Download - Estudos de Controle - Aula 2: Laplace
Transformada de Laplace
πΉ π = π(π‘)πβπ π‘ ππ‘β
0
π π‘ =1
2ππ πΉ(π )
π+β
πββ
ππ π‘ ππ
onde c Γ© a abscissa de convergΓͺncia, uma constante real escolhida com valor superior Γ parte real de todos os pontos singulares de F(s).
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Transformada de Laplace
⒠Função transladada:
β’ Seja F(s) a transformada de Laplace de f(t) e a função transladada π π‘ β πΌ 1 π‘ β πΌ , onde πΌ β₯ 0
ππΏ π π‘ β πΌ 1 π‘ β πΌ = πβπΌπ πΉ(π )
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Transformada de Laplace
⒠Função pulso retangular:
π π‘ = π΄
π‘0, ππππ 0 < π‘ < π‘0
0, πππ π ππππ‘πΓ‘πππ
ππΏ π π‘ =π΄
π‘0π (1 β πβπ π‘0)
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Transformada de Laplace
⒠Função impulso:
π π‘ = limπ‘0β0
π΄
π‘0, ππππ 0 < π‘ < π‘0
0, πππ π ππππ‘πΓ‘πππ
ππΏ π π‘ = π΄
ππΏ πΏ π‘ = 1
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Transformada de Laplace
β’ Multiplicação por πβπΌπ‘: ππΏ πβπΌπ‘π π‘ = πΉ(π + πΌ)
⒠Mudança de escala de tempo:
ππΏ ππ‘
πΌ= πΌπΉ(πΌπ )
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Teoremas da Transformada de Laplace ⒠Teorema da derivação real
ππΏπ
ππ‘π π‘ = π πΉ π β π(0)
β’ De forma anΓ‘loga, para a derivada de ordem n
ππΏππ
ππ‘ππ π‘ = π ππΉ(π ) β π πβ1π 0 β π πβ2π 0 β¦β π 0π πβ1 (0)
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Teoremas da Transformada de Laplace β’ Teorema do valor final
β’ Se π π‘ π ππ(π‘) ππ‘ forem transformΓ‘veis por Laplace e se lim
π‘ββπ(π‘) existir, entΓ£o
limπ‘ββ
π(π‘) = limπ β0
π πΉ(π )
β’ Ou seja, o comportamento em regime estacionΓ‘rio de f(t) Γ© o mesmo que o comportamento de sF(s) nas proximidades de s=0. Conseguimos obter o valor de f(t) em t = β diretamente de F(s). 8
Teoremas da Transformada de Laplace β’ Teorema do valor inicial
β’ Se π π‘ π ππ(π‘) ππ‘ forem transformΓ‘veis por Laplace e se lim
π ββπ πΉ(π ) existir, entΓ£o
π 0+ = limπ ββ
π πΉ(π )
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Teoremas da Transformada de Laplace ⒠Teorema da integração real
ππΏ π π‘ ππ‘ =πΉ π
π +πβ1(0)
π
onde πβ1 0 = π π‘ ππ‘ avaliada em t=0.
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Teoremas da Transformada de Laplace β’ Teorema da derivada complexa
β’ Se f(t) for transformΓ‘vel por Laplace, entΓ£o, exceto nos pΓ³los de F(s)
ππΏ(π‘π π‘ ) = βπ
ππ πΉ(π )
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Teoremas da Transformada de Laplace ⒠Convolução
π1 π‘ β π2 π‘ = π1 π‘ β π π2 π πππ‘
0
⒠Integral de Convolução
ππΏ(π1 π‘ β π2 π‘ ) = πΉ1 π πΉ2 π
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Teoremas da Transformada de Laplace ⒠Produto de duas funçáes no tempo
ππΏ(π1 π‘ π2 π‘ ) =1
2ππ πΉ1 π β π πΉ2 π πππ+β
πββ
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Transformada Inversa de Laplace
π π‘ =1
2ππ πΉ(π )
π+β
πββ
ππ π‘ ππ
⒠Outra maneira, é utilizar métodos para a obtenção a partir de transformadas de Laplace conhecidas.
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Transformada Inversa de Laplace ⒠Método de expansão em fraçáes parciais
β’ πΉ π =π΅(π )
π΄(π ), onde A(s) e B(s) sΓ£o polinΓ΄mios
em s.
β’ A maior potΓͺncia de s em A(s) deve ser maior do que a maior potΓͺncia de s em B(s)
π΅(π )
π΄(π )= πΎ
π + π§1 π + π§2 β¦(π + π§π)
π + π1 π + π2 β¦(π + ππ), ππππ π < π
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Transformada Inversa de Laplace β’ Quando F(s) possui apenas pΓ³los distintos,
temos π΅(π )
π΄(π )=
π1π + π1
+π2
π + π2+β―+
πππ + ππ
β’ Os coeficientes ππsΓ£o chamados de resΓduo do pΓ³lo
ππ = (π + ππ)π΅ π
π΄ π π =βππ
=π1(π + ππ)
π + π1+π2(π + ππ)
π + π2+β―+
ππ(π + ππ)
π + ππ π =βππ
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Transformada Inversa de Laplace β’ Como
ππΏβ1ππ
π + ππ= πππ
βπππ‘
π π‘ = ππΏβ1 πΉ(π )
= π1πβπ1π‘ +π2 π
βπ2π‘ +β―+ πππβπππ‘
para π‘ β₯ 0.
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Transformada Inversa de Laplace β’ Quando inclui pΓ³los mΓΊltiplos
β’ Utiliza-se as derivadas de F(s) para obter os resΓduos.
β’ Exemplo:
πΉ π =π 2 + 2π + 3
(π + 1)3
πΉ π =π΅(π )
π΄(π )=
π1π + 1
+π2
(π + 1)2+
π3(π + 1)3
(π + 1)3π΅(π )
π΄(π )= π1(π + 1)2+π2(π + 1) + π3
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Transformada Inversa de Laplace β’ Quando inclui pΓ³los mΓΊltiplos
(π + 1)3π΅(π )
π΄(π )π =β1
= π3
π
ππ (π + 1)3
π΅(π )
π΄(π )π =β1
= π2 + 2π1(π + 1)
π
ππ (π + 1)3
π΅(π )
π΄(π )π =β1
= π2
π2
ππ 2(π + 1)3
π΅(π )
π΄(π )π =β1
= 2π1
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MATLAB
⒠Expansão em fraçáes parciais no MATLAB:
π΅(π )
π΄(π )=ππ’π
πππ=π0π
π + π1π πβ1 +β―+ ππ
π π + π1π πβ1 +β―+ ππ
π΅(π )
π΄(π )=
π(1)
π β π(1)+
π(2)
π β π(2)+ β―+
π π
π β π π+ π(π )
π, π, π = πππ πππ’π(ππ’π, πππ)
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