equazioni precedenti la
53
trasformazione tipica di un campo di gauge abeliano. Inoltre, pero, assumiamo che il
campo di Stueckelberg sia invariante sotto trasformazioni di gauge di A, ma trasformi
solo secondo B.
Se e!ettuiamo una trasformazione di gauge su B otteniamo
(BAµ = 0,
(BBµ = #µ 'B,
(Ba = "M'B,
(B0 = 0,
(B1 = "i g v 'B,
(B! = "i g 'B !,
(6.5)
Notiamo che il campo di Stueckelberg a e gauge-variante per trasformazioni di B.
Il nostro obiettivo sara quello di ottenere una teoria gauge-invariante dalla com-
binazione con il termine di Chern-Simons, pertanto adesso calcoliamo (AL. Notiamo
che la lagrangiana e gauge-invariante eccetto per il termine di Chern-Simons, quindi
la sua variazione e pari a quella del termine di Chern-Simons
(AL = (ALCS
= "1
2FB
µ"(E1'AF µ"A + E2'AF µ"
B ) + #µ(...) = 0 (6.6) cs0
dove abbiamo usato l’integrazione per parti ed omesso termini che ammontano a
derivate totali. Per derivare questa relazione abbiamo usato l’equazione
(A
8E1AµB"F
A,-'
µ",-9
= E1#µ'AB"FA,-'
µ",-
= #µ(...)" 1
2E1'AFB
µ"FA,-'
µ",-.
(6.7)
54 Capitolo 6. Cancellazione delle anomalie non standard
Figure 6.1: Un diagramma anomalo a triangolo con bosoni di gauge esterni (XYZ).
Definendo
F , F ( 1
2Fµ"F,-%
µ",- (6.8)
possiamo riscrivere (cs0cs06.6) nella forma
(AL = "E1'AFB , FA " E2'AFB , FB. (6.9) cs1
Analogamente se e!ettuiamo una trasformazione di gauge di B avremo
(BL = "E1'BFA , FA " E2'BFA , FB + 'BAFA , FA = 0. (6.10) cs2
dove alla variazione dei termini di Chern-Simons abbiamo anche addizionato il con-
tributo dell’anomalia A ottenuto variando il diagramma (BAA) a triangolo rispetto
alla linea assiale. Analizzando (cs1cs16.9) e (
cs2cs26.10) notiamo che l’unica soluzione possibile
e quella di avere una teoria senza termini di Chern-Simons, cioe E1 = E2 = 0, come
emerge dall’equazione (cs1cs16.9). Allo stesso modo, si vede che il termine di anomalia nella
equazione (cs2cs26.10) rimane sbilanciato e la teoria, pertanto, risulta gauge-variante. Come
curare questo problema? Ci sono due alternative. Eliminare le anomalie di U(1)B
mediante assegnazione di cariche, come visto nei capitoli precedenti, ma questo ci
porta alla soluzione di tipo U(1)Y , con U(1)B ridotto ad una “copia” del gruppo di
ipercarica e questo non e fisicamente accettabile, oppure si puo ricorrere ad un oper-
atore di dimensione 5 che permette di cancellare l’anomalia e rendere la lagrangiana
invariante di gauge, questo e ottenuto mediante il termine assionico
Laxion = 2a
MFA , FA. (6.11)
Infatti sotto una trasformazione di gauge di B avremo
6.1. Due gruppi U(1) anomali 55
(BLaxion = 21
M(BaFA , FA
=2
MFA , FA +
2!
MFB , FB
(6.12)
variazione che puo cancellare i due triangoli anomali (BBB) e (BAA) scegliendo
opportunamente 2 e 2!. Abbiamo visto quindi che il campo di Stueckelberg puo essere
usato per cancellare le anomalie in maniera non-canonica grazie al suo accoppiamento
alla divergenza di una funzione di correlazione data dal diagramma a triangolo. La
rinormalizzabilita della teoria e comunque sacrificata.
6.1 Due gruppi U(1) anomali
Consideriamo un modello con due gruppi U(1) anomali e un ulteriore gruppo U(1)
non anomalo. Usiamo solo Chern-Simons, vogliamo evitare la presenza dell’assione
per preservare la rinormalizzabilita della teoria.
L = |(#µ + iqBµ)*|2 " 1
4F 2
A "1
4F 2
B "1
4F 2
C
+ ! i "µ[ #µ + ieAµ + ig"5Bµ + ig!"5Cµ ] !
+ {E1AµB"A,- + E2AµB"B,- + E3AµC"A,-
+E4AµC"B,- + E5AµB"C,- + E6AµC"A,-
+ E7BµC"B,- + E8BµC"C,- + E9BµC"A,-}'µ",- (6.13) lag1
in cui abbiamo introdotto tutti i possibili termini di interazione di Chern-Simons.
La simmetria in questione e rappresentata dal prodotto U(1)A!U(1)B !U(1)C , con
U(1)A privo di anomalie. Richiedendo l’invarianza di gauge (AL = 0 e (BL = 0
otteniamo la condizione
(AL = "1
2[E1BµA,- + E2Bµ"B,- + E3Cµ"A,- + E4Cµ"B,-
56 Capitolo 6. Cancellazione delle anomalie non standard
+ E5Bµ"C,- + E6Cµ"A,-] = 0 (6.14)
poiche non c’e contributo all’anomalia da U(1)A, si ottiene quindi
E1 = E2 = E3 = E4 = E5 = E6 = 0. (6.15)
Adesso calcoliamo la variazione
(BL = "1
2[E7Cµ"B,- + E8Cµ"C,-] , (6.16)
in cui non abbiamo tenuto conto del termine E9BµC"A,- poiche le variazioni di
questo termine sono date da
(A(BµC"A,-) = 0,
(B(BµC"A,-) = "1
2Cµ"C,-. (6.17) t1
Da questa equazione si vede immediatamente che questo termine contenente E9
dovrebbe cancellare una anomalia del tipo (BCA) che dovrebbe essere proporzionale
a C , A ma che non esiste in quanto il diagramma (BCA) non e anomalo, pertanto
porremo E9 = 0.
Infine consideriamo la variazione
(CL = ((E7BµC"B,- + E8BµC"C,-)
=1
2(E7Bµ"B,- + E8Bµ"C,-) . (6.18)
In definitiva si sono ottenute le seguenti variazioni dei possibili termini di Chern-
Simons
(AL = 0 # E1 = E2 = E3 = E4 = E5 = E6 = 0 (6.19)
(BL %= 0 # E7Cµ"B,- + E8Cµ"C,- %= 0 (6.20)
(CL %= 0 # E7Bµ"B,- + E8Bµ"C,- %= 0. (6.21)
6.2. Assegnazione delle cariche 57
Nelle equazioni/disequazioni precedenti le variazioni non nulle sono appunto bilan-
ciate da contributi anomali. In altre parole, i termini di Chern-Simons con variazioni
di gauge non nulle sono le interazioni che, sommate ai corrispondenti diagrammi a
triangolo anomali della teoria, rendono l’interazione complessiva libera da anomalie.
6.2 Assegnazione delle cariche
A questo punto, abbiamo la speranza di poter definire un meccanismo di cancel-
lazione delle anomalie che faccia intervenire solo operatori di tipo Chern-Simons, che
permettono di conservare la rinormalizzabilita della teoria. Pertanto approfondiamo
questo studio assegnando delle cariche specifiche ai fermioni in modo tale da generare
anomalie tali da essere poi cancellate da E7 ed E8. Per rendere il modello su"cien-
temente interessante prendiamo due fermioni chirali accoppiati ai 3 gruppi abeliani.
La parte fermionica della lagrangiana (lag1lag16.13) assume la forma
6
i
!i i "µ[ #µ + iqi"5Aµ + ipi"5Bµ + iri"5Cµ ] !i (6.22)
dove le cariche sono date nella tabella (tabbtabb6.1). Abbiamo scelto per semplicita
q1 = q, q2 = "q e q3 = 0. Notare che abbiamo reso chirale anche l’accoppiamento di
A, ma abbiamo imposto, nella scelta delle cariche per A, la condizione di cancellazione
“tradizionale”. Infatti ogni anomalia del tipo (AXY) con X ed Y due bosoni A, B, C,
di cariche qX , qY si cancella automaticamemte giacche queste sono proporzionali a
(q " q + 0 )qXqY . Ricordiamo infatti che dobbiamo far circolare i tre fermioni nel
loop e sommare le corrispondenti cariche se si vuole calcolare il loro contributo totale
all’anomalia.
A B C
!1 q p1 r1
!2 -q p2 r2
!3 0 p3 r3
Table 6.1: Assegnazione delle cariche per il modello anomalo U(1)3. tabb
58 Capitolo 6. Cancellazione delle anomalie non standard
Abbiamo visto che solo termini di Chern-Simons del tipo (BL = E7Cµ"B,- +
E8Cµ"C,- possono sopravvivere e devono essere bilanciati da anomalie dell’interazione
a triangolo appropriate. Le rimanenti anomalie devono necessariamente cancellarsi
mediante assegnazione di carica, cioe sommando sulle cariche dei fermioni del modello.
Notiamo altresi che i termini di Chern-Simons non nulli sono collegati ad anomalie
del tipo (XCC) e (XCB), con X bosone di gauge abeliano generico. D’ora in avanti
resta inteso che dato un diagramma a triangolo del tipo (XYZ), la quadri-divergenza
sia sempre presa rispetto al primo bosone di gauge, in questo caso X.
Consideriamo il trianglo (BBB) e facciamo circolare i tre fermioni. La corrispon-
dente anomalia sara della forma B , B, dove d’ora in poi indicheremo FBµ" con Bµ" .
Avremo la condizione di cancellazione
p31 + p3
2 + p33 = 0 (6.23)
giacche la struttura della variazione (BLCS contiene solo C , B e C , C. Dal
triangolo (BAA) avremo una anomalia A , A che anche deve essere nulla e fornisce
p1q2 + p2q
2 = 0. (6.24)
Analogamente per (CCC) avremo
r31 + r3
2 + r33 = 0, (6.25)
in modo che l’anomalia C , C si cancelli. Consideriamo adesso il contributo
anomalo del diagramma (BCC) la cui anomalia e C , C. Ovviamente la sua cancel-
lazione puo essere ottenuta mediante la forma di Chern-Simons E8. Quindi avremo
la disuguaglianza
p1r21 + p2r
22 + p3r
23 %= 0 (6.26)
che deve essere cancellata dalla (BL + E8Cµ"C,-.
Analogamente, per la cancellazione di (BBC) avremo
6.2. Assegnazione delle cariche 59
A B C
!1 q p1 r1
!2 -q -p1 -r1
!3 0 0 0
Table 6.2: Assegnazione delle cariche finali. t2
p21r1 + p2
2r2 + p23r3 %= 0 (6.27)
perche cancellata dal termine in E7. Vediamo le conseguenze di questa scelta.
Siamo partiti con l’assegnazione delle cariche mostrata in tabella e provando a risol-
vere le equazioni si ottiene
p1q2 + p2q
2 = 0 * p1 = "p2 (6.28)
p31 + p3
2 + p33 = 0 * p3 = 0. (6.29)
Adesso consideriamo le anomalie generate nella variazione di gauge di (CL ad un
loop. Avremo
r1p21 + r2p
22r3p
23 = 0; p3 = 0 * r1 = "r2 (6.30)
r31 + r3
2 + r33 = 0 * r3 = 0 (6.31)
per la cancellazione di (CBB) e di (CCC) rispettivamente. Risolvendo queste
equazioni si trova che le cariche del modello sono quelle indicate nella tabella (t2t26.2)
il che implica che, siamo ritornati ad una cancellazione usuale, rendendo vano l’uso
delle forme di Chern-Simons. Infatti, per avere una cancellazione con Chern-Simons
dovremmo avere che almeno l’anomalia (BCC) venga cancellata dal termine E8 ma,
invece, non e necessario poiche la cancellazione avviene con le cariche. Notiamo anche
che
(BBC) = p21r1 + p2
2r2 = 0 (6.32)
60 Capitolo 6. Cancellazione delle anomalie non standard
senza la necessita di usare il termine in E7. La di"colta di avere cancellazioni non
usuali e ampiamente dimostrato da questo modello. Proviamo adesso a vedere come
le nostre considerazioni possono essere estese al Modello Standard.
6.3 Estensione del Modello Standard
Consideriamo pertanto lo spettro fermionico completo del Modello Standard e so!er-
miamoci sulla prima generazione. Il discorso sulle altre generazioni sara chiaramente
il medesimo. Abbiamo
%u
d
&
L
, uR, dR,
%,
e
&
L
, eR (6.33)
ed assumiamo che questi stati abbiano cariche abeliane sotto
U(1)Y ! U(1)B ! U(1)C (6.34)
in cui, adesso, l’ipercarica Y ha preso il posto del fattore A.
L’assegnazione dell’ipercarica e la medesima del Modello Standard, ma definiamo
con pi ed ri le cariche abeliane aggiuntive. La cancellazione dell’anomalia (YYY)
richiede la condizione
Tr[Y 3] = 0 (6.35)
che e soddisfatta grazie all’assegnazione delle ipercariche. Passiamo adesso alle
altre possibili anomalie. L’anomalia (BBB) fornisce la condizione
6p31 + 3p3
2 + 3p33 + 2p3
4 + p35 = 0, (6.36)
mentre l’anomalia (CCC)
6.3. Estensione del Modello Standard 61
Y B C
%u
d
&
L
1/6 p1 r1
uR "2/3 p2 r2
dR 1/3 p3 r3
%,
e
&
L
"1/2 p4 r4
eR 1 p5 r5
Table 6.3: Assegnazione di cariche nel Modello Standard con simmetria SU(3) !SU(2)! U(1)Y ! U(1)B ! U(1)C . Assumiamo che B e C siano anomali. t3
6r31 + 3r3
2 + 3r33 + 2r3
4 + r35 = 0. (6.37)
Inoltre dal triangolo (BCB) otteniamo
6p21r1 + 3p2
2r2 + 3p23r3 + 2p2
4r4 + p25r5 %= 0 (6.38)
poiche questo contributo puo essere cancellato dal termine in E7, cosı come il
contributo di (BCC)
+ 6r21p1 + 3r2
2p2 + 3r23p3 + 2r2
4p4 + r25p5 %= 0 (6.39)
che puo essere cancellato dal termine in E8. Vediamo adesso quali sono le con-
dizioni addizionali che emergono dalla cancellazione delle anomalie. Consideriamo
il contributo (BY Y ) + Y , Y ma non abbiamo un termine corrispondente di tipo
Chern-Simons con cui cancellare questo contributo, quindi avremo
62 Capitolo 6. Cancellazione delle anomalie non standard
6
'1
6
(2
p1 + 3
'"2
3
(2
p2 + 3
'1
3
(2
p3 + 2
'"1
2
(2
p4 + p5 = 0. (6.40)
Lo stesso accade per il contributo (CY Y ) + Y , Y per il quale vale la condizione
6
'1
6
(2
r1 + 3
'"2
3
(2
r2 + 3
'1
3
(2
r3 + 2
'"1
2
(2
r4 + r5 = 0. (6.41)
A questo punto prendiamo in considerazione le anomalie non abeliane. Avremo
le condizioni
B SU(3) SU(3) + 2p1 + p2 + p3 = 0, (6.42)
C SU(3) SU(3) + 2r1 + r2 + r3 = 0, (6.43)
B SU(2) SU(2) + 3p1 + p4 = 0, (6.44)
C SU(2) SU(2) + 3r1 + r4 = 0, (6.45)
dove due dei bosoni di gauge sono non abeliani. Il calcolo di queste relazioni
richiede una breve spiegazione. Nella derivazione, ad esempio, dell’anomalia non
abeliana (B SU(3) SU(3)) sotto trasformazioni di gauge di B, si deve tener presente
che l’anomalia e proporzionale alla traccia7
i Tr(2ipi)a)b) dove 2i e un fattore di
degenerazione. In pratica scriveremo
6
i
Tr(2ipi)a)b) = (2p1 + p2 + p3)Tr()a)b) (6.46)
con fattori di degenerazione 21 = 2, 22 = 1, 23 = 1 riferiti al doppietto (u, d)L e
ai due singoletti uR e dR. La traccia si riferisce ad indici di colore, in questo caso.
6.3. Estensione del Modello Standard 63
Figure 6.2: Anomalie non abeliane di un bosone X = (B, C) con SU(2) ed SU(3). anom
I leptoni non vanno inclusi nel loop giacche non hanno carica di SU(3). In modo
analogo si ottengono le altre relazioni.
Ricapitolando abbiamo collezionato le seguenti equazioni:
6p31 + 3p3
2 + 3p33 + 2p3
4 + p35 = 0 (6.47)
6r31 + 3r3
2 + 3r33 + 2r3
4 + r35 = 0 (6.48)
6p21r1 + 3p2
2r2 + 3p23r3 + 2p2
4r4 + p25r5 %= 0 (6.49)
6r21p1 + 3r2
2p2 + 3r23p3 + 2r2
4p4 + r25p5 %= 0 (6.50)
6
'1
6
(2
p1 + 3
'"2
3
(2
p2 + 3
'1
3
(2
r3 + 2
'"1
2
(2
p4 + p5 = 0 (6.51)
6
'1
6
(2
r1 + 3
'"2
3
(2
r2 + 3
'1
3
(2
r3 + 2
'"1
2
(2
r4 + r5 = 0 (6.52)
2p1 + p2 + p3 = 0 2r1 + r2 + r3 = 0 - (anomalia C3) (6.53)
3p1 + p4 = 0 3r1 + r4 = 0 - (anomalia C2) (6.54)
Non esiste una soluzione di questo insieme di equazioni che verifichi al tempo
stesso le disuguaglianze presenti. In altri termini si trova che la cancellazione e tale da
ridurre anche le diseguaglianze ad equazioni algebriche ordinarie, e che quindi portano
ad assegnazioni di carica ordinarie e pertanto non e richiesto alcun termine di Chern-
Simons. Esiste pero una soluzione per cui l’anomalia C3 e non nulla. Ad esempio
potremmo porre a zero tutte le disuguaglianze ed imporre, invece, che l’anomalia non
abeliana C3 sia non zero. Questo e possibile, a patto, pero di introdurre due campi
assionici a e b accoppiati nel modo
aTr[G ,G] + bTr[G ,G] (6.55)
dove a ha carica di U(1)B e b ha carica di U(1)C . Questo sarebbe su"ciente ad
avere una cancellazione non standard con
64 Capitolo 6. Cancellazione delle anomalie non standard
2p1 + p2 + p3 %= 0, 2r1 + r2 + r3 %= 0. (6.56)
Capitolo 7
Supersimmetria
7.1 Indici puntati e non puntati
Sia F lo spazio vettoriale(muller[11],
likken[12],
Wess[13],
weinberg[14],
sonius[15],
west[16]) degli spinori !A a due compo-
nenti (A=1,2), allora possiamo costruire lo spazio duale F $; gli elementi di F $ sono
mappe lineari da F in C
(*A) : F #C, (7.1)
cosı per ogni ! . F risulta che
*(!) ( *A!A . C. (7.2) prodotto
Con questo resta fissata la convenzione sugli indici non puntati secondo cui vale
la distinzione
!A . F, *A . F $ (7.3)
e volendo interpretare la legge di composizione (prodottoprodotto7.2) come moltiplicazione matri-
ciale risulta che uno spinore *A con indice in alto non puntato deve essere considerato
un vettore riga, mentre uno spinore !A con indice in basso non puntato rappresenta
un vettore colonna. Consideriamo la matrice ' anti-simmetrica 2! 2, definita da
65
66 Capitolo 7. Supersimmetria
' =
%0 1
"1 0
&( 'AB = ('AB)T , (7.4)
dove
'"1 =
%0 "1
1 0
&( 'AB = ('AB)"1; (7.5)
allora, con queste convenzioni sugli indici per ' e '"1, possiamo considerare la
mappa lineare
('AB) : F # F $
!A # !A = 'AB!B; (7.6)
la mappa inversa e data dalla matrice inversa, ovvero la ' con indici in basso
('AB) : F $ # F
!A # !A = 'AB !B. (7.7)
Analogamente, consideriamo lo spazio vettoriale F $ degli spinori a due componenti
con indice puntato in alto: !A . F $, allora possiamo costruire lo spazio duale F ( F $$
i cui elementi sono mappe lineari da F $ in C
(!A) : F $#C, (7.8)
di modo che
!(*) = !A*A . C, (7.9) prod2
7.1. Indici puntati e non puntati 67
e con questo resta fissata la convenzione sugli indici puntati secondo la quale vale
la distinzione
!A . F , *A . F $. (7.10)
La corretta interpretazione della legge di composizione (prod2prod27.9) come prodotto matri-
ciale richiede che uno spinore !A con indice in basso puntato debba essere considerato
come vettore riga, mentre uno spinore *A
con indice in alto puntato sia considerato
come vettore colonna. Consideriamo la matrice 2! 2
' =
%0 1
"1 0
&( 'AB = ('AB)T (7.11)
con inversa
'"1 =
%0 "1
1 0
&( 'AB = ('AB)"1, (7.12)
allora possiamo abbassare o alzare gli indici puntati degli spinori contraendoli
rispettivamente con '"1 e con '
('AB) : F $ # F
!B # !A = 'AB!
B. (7.13)
e cosı pure
('AB) : F # F $
!B # !A
= 'AB!B. (7.14)
68 Capitolo 7. Supersimmetria
7.2 Matrici di Pauli
Introducendo per convenienza la seguente notazione per la matrice identita
+0 =
%1 0
0 1
&, (7.15)
allora possiamo organizzare le matici di Pauli e l’identita in un’espressione com-
patta
+µ = (+0,/+) = (+0; +1, +2, +3). (7.16)
Le matrici + presentano la seguente struttura spinoriale
+µ =!+µ
AA
$(7.17)
e gli indici spinoriali possono essere innalzati nel seguente modo
+µ AA = +µ AA = 'AB'AB+µ
BB, (7.18) Pauli
dove e stato usato il tensore “metrico” (anti-simmetrico) per contrarre gli indici
'AB = 'AB =
%0 1
"1 0
&. (7.19)
Esplicitamente dalla (PauliPauli7.18) si ottiene
+0 = +0 (7.20)
+i = "+i, (i = 1, 2, 3). (7.21)
Le matrici + verificano la relazione di completezza
7.3. Spinori di Weyl e di Dirac 69
+µ
AA+BB
µ = 2 ( BA ( B
A(7.22)
e inoltre si verifica che
Tr [ +µ+" ] = 2gµ" . (7.23)
Le seguenti matrici anti-simmetriche sono i generatori di SL(2, C) nelle rappre-
sentazioni spinoriali8
12 , 0
9e
80, 1
2
9rispettivamente
+µ" ( i
4(+µ+" " +"+µ) , (7.24)
+µ" ( i
4( +µ+" " +"+µ) , (7.25)
e sono legate dalla relazione (+µ")† = +µ" ; in particolare si verifica che
Tr [ +µ" ] = Tr [ +µ" ] = 0, (7.26)
Tr [ +µ"+,-] =1
2(gµ,g"- " gµ-g",) +
i
2'µ",-, (7.27)
Tr [ + µ"+ ,-] =1
2(gµ,g"- " gµ-g",)" i
2'µ",-. (7.28)
La loro struttura in componenti e ereditata dalle matrici +, risultando
(+µ") BA =
i
4
"+µ
AA+"AB " +"
AA+µAB
#, (7.29)
(+µ")AB
=i
4
"+µAA+"
AB" +"AA+µ
AB
#. (7.30)
7.3 Spinori di Weyl e di Dirac
Consideriamo i due spinori di Weyl a due componenti
70 Capitolo 7. Supersimmetria
1A . F, (A = 1, 2)
3A . F $, (A = 1, 2)
(7.31)
dove gli spazi vettoriali 2-dimensionali F ed F $ sono due rappresentazioni comp-
lesse inequivalenti di SL(2,C), i cui elementi sono, rispettivamente, gli spinori di Weyl
left-handed con indice A non puntato in basso e gli spinori di Weyl right-handed
con indice A puntato in alto; possiamo costruire lo spazio 4-dimensionale D, somma
diretta di F ed F $
D ( F / F $ (7.32)
che e lo spazio degli spinori a quattro componenti di Dirac. Quindi uno spinore
di Dirac puo essere ottenuto da due spinori di Weyl tramite la costruzione
! =
%1A
3A
&. F / F $ (7.33)
che e, appunto, uno spinore di Dirac scritto nella rappresentazione di Weyl. Es-
plicitamente a"nche il calcolo con gli indici spinoriali abbia senso deve risultare la
seguente convenzione sulle righe e le colonne, rispettivamente per lo spinore
(!)a =
%1A
3A
&(7.34)
(dove a = 1, 2, 3, 4; A = 1, 2; A = 1, 2) e per il suo trasposto
(!T )b =81B, 3B
9(7.35)
(dove b = 1, 2, 3, 4; B = 1, 2; B = 1, 2). Ricordiamo che nella rappresentazione di
Weyl (chirale) le matrici " di Dirac assumono l’espressione
7.3. Spinori di Weyl e di Dirac 71
"µ =
%0 +µ
+µ 0
&, (7.36)
e la matrice "5 = i"0"1"2"3 e data da
"5 =
%"12%2 0
0 12%2
&. (7.37)
Lo spinore di Dirac aggiunto ! = !†"0 in rappresentazione di Weyl risulta (e
esplicitata la corretta struttura degli indici per "0)
! = !+"0 =81A!
, 3 $A
9%
0 +0AB
+ 0 AB 0
&=
"3 $
A+ 0 AB, 1A!
+0AB
#
=83B, 1B
9, (7.38)
e notiamo che il suo trasposto e
!T
=
%3B
1B
&. (7.39)
Il coniugato di carica di uno spinore di Dirac in rappresentazione di Weyl e definito
! = !c = C !T; (7.40)
allora utilizzando la matrice C di coniugazione di carica in rappresentazione di
Weyl, con la corretta struttura degli indici risulta che
(!c)a = Cab( !T
)b
=
%(i+2+ 0) B
A 0
0 (i+2+0)AB
&%3B
1B
&
=
%(i+2+ 0) B
A 3B
(i+2+0)AB
1B
&; (7.41)
72 Capitolo 7. Supersimmetria
ricordiamo che +0 = + 0 = 12%2; + i = "+i (i = 1, 2, 3), allora si verifica che
8i+2+ 0
9AB=
%0 1
"1 0
&AB
=8'AB
9, (7.42)
8i+2+ 0
9AB
=
%0 "1
1 0
&
AB
= ('AB) , (7.43)
quindi gli elementi della matrice di coniugazione di carica sono
( i +2+ 0 ) BA = 'AC ( i +2+ 0 )CB = 'AC 'CB = ( B
A , (7.44)
( i +2+0 )AB
= 'AC ( i +2+0 )CB = 'AC'CB = (AB; (7.45)
quindi, in conclusione, lo spinore coniugato di carica e
(!C)a =
%3A
1A
&, (7.46)
cioe la coniugazione di carica scambia 1 con 3. Uno spinore di Majorana, ), e uno
spinore di Dirac a quattro componenti che soddisfa la condizione
) = )C (7.47)
cioe, esplicitamente
) =
%1A
3A
&(
%3A
1A
&= ()C), (7.48)
allora uno spinore di Majorana in rappresentazione di Weyl e scritto come
) =
%1A
1A
&. (7.49) Majorana
7.4. Relazioni tra spinori 73
Uno spinore di Majorana possiede solo due componenti complesse indipendenti ed
e equivalente ad uno spinore a due componenti di Weyl.
Ricordiamo che nella rappresentazione di Weyl gli operatori di proiezione chirale
PL =
%1 0
0 0
&, PR =
%0 0
0 1
&(7.50)
agiscono sugli spinori di Dirac come segue
!L = PL ! =
%1A
0
&, !R = PR ! =
%0
3A
&. (7.51)
7.4 Relazioni tra spinori
Prima di tutto notiamo che la “metrica” ' soddisfa le relazioni
'AB 'CD = (AD (B
C " (AC (B
D, (7.52)
'AB 'CD = ( DA
( CB" ( C
A( DB
, (7.53)
'AB 'BC = (AC , (7.54)
'AB 'BC = ( CA
. (7.55)
Postuliamo che le componenti degli spinori di Weyl siano numeri di Grassmann,
cioe richiediamo (adel[17]):
{!A , !B } = {!A , !B } = {!A , !B } = 0, (7.56)
{4A , 4 B } = {4A , 4B } = {4 A , 4 B } = 0, (7.57)
e anti-commutano non solo tra loro, ma anche con altri numeri di Grassmann.
Possiamo calcolare l’espressione
74 Capitolo 7. Supersimmetria
!A4A = 'AB !B 4A = '12 !2 41 + '21 !1 42 = !2 41 " !1 42 (7.58)
che non si annulla grazie al postulato di anticommutazione. In particolare valgono
le espressioni
!A 4A = "4A !A, (7.59)
!A 4 A = "4 A !A, (7.60)
e fissiamo una volta per tutte la convenzione di somma sugli indici spinoriali
puntati e non puntati intendendo che
! 4 ( !A 4A, (7.61)
! 4 ( !A 4 A. (7.62)
Cosı, ad esempio, un’espressione del tipo !+µ4 e da intendersi come la somma
!+µ4 ( !A+µ
AA4 A. A questo punto conviene far presenti alcune relazioni utili nei
calcoli con gli spinori. Siano !, $, e 4 spinori a due componenti (Weyl), allora si
verifica che
! 4 = 4 !, (7.63)
! 4 = 4 !, (7.64)
(!4)† = 4 !, (7.65)
!+µ4 = "4 + µ!, (7.66)
(! + µ 4 )† = 4+ µ!, (7.67)
$A$B = " 1
2'AB $$, (7.68)
$A$B =1
2'AB $$, (7.69)
$A
$B
=1
2'AB $ $, (7.70)
7.5. Formule di Fierz 75
$A $B = " 1
2'AB $ $. (7.71)
7.5 Formule di Fierz
Le formule di Fierz per il riordinamento degli spinori permettono di scambiare l’ordine
tra gli spinori, all’interno di espressioni piu o meno complicate, tenendo conto della
loro natura di numeri di Grassmann. Le elenchiamo qui di seguito:
$! $4 = " 1
2$$ !4, (7.72) Fierz2
$ ! $4 = " 1
2$ $ !4, (7.73)
$! 4A =1
2$+µ4 !A+µ AA =
1
2$+µ4 (!+µ)A, (7.74)
$ ! 4A =1
2$ +µ4 !A+AA
µ =1
2$ +µ4 (! +µ)A, (7.75)
!1+µ41 !2+
"42 =1
2gµ" !1!2 4142. (7.76) Fierz
E da notare in particolare l’ultima relazione che sara molto utile nei calcoli suc-
cessivi, e si tenga presente che la metrica utilizzata e gµ" = diag(+1,"1,"1,"1).
7.6 Estensione supersimmetrica dell’algebra di Poincare (Dirac)
Una fondamentale simmetria della fisica delle particelle e rappresentata dal gruppo di
Poincare delle rotazioni e traslazioni nello spazio-tempo di Minkowski, i cui generatori
soddisfano le relazioni di commutazione
[Mµ" , M,-] = "i(3µ,M"- " 3µ-M", " 3",Mµ- + 3"-Mµ,), (7.77)
[Mµ" , P,] = i(3",Pµ " 3µ,P"), (7.78)
[Pµ, P" ] = 0; (7.79)
76 Capitolo 7. Supersimmetria
i 6 generatori Mµ" del gruppo di Lorentz e i 4 generatori Pµ del gruppo delle
traslazioni costituiscono la base dell’algebra di Lie (del gruppo) che e uno spazio
vettoriale a dieci dimensioni.
Per costruire un’estensione dell’algebra di Poincare ad una algebra di Lie estesa
si considera:
1) L0 : algebra di Poincare
2) L1 = span {Qa} a = 1, 2, 3, 4;
3) Il prodotto L0 ! L1#L1 definito da
a) Pµ 0Qa = [Pµ, Qa] = 0,
b) Mµ" 0Qa = [Mµ" , Qa] = "(+4µ")abQb,
dove le matrici antisimmetriche +4µ" = i
4 ["µ, "" ] formano una rappresentazione 4-
dimensionale dell’algebra di Lorentz, cioe
[+4µ" , +
4,-] = "i(3µ,+
4"- " 3µ-+
4", " 3",+
4µ- + 3"-+
4µ,). (7.80)
Il punto (3.a) implica che i Q si trasformano banalmente sotto traslazioni, mentre
il punto (3.b) implica che i Q si trasformano come spinori sotto trasformazioni di
Lorentz omogenee. Si definisce il prodotto sullo spazio L1 che, in accordo con la
teoria generale delle algebre di Lie estese, deve essere simmetrico e chiuso su L0:
0 : L1 ! L1 # L0
Qa, Qb # Qa 0Qb = QaQb + QbQa = {Qa, Qb},
(7.81)
e si puo dimostrare che l’estensione corretta dell’algebra, consistentemente con
l’identita di Jacobi sui generatori Qa e Qb, richiede un prodotto L1 ! L1 dato da
{Qa, Qb} = c ("µC)ab Pµ, (7.82)
in cui il coe"ciente c e arbitrario e puo essere riassorbito nei Q. Dalla costruzione
e!ettuata e chiaro che il sottospazio L1 e generato dai Qa che costituiscono quat-
tro operatori complessi con otto componenti indipendenti, quindi sarebbe necessario
specificare i prodotti
7.6. Estensione supersimmetrica dell’algebra di Poincare (Dirac) 77
Qa 0Qb = {Qa, Qb}, Qa 0Qb = {Qa, Qb}, Qa 0Qb = {Qa, Qb};
(7.83)
tuttavia ci si puo limitare al caso in cui Q sia uno spinore di Majorana (restrizione
che non modifica la struttura dell’algebra), quindi Q e Q non risultano piu indipen-
denti, e dalla condizione di Majorana Q = QC si possono dimostrare le relazioni
{Qa, Qb} = 2 ("µ)ab Pµ, (7.84) antic
{Qa, Qb} = 2 (C"1"µ)ab Pµ, (7.85)
in cui e stato scelto il coe"ciente c = "2. Quindi, in conclusione, la super-algebra
di Poincare cosı come e stata costruita risulta essere un’algebra a 14 generatori: 4
generatori delle traslazioni Pµ, 6 generatori delle trasformazioni di Lorentz Mµ" , e 4
“cariche spinoriali” Qa (spinori di Majorana) che soddisfano le seguenti relazioni:
[Mµ" , M,-] = "i(3µ,M"- " 3µ-M", " 3",Mµ- + 3"-Mµ,),
[Mµ" , P,] = i(3",Pµ " 3µ,P"),
[Pµ, P" ] = 0,
[Pµ, Qa] = 0,
[Mµ" , Qa] = "(+4µ")abQb,
{Qa, Qb} = 2 ("µ)ab Pµ,
{Qa, Qb} = 2 (C"1"µ)ab Pµ
{Qa, Qb} = "2 ("µC)ab Pµ
(7.86)
(ricordiamo che gli indici a,b corrono da 1 a 4). Infine e bene notare che se
si vuole includere nella superalgebra di Poincare una qualche simmetria interna si
deve considerare un insieme di N cariche spinoriali Q*A, Q
*A (. = 1, ..., N) dove N e
78 Capitolo 7. Supersimmetria
la dimensione della rappresentazione del gruppo di simmetria interna; l’algebra con
N = 1 e detta algebra supersimmetrica, mentre l’algebra con N > 1 e un’algebra
supersimmetrica estesa.
7.7 Estensione supersimmetrica dell’algebra di Poincare (Weyl)
E possibile esprimere l’anticommutatore (anticantic7.84) dell’algebra di Poincare estesa in ter-
mini di spinori a due componenti di Weyl. Ricordiamo, infatti, la stretta connessione
tra spinore di Weyl e spinore di Majorana:
Q =
%QA
QA
&; (7.87)
quindi partendo dalla (anticantic7.84) in quattro componenti
{Qa, Qb} = QaQb + QbQa = 2 ("µ)ab Pµ, (7.88)
in rappresentazione di Weyl si ottiene
%QA
QA
&8QB, QB
9+
8QB, QB
9%
QA
QA
&= 2
%0 (+µ)AB
(+µ)AB 0
&Pµ (7.89)
cioe
%QAQB + QBQA QAQB + QBQA
QAQB + QBQ
AQ
AQB + QBQ
A
&= 2
%0 (+µ)AB
(+µ)AB 0
&Pµ, (7.90)
quindi si ottengono le seguenti relazioni di anticommutazione:
{QA, QB} = 0, (7.91) prima
7.8. Operatori di Casimir 79
{QA, QB} = 2 +µ
ABPµ, (7.92)
{QA, QB} = 2 + µ ABPµ, (7.93)
{QA, QB} = 0; (7.94) ultima
inoltre utilizzando
+4µ" =
%(+2
µ")B
A 0
0 (+ 2µ")
AB
&(7.95)
(ricordiamo che + µ"2 = i
4 (+µ+ " " +"+ µ) e + µ"2 = i
4 (+µ+" " +"+µ)) allora il
commutatore [Mµ" , Qa] = " (+4µ")ab Qb diventa
[Mµ" , QA] = " (+2µ")
BA QB, (7.96)
)Mµ" , QA
*= " (+ 2
µ")AB
QB. (7.97)
7.8 Operatori di Casimir
Per poter classificare le rappresentazioni della super-algebra di Poincare identifichi-
amo gli invarianti di Casimir, i cui autovalori specificano la rappresentazione consider-
ata. Si puo verificare che P 2 = P µPµ e un operatore invariante. Inoltre consideriamo
il vettore di Pauli-Ljubanski
W µ =1
2'µ",-M",P- (7.98)
al quale sommiamo un nuovo vettore costruito come
Xµ =1
2Q"µ"5Q (7.99)
allora otteniamo
80 Capitolo 7. Supersimmetria
Bµ = Wµ +1
4Xµ; (7.100)
a questo punto definito il tensore
Cµ" = BµP" "B"Pµ, (7.101)
e si puo dimostrare che C2 = Cµ"Cµ" e un altro operatore invariante, cioe commuta
con tutti i generatori della super-algebra:
)C2, Qa
*= 0,
)C2, Pµ
*= 0,
)C2, Mµ"
*= 0.
(7.102)
In particolare notiamo che nel sistema a riposo Pµ = (m,/0) si puo scrivere
C2 = 2m4JkJk (7.103)
dove Jk e un momento angolare:
[Jk, Jl] = i'klmJm, (7.104)
allora J2 = JkJk e un operatore invariante, con autovalori j(j + 1) con j intero
o semi-intero. Ricapitolando abbiamo individuato i due operatori di Casimir P 2 e
C2, i cui autovalori m2 e j(j + 1) vengono usati per “etichettare” le rappresentazioni
irriducibili (e quindi i multipletti di particelle) della super-algebra di Poincare.
7.9. Superspazio 81
7.9 Superspazio
I punti nel superspazio sono le supercoordinate, ovvero le 4 coordinate xµ dello spazio-
tempo di Minkowski e 4 parametri di Grassmann costanti (indipendenti dalle xµ):
$A = 1,2 , $B = 1,2, (7.105)
che sono spinori di Weyl indipendenti che si trasformano rispettivamente sotto la
auto-rappresentazione di SL(2, C) e la sua complessa coniugata. Si puo dimostrare
che la parte della superalgebra di Poincare specificata dalle relazioni di anticommu-
tazione (primaprima7.91)#(
ultimaultima7.94) puo essere convertita nei seguenti commutatori
[ $AQA, $BQB
] = 2 $A+µ
AB$
BPµ, [ $AQA, $BQB ] = 0, [ $AQ
A, $BQ
B] = 0,
(7.106)
dove $A e $A sono numeri di Grassmann che anticommutano tra loro e anche con
le cariche spinoriali QA e QA, in questo modo possiamo lavorare con un’algebra di
Lie regolare che coinvolge solo commutatori.
7.10 Di!erenziazione rispetto alle variabili di Grassmann
Le variabili di Grassmann a causa della loro natura anticommutante sono trattate
come “oggetti” discreti, per i quali non ha senso parlare di derivata come rapporto
tra due incrementi infinitesimi; il calcolo di!erenziale e definito formalmente come
#B$A =#$A
#$B= (B
A, #B$A =#$A
#$B= ( A
B , (7.107)
#B
$A =#$A
#$B
= (BA, #B $
A=
#$A
#$B
= ( AB
; (7.108)
si verifica facilmente che
82 Capitolo 7. Supersimmetria
#$B
#$A=
#
#$A('BC $C) = 'BC ( C
A = 'BA, (7.109)
e analogamente per gli altri casi. Per alzare o abbassare gli indici si usa la metrica
'
'AB #
#$B= " #
#$A, 'AB
#
#$B= " #
#$A, (7.110)
'AB #
#$B
= " #
#$A
, 'AB
#
#$B
= " #
#$A
. (7.111)
Poiche $ e $ anticommutano si verifica che
:#
#$A,
#
#$B
;=
<#
#$A
,#
#$B
==
<#
#$A,
#
#$B
== 0, (7.112)
:#
#$A, $B
;= (A
B, (7.113)
<#
#$A
, $B
== (B
A, (7.114)
e siccome $ e $ sono considerate indipendenti risulta che
#$B
#$A
=#$
B
#$A= 0. (7.115)
Infine valgono le relazioni
#
#$A$$ = 2 $A, (7.116)
#
#$A
$ $ = "2 $A, (7.117)
#
#$A
#
#$A$$ = 4, (7.118)
#
#$A
#
#$A
$ $ = 4. (7.119)
7.11. Integrazione rispetto alle variabili di Grassmann 83
7.11 Integrazione rispetto alle variabili di Grassmann
Siccome le variabili di Grassmann sono “oggetti” discreti l’integrale non ha il signi-
ficato di area sottesa da una curva, ma si definisce piuttosto un funzionale I che ad
ogni curva f(a), con a numero di Grassmann, associa un c-numero
>da f(a) = I[f ]. (7.120)
Poiche an = 0 per n 1 2 allora per f risulta lo sviluppo di Taylor
f(a) = f(0) + f (1) · a, (7.121)
quindi l’integrale5
da f(a) resta definito una volta assegnati
>da1 := 0, (7.122) integr1
>da a := 1, (7.123) integr2
e formalmente non c’e di!erenza tra derivare e integrare rispetto a variabili di
Grassmann, infatti
>da f(a) = f (1) =
#
#af(a). (7.124)
Considerato che un superspazio e parametrizzato non da una sola variabile di
Grassmann a ma da 4 variabili anticommutanti {$1, $2} e {$1, $
2} allora per consis-
tenza con le posizioni (integr1integr17.122) e (
integr2integr27.123) si richiede che
>d$1d$2 1 =
>d$1[
>d$21] = 0, (7.125)
>d$1d$2 $1 = "
>d$2[
>d$1$1] = "
>d$21 = 0, (7.126)
84 Capitolo 7. Supersimmetria
>d$1d$2 $2 =
>d$1 1 = 0, (7.127)
>d$1d$2 $1$2 = "
>d$1[
>d$2$2]$1 = "
>d$1 $1 = "1, (7.128)
(e lo stesso vale per i $), dove
{d$A, d$B} = {d$A, $B} = 0, (7.129)
{d$A, d$B} = {d$A, $B} = 0. (7.130)
Si definiscono i seguenti elementi di volume per la parte anticommutante del su-
perspazio
d2$ = "1
4d$A d$A = "1
4d$A d$B 'AB, (7.131)
d2$ = "1
4d$A d$
A= "1
4d$A d$B 'AB, (7.132)
d4$ = d2$ d2$, (7.133) elemvol
di modo che siano verificate le relazioni
>d2$ =
>d2$ = 0, (7.134)
>d2$ $A =
>d2$ $A = 0, (7.135)
>d2$ $$ = 1, (7.136)
>d2$ $ $ = 1, (7.137)
>d4$ $$ $ $ =
>d2$ d2$ $$ $ $ = 1. (7.138)
Infine risulta che le funzioni delta definite sulle variabili di Grassmann hanno
espressione
7.12. Supercampi e trasformazioni di supersimmetria 85
(2($) = $$, (7.139)
(2($) = $ $, (7.140)
(4($, $) = (2($) (2($), (7.141)
risultando implicitamente da
>d2$ f($) (2($) = f(0), (7.142)
>d2$ g($) (2($) = g(0), (7.143)
>d4$ h($, $) (4($, $) = h(0, 0). (7.144)
7.12 Supercampi e trasformazioni di supersimmetria
Un generico supercampo % e un operatore definito sul superspazio da intendersi in
termini del suo sviluppo in serie di potenze nelle variabili $ e $. Tale espansione
risulta finita per la natura anticommutante delle variabili di Grassmann:
%(x, $, $) = f(x) + $A*A(x) + $A 4A(x) + ($$) m(x) + ($ $) n(x)
+ ($+µ$) Vµ(x) + ($$)$A)A(x) + ($ $)$A!A(x) + ($$)($$) d(x),
(7.145)
e dalla richiesta che %(x, $, $) sia uno scalare (o pseudoscalare) di Lorentz risultano
fissate le proprieta di trasformazione delle componenti del supercampo: f(x), m(x),
n(x) sono funzioni scalari complesse, Vµ(x) e un quadrivettore, *A e !A sono spinori di
Weyl left-handed, 4A e )A
sono spinori di Weyl right-handed ed infine d(x) e un campo
scalare. Consideriamo tre operatori unitari che sono tre diverse rappresentazioni del
gruppo di supersimmetria su funzioni definite nel superspazio:
86 Capitolo 7. Supersimmetria
L(x, $, $) = exp ("ixµPµ + i$Q + i$ Q), (7.146)
L1(x, $, $) = exp ("ixµPµ + i$Q) · exp (i$ Q) (7.147)
L2(x, $, $) = exp ("ixµPµ + i$ Q) · exp (i$Q) (7.148)
in cui Pµ, Q e Q sono operatori hermitiani. Questi operatori L1, L2 ed L3 sono
tre rappresentazioni di una stessa trasformazione di supersimmetria (per dimostrarlo
si usi la formula di Campbell-Baker-Hausdor!)
L(x, $, $) = L1(xµ + i$+µ$, $, $)
= L2(xµ " i$+µ$, $, $), (7.149)
che agiscono su tre diverse definizioni di supercampo
%(x, $, $) = %1(xµ + i$+µ$, $, $)
= %2(xµ " i$+µ$, $, $), (7.150)
dove %1 e %2 rappresentano il supercampo % con coordinate bosoniche traslate.
Sotto una trasformazione finita di supersimmetria T* (con . parametro di trasfor-
mazione) i tre supercampi diventano
T*%(x, $, $) = L(0, .,.) %(x, $, $) L"1(0, .,.)
= L(x" i.+$ + i$+., $ + ., $ + .) %(x0, $0, $0)!
L"1(x" i.+$ + i$+., $ + ., $ + .)
= %(x" i.+$ + i$+., $ + ., $ + .), (7.151)
T*%1(x, $, $) = L1(i.+., ., .) %1(x, $, $) L"11 (i.+., ., .)
7.12. Supercampi e trasformazioni di supersimmetria 87
= L1(x + 2i$+. + i.+., $ + ., $ + .) %1(x0, $0, $0)!
L"11 (x + 2i$+. + i.+., $ + ., $ + .)
= %1(x + 2i$+. + i.+., $ + ., $ + .), (7.152)
T*%2(x, $, $) = L2("i.+., ., .) %2(x, $, $) L"12 ("i.+., ., .)
= L2(x" 2i.+$ " i.+., $ + ., $ + .) %2(x0, $0, $0)!
L"12 (x" 2i.+$ " i.+., $ + ., $ + .)
= %2(x" 2i.+$ " i.+., $ + ., $ + .), (7.153)
dove T* indica una particolare trasformazione di supersimmetria. Quindi T* che
agisce sul supercampo % corrisponde all’applicazione dell’operatore L(0, .,.), men-
tre T* per agire su %1 o su %2 richiede rispettivamente l’applicazione degli opera-
tori L1(i.+., ., .) o L2("i.+., ., .), questo perche L, L1 ed L2 corrispondono alla
stessa trasformazione ma in di!erenti rappresentazioni. Adesso consideriamo T* con
parametro di trasformazione . infinitesimo; vogliamo calcolare la variazione infinites-
ima del campo:
(S% = T*%(x, $, $ ) " %(x, $, $ )
= %(x + i$+." i.+$, $ + ., $ + .)" %(x, $, $ ). (7.154)
Sviluppando in serie di Taylor otteniamo
(S% = %(x, $, $ ) + i ($+µ." .+µ$) #µ%(x, $, $ )
+ .#
#$%(x, $, $ ) + .
#
#$%(x, $, $ ) + ....." %(x, $, $ )
=
:.
#
#$+ .
#
#$+ i ($+µ." .+µ$)#µ + ...
;%(x, $, $ ) (7.155) Qgen
e poiche al primo ordine si ha
88 Capitolo 7. Supersimmetria
L(0, .,.) = exp (i.Q + i . Q) 2 1 + i.Q + i . Q,
L"1(0, .,.) = exp ("i.Q" i . Q) 2 1" i.Q" i . Q,
allora risulta che
(S% = (1 + i.Q + i . Q) %(x, $, $) (1" i.Q" i . Q)" %(x, $, $)
= i [ . Q, %(x, $, $ ) ] + i [ . Q, %(x, $, $ ) ] (7.156)
e si verifica che, al primo ordine, la variazione del campo diventa
(S% = i.Q %(x, $, $) + i . Q %(x, $, $) =?
i .A QA + i .A QA
@%(x, $, $). (7.157)
Allora dal confronto con la (QgenQgen7.155) si ottengono le seguenti espressioni per i
generatori Q e Q:
QA = "i (#A " i +µ
AB$
B#µ), (7.158)
QA
= "i ( #A " i + µ AB$B#µ). (7.159)
Allo stesso modo si puo procedere per i supercampi di tipo %1 e %2 e si ottengono
le rappresentazioni di!erenziali per i generatori di tipo 1 e 2
Q(1)A = " i
#
#$A, (7.160)
Q(1)
A = " i
'#
#$A
" 2 i $A+µ
AB'BA#µ
(, (7.161)
Q(2)A = " i
"#A " 2 i +µ
AB$
B#µ
#, (7.162)
Q(2)
A = i #A. (7.163)
7.12. Supercampi e trasformazioni di supersimmetria 89
Per concludere calcoliamo le leggi di trasformazione delle componenti di super-
campo rispetto a trasformazioni di supersimmetria; la variazione di un supercampo e
associata alle variazioni delle sue componenti
(S%(x, $, $) =).A#A + .A#A + i$+µ.#µ " i.+µ$#µ
*%(x, $, $)
= (Sf(x) + $A(S*A(x) + $A(S4 A(x) + ($$) (Sm(x)
+ ($ $) (Sn(x) + ($+µ$) (SVµ(x) + ($$)$A (S)A(x)
+ ($ $)$A(S!A(x) + ($$)($ $) (Sd(x), (7.164)
che, esplicitamente, risultano essere
(Sf(x) = .*(x) + . 4(x),
(S*(x) = 2 .Am(x) + (+µ.)A{i#µf(x) + Vµ(x)},
(S4 A(x) = 2 . An(x) + (.+µ')A{i#µf(x)" Vµ(x)},
(S m(x) = . )(x)" i
2#µ*(x)+µ.,
(S n(x) = .!(x) +i
2.+µ#µ4(x),
(SVµ(x) = .+µ)(x) + !(x)+µ. +i
2.#µ*(x)" i
2#µ4(x).,
(S)A(x) = 2 . Ad(x) +
i
2. A#µVµ(x) + i(.+µ')A#µm(x),
(S!A(x) = 2.Ad(x)" i
2.A#µVµ(x) + i(+µ.)A#µn(x),
(Sd(x) =i
2#µ
8!(x)+µ." )(x)+µ.
9.
(7.165) d
Si noti che la variazione del campo d(x), cioe della componente di ordine piu alto
nello sviluppo del generico supercampo %, e una derivata totale spazio-temporale,
allora per il teorema della divergenza l’integrale spazio-temporale di questa quantita
risulta automaticamente invariante sotto trasformazioni di supersimmetria poiche ab-
biamo a che fare con un integrale di superficie che si annulla, se i campi decrescono con
90 Capitolo 7. Supersimmetria
su"ciente rapidita all’infinito. Questa considerazione e di fondamentale importanza
nella costruzione di una densita di lagrangiana super-simmetrica invariante, come si
vedra in seguito.
7.13 Supercampi chirali
Definiamo la derivata covariante per un supercampo %(x, $, $) come
DA = #A + i +µ
AB$
B#µ, (7.166)
DA = 'ABDB = " #A " i $C + µ CA #µ, (7.167)
DA = " #A " i $B+µ
BA#µ, (7.168)
DA
= 'AB DB = #A
+ i + µ AC $C #µ, (7.169)
e per supercampi %1(x, $, $) e %2(x, $, $)
D(1)A = #A + 2 i +µ
AB$
B#µ, (7.170)
D(1)
A = " #A, (7.171)
D(2)A = #A, (7.172)
D(2)
A = " #A " 2 i $B+µ
BA#µ. (7.173)
Queste appena definite sono derivate “covarianti” nel senso che risultano invarianti
sotto trasformazioni di supersimmetria, ovvero
[DA, (S] %(x, $, $) = 0, [ DA, (S ] %(x, $, $) = 0,!D(1)
A , (S
$%1(x, $, $) = 0, [ D
(1)
A , (S ] %1(x, $, $) = 0,
!D(2)
A , (S
$%2(x, $, $) = 0, [ D
(2)
A , (S ] %2(x, $, $) = 0.
7.13. Supercampi chirali 91
E da notare la proprieta D3 = D3
= 0. In termini delle derivate covarianti si
possono definire i seguenti operatori di proiezione (sono idempotenti e si sommano
ad uno)
&+ := " 1
16 #2D
2D2, &" := " 1
16 #2D2D
2, (7.174)
che soddisfano i vincoli
D&+ = 0, D&" = 0. (7.175)
poiche, come abbiamo gia notato, vale che D3 = D3
= 0. I supercampi che
soddisfano i seguenti vincoli
%" = &+%, %+ = &"%, (7.176)
sono definiti, rispettivamente, come supercampi chirali left- e right-handed, e sono
tali che
D %" = 0, D %+ = 0. (7.177)
Per trovare l’espressione esplicita di un supercampo chirale left-handed e!ettuiamo
il cambiamento di variabili
yµ = xµ + i $+µ$,
$!A = $A, $ !A
= $A; (7.178)
in termini di questo nuovo set di variabili le derivate covarianti diventano
DA # D(1)A = #A + 2 i +µ
AA$
A #
#yµ, (7.179)
DA # D(1)
A = " #A, (7.180)
92 Capitolo 7. Supersimmetria
e siccome per un generico supercampo vale che
%(x, $, $ ) = %(y " i$+$, $, $ ) ( %1(y, $, $ ) (7.181)
allora per un supercampo left-handed che deve soddisfare il vincolo D(1)
A %1(y, $, $) =
" )
)!A%1(y, $, $) = 0 risulta che %1(y, $, $) ( %1(y, $), e lo sviluppo diventa semplice-
mente
%1(y, $) = A(y) +&
2 $ !(y) + ($$) F (y), (7.182)
dove A(y) ed F (y) sono dei campi scalari complessi, e ! e uno spinore left-handed.
Espandendo le componenti A, ! e F in termini dell’argomento yµ = xµ + i $+µ$
otteniamo
%1(y, $) = A(y) +&
2 $ !(y) + ($$) F (y)
= A(x + i$+$) +&
2 $ !(x + i$+$) + ($$) F (x + i$+$)
= A(x) + i ($+µ$)#µA(x)" 1
2($+µ$)($+"$)#
µ#"A(x)
+&
2$!(x) +&
2 i $A($+µ$)#µ!A(x) + $$F (x)
= A(x) + i ($+µ$)#µA(x)" 1
4($$)($ $)#2A(x)
+&
2 $ !(x) +i&2
($$) $A#µ!A(x)+µ
AB'BA + ($$)F (x)
( %"(x, $, $). (7.183)
Per il supercampo chirale right-handed %+ introduciamo le nuove variabili
zµ = xµ " i $+$,
$!A = $A, $ !A
= $A, (7.184)
allora le derivate covarianti diventano
7.14. Supercampi vettoriali 93
DA # D(2)A = #A,
DA # D(2)
A = " #A " 2 i $A+µ
AA
#
#zµ; (7.185)
siccome per un generico supercampo vale che
%(x, $, $ ) = %(z + i$+$, $, $ ) ( %2(z, $, $ ) (7.186)
allora per un supercampo right-handed che deve soddisfare il vincolo D(2)A %2(z, $, $) =
" ))!A %2(z, $, $) = 0 risulta che %2(z, $, $) ( %2(z, $), e lo sviluppo diventa semplice-
mente
%2(y, $) = A$(z) +&
2 $ !(z) + ($ $) F $(z), (7.187)
dove ! e uno spinore right-handed; sviluppando le componenti di argomento zµ =
xµ " i $+$ si ottiene
%2(z, $) = A$(x)" i ($+µ$)#µA$(x)" 1
4($$)($ $)#2A$
+&
2 $ !(x)" i
2($ $)$+µ#µ!(x) + ($ $)F $(x)
( %+(x, $, $). (7.188)
I campi %" e %+ sono uno l’hermitiano coniugato dell’altro e appartengono a due
rappresentazioni diverse: %" e un supercampo di tipo 1, %+ di tipo 2.
7.14 Supercampi vettoriali
Un supercampo vettoriale soddisfa la condizione di realta
94 Capitolo 7. Supersimmetria
V (x, $, $ ) = V †(x, $, $ ) (7.189)
in cui V e V † sono definiti dallo sviluppo in serie di potenze delle variabili $ e $,
infatti per V vale lo sviluppo
V (x, $, $) = C(x) + $*(x) + $ *(x) + $$M(x) + $ $M$(x)
+ $+µ$Vµ(x) + ($$)$ )(x) + ($ $)$)(x) + ($$)($ $)D(x), (7.190)
con C(x) e D(x) campi reali scalari, Vµ(x) campo vettoriale reale, ) e * campi
spinoriali ed M(x) campo scalare complesso. Un esempio di supercampo vettori-
ale e il prodotto di un supercampo chirale right-handed per un supercampo chirale
left-handed, infatti e soddisfatta la condizione di realta (%+%")† = %+%" (si deve
ricordare che %+ = %†"). Anche la somma %+ + %" e un supercampo vettoriale,
infatti
(%+ + %")† = %†+ + %†
" = %" + %+, (7.191)
dove
%+ + %" = A(x) + A$(x) +&
2 $ !(x) +&
2 $ !(x) + ($$) F (x) + ($ $) F $(x)
+ i $+µ$ #µ[ A(x)" A$(x) ]" i&2
($$) $ +µ#µ!(x)
" i&2
($ $) $+µ#µ!(x)" 1
4($$)($ $) #2[ A(x) + A$(x) ]. (7.192) somma
Sfruttando la proprieta che un campo right-handed %+ e l’hermitiano coniugato
del campo left-handed %" d’ora in poi possiamo snellire la notazione indicandoli
rispettivamente come %+ e %.
7.15 Intensita di campo supersimmetrica abeliana
La generalizzazione supersimmetrica di una trasformazione di gauge e data da
7.15. Intensita di campo supersimmetrica abeliana 95
V (x, $, $) # V !(x, $, $) = V (x, $, $) + %(x, $, $) + %+(x, $, $)
( V (x, $, $) + i(#(x, $, $)" #+(x, $, $)) (7.193) trasfg
dove % ( i# e un supercampo chirale. Consideriamo una particolare scelta per il
campo vettoriale V = V †:
V (x, $, $) = C(x) + $*(x) + $ *(x) + ($$)M(x)
+ ($ $)M$(x) + $+µ$Vµ(x) + ($$)$
')(x)" i
2+µ#µ*(x)
(
+ ($ $)$
')(x)" i
2+µ#µ*(x)
(+ ($$)($ $)
'D(x)" 1
4#2C(x)
(
(7.194)
tale che sotto trasformazioni di gauge (trasfgtrasfg7.193) le componenti ) e D siano invarianti,
infatti utilizzando la (sommasomma7.192) si verifica che
C(x) # C !(x) = C(x) + A(x) + A$(x),
*(x) # *!(x) = *(x) +&
2 !(x),
M(x) # M !(x) = M(x) + F (x),
Vµ(x) # V !µ(x) = Vµ(x) + i#µ(A(x)" A$(x)),
)(x) # )!(x) = )(x),
D(x) # D!(x) = D(x),
(7.195)
quindi il campo vettoriale Vµ(x) si trasforma in
Vµ(x) # V !µ(x) = Vµ(x) + i#µ(A(x)" A$(x)) (7.196)
96 Capitolo 7. Supersimmetria
che corrisponde ad una trasformazione di gauge abeliana. Inoltre possiamo costru-
ire il tensore associato Fµ" = #µV""#"Vµ che risulta invariante sotto trasformazioni di
gauge supersimmetriche (trasfgtrasfg7.193), in completa analogia con la teoria di gauge abeliana
dell’elettromagnetismo. La scelta di gauge di Wess-Zumino consiste nel considerare
un particolare campo chirale % tale che le componenti C !, *! ed M ! del supercampo
vettoriale trasformato V ! si annullino, e in tal caso si ottiene
VWZ(x, $, $) = $+µ$ [ Vµ(x) + i#µ(A(x)" A$(x)) ] + ($$) $ )(x) + ($ $) $)(x)
+ ($$)($ $) D(x), (7.197)
in cui Vµ rappresenta il campo di gauge e ) e il suo partner supersimmetrico
detto in generale “gaugino” (ma in particolare per una teoria abeliana prende il nome
di “fotino”), mentre D e un campo ausiliario. La gauge di Wess-Zumino non fissa
completamente la liberta di gauge poiche non stabilisce alcuna condizione sulla parte
immaginaria del campo scalare A responsabile dello “shift” del campo vettoriale Vµ;
con la scelta ImA = 0 si ottiene
VWZ(x, $, $) = $+µ$Vµ(x) + ($$)$ )(x) + ($ $)$)(x) + ($$)($ $) D(x). (7.198)
La scelta di gauge alla Wess-Zumino e di particolare utilita nel calcolo delle potenze
del campo vettoriale VWZ poiche risulta che
V 2WZ =
1
2$$ $ $ VµV
µ (7.199)
in cui e stata usata la relazione (FierzFierz7.76), quindi vale anche che
V 3WZ = 0 (7.200) WESS
poiche $3 = 0. In seguito la scelta di Wess-Zumino risultera molto utile nella
costruzione delle teorie di gauge supersimmetriche in cui si dovranno calcolare termini
esponenziali del tipo eV , che si semplificano in
7.16. Lagrangiana e azione dai campi chirali 97
eV ( 1 + V +1
2V 2 = 1 + $+µ$Vµ + $$ $ ) + $ $ $) + $$ $ $(D +
1
4VµV
µ) (7.201)
L’intensita di campo supersimmetrica per un supercampo vettoriale V (x, $, $) e
costruita come
WA = " 1
4(D D)DA V (x, $, $), (7.202)
W A = " 1
4(DD)DA V (x, $, $), (7.203)
dove WA e W A sono rispettivamente un supercampo chirale left-handed e right-
handed. Per semplificare il calcolo dello sviluppo in componenti di questi due super-
campi chirali esprimiamo WA nelle coordinate (y, $, $) e W A nelle coordinate (z, $, $),
allora nella gauge di Wess-Zumino per il supercampo vettoriale V si calcolano le
seguenti espansioni in componenti:
WA(y, $) = )A(y) + 2 D(y) $A + (+µ"$)AFµ"(y)" i ($$) +µ
AB#µ)
B(y) , (7.204) int1
W A(z, $) = )A(z) + 2 D(z) $A " 'AB(+µ"$)BFµ"(z) + i ($$) (#µ)(z)+µ)A , (7.205) int2
e poiche questi sviluppi in componenti contengono solo i campi D, ) e il tensore
Fµ" che sono invarianti supersimmetrici di gauge allora, evidentemente, anche WA e
W A risultano invarianti sotto le trasformazioni di gauge (trasfgtrasfg7.193).
7.16 Lagrangiana e azione dai campi chirali
Abbiamo gia evidenziato (vedi (dd7.165)) che nello sviluppo di un supercampo la com-
ponente di ordine piu alto ($$ $ $) si trasforma come una derivata totale sotto trasfor-
mazioni di supersimmetria, quindi il suo integrale sullo spazio-tempo e invariante
sotto tali trasformazioni. Allora si consideri l’ azione
I =
>d4x
>d4$ L (
>d4x
>d2$ d2$ L, (7.206)
98 Capitolo 7. Supersimmetria
in cui l’elemento di volume e stato gia indicato nella (elemvolelemvol7.133). Per costruire un
accoppiamento supersimmetrico calcoliamo il prodotto tra supercampi e selezioniamo
la componente di ordine piu alto dello sviluppo. Considerando i, j = 1, 2, .., N campi
chirali si ottiene la piu generica lagrangiana rinormalizzabile supersimmetrica
L = %+i %i +
'gi%i +
1
2mij%i%j +
1
3)ijk%i%j%k
((2($)
+
'g$i %
+i +
1
2m$
ij%+i %+
j +1
3)$ijk%
+i %+
j %+k
((2($)
( %+i %i +
+'gi%i +
1
2mij%i%j +
1
3)ijk%i%j%k
((2($) + h.c.
,. (7.207) lagrsup
L’azione, quindi, puo essere scritta come la somma di un termine cinetico, uno di
massa e uno di interazione:
Icin =
>d4x
>d4$ %+
i %i, (7.208)
Imass =1
2
>d4x
>d2$ mij %i%j, (7.209)
Iint =1
3
>d4x
>d2$ )ijk %i%j%k, (7.210)
dove gli accoppiamenti mij ed )ijk sono simmetrici negli indici. Possiamo riorga-
nizzare i termini in
L = Lcin + Lpot, (7.211)
in cui
Lcin = %+i %i
333!! ! !
, (7.212)
Lpot =
'gi%i +
1
2mij%i%j +
1
3)ijk%i%j%k
(333!!
+
'g$i %
+i +
1
2m$
ij%+i %+
i +1
3)$ijk%
+i %+
j %+k
(333! !
, (7.213)
7.17. Lagrangiana e azione dai campi vettoriali 99
dove i pedici indicano che, nell’azione, l’integrale in d4$ = d2$d2$ rimuove le fun-
zioni delta lasciando solo il coe"ciente del termine di ordine appropriato dell’espansione
in serie di potenze. Quindi, in conclusione, si scrive l’azione nella forma
I =
>d4x
>d4$
A%+
i %i +)W [%] (2($) + W [%†] (2($)
*B, (7.214)
in cui e stato introdotto il funzionale W [%] detto superpotenziale; esso e un poli-
nomio nei supercampi al massimo di ordine tre (requisito di rinormalizzabilita).
7.17 Lagrangiana e azione dai campi vettoriali
La generalizzazione supersimmetrica del tensore del campo elettromagnetico e data
dai campi chirali WA e W A. La generalizzazione supersimmetrica gauge-invariante
dell’azione di una pura teoria di gauge abeliana e
I =
>d4x
>d4$
?WAWA ( 2($) + W AW
A( 2($)
@. (7.215)
Partiamo dagli sviluppi (int1int17.204) e (
int2int27.205) e calcoliamo i prodotti WAWA e W AW
A
che dipenderanno rispettivamente dalle variabili (y, $) e (z, $). Nella costruzione
dell’integrale d’azione dobbiamo prendere in considerazione che la componente ($$)
di WAWA resta invariata sotto il cambiamento di coordinate yµ#xµ, e lo stesso vale
per la componente $$ del prodotto W A WA
sotto il cambiamento zµ#xµ, quindi le
componenti che ci interessano possono essere scritte in x, e si trova che
($$) WAWA
333!!
= $$ [ 4D2(x)" 2i)(x)+µ#µ)(x)" 1
2Fµ"(x)F µ"(x)" i
2Fµ"(x)F µ" $(x)],
($ $) W AWA333! !
= $ $ [ 4D2(x) + 2i#µ)(x)+µ)(x)" 1
2Fµ"(x)F µ"(x) +
i
2Fµ"(x)F µ" $(x)].
Questo significa che l’azione diventa esplicitamente
I =
>d4x [ 8D2(x)" Fµ"(x)F µ"(x)" 4i)(x)+µ#µ)(x) ]. (7.216)
100 Capitolo 7. Supersimmetria
7.18 Teorie di gauge supersimmetriche
Per un gruppo di gauge U(1) definiamo la trasformazione globale del generico campo
scalare %i come
%!i = e"iqi& %i (7.217)
dove qi sono le cariche dei supercampi e ) e l’angolo di rotazione. Poiche una
costante e un caso particolare di supercampo scalare si verifica che DA) = DA) = 0,
quindi il supercampo trasformato %!i essendo un prodotto di supercampi scalari e
ancora scalare, cioe DA %!i = 0. Si verifica che sotto una trasformazione U(1) globale la
lagrangiana (lagrsuplagrsup7.207) risulta invariante. Per trasformazioni di fase U(1) locali dobbiamo
considerare la funzione dello spazio-tempo ) = )(x), quindi
%!i = e"iqi&(x) %i, (7.218)
ma allora %!i non e piu un supercampo scalare poiche
DA %!i = "iqiDA()(x)) e"iqi&(x) %i %= 0. (7.219)
A"nche %!i risulti un supercampo scalare, cioe soddisfi il vincolo DA%!
i = 0,
dobbiamo introdurre una # = #(x, $, $ ) tale che
DA #(x, $, $ ) = 0, (7.220)
ovvero # deve essere un supermultipletto scalare. Quindi per ottenere una simme-
tria U(1) locale siamo costretti ad introdurre un nuovo supercampo scalare #(x, $, $),
cosı la trasformazione U(1) locale e identificata da
% !i = e"iqi!(x,!,!) %i , DA#(x, $, $) = 0;
%! †i = %†
i eiqi!†(x,!,!) , DA#†(x, $, $) = 0.
(7.221)
7.18. Teorie di gauge supersimmetriche 101
Pero la lagrangiana (lagrsuplagrsup7.207) non e invariante sotto questa trasformazione, poiche
il termine cinetico diventa
L!cin = %!+i %!
i
333!! ! !
= eiqi(!†"!)%+i %i
333!! ! !
%= %+i %i. (7.222)
Per ottenere un termine cinetico invariante introduciamo un supercampo che ne
compensi la trasformazione. Si considera, infatti, un supercampo vettoriale V (x, $, $)
che sotto trasformazioni di gauge supersimmetriche diventa
V !(x, $, $) = V (x, $, $) + i [ #(x, $, $)" #†(x, $, $) ], (7.223) ldt
allora il termine cinetico gauge-invariante viene costruito come
Lcin = %+i eqiV %i
333!! ! !
. (7.224)
In definitiva l’azione supersimmetrica U(1) gauge-invariante e data da
I =
>d4x
>d4$ {WAWA (2($) + W AW
A(2($)
+ %†i eqiV %i + W [$] (2($) + W [%†] (2($)}. (7.225)
La costruzione di una derivata gauge-covariante per una teoria di gauge non
abeliana e analoga al caso abeliano. Sia G il gruppo di gauge non abeliano con
algebra di Lie g, allora gli elementi di base dell’algebra di Lie sono gli operatori her-
mitiani Ta, a = 1, 2, ..N dove N e la dimensione di g. Sia U(g) una rappresentazione
unitaria del gruppo di simmetria interna G con g . G, allora i supercampi % e %† si
trasformano in
%! = U(g) %, %! † = %† U †(g), (7.226)
cioe esplicitamente
102 Capitolo 7. Supersimmetria
%!i = Uij(g) %j, %! †
i = %†j U †
ji(g), (7.227)
dove gli indici i, j corrono da 1 alla dimensione della rappresentazione. Un ele-
mento g . G e rappresentato da
g = e"i !aTa (7.228)
dove i T a sono i generatori, allora per la rappresentazione U(g) abbiamo
U(g) = U(e"i !aTa) ( e"i! (7.229)
dove # e una matrice quadrata di dimensione quella della rappresentazione, data
da
# ij = (#a(Ta) ij), (7.230)
cioe le matrici ((Ta)ij) sono i generatori Ta dell’algebra di Lie g nella particolare
rappresentazione. Quindi la generalizzazione ad una trasformazione di fase globale
non abeliana e
%! = e"i! %, %! † = %† ei!†(7.231)
dove
DA# = 0, DA#† = 0, (7.232)
in modo che il supercampo chirale rimanga chirale anche dopo la trasformazione.
La lagrangiana (lagrsuplagrsup7.207) e invariante sotto trasformazioni di gauge locali non abeliane
purche si generalizzi la legge di trasformazione (ldtldt7.223) del supercampo vettoriale in
7.18. Teorie di gauge supersimmetriche 103
eV "= e"i !†
eV ei !, V ij = V a(Ta)ij, (7.233)
cosı l’espressione
Tr [ %†eV % ] (7.234)
e invariante sotto trasformazioni di gauge non abeliane. L’estensione supersim-
metrica dell’intensita di campo, in analogia al caso abeliano, adesso e
WA = "1
4D D e"V DA eV (7.235)
W A = "1
4DD e"V DA eV , (7.236)
dove il supercampo vettoriale V e una matrice
Vij = V a(Ta)ij (7.237)
e i Ta sono i generatori nella rappresentazione aggiunta.
104
105
Capitolo 8
Modello Standard supersimmetricominimale
Le estensioni supersimmetriche del Modello Standard rientrano in due tipologie: pos-
sono essere estensioni minimali, cioe contenenti un minimo numero di parametri e
campi necessario a descrivere leptoni e quarks, oppure possono essere non minimali
e in questo caso aumenta il numero di parametri e campi ma, tipicamente, senza il
conforto di un significativo aumento del potere predittivo della modello. Tra le varie
estensioni del Modello Standard quella con piu alta predittivita e rappresentata dal
Modello Standard supersimmetrico minimale. Questo modello e costruito sul gruppo
di gauge SU(3)! SU(2)! U(1).
8.1 Supercampi
Tutti i campi leptonici del Modello Standard sono “promossi” a supercampi chirali e,
per ogni generazione, organizziamo i supercampi leptonici left-handed in un doppietto
di SU(2)
L(x, $, $) =
%,l(x, $, $)
l(x, $, $ )
&
L
= L(x) + i$+µ$#µL(x) " 1
4$$ $ $ #µ#µL(x) +
&2 $L(x)
106 Capitolo 8. Modello Standard supersimmetrico minimale
+i&2$$ $ +µ#µL(x) + $$FL(x),
(8.1)
in cui L rappresenta le componenti fermioniche (doppietto di spinori di Weyl a due
componenti) ed L i superpartners bosonici (sleptoni), mentre FL e il campo ausiliario
leptonico, secondo la notazione
L =
%L1
L2
&, L =
%L1
L2
&, FL =
%f "
f l
&, (8.2)
(gli apici numerano le componenti dei doppietti). I supercampi leptonici right-
handed sono invece organizzati in un singoletto di SU(2) (come nel Modello Standard
si assumono neutrini solo left-handed):
E(x, $, $) = lR(x)
= E(x) + i $+µ$ #µE(x) " 1
4$$ $ $ #µ#µE(x) +
&2$E(x)
+i&2
$$ $+µ#µE(x) + $$FE(x),
(8.3)
in cui E sono le componenti fermioniche (spinore di Weyl a due componenti),
mentre E sono le componenti bosoniche; il campo ausiliario e indicato con FE. I
doppietti di supercampi scalari di Higgs sono
H1(x, $, $) =
%H1
1 (x, $, $)
H21 (x, $, $)
&
= H1(x) + i $+µ$ #µH1(x) " 1
4$$ $ $ #µ#µH1(x)
+&
2 $H1(x) +i&2
$$ $+µ#µH1(x) + $$ F1(x),
(8.4)
8.1. Supercampi 107
H2(x, $, $) =
%H1
2 (x, $, $)
H22 (x, $, $)
&
= H2(x) + i $+µ$ #µH2(x) " 1
4$$ $ $ #µ#µH2(x)
+&
2 $H2(x) +i&2
$$ $+µ#µH2(x) + $$ F2(x),
(8.5)
in cui le componenti bosoniche Hi, i relativi superpartners fermionici Hi (Higgsini,
spinori di Weyl a due componenti) e i campi ausiliari sono espressi come
H1 =
%H1
1
H21
&, H1 =
%H1
1
H21
&, F1 =
%F 1
1
F 21
&, (8.6)
H2 =
%H1
2
H22
&, H2 =
%H1
2
H22
&, F2 =
%F 1
2
F 22
&; (8.7)
le componenti “in alto” di H1 sono neutre mentre le componenti “in basso” hanno
carica -1, mentre per H2 le prime componenti hanno carica +1 e le seconde sono
neutre. Analogamente organizziamo i quark in doppietti di SU(2) left-handed
Q(x, $, $) =
%ul(x, $, $)
dl(x, $, $)
&
L
= Q(x) + i $+µ$ #µQ(x) " 1
4$$ $ $ #µ#µQ(x) +
&2 $Q(x)
+i&2
$$ $+µ#µQ(x) + $$ FQ(x),
(8.8)
e in singoletti right-handed
u(x, $, $) = uR(x, $, $) = u(x) + i $+µ$ #µu(x)
108 Capitolo 8. Modello Standard supersimmetrico minimale
" 1
4$$ $ $ #µ#µu(x) +
&2 $ u(x) +
i&2
$$ $+µ#µu(x) + $$ Fu(x),
(8.9)
d(x, $, $) = dR(x, $, $) = d(x) + i $+µ$ #µd(x)
" 1
4$$ $ $ #µ#µd(x) +
&2 $ d(x) +
i&2
$$ $+µ#µd(x) + $$ Fd(x).
(8.10)
I supercampi vettoriali di gauge relativi a SU(3), SU(2) e U(1) presentano la
seguente espansione nella gauge di Wess-Zumino
U l(x, $, $) = " $+µ$ U lµ(x) + i $$ $ )
l(x) " i $ $ $)l(x) +
1
2$$ $ $ Dl(x),
V a(x, $, $) = " $+µ$ V aµ (x) + i $$ $ )
a(x) " i $ $ $)a(x) +
1
2$$ $ $ Da(x),
V !(x, $, $) = " $+µ$ V !µ(x) + i $$ $ ) !(x) " i $ $ $)!(x) +
1
2$$ $ $ D !(x),
(8.11)
e sull’algebra dei generatori dei tre gruppi di Lie indichiamo gli sviluppi
V ! = V !Y, (8.12)
V = V aT a (a = 1, 2, 3), (8.13)
U = U lSl (l = 1, ...8); (8.14)
U lµ , V a
µ e V !µ sono i bosoni di gauge mentre )l , )a e )! sono i loro superpartners
(gaugini) ovvero spinori di Weyl a due componenti; i campi D sono ausiliari.
8.2 Lagrangiana supersimmetrica
La lagrangiana supersimmetrica e costituita da una parte invariante sotto trasfor-
mazioni di supersimmetria LSusy e da una parte cui compete la rottura della super-
8.2. Lagrangiana supersimmetrica 109
simmetria Lsoft che consiste nella somma di termini di massa scalari L1 e di termini
di massa di gauge L2:
L1 = ">
d4$ [ M2LL†L + m2
EE†E + M2QQ†Q + m2
uu†u + m2
d d †d
+ m21H
†1H1 + m2
2H†2H2 " m2
3%ij(H i
1Hj2 + h.c.) ] (4($, $), (8.15) smt
L2 =1
2
>d4$ [ (MW a *W a
* + M !W !*W !* + MlW
l *W l*) + h.c. ] (4($, $), (8.16)
in cui, ad esempio, M2LL†L = m2
" , †, + m2ll †LlL .
LSusy e data dalla somma dei termini cinetici dei campi leptonici, adronici, di
gauge, di Higgs e comprende i termini di superpotenziale:
LSusy = LLepton + LQuark + LGauge + LHiggs
=
>d4$ [ L†e 2gV +g"V "
L + E†e g"V "E ]
+
>d4$ [ Q†e g U+2gV +g"V "
Q + u†e g U+g"V "u + d †e g U+g"V "
d ]
+1
4
>d4$ [ W a*W a
* + W !*W !* + W l*W l
* ] (2($) + h.c.
+
>d4$ [ H†
1e2gV +g"V "
H1 + H†2e
2gV +g"V "H2 + W (2($) + W (2($)],
(8.17)
dove, rispettivamente, g!, g e g sono le cariche dei gruppi U(1), SU(2) e SU(3).
Le intensita di campo per i tre gruppi di gauge sono
W !* = "1
4D D D*V !,
W SU(2)* = " 1
8gD D e"2gV D*e2gV ,
W SU(3)* = " 1
4gD D e"gUD* e gU .
(8.18)
110 Capitolo 8. Modello Standard supersimmetrico minimale
Il superpotenziale W e un polinomio nei campi al massimo di ordine tre (rinor-
malizzabilita) nel quale distinguiamo due diversi contributi:
W = WHiggs + WY ukawa
= µ %ijH i1H
j2 + %ij [ fH i
1LjE + f1H
i1Q
j d + f2Hj2Q
iu ] (8.19)
dove µ e un parametro di massa ed f , f1 ed f2 sono costanti di accoppiamento di
Yukawa.
8.3 Espansione in componenti di LSoft
Poiche l’integrazione in d4$ = d2$d2$ di una funzione moltiplicata per una (4($, $) ($2 $
2proietta la componente di ordine zero nelle variabili di Grassmann, allora (
gates[18],
freund[19]) per i termini di massa degli scalari (
smtsmt8.15) otteniamo
L1 = "M2LL†L"m2
EE†E "m21H
†1H1 "m2
2H†2H2
+ m23%
ij(H i1H
j2 + h.c.) " M2
QQ†Q"m2uu
†u"m2dd
†d, (8.20)
dove M2LL†L = m2
" , †, + m2ll †l . Per trovare i termini di massa di gauge es-
plicitiamo in componenti i prodotti W a*W a* , W !*W !
* e MlW l *W l*; per semplificare
i calcoli lavoriamo nella base di coordinate y = x + i$+$ in cui la derivata covariante
assume l’espressione
D*(y, $, $) =#
#$*+ 2i+µ
**$* #
#yµ, D* = " #
#$* . (8.21)
Nella nuova base, scelta la gauge di Wess-Zumino, si ottiene
V a(y " i$+$, $, $) = " $+µ$ V aµ (y) + i $$ $ )
a(y)" i $ $ $)a(y)
+1
2$$ $ $ [Da(y) + i#µV a
µ (y)], (8.22)
8.4. Espansione in componenti di LSusy 111
allora si ha lo sviluppo
W* = " 1
8gD D e"2gV D*e2gV
= " 1
8gD D
'1" 2gV " 1
2(2g)2V V
(D*
'1 + 2gV +
1
2(2g)2V V
(
= " 1
8gD D(1" 2gV aT a " 2g2V aV bT aT b)!
'#
#$*+ 2i+µ
**$* #
#yµ
(!
(1 + 2gV aT a + 2g2V aV bT aT b)
= T a[i)a* " $*Da + (+µ")+
*$+V aµ" " $2+µ
**(#µ)*a " gfabcV b
µ)*c
)] = T aW a* , (8.23)
avendo introdotto la usuale intensita di campo non abeliana
V cµ" = #µV" " #"Vµ " gfabcV a
µ V b" . (8.24)
Per cui facendo il prodotto W*aW a* , moltiplicando per (4($, $) ed integrando in
d4$, e facendo lo stesso per W !*W !* e per W l *W l
*, si ottiene esplicitamente
L2 = "M
2()a)a + )
a)
a)" M !
2()!)! + ) !) !)" Ml
2()l)l + )
l)
l). (8.25)
8.4 Espansione in componenti di LSusy
Per calcolare LSusy esplicitiamo il termine cinetico relativo ai quarks:
>d4$ Q†e gU+2gV +g"V "
Q, (8.26) cineQ
da questo si ricavano i termini cinetici dei supercampi di Higgs e dei Leptoni
ponendo la carica di SU(3) g = 0, e per i singoletti di SU(2) si deve porre a zero
anche la carica g.
Si sviluppa in serie l’esponenziale e g U + 2 g V + g" V ", ricordando che lavoriamo nella
gauge di W-Z quindi vale la (WESSWESS7.200), poi moltiplichiamo per lo sviluppo di Q† a sinistra
112 Capitolo 8. Modello Standard supersimmetrico minimale
e per lo sviluppo di Q a destra, infine proiettiamo le componenti $$ $ $ per e!ettuare
l’integrale in d4$ e otteniamo il risultato
>d4$ Q†e g U+2gV +g"V "
Q = #µQ†#µQ +1
2Q†(2gT aDa + g!Y D! + gSlDl)Q
+1
2Q†(2g2T aT bV aµV b
µ + 2gg!Y T aV aµV !µ + gg!Y SlU lµV !
µ + 2ggU lµSlT aV aµ
+1
2g2U lµUm
µ SlSm +1
2g ! 2Y 2V !µV !
µ)Q" i
2Q†(2gT aV a
µ
+ g!Y V !µ + gU l
µSl)#µQ +
i
2#µQ†(2gT aV a
µ + g!Y V !µ + gU l
µSl)Q
+i&2Q†(2gT a)a + g!Y )! + g)lSl)Q" i Q+ µ#µQ"
i&2Q(2gT a)
a
+ g!Y )!+ g)
lSl)Q +
1
2Q+ µ(2gT aV a
µ + g!Y V !µ + gU l
µSl)Q + F †
QFQ (8.27)
L’espressione puo essere semplificata definendo la derivata covariante
Dµ = #µ + igT aV aµ + ig!
Y
2V !
µ + igSl
2U l
µ (8.28)
allora il termine cinetico diventa
>d4$ Q†e g U+2gV +g"V "
Q
= (DµQ)†(DµQ)" iQ+ µDµQ
+1
2Q†(2gT aDa + g!Y D! + gSlDl)Q +
i&2Q†(2gT a)a + g!Y )! + gSl)l)Q
" i&2Q(2gT a)
a+ g!Y )
!+ gSl)
l)Q + F †
QFQ + t.d. (8.29)
dove t.d. indica derivate spaziali totali che si annullano nell’integrale d’azione
per il teorema della divergenza. Per l’espansione del superpotenziale basta notare che
compaiono termini con prodotti di due o tre supercampi chirali che possiamo calcolare
nella base di coordinate (y, $, $) e per e!ettuare l’integrazione richiesta ne prendiamo
le componenti "$$ ottenendo
8.4. Espansione in componenti di LSusy 113
>d4$
)W (2($) + W (2($)
*
=
>d4$ [ µ%ijH i
1Hj2 + %ij(fH i
1LjE + f1H
i1Q
j d + f2Hj2Q
iu) ] (2($) + h.c.
= µ%ij [ H i1F
j2 + F i
1Hj2 " H i
1Hj2 ]
+ f%ij [ F i1L
jE + H i1F
jLE + H i
1LjFE " H i
1LjE " H i
1LjE " EH i
1Lj ]
+ f1%ij[F i
1Qj d + H i
1FjQd + H i
1QjFd " H i
1Qj d"H i
1Qjd" H i
1Qjd]
+ f2%ij[F j
2 Qiu + Hj2F
iQu + Hj
2QiFu " Hj
2Qiu"Hj
2Qiu" Hj
2Qiu] + h.c. (8.30)
Per scrivere lo sviluppo della lagrangiana mancano solo i termini cinetici dei campi
di gauge. Ad esempio, fissando l’attenzione sul termine di SU(2), dobbiamo calcolare
1
4
>d4$ W a*W a
* (2($) ( 1
4W a*W a
*
333!!
; (8.31)
gia sappiamo che
W a* = [ i)a
* " $*Da + (+µ")+* $+ V a
µ" " $$ +µ**(#µ)
*a " gfabc V bµ )
*c) ], (8.32)
allora calcoliamo il prodotto W a*W a* e ne prendiamo le componenti "$$, cioe
1
4W a*W a
*
333!!
= " i
2)
a+ µ(#µ)
a " gfabcV bµ)c) +
i
2#µ( )
a+µ )a) +
1
4DaDa
" 1
8V aµ"V a
µ" "i
16%µ",- V a
µ" V a,-
= " i
2)
a+µDµ)
a +i
2#µ( )
a+µ )a) +
1
4DaDa
" 1
8V aµ"V a
µ" "i
16%µ",- V a
µ" V a,-. (8.33)
Nel primo termine si riconosce la derivata covariante SU(2)!U(1) che agisce sul
gaugino )a nella rappresentazione aggiunta di SU(2), infatti
114 Capitolo 8. Modello Standard supersimmetrico minimale
Dµ = #µ + igT aV aµ + ig!
Y
2V !
µ, (8.34)
e nella rappresentazione aggiunta vale che
Dµ)a = [Dµ]ab)b
=
'#µ(
ab + ig (T cadj)
ab V cµ + ig!
Yadj
2V !
µ
()b
= #µ)a " gfabcV b
µ)c, (8.35)
con Yadj = 0, e (T cadj)
ab = "if cab.
Considerando l’hermitiamo coniugato dell’espressione precedente e sommando, e
ripetendo il calcolo per il termine cinetico di SU(3) e di U(1) si ottiene
1
4
>d4$
8[W a*W a
* + W !*W !* + W l*W l
*] (2($) + h.c.9
= "i)a+µDµ)
a " i) ! + µDµ)! " i)
l+µDµ)
l
" 1
4(V aµ"V a
µ" + V !µ"V !µ" + U lµ"
U lµ") +
1
2(DaDa + D!D! + DlD l), (8.36) tc
in cui vale la pena indicare l’espressione esplicita della derivata SU(3)-covariante:
Dµ)l =
'#µ(
lm +ig
2(T n
adj)lm Un
µ + ig (T cadj)
ab V cµ + ig!
Yadj
2V !
µ
()m
= #µ)l " g
2f lmnUm
µ )n, (8.37)
con Yadj = 0, (T cadj)
ab = 0, e (T ladj)
mn = "if lmn.
La lagrangiana completa “o!-shell” e data da
L = (DµQ)†(DµQ) " iQ+µDµQ +1
2Q†(2gT aDa + g!Y D! + gSlDl)Q
8.4. Espansione in componenti di LSusy 115
+i&2Q†(2gT a)a + g!Y )! + gSl)l)Q " i&
2Q(2gT a)
a+ g!Y ) ! + gSl)
l)Q + F †
QFQ
+ (Dµu)†(Dµu) " iu +µDµu +1
2u†(g!Y D! + gSlDl)u +
i&2
u†(g!Y )! + gSl)l)u
" i&2u(g!Y ) ! + gSl )
l)u + F †
uFu
+ (Dµd )†(Dµd ) " i d+ µDµd +1
2d †(g!Y D! + gSlDl)d +
i&2
d †(g!Y )! + gSl)l)d
" i&2d(g!Y ) ! + gSl)
l)d + F †
dFd
+ (DµL)†(DµL) " i L +µDµL + L†(gT aDa + g!Y
2D!)L
+ i&
2L†(gT a)a + g!Y
2)!)L " i
&2 L(gT a)
a+ g!
Y
2) !)L + F †
LFL
+ (DµE)†(DµE) " i E +µDµE + E†g!Y
2D!E + i
&2E†g!
Y
2)!E
" i&
2 Eg!Y
2) !E + F †
EFE
" i)a+µDµ)
a " i) ! + µDµ)! " i)
l+µDµ)
l
" 1
4(V aµ"V a
µ" + V !µ"V !µ" + U lµ"
U lµ") +
1
2(DaDa + D!D! + DlDl)
+ (DµH1)†(DµH1) " iH1+
µDµH1 + H†1(gT aDa + g!
Y
2D!)H1
+ i&
2H†1(gT a)a + g!
Y
2)!)H1 " i
&2 H1(gT a)
a+ g!
Y
2) !)H1 + F †
1F1
+ (DµH2)†(DµH2) " iH2+
µDµH2 + H†2(gT aDa + g!
Y
2D!)H2
+ i&
2H†2(gT a)a + g!
Y
2)!)H2 " i
&2 H2 (gT a)
a+ g!
Y
2) !)H2 + F †
2F2
+?
µ%ij[H i1F
j2 + F i
1Hj2 " H i
2Hj2 ] + f%ij[F i
1LjE + H i
1FjLE + H i
1LjFE " H i
1LjE
" H i1L
jE " EH i1L
j] + f1%ij[F i
1Qj d + H i
1FjQd + H i
1QjFd " H i
1Qj d"H i
1Qjd
" H i1Q
jd] + f2%ij[F j
2 Qiu + Hj2F
iQu + Hj
2QiFu " Hj
2Qiu"Hj
2Qiu" Hj
2Qiu] + h.c.
@
""M2
LL†L + m2EE†E + m2
1H†1H1 + m2
2H†2H2 "m2
3%ij(H i
1Hj2 + h.c.)
116 Capitolo 8. Modello Standard supersimmetrico minimale
+ M2QQ†Q + m2
uu†u + m2
dd†d
#" M
2() a) a + )
a)
a)" M !
2()!)! + ) !) !)
" Ml
2()l)l + )
l)
l) + t.d. (8.38)
Per ottenere la lagrangiana “on-shell” si devono eliminare i campi ausiliari Fi e
Di tramite le equazioni del moto applicate ad Laux = LF + LD, dove
LF = F †LFL + F †
EFE + F †1F1 + F †
2F2 + F †QFQ + F †
uFu + F †dFd
+µ%ij[H i1F
j2 + F i
1Hj2 + H i
1†F j
2
†+ F i
1†Hj
2
†]
+f%ij[F i1L
jE + H i1F
jLE + H i
1LjFE + F i
1†Lj
†E† + H i
1†F j
L
†E† + H i
1†Lj
†F †
E]
+f1%ij[H i
1QjFd + H i
1FjQd + F i
1Qj d + H i
1†Qj
†F †
d + H i1†F j†
Q d † + F i1†Qj†d †]
+f2%ij[Hj
2QiFu + Hj
2FiQu + F j
2 Qiu + Hj2
†Qi
†F †
u + Hj2
†F i†
Q u† + F j†2 Qi†u†], (8.39)
LD =1
2(DaDa + DlDl + D!D!) + L†(gT aDa + g!
Y
2D!)L + E†g!
Y
2D!E
+H†1(gT aDa + g!
Y
2D!)H1 + H†
2(gT aDa + g!Y
2D!)H2
+1
2Q†(2gT aDa + g!Y D! + gDlSl)Q
+1
2d †(g!Y D! + gDlSl)d +
1
2u †(g!Y D! + gDlSl)u.
(8.40)
Concentriamo la nostra attenzione sulla lagrangiana elettrodebole ed eliminiamo
i campi ausiliari Fi e Di; prima di tutto “estraiamo” i termini che ci interessano
trascurando i termini relativi ai quarks, otteniamo
LF = F †LFL + F †
EFE + F †1F1 + F †
2F2
+ µ 'ij[ H i1F
j2 + H i †
1 F j †2 + F i
1Hj2 + F i †
1 Hj †2 ]
+ f 'ij[ F i1L
jE + F i †1 Lj †E† + H i
1FjLE + H i †
1 F j †L E†
+ H i1L
jFE + H i †1 Lj †F †
E ], (8.41)
8.4. Espansione in componenti di LSusy 117
e analogamente (per chiarezza esplicitiamo i valori di ipercarica Y )
LD =1
2(DaDa + D!D! )
+ L†(gT aDa " 1
2g!D!)L + E†g!D!E
+ H†1(gT aDa " 1
2g!D!)H1 + H†
2(gT aDa +1
2g!D!)H2. (8.42)
Tramite le equazioni del moto
#L#*" #µ
#L#(#µ*)
= 0 (8.43)
possiamo calcolare i campi ausiliari in termini dei campi fisici, derivando volta per
volta rispetto al campo ausiliario * = Fi o * = Di che ci interessa eliminare; poiche
i campi ausiliari non possiedono termini cinetici le equazioni di Euler-Lagrange si
semplificano in
#L#*
= 0. (8.44)
Applicando le equazioni alla LF (deriviamo rispetto ai campi Fi) si ottengono le
identificazioni
F j†L = "f'ijH i
1E, (8.45)
F †E = "f'ijH i
1Lj, (8.46)
F i †1 = "µ'ijHj
2 " f'ijLjE, (8.47)
F j†2 = "µ'ijH i
1. (8.48)
Sostituendo nella LF ai campi ausiliari Fi le loro espressioni in termini dei campi
fisici si ottiene
118 Capitolo 8. Modello Standard supersimmetrico minimale
LF = "µ2 H†1H1 " µ2 H†
2H2 " µf [ H†2L E + L†H2 E† ]
" f 2[ L†L E†E + H†1H1(L
†L + E†E)"H†1L(H†
1L)† ], (8.49)
in cui appaiono i termini di massa per i bosoni di Higgs, e i termini di interazione
Higgs-leptoni e leptoni-leptoni. Applicando le equazioni del moto alla LD si trovano
le seguenti espressioni per i campi ausiliari Di :
Da = "g!L†T aL + H†
1TaH1 + H†
2TaH2
$, (8.50)
D! =g!
2L†L" g!E†E +
g!
2H†
1H1 "g!
2H†
2H2, (8.51)
e sostituendo queste espressioni nella LD si ottiene
LD = "g2
2( L†T aL + H†
1TaH1 + H†
2TaH2 )( L†T aL + H†
1TaH1 + H†
2TaH2 )
" g!2
8( L†L" 2E†E + H†
1H1 "H†2H2 )2, (8.52)
in cui compaiono i termini di interazione Higgs-Higgs, Higgs-sleptone e sleptone-
sleptone.
8.5 Bosoni di gauge e gaugini
Come nel Modello Standard si definiscono i campi di gauge
Aµ(x) = cos $w V !µ(x) + sin $w V 3
µ (x), (8.53)
Zµ(x) = " sin $w V !µ(x) + cos $w V 3
µ (x), (8.54)
W±µ (x) =
V 1µ (x)) iV 2
µ (x)&
2, (8.55)
8.5. Bosoni di gauge e gaugini 119
ma in supersimmetria compaiono anche i partners fermionici dei campi di gauge,
ovvero i gaugini di spin-1/2
)A(x) = cos $w )!(x) + sin $w )3(x), (8.56)
)Z(x) = " sin $w )!(x) + cos $w )3(x), (8.57)
)±(x) =)1(x)) i)2(x)&
2. (8.58)
Con queste definizioni la derivata covariante elettrodebole diventa
Dµ = #µ + igT aV aµ + ig!
Y
2V !
µ
= #µ +ig&2T+W+
µ +ig&2T"W"
µ + ie QAµ +ig
cos $w[ T 3 "Q sin2 $w ]Zµ, (8.59)
in cui T± = T 1 ± iT 2 e l’operatore di carica Q (diagonale con autovalori in unita
della carica elementare “e”) ha la nota espressione
Q = T 3 +Y
2. (8.60)
Quindi se Dµ agisce su un doppietto di SU(2) si ha che T a = +a/2, e Dµ e una
matrice 2 ! 2, mentre per un singoletto di SU(2) si ha che T a = 0, e Dµ non e una
matrice. Sempre seguendo la guida del Modello Standard definiamo le intensita di
campo Aµ" , Zµ" e W±µ" :
Aµ" = #µA" " #"Aµ, (8.61)
Zµ" = #µZ" " #"Zµ, (8.62)
W±µ" = #µW
±" " #"W
±µ . (8.63)
Al fine di semplificare la scrittura della lagrangiana definiamo le quantita
120 Capitolo 8. Modello Standard supersimmetrico minimale
Aµ" = cos $w V !µ" + sin $w V 3
µ"
= Aµ" + ie( W+µ W"
" "W"µ W+
" ), (8.64)
Zµ" = " sin $w V !µ" + cos $w V 3
µ"
= Zµ" + ig cos $w( W+µ W"
" "W"µ W+
" ) (8.65)
W+µ" =
V 1µ" " iV 2
µ"&2
= W+µ" + ie (AµW
+" "W+
µ A") + ig cos $w(ZµW+" "W+
µ Z"), (8.66)
W"µ" =
V 1µ" + iV 2
µ"&2
= W"µ" " ie (AµW
"" "W"
µ A")" ig cos $w(ZµW"µ "W"
µ Z"), (8.67)
in termini dei quali saranno scritti “termini cinetici” che contengono interazioni
tra i bosoni di gauge.
8.6 Lagrangiana on-shell
Nei paragrafi precedenti abbiamo eliminato i campi ausiliari, e con l’introduzione
dei “termini cinetici” per i campi di gauge si ottiene la seguente espressione per la
lagrangiana elettrodebole supersimmetrica
LSUSY = (DµL)†(DµL) + (DµE)†(DµE)" i L+µDµL" i E+µDµE
+ ig(L†T+L)+ " )+LT"L) + ig(L†T"L)" " )"LT+L)
+&
2ie Qi(L† iL i)A " )AL iLi)
+
&2ig
cos $W(T 3
i "Qi sin2 $W )[L† iL i)Z " )ZL iLi]
+&
2ie(E† E)A " )AE E)"&
2igsin2 $W
cos $W(E† E)Z " )ZE E)
8.6. Lagrangiana on-shell 121
" i )++µ#µ)+ " i )"+µ#µ)
" " i )A+µ#µ)A " i )Z +µ#µ)Z
+ g cos $W [()Z +µ)" " )++µ)Z)W+µ " ()Z +µ)+ " )"+µ)Z)W"
µ
+ ()++µ)+ " )"+µ)")Zµ]
+ e[()A+µ)" " )++µ)A)W+µ " ()A+µ)+ " )"+µ)A)W"
µ
+ ()++µ)+ " )"+µ)")Aµ]
" 1
4(W+ µ"W"
µ" +W"µ"W+µ" +Aµ"Aµ" + Zµ"Zµ")
+ (DµH1)†(DµH1) + (DµH2)
†(DµH2)
" i ¯H1+µDµH1 " i ¯H2+
µDµH2
+ ig(H†1T
+H1)+ " )+ ¯H1T
"H1) + ig(H†1T
"H1)" " )" ¯H1T
+H1)
+&
2ie Qi(H† i1 H i
1)A " )A¯H
i
1Hi1)
+
&2ig
cos $W(T 3
i "Qi sin2 $W )[H† i
1 H i1)Z " )Z
¯Hi
1Hi1]
+ ig(H†2T
+H2)+ " )+ ¯H2T
"H2) + ig(H†2T
"H2)" " )" ¯H2T
+H2)
+&
2ie Qi(H† i2 H i
2)A " )A¯H
i
2Hi2)
+
&2ig
cos $W(T 3
i "Qi sin2 $W )[H† i
2 H i2)Z " )Z
¯Hi
2Hi2]
" 'ij [ µ( H i1 H j
2 + ¯Hi
1¯H
j
2 ) + f( H i1L jE + ¯H1
iL jE† )
+ f(H i1L
jE + H i †1 L jE + EH i
1 Lj + E ¯H1
iLj † )]
" µ2 H†1H1 " µ2 H†
2H2 " µf [ H†2L E + L†H2 E† ]
" f 2[ L†L E†E + H†1H1(L
†L + E†E)"H†1L(H†
1L)† ]
" g2
2( L†T aL + H†
1TaH1 + H†
2TaH2 )( L†T aL + H†
1TaH1 + H†
2TaH2 )
" g!2
8( L†L" 2E†E + H†
1H1 "H†2H2 )2 + t.d. (8.68) lagron
122 Capitolo 8. Modello Standard supersimmetrico minimale
8.7 Spinori a quattro componenti
Al fine di scrivere la lagrangiana elettrodebole nel formalismo a quattro componenti
introduciamo gli spinori di Majorana (si veda (MajoranaMajorana7.49))
A(x) =
%"i)A(x)
i)A(x)
&, (8.69)
Z(x) =
%"i)Z(x)
i)Z(x)
&, (8.70)
e gli spinori di Dirac
W (x) =
%"i)+(x)
i)"(x)
&, (8.71)
W c(x) =
%"i)"(x)
i)+(x)
&, (8.72)
(8.73)
in cui W c e il coniugato di carica di W c(x). Il “photino” A(x) e lo “zino” Z(x)
sono campi a carica nulla, mentre i “wino” W (x) e W c(x) hanno carica ±e. Abbiamo
visto che il settore di Higgs comprende due stati carichi e due neutri, allora in quattro
componenti introduciamo i due stati di “Higgsino” carichi rappresentati da due spinori
di Majorana
H1 =
%!1
H1
!1H1
&, (8.74)
H2 =
%!2
H2
!2H2
&, (8.75)
(8.76)
e i due stati di “Higgsino” carichi rappresentati da due spinori di Dirac
8.8. Lagrangiana a quattro componenti 123
H =
%!1
H2
!2H1
&, (8.77)
Hc =
%!2
H1
!1H2
&. (8.78)
(8.79)
Infine, come noto, i leptoni sono degli spinori di Dirac
l =
%lLlR
&. (8.80)
(8.81)
8.8 Lagrangiana a quattro componenti
Si puo dimostare che nella rappresentazione di Weyl per le matrici " di Dirac la
lagrangiana on-shell (lagronlagron8.68) in due componenti si riscrive come
LSUSY = (DµL)†(DµL) + (DµE)†(DµE)" i L"µDµL" i E"µDµE
" g[{L1W L2 + L2W c L1}+ h.c.] +&
2e [{L2A L2 " ¯AE E}+ h.c.]
"&
2g
cos $w[{(T 3
i "Qi sin2 $w) LiZ Li " sin2 $w
¯ZE E}+ h.c.]
" i ¯W"µ#µW " i
2¯A"µ#µA"
i
2¯Z"µ#µZ
" g cos $w[ ¯Z"µW W"µ + ¯W"µZ W+
µ "¯W"µW Zµ]
" e[ ¯A"µW W"µ + ¯W"µA W+
µ "¯W"µW Aµ]
" 1
4W+ µ"W"
µ" "1
4W"µ"W+
µ" "1
4Zµ"Zµ" "
1
4Aµ"Aµ"
+ (DµH1)†(DµH1)" µ2H†
1H1 + (DµH2)†(DµH2)" µ2H†
2H2
124 Capitolo 8. Modello Standard supersimmetrico minimale
" ¯H(i"µ#µ " µ)H " i
2¯H1"
µ#µH1 "i
2¯H2"
µ#µH2 "µ
2¯H1H2 "
µ
2¯H2H1
" g&2[ ( ¯H"µPRH1 " ¯H"µPLH2)W
+µ + h.c.] + e ¯H"µH Aµ
+g
2 cos $W[ (1" 2 sin2 $W ) ¯H"µH " 1
2( ¯H1"
µ"5H1 " ¯H2"µ"5H2) ]Zµ
" g[ ( ¯WPRH H11 + ¯HPRW H2
2 + ¯H1PRW H21 + ¯WPRH2 H1
2 ) + h.c.]
+&
2e[ ( ¯APRH H21 "
¯HPRA H12 ) + h.c.]
" g&2 cos $W
[ { ¯ZPRH1 H11 "
¯H2PRZ H22
" (1" 2 sin2 $W )( ¯ZPRH H21 "
¯HPRZ H12 )}+ h.c.]
+ f [{ ¯HL1 E " ¯H1L2 E + EL1 H2
1 " EL2 H11 + EHc L1 " EH1 L2}+ h.c.]
" µf [H†2L E + h.c.]" f 2[L†L E†E + H†
1H1(L†L + E†E)"H†
1L(H†1L)†]
" g2
2( L†T aL + H†
1TaH1 + H†
2TaH2 )( L†T aL + H†
1TaH1 + H†
2TaH2 )
" g2 tan2 $w8
( L†L" 2E†E + H†1H1 "H†
2H2 )2 + t.d. (8.82)
PL e PR sono i proiettori left- e right-handed la cui espressione e nota.
8.9 Il potenziale di Higgs
Il potenziale scalare e costituito dai termini
VMSSM = VD + VF + VSoft, (8.83)
dove
VD = "LD VF = "LF VSoft = "LSMT , (8.84)
8.9. Il potenziale di Higgs 125
le cui espressioni sono state scritte precedentemente. Per il settore di Higgs del
modello il potenziale VHiggs (e un caso particolare di generico potenziale per un doppi-
etto di Higgs) ha l’espressione
V = (m21 + µ2)H†
1H1 + (m22 + µ2)H†
2H2 "m23 'ij(H i
1Hj2 + h.c.)
+g2
2(H†
1TaH1 + H†
2TaH2)(H
†1T
aH1 + H†2T
aH2)
+g!2
8(H†
1H1 "H†2H2)
2, (8.85)
che puo essere riscritto come
V = m21 H†
1H1 + m22 H†
2H2 "m23 'ij(H i
1Hj2 + h.c.)
+1
8(g2 + g!2)(H†
1H1 "H†2H2)
2 +g2
2|H†
1H2|2, (8.86)
in cui e stata sfruttata l’arbitrarieta dei parametri m21 e m2
2 per riassorbire la µ.
Senza perdere di generalita possiamo supporre i parametri di massa m2i (i = 1, 2, 3)
reali e i valori di aspettazione dei campi di Higgs non negativi. Come nel Modello
Standard la simmetria di gauge SU(2)! U(1) deve essere rotta spontaneamente las-
ciando una simmetria U(1)EM non rotta; questo significa che le componenti cariche
dei doppietti di Higgs non possono sviluppare valore di aspettazione, allora risulta
che
< H1 >=
%v1
0
&(8.87)
< H2 >=
%0
v2
&(8.88)
, (8.89)
e sul vuoto il potenziale diventa
V = m21 v2
1 + m22 v2
2 " 2m23 v1v2 +
1
8(g2 + g!2)[v2
1 " v22]
2. (8.90)
126
127
Capitolo 9
Il Modello Standard supersimmetriconon minimale
In questo capitolo passiamo allo studio di una estensione dell’MSSM detta non min-
imale, in quanto il superpotenziale dell’MSSM viene modificato con l’aggiunta di un
supercampo di singoletto S che non ha carica rispetto al gruppo di gauge SU(3)C !SU(2)L ! U(1)Y (
hugonie[20],
menon[21],
ellis[22]). Il superpotenziale e dato da
WNMSSM =1
3kS 3 + )SHu · Hd + h$ L · HdLR + htQ · HuTR + hbQ · HdBR, (9.1)
in cui oltre agli accoppiamenti di Yukawa gia presenti nell’MSSM per i quarks e i
leptoni, adesso compaiono due nuovi termini in S, di cui uno cubico di autointerazione
e uno di interazione con i supercampi di Higgs. Quando la simmetria elettrodebole e
rotta spontaneamente le componenti scalari di Higgs neutre e la componente scalare
del supercampo S sviluppano i valori di aspettazione
< H0u > = hu, < H0
d > = hd, < S > = s. (9.2) valasp
In questo modello il parametro µ dell’MSSM e sostituito dal valore di aspettazione
s del supercampo di singoletto moltiplicato per ), ovvero dal confronto con l’MSSM
si vede che µ ( ) < S >. Esplicitamente i doppietti di supercampi sono indicati
come
Q =
%TL
BL
&, L =
%,$L
&L
&; (9.3)
128 Capitolo 9. Il Modello Standard supersimmetrico non minimale
Hu =
%H+
u
H0u
&, Hd =
%H0
d
H"d
&. (9.4)
Il prodotto di SU(2) tra doppietti di supercampi e definito in termini della metrica
' come segue
Hu · Hd = %ijH iuH
jd = H+
u H"d " H0
uH0d , (9.5)
dove ricordiamo l’espressione della metrica
'ij =
%0 1
"1 0
&. (9.6)
Le espansioni del singoletto S, di Hu e di Hd in termini della coordinata traslata
yµ = xµ + i$+µ$ sono
S(y, $) = S(y) +&
2 $ S(y) + $$FS(y), (9.7)
Hu(y, $) = Hu(y) +&
2 $ Hu(y) + $$Fu(y), (9.8)
Hd(y, $) = Hd(y) +&
2 $ Hd(y) + $$Fd(y). (9.9)
in cui ricordiamo che le componenti con la tilde indicano i partner fermionici
che, per chiarezza di notazione, possiamo indicare come S ( !s per il “singlino”,
Hu ( !u e Hd ( !d per gli “Higgsini” (ricordiamo che !u e !d sono doppietti).
Analizziamo brevemente il metodo per calcolare il potenziale dal superpotenziale del
nostro modello. Il potenziale e definito come l’integrale
V =
>d4$ [W (*i) (2($) + W (*†i ) (2($)] =
>d2$ W (*i) + h.c., (9.10)
dove *i e il generico supercampo, nel nostro caso i *i sono espressi nella variabile
traslata y. E importante tener presente la relazione
>d2$ W (*1, ..*n) =
6
i,j
WiFi "1
2Wij!i!j (9.11)
129
in cui abbiamo definito
Wi =#W
#Ai,
Wij =#2W
#Ai#Aj,
(9.12)
dove Wij rappresenta la matrice di massa fermionica. L’azione e, in generale,
definita da
I =
>d4x
?>d4$ *†i*i +
>d2$ W (*1, ...*n) +
>d 2$ W (*†i , ..*
†n)
@
=
>d4x
?>d4$(*†i*i) + WiFi "
1
2Wij!i!j + W iF
$i "
1
2W ij!i!j
@,
(9.13)
e se esplicitiamo il termine cinetico5
d4$ *†i*i abbiamo
I =
>d4x{(i#µ!i+
µ!i " A$i #
2Ai + |Fi|2 + t.d.) + WiFi "1
2Wij!i!j
+ W iF$i "
1
2W ij!i!j}. (9.14)
Per eliminare i campi ausiliari Fi ed F $i si utilizzano le equazioni del moto, il loro
semplice calcolo ci fornisce le sostituzioni
#L#F $
i (x)= Fi(x) + W $
i = 0 # Fi(x) = "W $i ,
#L#Fi(x)
= F $i (x) + Wi = 0 # F $
i (x) = "Wi.
(9.15)
Andando a sostituire nell’azione si ottiene
130 Capitolo 9. Il Modello Standard supersimmetrico non minimale
I =
>d4x
!i#µ!i+
µ!i " A$i #
2Ai " |Wi|2 "1
2Wij!i!j "
1
2W ij!i!j
$+ t.d. (9.16)
9.1 Neutralino
Il settore gaugino-higgsino-singlino del modello contiene termini non diagonali; per
ottenere gli autostati di massa dobbiamo diagonalizzare i termini della lagrangiana in-
teressati cosı da far emergere gli stati di “neutralino” 40i (i = 1, ..., 5). La lagrangiana
rilevante ai fini della determinazione degli autostati di massa del neutralino e data
dai seguenti termini di massa
L =1
2M1)1)1 +
1
2M2)
32)
32
+)(s !0u !0
d + hu !0d !s + hd !0
u !s)" k s!s!s
+ig1&
2)1(hu!
0u " hd!
0d)"
ig2&2
)32(hu!
0u " hd!
0d), (9.17) neutralin
in cui abbiamo denotato con !s la componente fermionica (singlino) del super-
campo di singoletto, e con !0u e !0
d le componenti fermioniche neutre (higgsini neutri)
dei doppietti di supercampi di Higgs. I termini 12M1)1)1 + 1
2M2)32)
32 sono termini
di massa rispettivamente del gaugino )1 di U(1) e del gaugino neutro )32 di SU(2).
Analizziamo in particolare il seguente contributo
)SHu · Hd # )(S +&
2$S...)(Hu +&
2$Hu...)(Hd +&
2$Hd...)
= )!S(&
2$Hu) · (&
2$Hd) + (&
2$S)(&
2$Hu) ·Hd + (&
2$S)Hu · (&
2$Hd)$
= )
+2S("1
2$$)Hu · Hd + 2("1
2$$)SHu ·Hd " 2("1
2$$)(SHd) ·Hu
,
= ")!SHu · Hd + SHu ·Hd " SHd ·Hu
$$$, (9.18)
in cui e stata usata la relazione nota (Fierz2Fierz27.72)
9.1. Neutralino 131
($!)($4) = "1
2$$(!4),
e in cui l’ultimo termine e stato calcolato tenendo conto dell’antisimmetria della
metrica ':
($S)Hu · ($Hd) = ($S)H iu'
ij($Hjd) = ($S)($Hj
d)Hiu'
ij
= "($S)($Hjd)'
jiH iu = "($S)($Hd) ·Hu . (9.19)
In definitiva si ottiene il contributo
)SHu · Hd|!! # ")(SHu · Hd + SHu ·Hd " SHd ·Hu)
= ")(SHu · Hd + SHu ·Hd + SHu · Hd). (9.20)
Allora esplicitando i prodotti tra i doppietti e assegnando i valori di aspettazione
hu, hd e s alle componenti scalari, gia indicati in (valaspvalasp9.2), si ottiene il risultato
)(s !0u !0
d + hu !0d !s + hd !0
u !s). (9.21)
Allo stesso modo per il contributo in $$ dal termine cubico si calcola
k
3S3 # k
3(S +
&2$S...)(S +
&2$S...)(S +
&2$S...)
=k
3! 3! S ! 2($S)($S) = 2k("1
2$$)S(SS),
(9.22)
ovvero
k
3S3|!! # "kS(SS)# "ks!s!s. (9.23)
132 Capitolo 9. Il Modello Standard supersimmetrico non minimale
Nella base !0 T = ("i)1, "i)32, !0
u, !0d, !s) si puo riorganizzare la lagrangiana
(neutralinneutralin9.17) come
L = "1
2(!0)TM0(!
0) + h.c. (9.24)
dove compare la matrice simmetrica (i neutralini nel formalismo di Dirac a quattro
componenti sono spinori di Majorana)
M0 =
-
....../
M1 0 g1hu/&
2 "g1hd/&
2 0
0 M2 "g2hu/&
2 g2hd/&
2 0
g1hu/&
2 "g2hu/&
2 0 "µ ")hd
"g1hd/&
2 g2hd/&
2 "µ 0 ")hu
0 0 ")hd ")hu 2ks
0
1111112, (9.25)
e ricordiamo che µ = )s. Questa matrice 5! 5 viene diagonalizzata tramite una
matrice unitaria U di modo che
U$M0U"1 = M/0
i= diag(m1, m2, m3, m4, m5) (9.26)
e si ottengono 5 autostati 40i = Uij!0
j di massa crescente, il primo dei quali e da
identificare con il neutralino piu leggero, rappresentato dalla seguente combinazione
di photino )1, zino )32, higgsini neutri !0
u e !0d, e singlino !s:
U1j!0j = U11("i)1) + U12("i)3
2) + U13(!0u) + U14(!
0d) + U15(!s). (9.27)
Nel formalismo di Dirac a quattro componenti organizziamo quasti 5 autostati
di massa in spinori di Majorana (coincidono con le proprie antiparticelle) secondo la
notazione
40i =
%40
i
4 0i
&, (i = 1, ..., 5). (9.28)
9.2. Chargino 133
9.2 Chargino
Gli autostati di massa di “chargino” 4i (i = 1, 2) sono spinori di Dirac e nascono
dall’accoppiamento tra i wino )+, )" e gli Higgsini carichi !+u , !"
d . Ricordiamo le
espressioni dei gaugini carichi di SU(2)
)" =1&2()1
2 + i)22), )+ =
1&2()1
2 " i)22). (9.29)
Se definiamo gli spinori di Dirac
!+ =
%"i)+
!+u
&, !" =
%"i)"
!"d
&, (9.30)
allora si puo dimostrare che la lagrangiana contenente i termini di massa degli
stati di “chargino” puo essere riorganizzata come segue:
L = "1
2(!+, !")
%0 XT
X 0
&%!+
!"
&+ h.c., (9.31)
in cui
X =
%M2 g2hu
g2hd µ
&. (9.32)
Gli autostati di massa in due componenti sono 4+i = Vij!
+j e 4"i = Uij!
"j con
(i, j = 1, 2), cioe
4+i = Vi1("i)+) + Vi2(!
+u ) (i = 1, 2), (9.33)
4"i = Ui1("i)") + Ui2(!"d ) (i = 1, 2), (9.34)
dove U e V sono matrici di rotazione
134 Capitolo 9. Il Modello Standard supersimmetrico non minimale
U =
%cos $U sin $U
" sin $U cos $U
&, V =
%cos $V sin $V
" sin $V cos $V
&. (9.35)
che diagonalizzano la matrice X
UXV T = MD. (9.36)
Notiamo che definendo
" =4
tr2(XT X)" 4det(XT X), (9.37)
allora vale che
tan $U =g22(h
2u " h2
d) + µ2 "M22 " "
2g2(M2hd + µhu), tan $V =
g22(h
2d " h2
u) + µ2 "M22 " "
2g2(M2hu + µhd). (9.38)
In termini di spinori di Dirac a quattro componenti
4i =
%4+
i
4"i
&(i = 1, 2) (9.39)
si puo riscrivere la lagrangiana come
L = "4"MD4+ + h.c. = "m/14141 "m/24242, (9.40)
dove la matrice MD e diagonale e le masse m/1 ed m/2 hanno espressione
m/1 = cos $U(M2 cos $V + g2hu sin $V ) + sin $U(g2hd cos $V + µ sin $V ), (9.41)
m/2 = sin $U(M2 sin $V " g2hu cos $V )" cos $U(g2hd sin $V " µ cos $V ). (9.42)
Capitolo 10
Il Modello di Stueckelbergsupersimmetrico
La supersimmetrizzazione del meccanismo di Stueckelberg e stata proposta recente-
mente in (Nath1[23],
Nath2[24],
Nath3[25]), dove la simmetria di gauge dell’MSSM (che e la stessa
del Modello Standard) viene aumentata ad incorporare ulteriori U(1). Consideriamo
una estensione U(1) supersimmetrica dell’MSSM tramite l’introduzione di un super-
campo vettoriale abeliano addizionale e di un supercampo chirale detto appunto di
Stueckelberg. Il settore bosonico conterra un nuovo bosone di gauge Z !, il settore
fermionico neutro presentera 2 addizionali fermioni che si mescoleranno con i 4 stati
di neutralino gia esistenti nell’MSSM a dare una matrice di massa 6! 6.
10.1 Estensione dell’MSSM
Il meccanismo di Stueckelberg genera la massa per un bosone di gauge abeliano in un
modo gauge invariante e rinormalizzabile. Si considera una estensione della simmetria
di gauge SU(2)L ! U(1)Y del Modello Standard tramite l’aggiunta di un addizionale
gruppo U(1)X di gauge, allora il campo di gauge corrispondente si accoppia al campo
scalare assionico come previsto dal meccanismo di Stueckelberg a dare un nuovo
bosone vettore massivo Z !. Ricordiamo che il meccanismo di Stueckelberg non e in
grado di preservare simmetrie di gauge non abeliane. Introduciamo il multipletto
chirale di Stueckelberg di componenti
135
136 Capitolo 10. Il Modello di Stueckelberg supersimmetrico
S = (0 + i+, 4, FS), (10.1)
dove 0 + i+ e la componente scalare, 4 e la componente fermionica e FS e un
campo ausiliario. La lagrangiana di Stueckelberg ha espressione
LSt =
>d2$ d2 $ (M1C + M2B + S + S)2, (10.2) Stueck
dove abbiamo introdotto
C = (Cµ, )C , DC) (10.3)
che e il multipletto di gauge vettoriale per il gruppo U(1)X addizionale, oltre al
multipletto vettoriale B per il gruppo di ipercarica U(1)Y che ha componenti
B = (Bµ, )B, DB). (10.4)
Le trasformazioni di gauge rispetto ai due gruppi abeliani U(1)Y e U(1)X sono
rispettivamente
(Y B = #Y + #Y , (Y S = "M2#Y , (10.5)
(XC = #X + #X , (XS = "M1#X . (10.6)
Le espressioni esplicite dei supercampi vettoriali nella gauge di Wess- Zumino sono
C = "$+µ$Cµ + i $$ $ )C " i $ $ $)C +1
2$$ $ $DC , (10.7)
B = "$+µ$Bµ + i $$ $ )B " i $ $ $)B +1
2$$ $ $DB, (10.8)
e il supercampo di Stueckelberg ha espressione
10.1. Estensione dell’MSSM 137
S =1
2(0 + i+) + $4 + i$+µ$
1
2(#µ0 + i#µ+) + $$FS +
i
2$$ $ +µ#µ4
+1
8$$ $ $(#20 + i#2+) (10.9) superc
in cui la componente scalare 0 + i+ contiene come grado di liberta complesso
l’assione + che e l’analogo del campo assionico reale che compare nei modelli non
supersimmetrici. Calcoliamo l’espressione esplicita in componenti della lagrangiana
(StueckStueck10.2), partendo dallo sviluppo
(M1C + M2B + S + S)2333!! ! !
= [M21 C2 + M2
2 B2 + (S + S)2 + 2M1C + M2B
+ 2M1C(S + S) + 2M2B(S + S)]333!! ! !
(10.10)
in cui lo sviluppo dei termini M21 C2, M2
2 B2 e 2M1CM2B si e!ettua tenendo conto
della relazione (FierzFierz7.76), si ottiene quindi
M21 C2
333!!! !
= M21 ("$+µ$Cµ)("$+"$C")
333!!! !
=M2
1
2CµCµ (10.11)
M22 B2
333!!! !
= M22 ("$+µ$Bµ)("$+"$B")
333!!! !
=M2
2
2BµBµ (10.12)
2M1CM2B333!!! !
= 2M1M2("$+µ$Cµ)("$+"$B")333!!! !
= M1M2CµBµ. (10.13)
Per calcolare il termine (S + S)2 partiamo dal supercampo (supercsuperc10.9) e ne facciamo
l’hermitiano coniugato
S† =1
2(0 + i+)† + $ 4" i$+µ$
1
2(#µ0 + i#µ+)† + $ $F †
S +i
2$ $ $+µ#µ4
+1
8$$ $ $(#20 + i#2+)†
=1
2(0" i+) + $ 4" i$+µ$
1
2#µ(0" i+) + $ $F †
S +i
2$ $ $+µ#µ4
+1
8$$ $ $ #2(0" i+). (10.14)
138 Capitolo 10. Il Modello di Stueckelberg supersimmetrico
Adesso esplicitiamo la somma S +S raggruppando i termini dello stesso ordine in
$ e $
S + S† = [1
2(0 + i+) +
1
2(0 + i+)† ] + $4 + $4 + $$FS + $ $F †
S
+i$+µ$1
2[#µ(0 + i+)" #µ(0 + i+)†] +
i
2$$ $ +µ#µ4
+i
2$ $$+µ#µ4 +
1
8$$ $ $#2[(0 + i+) + (0 + i+)†]
= 0 + $4 + $4 + $$FS + $ $F †S
+i$+µ$1
2(2i#µ+) +
i
2$$$+µ#µ4
+i
2$ $$+µ#µ4 +
1
4$$ $ $ #20 (10.15)
quindi il contributo del quadrato (S + S†)2 e dato dai seguenti termini
(S + S†)2333!! ! !
= 2 01
4$$ $ $ #20
+ ($4) i $ $$+µ#µ4 + ($ 4) i $$ $ +µ#µ4
+ ("$+µ$#µ+)("$+"$#"+) + 2 $$FS $ $F †S
333!! ! !
=1
20 #20" i4+µ#µ4" i4 +µ#µ4
+1
2(#µ+)(#µ+) + 2|FS|2
= "1
2(#µ0) (#µ0)" i4+µ#µ4" i4 +µ#µ4
+1
2(#µ+)(#µ+) + 2|FS|2 + t.d. (10.16)
in cui per il penultimo termine e stata utilizzata la relazione (FierzFierz7.76). Per ar-
rivare all’espressione esplicita della LSt restano da calcolare ancora due termini il cui
sviluppo e analogo, infatti consideriamo
2M1C(S + S)333!! ! !
= 2M1("$+µ$Cµ + i$$$ )C " i$ $$)C +1
2$$$ $DC)!
10.1. Estensione dell’MSSM 139
!(0 + $4 + $4 + $$FS + $ $F †S " $+µ$#µ+
+i
2$$$+µ#µ4 +
i
2$ $$+µ#µ4 +
1
4$$ $ $ #20)
333!! ! !
= 2M1{("$+µ$Cµ)("$+µ$#µ+) + (i$$$ )C)($4)
+ ("i$ $$)C)($4) + (1
2$$$ $DC)0}
333!! ! !
= 2M1(1
2Cµ#µ+ " i)C4 + i)C4 +
1
2DC0)
= M1Cµ#µ+ " 2iM1)C4 + 2iM1)C4 + M1DC0, (10.17)
e analogamente per il termine contenente il supercampo vettoriale B si ottiene
2M2B(S + S)333!! ! !
= 2M2(1
2Bµ#µ+ " i)B4 + i)B4 +
1
2DB0)
= M2Bµ#µ+ " 2iM2)B4 + 2iM2)B4 + M2DB0. (10.18)
In definitiva collezionando tutti i termini calcolati si trova che
LSt =M2
1
2CµCµ +
M22
2BµBµ + M1M2C
µBµ "1
2(#µ0)(#µ0)
"i4+µ#µ4" i4 +µ#µ4 +1
2(#µ+)(#µ+) + 2|FS|2
+M1Cµ#µ+ " 2iM1)C4 + 2iM1)C4 + M1DC0 + M2B
µ#µ+
"2iM2)B4 + 2iM2)B4 + M2DB0, (10.19)
che puo essere riorganizzata nella forma piu compatta
LSt =1
2(M1C + M2B + #µ+)2 " 1
2(#µ0)2 " i4+µ#µ4" i4 +µ#µ4 + 2|FS|2
+ 0(M1DC + M2DB) + 2i4(M1)C + M2)B)" 2i4(M1)C + M2)B). (10.20)
In analogia con il termine cinetico del campo di gauge abeliano gia calcolato (veditctc8.36) nel modello MSSM adesso si trova che il termine cinetico dei campi di gauge
per i gruppi abeliani e
140 Capitolo 10. Il Modello di Stueckelberg supersimmetrico
Lgkin =1
4(Bµ"B
µ" + Cµ"Cµ")" i)B+µ#µ)B " i)C+µ#µ)C
+1
2(D2
B + D2C) (10.21)
dove sono state definite le usuali intensita di campo abeliane
Bµ" = #µB" " #"Bµ, Cµ" = #µC" " #"Cµ. (10.22)
La derivata covariante sotto i due gruppi abeliani U(1)Y ed U(1)X in generale e
definita dall’operatore
Dµ = #µ + igY Y Bµ + igXQXCµ. (10.23)
in cui Y e QX sono gli operatori di carica dei gruppi abeliani, mentre gY e gX
sono le costanti di accoppiamento. Per semplicita si puo assumere che i supercampi di
materia di quarks, leptoni e scalari di Higgs gia noti dall’MSSM siano neutri sotto il
gruppo di gauge addizionale U(1)X , mentre si assume l’esistenza di campi di materia
cosiddetti “nascosti” che, invece, possiedono carica sotto il gruppo U(1)X ma sono
neutri sotto il gruppo di gauge dell’MSSM. Se indichiamo lo sviluppo di un generico
supercampo di materia di componenti (fi, zi, Fi) con l’espressione
*i = zi +&
2 $ fi + i$+µ$#µzi + $$Fi +i&2
$$ $ +µ#µfi +1
4$$$ $#2zi (10.24)
allora la lagrangiana corrispondente e data dall’usuale espressione
Lmatter = "|Dµzi|2 " ifi+µDµf i +"
&2(igY Y zif i)B + igXQXzif i)C + h.c.)
+gY DB(ziY zi) + gXDC(ziQXzi) + |Fi|2 (10.25)
da confrontare con la lagrangiana dell’MSSM.
10.2. Conclusioni 141
10.2 Conclusioni
In questo lavoro di tesi abbiamo analizzato alcune estensioni supersimmetriche del
Modello Standard, in particolare il Modello Standard Supersimmetrico Minimale, o
MSSM, e quello non minimale, o NMSSM. In questo secondo caso ci siamo so!ermati
sul calcolo della matrice di massa per gli stati di neutralino e di chargino. Abbiamo poi
proseguito con lo studio di estensioni del Modello Standard contenenti simmetrie di
gauge addizionali quali, ad esempio, gruppi abeliani e ci siamo chiesti che ruolo possa
avere il meccanismo di cancellazione delle anomalie nella sua formulazione non stan-
dard. Questo meccanismo, che trova giustificazione in modelli avanzati provenienti
dalla teoria di stringa, fa intervenire forme di Chern-Simons ed accoppiamenti assion-
ici. Abbiamo visto, mediante lo studio di un modello specifico, che e molto di"cile
avere meccanismi di cancellazione non standard delle anomalie senza l’introduzione di
un campo assionico. Questo punta decisamente verso il meccanismo di Stueckelberg,
giacche, in questo meccanismo il relativo campo puo sia dare massa ai bosoni di gauge
addizionali della teoria, sia permettere la cancellazione delle anomalie in forma nuova.
Abbiamo quindi intrapreso lo studio di una estensione particolare dell’MSSM che con-
tiene il multipletto di Stueckelberg, presentato di recente da Kors e Nath. Nella loro
formulazione, comunque, il gruppo di gauge U(1) addizionale non e anomalo. Vi
sono delle domande a cui, con ulteriori studi, sarebbe possibile dare una risposta,
ad esempio: e possibile giungere ad un meccanismo di Stueckelberg supersimmetrico
“anomalo”, in cui la forma di Chern-Simons gioca un ruolo determinante, insieme al
multipletto di Stueckelberg nella cancellazione delle anomalie?
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