Estudos de Controle - Laplace

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Transformada de Laplace

𝐹 𝑠 = 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡∞

0

𝑓 𝑡 =1

2𝜋𝑗 𝐹(𝑠)

𝑐+∞

𝑐−∞

𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑠

onde c é a abscissa de convergência, uma constante real escolhida com valor superior à parte real de todos os pontos singulares de F(s).

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Transformada de Laplace

• Função transladada:

• Seja F(s) a transformada de Laplace de f(t) e a função transladada 𝑓 𝑡 − 𝛼 1 𝑡 − 𝛼 , onde 𝛼 ≥ 0

𝑇𝐿 𝑓 𝑡 − 𝛼 1 𝑡 − 𝛼 = 𝑒−𝛼𝑠𝐹(𝑠)

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Transformada de Laplace

• Função pulso retangular:

𝑓 𝑡 = 𝐴

𝑡0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑡 < 𝑡0

0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜

𝑇𝐿 𝑓 𝑡 =𝐴

𝑡0𝑠(1 − 𝑒−𝑠𝑡0)

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Transformada de Laplace

• Função impulso:

𝑓 𝑡 = lim𝑡0→0

𝐴

𝑡0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑡 < 𝑡0

0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜

𝑇𝐿 𝑓 𝑡 = 𝐴

𝑇𝐿 𝛿 𝑡 = 1

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Transformada de Laplace

• Multiplicação por 𝑒−𝛼𝑡: 𝑇𝐿 𝑒−𝛼𝑡𝑓 𝑡 = 𝐹(𝑠 + 𝛼)

• Mudança de escala de tempo:

𝑇𝐿 𝑓𝑡

𝛼= 𝛼𝐹(𝛼𝑠)

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Teoremas da Transformada de Laplace • Teorema da derivação real

𝑇𝐿𝑑

𝑑𝑡𝑓 𝑡 = 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓(0)

• De forma análoga, para a derivada de ordem n

𝑇𝐿𝑑𝑛

𝑑𝑡𝑛𝑓 𝑡 = 𝑠𝑛𝐹(𝑠) − 𝑠𝑛−1𝑓 0 − 𝑠𝑛−2𝑓 0 …− 𝑠0𝑓 𝑛−1 (0)

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Teoremas da Transformada de Laplace • Teorema do valor final

• Se 𝑓 𝑡 𝑒 𝑑𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 forem transformáveis por Laplace e se lim

𝑡→∞𝑓(𝑡) existir, então

lim𝑡→∞

𝑓(𝑡) = lim𝑠→0

𝑠𝐹(𝑠)

• Ou seja, o comportamento em regime estacionário de f(t) é o mesmo que o comportamento de sF(s) nas proximidades de s=0. Conseguimos obter o valor de f(t) em t = ∞ diretamente de F(s). 8

Teoremas da Transformada de Laplace • Teorema do valor inicial

• Se 𝑓 𝑡 𝑒 𝑑𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 forem transformáveis por Laplace e se lim

𝑠→∞𝑠𝐹(𝑠) existir, então

𝑓 0+ = lim𝑠→∞

𝑠𝐹(𝑠)

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Teoremas da Transformada de Laplace • Teorema da integração real

𝑇𝐿 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =𝐹 𝑠

𝑠+𝑓−1(0)

𝑠

onde 𝑓−1 0 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 avaliada em t=0.

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Teoremas da Transformada de Laplace • Teorema da derivada complexa

• Se f(t) for transformável por Laplace, então, exceto nos pólos de F(s)

𝑇𝐿(𝑡𝑓 𝑡 ) = −𝑑

𝑑𝑠𝐹(𝑠)

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Teoremas da Transformada de Laplace • Convolução

𝑓1 𝑡 ∗ 𝑓2 𝑡 = 𝑓1 𝑡 − 𝜏 𝑓2 𝜏 𝑑𝜏𝑡

0

• Integral de Convolução

𝑇𝐿(𝑓1 𝑡 ∗ 𝑓2 𝑡 ) = 𝐹1 𝑠 𝐹2 𝑠

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Teoremas da Transformada de Laplace • Produto de duas funções no tempo

𝑇𝐿(𝑓1 𝑡 𝑓2 𝑡 ) =1

2𝜋𝑗 𝐹1 𝑠 − 𝑝 𝐹2 𝑝 𝑑𝑝𝑐+∞

𝑐−∞

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Transformada Inversa de Laplace

𝑓 𝑡 =1

2𝜋𝑗 𝐹(𝑠)

𝑐+∞

𝑐−∞

𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑠

• Outra maneira, é utilizar métodos para a obtenção a partir de transformadas de Laplace conhecidas.

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Transformada Inversa de Laplace • Método de expansão em frações parciais

• 𝐹 𝑠 =𝐵(𝑠)

𝐴(𝑠), onde A(s) e B(s) são polinômios

em s.

• A maior potência de s em A(s) deve ser maior do que a maior potência de s em B(s)

𝐵(𝑠)

𝐴(𝑠)= 𝐾

𝑠 + 𝑧1 𝑠 + 𝑧2 …(𝑠 + 𝑧𝑚)

𝑠 + 𝑝1 𝑠 + 𝑝2 …(𝑠 + 𝑝𝑛), 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 < 𝑛

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Transformada Inversa de Laplace • Quando F(s) possui apenas pólos distintos,

temos 𝐵(𝑠)

𝐴(𝑠)=

𝑎1𝑠 + 𝑝1

+𝑎2

𝑠 + 𝑝2+⋯+

𝑎𝑛𝑠 + 𝑝𝑛

• Os coeficientes 𝑎𝑘são chamados de resíduo do pólo

𝑎𝑘 = (𝑠 + 𝑝𝑘)𝐵 𝑠

𝐴 𝑠𝑠=−𝑝𝑘

=𝑎1(𝑠 + 𝑝𝑘)

𝑠 + 𝑝1+𝑎2(𝑠 + 𝑝𝑘)

𝑠 + 𝑝2+⋯+

𝑎𝑛(𝑠 + 𝑝𝑘)

𝑠 + 𝑝𝑛 𝑠=−𝑝𝑘

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Transformada Inversa de Laplace • Como

𝑇𝐿−1𝑎𝑘

𝑠 + 𝑝𝑘= 𝑎𝑘𝑒

−𝑝𝑘𝑡

𝑓 𝑡 = 𝑇𝐿−1 𝐹(𝑠)

= 𝑎1𝑒−𝑝1𝑡 +𝑎2 𝑒

−𝑝2𝑡 +⋯+ 𝑎𝑛𝑒−𝑝𝑛𝑡

para 𝑡 ≥ 0.

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Transformada Inversa de Laplace • Quando inclui pólos múltiplos

• Utiliza-se as derivadas de F(s) para obter os resíduos.

• Exemplo:

𝐹 𝑠 =𝑠2 + 2𝑠 + 3

(𝑠 + 1)3

𝐹 𝑠 =𝐵(𝑠)

𝐴(𝑠)=

𝑏1𝑠 + 1

+𝑏2

(𝑠 + 1)2+

𝑏3(𝑠 + 1)3

(𝑠 + 1)3𝐵(𝑠)

𝐴(𝑠)= 𝑏1(𝑠 + 1)2+𝑏2(𝑠 + 1) + 𝑏3

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Transformada Inversa de Laplace • Quando inclui pólos múltiplos

(𝑠 + 1)3𝐵(𝑠)

𝐴(𝑠)𝑠=−1

= 𝑏3

𝑑

𝑑𝑠(𝑠 + 1)3

𝐵(𝑠)

𝐴(𝑠)𝑠=−1

= 𝑏2 + 2𝑏1(𝑠 + 1)

𝑑

𝑑𝑠(𝑠 + 1)3

𝐵(𝑠)

𝐴(𝑠)𝑠=−1

= 𝑏2

𝑑2

𝑑𝑠2(𝑠 + 1)3

𝐵(𝑠)

𝐴(𝑠)𝑠=−1

= 2𝑏1

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MATLAB

• Expansão em frações parciais no MATLAB:

𝐵(𝑠)

𝐴(𝑠)=𝑛𝑢𝑚

𝑑𝑒𝑛=𝑏0𝑠

𝑛 + 𝑏1𝑠𝑛−1 +⋯+ 𝑏𝑛

𝑠𝑛 + 𝑎1𝑠𝑛−1 +⋯+ 𝑎𝑛

𝐵(𝑠)

𝐴(𝑠)=

𝑟(1)

𝑠 − 𝑝(1)+

𝑟(2)

𝑠 − 𝑝(2)+ ⋯+

𝑟 𝑛

𝑠 − 𝑝 𝑛+ 𝑘(𝑠)

𝑟, 𝑝, 𝑘 = 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑒(𝑛𝑢𝑚, 𝑑𝑒𝑛)

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