Download - Fenomeni Di Trasporto - Parte 1
FENOMENI DI TRASPORTOFENOMENI DI TRASPORTOFENOMENI DI TRASPORTO
R. LapasinR. Lapasin
CorsoCorso di di laurealaurea in in ingegneriaingegneria industrialeindustriale
DipartimentoDipartimento di di IngegneriaIngegneria IndustrialeIndustriale e e delldell’’InformazioneInformazioneUniversitUniversitàà di Triestedi Trieste
ObiettiviObiettivi formativiformativi
Illustrare i fondamenti del trasportodi materia, energia e quantità di motoall'interno di una fase e tra due fasi,
fornire gli elementi necessariper l'analisi e la risoluzione di problemi semplici,riducibili a forma monodimensionale,
attraverso la definizione e derivazionedelle grandezze e delle relazioni utili,
e l'esercizio di calcolo di bilanci macroscopici
PROGRAMMAPROGRAMMA
TRASPORTO MOLECOLARENatura, meccanismi e forze motriciFlussi, equazioni costitutive, bilanciTrasporto di energia in stato stazionarioTrasporto di energia in stato non stazionarioFlussi diffusivi di materiaTrasporto di quantità di motoProprietà di trasporto per stati fisici e sistemi diversiProprietà non lineari: fluidi non-Newtoniani.Analisi dimensionale, bilanci in forma adimensionale
TRASPORTO CONVETTIVOTrasporto convettivo in flusso laminareFlussi interni ed esterni, strato limite. Moti potenzialiConvezione forzata e convezione naturaleTrasporto turbolento, approcci semi-empirici.Coefficienti di trasferimento e numeri caratteristici
CALCOLI MACROSCOPICITrasporto di quantità di moto ,di energia, di materiaCoefficienti di trasferimento
MODALITA’ D’ESAME
esame finale: prova scritta + una prova orale
Sono previste due prove scritte di accertamentoin corrispondenza alla metà del corsoe al termine dello stesso.
La prova scritta finale può essere omessain presenza di due prove effettuate con esito positivo
La prova orale può essere omessain presenza di due prove effettuate con esito positivo
MATERIALE DIDATTICO
W.J. ThomsonIntroduction to transport phenomenaPrentice Hall PTR, 2000(testo di riferimento)
R.B. Bird, W.E. Armstrong, E.N. LightfootTransport phenomenaJohn Wiley & Sons, 2nd ed. 2002(testo di approfondimento)
Dispense (copie della presentazione PPT)
FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO
approcci ingegneristici e discipline dell’ingegneria chimica:evoluzione storica e linee guida
approcci ingegneristici e discipline dell’ingegneria chimica:evoluzione storica e linee guida
criteri e principi unificanti per la razionalizzazione
su scala macroscopica:concetto di operazioni unitarie (1925)
su scala microscopica/molecolare: meccanismi e leggi dei fenomeni di trasporto (1960)
criteri e principi unificanti per la razionalizzazione
su scala macroscopica:concetto di operazioni unitarie (1925)
su scala microscopica/molecolare: meccanismi e leggi dei fenomeni di trasporto (1960)
rielaborazione e riordino delle conoscenze fisiche, chimiche, … in un quadro razionale funzionale
alla descrizione dei processialla progettazione/gestione dei processi
alla comprensione dei meccanismi basilari
rielaborazione e riordino delle conoscenze fisiche, chimiche, … in un quadro razionale funzionale
alla descrizione dei processialla progettazione/gestione dei processi
alla comprensione dei meccanismi basilari
esempio di differenti criteri di lettura/analisi di un processo:processo di produzione di p-xilene
scomposizione in differenti operazioni unitarie(reazioni, separazioni, …)
analisi degli aspetti fluidodinamici edei processi di trasferimento di calore e di materia
esempio di differenti criteri di lettura/analisi di un processo:processo di produzione di p-xilene
scomposizione in differenti operazioni unitarie(reazioni, separazioni, …)
analisi degli aspetti fluidodinamici edei processi di trasferimento di calore e di materia
FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO
p-xilene acido tereftalico HOOC-C6H4-COOHp-xilene acido tereftalico HOOC-C6H4-COOH
dimetil tereftalato CH3HOOC-C6H4-COOCH3dimetil tereftalato CH3HOOC-C6H4-COOCH3
fibre di poliestere (Dacron)fibre di poliestere (Dacron)
polietilen tereftalato (PET)polietilen tereftalato (PET)
FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO
xilene: isomerixilene: isomeri
orto-xileneorto-xilene meta-xilenemeta-xilene para-xilenepara-xilene
processo di ciclizzazioneprocesso di ciclizzazione
CH3CH2CH2CH2CH2CH3CH3CH2CH2CH2CH2CH3 + H2+ H2CH2CH2
H2CH2C CH2CH2CH2
CH2
H2CH2CH2CH2C
+ 3H2+ 3H2processo di aromatizzazioneprocesso di aromatizzazione
produzione di xilenidal processo di ‘reforming’ della frazione (250°-450°F)
della distillazione del greggio
produzione di xilenidal processo di ‘reforming’ della frazione (250°-450°F)
della distillazione del greggio
o-xilene m-xilene p-xileneo-xilene m-xilene p-xilene-25°C -48°C 13°C-25°C -48°C 13°C144°C 139°C 138°C144°C 139°C 138°C
TmTmTbTb
FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO
processo di produzione di paraxileneprocesso di produzione di paraxilene
Criteri di analisi
1) Il processo di produzione di paraxilene nel suo insieme
2) Le operazioni unitarie che lo compongono
3) I processi di trasporto (di materia, energia, e quantità di moto) su scala locale
Criteri di analisi
1) Il processo di produzione di paraxilene nel suo insieme
2) Le operazioni unitarie che lo compongono
3) I processi di trasporto (di materia, energia, e quantità di moto) su scala locale
FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO
FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO
trasferimento di quantità di moto, di calore e di materia(momentum, heat, mass transfer)
processi comuni in campo industriale, biologico/medico, ambientale/geologico
meccanismi simili su scala molecolare(analogie fisiche intrinseche)
forze motrici: differenze di concentrazione Δcigradienti di concentrazione ∇ci
effetti risultanti: flussi del componente i
processi risultanti da differenti valori di grandezze(velocità, temperatura, concentrazioni)
all’interno di una regione, tra due regioni o fasi contigue
esempimoto di fluidi in tubazioni o intorno ad oggetti
(moti interni, moti esterni)scambio di massa attraverso pareti cellulari e membranefenomeni meteorologici su scala regionale e planetaria
esempio: diffusione di massaall’interno di una regione gassosa (emissioni di inquinanti)permeazione di principi attivi in applicazioni transdermaliassorbimento di gas in fasi liquide o di idrogeno in metalli
<>
FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO
FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO
RBCRBC membranePlasma film around RBCPlasmaPlasma film adiacent to capillary wallEndoteliumTissue
RBCRBC membranePlasma film around RBCPlasmaPlasma film adiacent to capillary wallEndoteliumTissue
ABCDEFG
ABCDEFG
FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO
scelta dell’espressione delle forze motrici: Δci o ∇ci :scelta dell’approccio analitico
Δci →approccio ‘ingegneristico’ convenzionale(rate process approach)
coefficienti di trasferimento e correlazioni empiricheper il calcolo del trasferimento globale
leggi costitutive: equazioni differenziali simili(analogie formali sul piano matematico)
∇ci →approccio ‘fondamentale’ molecolare(transport approach)
proprietà di trasporto e leggi costitutive
possibilità di calcolo delle condizioni locali(profili di velocità, temperatura, concentrazione)
possibilità di analisi di processi simultanei di trasportopossibilità di impiego nell’analisi di nuove tecnologie
FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO
diffusione di H2 in un metallo:profili di concentrazione di H2 nel metallo a tempi differenti
Δc costante nel tempoflusso variabile nel tempo
k variabile nel tempo
flusso = k Δc
H2
co
cb
Δc = co-cb
metallo
∇c variabile nel tempo
flusso variabile nel tempoD costante nel tempo
flusso = -D ∇c
H2 metallo transport approach
rate process approach
scelta dell’espressione delle forze motrici: Δci o ∇ci :scelta dell’approccio analitico
MECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTOMECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTOMECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTO
trasporto convettivo - trasporto molecolaredipendente indipendente
dal moto di insieme del fluido
trasporto convettivo : trasporto simultaneo di massa,quantità di moto, energia
trasporto efficace, legato alla velocità del fluido, importante lontano dai contorni del sistema
trasporto convettivo:complessità dell’analisi legata alla complessità del moto
miscelazione di due fluididissoluzione di sali
raffreddamento di un corpo caldo
dipendente da: natura del moto (forze motrici, applicate o inerenti),
velocità (moti laminari, moti turbolenti)contorni semplici, regolari o irregolari
proprietà (struttura) del fluido
differente efficacia dei processi di trasportoin assenza o in presenza di un moto impresso
(interno o esterno)
MECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTOMECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTOMECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTO
esempio di trasporto molecolare in assenza di meccanismiconvettivi : trasporto di energia (calore) in solidi
fattore di proporzionalità: proprietà inerente del materialedi trasportare energia (calore)
su scala molecolare:
energiatempo ∝ ΔT, S,
1l
S
l
T1 (> T2) T2
q
conducibilità termica k
k = 380 W / m . K (rame) 0.04- 0.13 W / m . K (legno)
conducibilità termica k legata a meccanismi molecolari(moti traslazionale, vibrazionale, rotazionale)
alla struttura microscopica (cristallina/amorfa) in solidi
trasporto convettivo e trasporto molecolarepossono coesistere in fluidi
e avere direzioni uguali o differenti
differenti velocità di trasportotrasporto convettivo ⇔ trasporto molecolare
MECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTOMECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTOMECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTO
conducibilità termica k di materiali
conducibilità termica k di elementi
MECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTOMECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTOMECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTO
conducibilità termica k di materiali (W m-1 K-1)
conducibilità termica k di elementi
MECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTOMECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTOMECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTO
conducibilità termica k di elementi
FORZE MOTRICI DEI PROCESSI DI TRASPORTOFORZE MOTRICI DEI PROCESSI DI TRASPORTOFORZE MOTRICI DEI PROCESSI DI TRASPORTO
processo di trasporto molecolare tra punti / regioni diversedi uno stesso sistema / fase
oppure di sistemi / fasi diverse comunicanti tra loroattraverso una parete / interfaccia permeabile al processo
trasporto molecolare di energia (calore)prodotto da condizioni di non equilibrio termico
velocità di trasporto molecolare in direzione xda alta T a bassa T
velocità di trasporto dipendente dadifferenza di temperatura ΔT e distanza Δx
ΔT ≠ 0
dalla velocità di trasporto dipendono:
le dimensioni dell’apparecchiaturadestinata allo scambio termico (condizione di progetto)
la capacità di scambio termicodi un’apparecchiatura esistente (condizione di verifica)
T grandezza misurabile e controllabile
FORZE MOTRICI DEI PROCESSI DI TRASPORTOFORZE MOTRICI DEI PROCESSI DI TRASPORTOFORZE MOTRICI DEI PROCESSI DI TRASPORTO
trasporto molecolare di materiaprodotto da condizioni di non equilibrio chimico:
velocità di trasporto molecolare della specie i in direzione xda alto potenziale chimico μi a basso potenziale μi
velocità di trasporto dipendente dadifferenza di potenziale Δμi e distanza Δx
Δμi ≠ 0
μi grandezza di riferimento necessariain presenza di più cause fisiche del trasporto di materia
(effetti di concentrazione, temperatura, pressione)
in termini volumetricidensità di massa ρi o densità (concentrazione) molare ci
in termini relativifrazione di massa ωi o frazione molare xi
Vmi
i =ρVnc i
i =
∑ρρ
=ωi
ii
∑=
i
ii c
cx
μi grandezza non misurabile (direttamente)
sostituzione con concentrazioni
ijij nnP,T,innV,S,ii n
GnUμ
≠≠⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=
FORZE MOTRICI DEI PROCESSI DI TRASPORTOFORZE MOTRICI DEI PROCESSI DI TRASPORTOFORZE MOTRICI DEI PROCESSI DI TRASPORTO
due direzioni distintedella velocità (z) e del trasporto di quantità di moto (x)
trasporto molecolare di quantità di moto (mv, )da regione di alta velocità v a regione di bassa v
vm
grandezza vettoriale (non scalare)vm
z
xvalta v
bassa v
rappresentazione formale più complessa(ricorso a grandezze tensoriali)
per tener conto delle due direzioni
FLUSSIFLUSSIFLUSSI
flusso FΛ di una proprietà estensiva Λ:quantità di Λ che attraversa una sezione unitaria
nell’unità di tempo
trasporto molecolare → flusso diffusivotrasporto convettivo → flusso convettivo
AΛ.
dtdΛΛ =& portata di Λ attraverso
la sezione A normalealla direzione del trasporto
AF Λ
Λ
&=
VΛ
Λ =ρconcentrazione volumetrica di Λ:
AvV =&portata volumetrica:
vAVF ΛΛΛ ρ=ρ=&flusso convettivo di Λ
attraverso la sezione A
vF ΛΛ ρ=flusso convettivo di Λin un punto
flusso FΛ : grandezza vettoriale (FΛ o )FΛ
CONCENTRAZIONI VOLUMETRICHE E FLUSSICONCENTRAZIONI VOLUMETRICHE E FLUSSICONCENTRAZIONI VOLUMETRICHE E FLUSSI
energia cinetica
concentrazionevolumetrica
2
2
212
1
vV
mvρ=
flusso convettivoin direzione x
xvv •ρ 2
21
entalpia
)(ˆˆ0TTcH
VHm
p −ρ=ρ= xp vTTc •−ρ )( 0
massa (specie A)
AA c,ρ xAxA vcv ,ρ
xx v
Vmv
ρ=
quantità di moto (momento)
xx vv •ρ )(
yy v
Vmv
ρ= xy vv •ρ )(
zz v
Vmv
ρ= xz vv •ρ )(
flusso diffusivi equazioni costitutivedel trasporto molecolare
EQUAZIONI COSTITUTIVEEQUAZIONI COSTITUTIVEEQUAZIONI COSTITUTIVE
relazione valida per ogni Δx
Ax
Δx
T1 T2
flusso in direzione opposta al gradiente di temperatura
relazioni matematiche tra flussi diffusivi e forze motricisu scala molecolare (puntuale)
trasporto molecolare di energia (calore)osservazioni di Fourier
xTAkQ x Δ
Δ=&
x
Q&xTkq
ΔΔ
= flussodi calore
Δx → 0
dxdTkq =
flusso orientatoda alta T (T1) a bassa T (T2)
0<dxdT
TkqdxdTkqx ∇−=−=
legge di Fourier (estensibile in termini vettoriali)
conducibilità termica k:proprietà di trasporto del materiale
EQUAZIONI COSTITUTIVEEQUAZIONI COSTITUTIVEEQUAZIONI COSTITUTIVE
trasporto molecolare di materiaosservazioni di Fick
serbatoioad alta concentrazione di A
serbatoioa bassa concentrazione di A
diffusione
xxcJ A
xA ΔΔ
= AmD flusso diffusivo di A
Δx → 0
x
Ax
dxdxcJ A
xA AmD=
in direzione opposta al gradiente di concentrazioneflusso orientato da alta xA a bassa xA
0<dxdxA
legge di Fick (estendibile in termini vettoriali)
diffusività o coefficiente di diffusione DAm:proprietà di trasporto del materiale
proprietà di miscela (A m)
dxdc
dxdxcJ AA
xA AmAm DD −=−=a c costante
AA cxcJ ∇−=∇−= AmAm DD
EQUAZIONI COSTITUTIVEEQUAZIONI COSTITUTIVEEQUAZIONI COSTITUTIVE
trasporto molecolare di quantità di motoosservazioni di Newton
in direzione opposta al gradiente di velocità
z
xv
alta v
bassa v
trasporto di quantità di moto secondo zin direzione x
da strati ad alta vz a bassa vz
0>dxvd z
legge di Newton, valida per fluidi semplici (Newtoniani)(indipendente dalle condizioni di moto e dal tempo)
viscosità μ:proprietà di trasporto del materiale
dxvd z
xz μ−=τ
τxz flusso di quantità di moto (sforzo tangenziale)
primo indice: direzione del trasporto di quantità di motosecondo indice: direzione del moto
legge di Newton generalizzabile in forma tensoriale
v∇μ−=τ
ANALOGIEANALOGIEANALOGIE
equazioni costitutive (Fourier, Newton, Fick)
riscrittura delle leggi di Newton e di Fourier
ν viscosità cinematica, α diffusività termica
flussogradiente
proprietà di trasporto =
Ohmforza motriceresistenzaflusso =
: concentrazioni volumetrichezvρ Ac
: diffusivitàAmD,, αν
AmD diffusività (di materia)
significato analogo, stesse dimensioni ( L2/ t )confrontabili numericamente
numeri caratteristici: Prandtl, Schmidt
^
)v(ρdxdvv(ρ
dxd
ρμ
dxvdμτ zz
zxz −=−=−= )
)TT(c(ρdxdα)Tc(ρ
dxd
ρck
dxdTkq 0
ppp
x −−=−=−=
dxdcDJ A
AmxA −=
^^
^ Tcρ p
ESTENSIONI E GENERALIZZAZIONIESTENSIONI E GENERALIZZAZIONIESTENSIONI E GENERALIZZAZIONI
equazioni costitutive in coordinate sferiche e cilindriche
drvd z
rz μ−=τdrdTkqr −=
drdcJ A
Ar AmD−=
componente radiale in coordinate sferiche e cilindriche
z
x
y
z
r
θ
r
θ
Φ
equazioni costitutive in forma generalizzata(vettoriale e tensoriale)
v∇μ−=τAA cxcJ ∇−=∇−= AmAm DDTkq ∇−=
vettori (tre componenti)Jqtensore (nove componenti)τ
∇operatore
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ kz
jy
ix
: vettore (tre componenti)
∇operatore
gradiente digrandezza scalare vettore
gradiente digrandezza vettoriale tensore
divergenza digrandezza vettoriale scalare
T∇ Ac∇
v∇
(in coordinatecartesiane)
OPERATORE GRADIENTEOPERATORE GRADIENTEOPERATORE GRADIENTE
z
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ kz
jy
ix
coordinate cartesiane
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+ϑ∂∂
+∂∂
=∇ kz
jr
ir
1
coordinate cilindriche
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛φ∂
∂ϑ
+ϑ∂∂
+∂∂
=∇ ksinr
jr
ir
11
coordinate sferiche
z
x
y
z
r
θ
r
θ
Φ
STATI STAZIONARI E NONSTATI STAZIONARI E NONSTATI STAZIONARI E NON
stati stazionari(grandezze indipendenti dal tempo)
equazioni costitutive in differenti coordinate spaziali
v
z
x
( )xvz
( )xvz lineare in stato stazionario
F
per costante nel tempoF
AF
xz =τ costante nel tempo e nello strato piano(flusso di quantità di moto costante)
evoluzione della distribuzione di velocità nel tempoverso il profilo lineare (gradiente di velocità costante)
t1 t2> t1 t→∞
evoluzione analoghe in geometrie analogheper la distribuzione delle temperature e delle concentrazioni
F
LEGGI DI CONSERVAZIONE E BILANCI LEGGI DI CONSERVAZIONE E BILANCI LEGGI DI CONSERVAZIONE E BILANCI
applicazione dei principi di conservazionedi energia, di materia e di quantità di moto
bilanci di energia, di materia e di quantità di motoper volumi di controllo finiti
bilanci di energia, di materia e di quantità di motoin un punto (equazioni differenziali)
[ input ] - [ output ] + [ sources ] - [ sinks ] = [ accumulation ]equazione di conservazione
da applicare ad un volume di controllo
scelta agevole del volume di controlloin condizioni di trasporto monodimensionale
flussoz
x
y
LxLy
Δz rr+Δr
flusso
Δz
flusso D
Lz
flusso
Δr
LEGGI DI CONSERVAZIONE E BILANCI LEGGI DI CONSERVAZIONE E BILANCI LEGGI DI CONSERVAZIONE E BILANCI
i termini dell’equazione di bilancio vanno intesicome energia, materia e quantità di moto
entranti, uscenti, generati o consumati nell’unità di tempo
[ input ] e [ output ] risultano dal prodottodei flussi molecolari e convettivi
che attraversano le superfici del volume di controlloper le corrispondenti aree
[ input ] e [ output ] corrispondono, rispettivamente,ai flussi entranti e uscenti attraverso le superfici
seguendo la direzione positiva del sistema di coordinateindipendentemente dalla direzione del flusso reale
[ sources ] e [ sinks ] sono i termini legati a processidi generazione e di consumo
uniformi all’interno del volume di controllo
VHRA ΔΔ •
HΔ
AR velocità di reazione della specie A(moli di A reagenti per unità di volume e di tempo)
calore di reazione riferito alla specie Aenergia per moli di A reagenti
(endotermico: negativo, esotermico: positivo)
[ accumulation ] = 0 ⇔ stato stazionario
VRA Δ•
(termini di generazione positiva e negativa)reazione esotermica ed endotermica
RISOLUZIONE DEI PROBLEMI: ELEMENTI NECESSARI RISOLUZIONE DEI PROBLEMI: ELEMENTI NECESSARI RISOLUZIONE DEI PROBLEMI: ELEMENTI NECESSARI
elementi necessari per la risoluzione dei problemidi trasporto di energia, di materia e di quantità di moto
e procedura di risoluzione
equazioni di bilancio (equazioni differenziali)(principi di conservazione)
equazioni costitutive (equazioni differenziali)(comportamento dei materiali e
valori delle proprietà di trasporto)
condizioni al contorno e condizioni iniziali(particolarizzazione del problema)
(dalla soluzione generale a quella particolare)
combinazione dell’equazione di bilancioe dell’equazione costitutiva:
equazione per la risoluzione del problema(equazione differenziale)
soluzione generale attraverso integrazione/i
CONDIZIONI AL CONTORNO CONDIZIONI AL CONTORNO CONDIZIONI AL CONTORNO
esemplificazione per un problema di trasporto di energiain stato stazionario
problema del riscaldamento della guainacalcolo della distribuzione di T
filo elettrico con guaina esterna
LR
flusso2R2 2R1
r
z
TF
Condizioni del sistema (assunzioni, semplificazioni):
temperatura del filo costante in direzione ztemperatura alla parete interna della guaina (R1) eguale alla temperatura del filo TH
temperatura alla parete esterna (R2) eguale allatemperatura del fluido TF
0drdTr
drd
=)(
dal bilancio di energia in direzione radialeall’interno della guaina (e dall’equazionecostitutitva)
CONDIZIONI AL CONTORNO CONDIZIONI AL CONTORNO CONDIZIONI AL CONTORNO
0LrrqrLqrrrrr =Δ+π−π ••
Δ+)(22
r
z
r+Δrr
L
[ input ] - [ output ] = 0
0r
qrrrqrrrrr =
Δ
Δ+−Δ+
)(
0=rrqdrd
drdTkqr −=
0=)(drdTkr
drd
0drdTr
drd
=)(k costante
due integrazioni : due costanti (C1, C2) da determinareper ricavare la soluzione specifica
due condizioni al contorno del sistema (guaina)
1RrperTT H ==
2RrperTT F ==
21 CrlnCT +=
1
1
2 Rrln
RRln
TTTT FHH
−−= 21 RrRper ≤≤
CONDIZIONI AL CONTORNO CONDIZIONI AL CONTORNO CONDIZIONI AL CONTORNO
condizioni al contorno: due valori di temperatura
altre condizioni al contornonei problemi di trasporto di energia (calore)
riguardanti il flusso:
b) caso di perfetto isolamento
a) flusso costante al contorno
22
RrperqRr == costante
22
RrperqRr == 0
profilo di temperaturanella guaina
rRRnl
TTkdrdTkq FH 1
1
2
−=−=
cost
RRnl
TTkLqrL2Q FH =−
π=π=
1
22&
TF
TH
CONDIZIONI AL CONTORNO CONDIZIONI AL CONTORNO CONDIZIONI AL CONTORNO
condizioni al contorno tipiche dei problemi di trasportodi energia, di materia, di quantità di moto
quantità di moto
energia
materia
costdxdTkq
ii =−=
sulle variabili sui flussi
0qi =perfetto isolamento
(adiabaticità)
costdxdcDJ
i
AiA =−=
0J iA =impermeabilità
da velocità di reazionealla superficie
(catalisi eterogenea)
costdxvd
i
jij =μ−=τ
+− τ=τii xijxij
all’interfaccia tra due fluidi
0ij =τall’interfaccia gas/liquido
costT =superfici isoterme
costcA=equilibrio
all’interfaccia
costv j =velocità dei contorni mobili
(assenza di slittamento)
0v j =contorni fissi
(assenza di slittamento)
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO IN STATO STAZIONARIO
Trasporto assiale in un corpo cilindrico
TH
2R
r
z
TCLsuperficie isolata
superficie isolata 0qr =
022 =π−π ••Δ+
RqRqzzzzz
[ input ] - [ output ] = 0
0=Δ
−Δ+
zqq
zzzzz
flusso2R
z+Δzz
0=−dzdqz
21 Cz
kCT +−=
k costante
1z Ccostq ==
dzdTkqz −=
1CdzdTk =−
0zperTT H ==LzperTT C == L
zTTTT CHH )( −−=
LTTk
zTk
dzdTkq HC
z−
−=ΔΔ
=−=
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO IN STATO STAZIONARIO
Trasporto di calore attraverso una parete
xΔx
xxqxxxq
Δ+
flusso monodirezionale(parete molto estesa)
0=− ••Δ+ zyxxxzyxx LLqLLq
[ input ] - [ output ] = 0
0=Δ−
Δ+
xqq
xxxxx 0=−dxdqx
due strati(I : muro (L1), II: isolante (L2) )
1C=xq
analisi valida per 2111 ,0 LLxLLx +≤≤≤≤parete isolante
I1
Ix Cq = II
1II
x Cq =
condizione al contorno(interfaccia muro/isolante) )II
1I
11II
xI
x CC(Cqq ====
1Lx =
1
TF Ta
L1 L2
T0 T1 T2
flusso
y
zx
Ly
Lz
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO IN STATO STAZIONARIO
dalla legge di Fourier:
211 LLxL +≤≤parete isolante
dxdTkqC
dxdTkq
IIIIII
x1
III
x −===−=
I2I
1I CxkCT +−=
10 Lx ≤≤
II2II
1II CxkCT +−=
condizione al contorno(interfaccia muro/isolante)
1Lx =
condizione al contorno(interfaccia ambiente interno/muro)
0=x
condizione al contorno(interfaccia isolante/ambiente esterno)
21 LLx +=
FTT =I
iTTT == III
aTT =II
FI1I Tx
kCT +−=
2
3
4
2
1II1II
21I1
F LkCCL
kCT −=−3 )( III1F
II2 kk
LCTC 111 −+=
FI
2 TC =
4 x
II2
I1
aF q
kL
kL
TTC =+
−=1 flusso =
potenzialeresistenza
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO IN STATO STAZIONARIO
211 LLxL +≤≤parete isolante
10 Lx ≤≤
I
II2
I1
aFF
I
kx
kL
kL
TTTT+
−−= ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
++
−−= II
1I1
II2
I1
aFF
II
kLx
kL
kL
kL
TTTT
1
2II
IaF
Fi
LL
kk1
TTTT+
−−=
II2
I1
kL
kL , resistenze in serie
ruolo della conduttività e dello spessore dello strato isolante
x
II2
I1
aF q
kL
kL
TTC =+
−=1
resistenza maggiore
flusso minore
L2 maggiore kII minore
Ti maggiore
KII decrescenteIT
IIT
KII= KI
iT
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO IN STATO STAZIONARIO
02)(22 =ΔΔπ+ΔΔ+π−Δπ ••Δ+
• zrrSzrrqzrq errrrr
temperatura esterna costante
Δz
r
r
z
Ta
r+Δr
[ input ] - [ output ] + [ sources ] = 0
L/R >> 1
2R
generazione uniforme di calore(effetto Joule)
solo flusso radiale qr
flusso
0)(
=+Δ
Δ+−•
•Δ+
•rS
rrrqrq
errrrr
rSdrrqd
er =)(
12
21 CrSrq er +=
rCrSq er
1
21
+=
qr grandezza finita,ovvero per vincoli di simmetria 01 =C
00
==rrq
Distribuzione radiale della temperatura in un filo conduttore
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO IN STATO STAZIONARIO
drdTkrSq er −==
21
22e Cr
4kST +−=
condizione al contorno esterno: aTT =
K costante
12 kk >
1k
a parità di condizioni esterne (Ta), riscaldamento controllato dalla conducibilità del materiale
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+= 2
2e
a Rr1
4kRSTT )(
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO IN STATO STAZIONARIO
Alette di raffreddamento
dissipazione di calore da un corpo caldoproporzionale alla superficie e
alla differenza di temperatura tra superficie ed ambiente
incremento della superficie di scambiocon alette sottili metalliche (alette di raffreddamento)
necessità di avere la più alta differenza possibiledi temperatura tra superficie ed ambiente esterno
su tutta l’aletta
materiale di alta conducibilità termica:alette metalliche
alette sottili (sviluppo mono- o bidimensionale)
ragioni strutturaliconservazione di un profilo alto di T in senso assiale
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO IN STATO STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO IN STATO STAZIONARIO
Aletta di raffreddamento
(2R<<L)
[ input ] - [ output ] - [ sinks ] = 0
analisimonodimensionale
(T funzione di z)
dissipazione dovuta alla differenza di temperaturatra superficie T(z) e ambiente Ta
regolata dalla legge di raffreddamento di Newton
zRTThQ aS Δπ−= • 2)(&
)( ar TThThq −=Δ=
dissipazione relativa al tratto di lunghezza Δz:
h: coefficiente di trasmissione termicadipendente dai moti convettivi attorno alla superficie
riconducibile ad un termine di volume ( sink )
zRQqzRqQQ S
VVVS Δπ=Δπ== 2
2&
&&&&
2R
L
z
rΔz
Tw Ta
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO IN STATO STAZIONARIO
02)(22 =Δπ−−π−π ••Δ+
• zRTThRqRq azzzzz
0)(2 =−
−−R
TThdzdq az
dzdTkqz −= )( a2
2
TTkR2h
dzTd
−=
condizioni al contorno
0== zperTT w LzperdzdTqz ==→= 00
usando variabili adimensionali
)( 10 ≤Θ≤−−
=Θaw
a
TTTT
)10( ≤ζ≤=ζLz
Θ=ζΘ 22
2
Ndd
e ponendo
kRh
h2
=Γ
)(22
2
aTTkRh
dzTd
−=
soluzione generale :
)()( ζ+ζ=Θ NcoshCNsinhC 21
01 =ζ=Θ per 10 =ζ=ζΘ per
dd
LN hΓ=
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO IN STATO STAZIONARIO
ζ−ζ=−−
=Θ • NhsinNhtanNcoshTTTT
aw
a
NcoshNcosh )( ζ−
=Θ1
0
40
80
120
0 30 60 90z (cm)
T (°C)
alluminiok = 206 J m-1 s-1 K-1
2R = 2.54 cmh = 17 J m-2 s-1 K-1
0
40
80
120
0 30 60 90z (cm)
T (°C)alluminio
legno
importante ruolo di k
1=ζperNcosh1
=Θ
Tw= 120°CTa = 25°C
kRhLN 2
=
efficienzadell’aletta
calore dissipato con T(z) realecalore massimo teorico (per T = Tw)=
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO IN STATO STAZIONARIO
zRTThQ a Δπ−=Δ •• 2)(
calore dissipato dalla superficie dell’alettanel tratto di lunghezza Δz
RdzTThdQ a π−= •• 2)(Δz → 0
calore dissipato dall’intera superficie dell’aletta
∫∫ −π=π−= ••
L
a
L
a dzTTRhRdzTThQ00
)(22)(
h indipendente da z
calore dissipato eguale al calore cedutodalla parete calda all’aletta
0
20
2 )(=
•=
• −π=π=z
zz dzdTkRqRQ
calore massimo teorico
∫∫ −π=π−= ••
L
aw
L
aw dzTTRhRdzTThQ00
)(22)(
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO IN STATO STAZIONARIO
∫∫
∫
∫
∫
∫
∫ζΘ=
ζ
ζΘ=
−−
=−π
−π=η
1
01
0
1
0
0
0
0
0 )()(
)(2
)(2d
d
d
dz
dzTTTT
dzTTRh
dzTTRh
L
L
aw
a
L
aw
L
a
NNtanhd
1
0
=ζΘ=η ∫
efficienzadell’aletta
calore dissipato con T(z) realecalore massimo teorico (per T = Tw)
=
ζ
Θ
0 1
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 2 4 6 8 10N
η
kRhLLN h
2=Γ=
alta efficienza k grande(L piccolo, h piccolo, R grande)
0.1
1
0.1 1 10N
η
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO NON STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO NON STAZIONARIO IN STATO NON STAZIONARIO
problemi in stato non stazionario
Esempio:processo di riscaldamento di una sfera metallica
equazioni differenziali a derivate parziali
riducibili a equazioni differenziali ordinariecon semplificazioni
termocoppia
elemento riscaldante
sfera metallica(temperatura iniziale T0 )
immersa in un bagnocon temperatura TH
TH costante nel tempoTH > T0
scambio di calore tra fluido e superficie della sferavariabile nel tempo e governato dalla legge di Newton
)(4 2RH TThR −= πQ&
distribuzione di temperatura all’interno della sfera T(r) ?
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO NON STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO NON STAZIONARIO IN STATO NON STAZIONARIO
e
rr+Δr
flusso
[ input ] - [ output ] = [ accumulation ]
=δΔ+π−δπΔ+
tqrrtqrrrrrr
22 44 )(
[ input ] - [ output ] =
tqrqrrrrrr δπ−π
Δ+))()(( 22 44
[ accumulation ] → aumento di energia interna Unel tempo
0, →Δδ rt
( ) ( )0P
0V TTcTTcU −≅−=
riducibile ad una sola variabile dipendente (temperatura) tramite
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
=∂∂
rTr
rr1
ρck
tT 2
2P
rTkqr ∂
∂−=
condizioni al contorno
00 == tperTT
condizione iniziale
00 ==∂∂ rper
rT
RrperTThrTk HR
=−=∂∂
− )(
^
( ) ( )( ) ( ) rrUUtqrqrtttrrrrr Δπ−ρ=δ−π
δ+Δ+222 44 ^^
tUqr
rr r ∂∂
ρ=∂∂
− )( 22
1 ^
^ ^ ^
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO NON STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO NON STAZIONARIO IN STATO NON STAZIONARIO
soluzione esatta per via numerica: T(r,t)
t
r/R
T
r/R
T
r/R
T
soluzione approssimata in forma chiusaper la cinetica di riscaldamento T(t)
ipotesi semplificativa: T uniforme all’interno della sfera
calore scambiato = termine di generazione = accumulo
[ sources ] = [ accumulation ]
( ) ( ) 32
344 RUUtTThR
tttH π−ρ=δ−πδ+
( ) TcUU ptttδ=−
δ+
( )TTRh
dtdTc Hp −=ρ
3
^ ^
^ ^ ^
^
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO NON STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO NON STAZIONARIO IN STATO NON STAZIONARIO
( ) 11p
H CtCtRc
hTTln +Φ=+ρ
=−−3
Rch
pρ=Φ
3
0tperTT == 0 ( )0TTlnC H1 −−=
( )( ) t
TTTTln
H
H Φ−=−−
0
( ) ( )tpexTTTT HH Φ−−−= 0 t
T
verifica sperimentale
sfera di alluminio(R = 2.5 cm)
(T0 = 0°C, TH = 57°C)
)(. 112 KscmJ0790h −−−=
0.1
1
0 10 20 30 40 50t (s)
(TH-T
)/(T H
-To)
0
20
40
60
0 10 20 30 40 50t (s)
T
0390Rc
h3
p
.=ρ
=Φ
ρ = 2.65 g cm-3
cP= 0.92 J g-1K-1
^
^
^
^
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)
aletta di raffreddamento)( aTT
kRh
dzTd
−=2
2
2
NcoshNoshc )( ζ−
=Θ1
h: coefficiente di trasmissione termicadipendente dai moti convettivi attorno alla superficie
h costante
in assenza di moti prodotti da forze esterne(convezione forzata)
h dipende dall’intensità dei moti convettivi naturali,prodotti dal gradiente di densità locale
h dipende da ΔT1/4
h dipende da z: h maggiore per z minore
( ) 45a2
2
TTRk
2CzdTd /−=
( ) 41aTTCh /−=
migliore accordocon i dati sperimentali
0
40
80
120
0 30 60 90z (cm)
T (°C)
ANALOGIE E SIMILITUDINIANALOGIE E SIMILITUDINIANALOGIE E SIMILITUDINI
kcPr Pμ
=αν
= diffusività di quantità di motodiffusività termica
analogie e similitudini tra problemi di trasportoriconoscibili attraverso l’analisi adimensionale
(equazioni in forma adimensionale, gruppi adimensionali)
dxdcJ A
xA AmD−=
confronto tra proprietà,riconoscimento dei fattori fisici determinanti
soluzione di problemi per analogia, semplificazione di problemi
(trasformazione di equazioni differenziali a derivate parzialiin equazioni differenziali ordinarie)
)( Tcdxdq Px ρα−= ( )xyx v
dxdτ ρν−=
)(,, 12 −να tlàdiffusivitAmD
AmPAm Dck
DLe
ρ=
α= diffusività termica
diffusività di massa
AmAm DDSc
ρμ
=ν
= diffusività di quantità di motodiffusività di massa
numeri di Prandtl, Schmidt, Lewis
Pr e Sc presenti nelle analisi di problemi riguardantimoti convettivi combinati con conduzione di calore o
con diffusione di massa
diffusività e gruppi adimensionali
^
^
^
ANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALIANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALIANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALI
riscaldamento di una sfera metallica : T( r , t )
)(rTr
rrtT
∂∂
∂∂
α=∂∂ 2
2
1
condizioni al contorno
0tperTT 0 ==
condizione iniziale
0rper0rT
==∂∂
( ) RrperTThrTk
RHR
=−=∂∂
rr+Δr
flusso
RHR r
ThkTT
∂∂
−=−
HRTT →
∞→h
moti convettivielevati
0qRr →0h →
moti convettivimolto limitati
0rT
R
→∂∂
H
H
TTTT
−−
=Θ0 R
r=η
cttt =∗
)( 2* η
ηηη
1Rtα
t 22c
∂Θ∂
∂∂
=∂Θ∂
∗
∗
∗ ∂Θ∂−
=∂∂
∂Θ∂
Θ∂∂
=∂∂
ttTT
tt
tT
tT
c
H0
trasformazionedelle derivate
η∂Θ∂−
=∂η∂
η∂Θ∂
Θ∂∂
=∂∂
RTT
rT
rT H0
Pρck
=α ^
ANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALIANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALIANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALI
)η
(ηηη
1t
22 ∂
Θ∂∂∂
=∂Θ∂
*α
=2Rtc
condizioni al contorno
01 ==Θ ∗tper00 =η=η∂Θ∂ per
11=ηΘ−=
η∂Θ∂ per
m hRkm =
soluzione:
),,( mtf ∗η=Θ
m/1modulo di Biot
rappresentazionegrafica
carte di Gurney-Lurie
condizione iniziale
m
η
Θ
∗t
Fot ⇔*numero di Fourier
ANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALIANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALIANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALI
Θ H
H
TTTT
−−
=Θ0
Rr
=η
hRkm =
2Rtt α
=∗
ANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALIANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALIANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALI
carta di Gurney-Lurie per geometria cilindrica
ANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALIANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALIANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALI
carta di Gurney-Lurie per geometria rettangolare
SEMPLIFICAZIONE DI PROBLEMISEMPLIFICAZIONE DI PROBLEMISEMPLIFICAZIONE DI PROBLEMI
semplificazione di problemi di stato transitorionella fase iniziale:
trasformazione di equazioni differenziali a derivate parzialiin equazioni differenziali ordinarie
riscaldamento di un mezzo solidomesso a contatto con una parete calda
z
Ts
2
2
zT
tT
∂∂
α=∂∂
condizioni al contorno
0tperTT == 0
condizione iniziale
0t0zperTT s >== ,0tzperTT 0 >∞== ,
tz
=ζcondizioni iniziali e al contorno
00 =η=ζ= ,perTT s
∞=η∞=ζ= ,perTT 0
tzα
=η4
0
0
TTTT
s −−
=Θ
tzerfde
tz
α−=η
π−=Θ ∫
αη−
4121
4
0
2/
022
2
=ηΘ
η+ηΘ
dd
dd
la variazione di temperatura con z si riduceall’ 1% del totale per η ≅ 2
tz α≅ 4
SEMPLIFICAZIONE DI PROBLEMISEMPLIFICAZIONE DI PROBLEMISEMPLIFICAZIONE DI PROBLEMI
)()(td
dTTtd
dddT
tT
sη
−ηΘ
−=∂η∂
ηΘ
Θ=
∂∂
21
0
zddTT
zdd
ddT
zT
sη
ηΘ
−=∂η∂
ηΘ
Θ=
∂∂ )( 0
2
2
20
2
02
2
ηΘ−η
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ηηΘ
−∂∂
=∂∂
dd
zTT
zddTT
zzT s
s)()(
2
2
20
2
021
ηΘ−η
α=ηΘ
−η
−dd
zTT
ddTT
ts
s)()(
022
2
=ηΘ
η+ηΘ
dd
dd
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.5 1 1.5 2η
Θ
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.5 1 1.5 2η
Θ
semplificazione(strato limite)
stratolimite
01.0=Θ
tzα
=η4 0
0
TTTT
s −−
=Θ
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIATRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIATRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA
oggetto dell’analisi: miscele di due o più componenti
maggiore complessità dell’analisi del processo di trasportorispetto agli altri processi molecolari:
proprietà di miscela (non di una singola specie)
maggiore difficoltà di previsione delle proprietà
diffusione di materia: processo di trasporto molecolare
legato al moto molecolare di una specie A edallo stato di non equilibrio del sistema,
prodotto da un gradiente di potenziale chimico(differenze di concentrazione di A nel sistema)
risultante in un moto (flusso) netto della specie Aorientato e differente da quello delle altre specie,
distinto per causa e direzionedall’eventuale moto convettivo dell’intero sistema
necessità di definire in maniera appropriatale grandezze (flussi e gradienti) utili per l’analisi
trasporto molecolare di materia
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:FLUSSI DIFFUSIVI
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:FLUSSI DIFFUSIVIFLUSSI DIFFUSIVI
moto molecolare (Browniano)in stato di equilibrio
moto molecolare diffusionalein stato di non equilibrio
direzione del gradientedi potenziale
moto molecolare diffusionale di A +moto convettivo d’insieme nella stessa direzione
moto molecolare diffusionale di A +moto convettivo d’insieme in direzione opposta
trasporto molecolare di A legato alla velocità relativa(velocità di A relativa alla velocità del sistema)
scelta duplice per la concentrazione:ρi (massiva), ci (molare)
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:FLUSSI DIFFUSIVI
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:FLUSSI DIFFUSIVIFLUSSI DIFFUSIVI
flusso massivodella specie i
iiin vρ=
∑∑
ρρ
=i
ii vv
velocità media ponderale
flusso molaredella specie i
iii cN v=
∑∑=
i
ii
cc v
v*
velocità media molare
flusso diffusionalemolare della specie i )vv( ** −= iii cJ
)vv( −= iii cJ
v v *≅per
relazione tra i flussi molari
∑∑∑
−=−=−=j
jji
ii
jj
jjj
iiiiii cccc
c
ccccJ vv
vv)vv(
∑∑ −=−=j
jiij
jjiiii NxNcxcJ vv
0∑ ∑∑∑ ∑∑∑ =−=−= •
i jji
ii
i jji
ii
ii NxNNxNJ
0=∑i
iJ BA JJ −= sistemabinario
*ii JJ ≅
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:FLUSSI DIFFUSIVI – LEGGE DI FICK
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:FLUSSI DIFFUSIVI FLUSSI DIFFUSIVI –– LEGGE DI FICKLEGGE DI FICK
flusso diffusionale molare della specie Aregolato dalla legge di Fick
AABBAAAA xDcNNxNJ ∇−=+−= )( sistemabinario
BAAB DD =DAB diffusività: proprietà di miscela
0=∇−∇−=+ BBAAABBA xDcxDcJJ
0=∇+∇ BBAAAB xDxD0=∇+∇ BA xx BAAB DD =
)( BAAAABA NNxxDcN ++∇−=
flussodiffusionale
flussoconvettivo
vcJvcxJvcxJvcxJN iiiij
jiij
jjiii +=+=+=+= ∑∑ •
flusso complessivo risultante dalla sommadei flussi molecolare e convettivo
AABA cDJcostantecper ∇−=
[ L2 t-1 ]
sistemabinario
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:DIFFUSIONE ATTRAVERSO UNO STRATOTRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:DIFFUSIONE ATTRAVERSO UNO STRATODIFFUSIONE ATTRAVERSO UNO STRATO
esempio di diffusione di materia: strato attraversato da una o più specie
(membrana solida, film gassoso…)
flusso di una singola specie (A) in direzione z(membrana semipermeabile I-I)
dal bilancio relativo a Δz
Lx, Ly estesi rispetto a δ
analisi in forma monodimensionale
x
y
z
Ly
Lx
δ
flusso
δ
liquido
concentrazioni di A nello strato(lato liquido, lato gas) costanti nel tempo:
analisi in stato stazionario
z = 0 xA0, xB0z = δ xAδ, xBδ
membrana semipermeabile NBz = 0xAδ > xA0 flusso NAz da lato gas a lato liquido
)( BzAzAAzAz NNxJN ++=)( BzAzBBzBz NNxJN ++=
AAzAz x
JN−
=1
1
0=−Δ+
••zzAzyxzAzyx NLLNLL
flussodi A
zgas
Δz
I
I
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:DIFFUSIONE ATTRAVERSO UNO STRATOTRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:DIFFUSIONE ATTRAVERSO UNO STRATODIFFUSIONE ATTRAVERSO UNO STRATO
z = 0 x = xA0
z = δ x = xAδ
A
AAB
AAzAz xdz
dxcDx
JN−
−=−
=1
11
1
0=Δ
−Δ+
zNN
zzAzzAz
0→Δz0=
dzdN Az
1Acost ==AzN
dzcDx
dx
ABA
A 1A1 1=
−−
21 A1A)1(ln +=− zcD
xAB
A
)1(lnA 02 Ax−=
))1(ln)1((ln1A 01 AAAB xxcD −−−δ
= δ
δδ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=−−
z
A
A
A
A
xx
xx
00 11
11
distribuzionedella concentrazione di A
nello stratoper differenti xAδ
Ax
δz
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:DIFFUSIONE ATTRAVERSO UNO STRATOTRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:DIFFUSIONE ATTRAVERSO UNO STRATODIFFUSIONE ATTRAVERSO UNO STRATO
‘stagnant film diffusion’
00
0 11
== −−== z
A
AABzAzAz dz
dxx
cDNN
011ln
A
AABAz x
xcDN−−
δ= δ
NBz = 0
‘equimolar counterdiffusion’NBz = - NAz
1A)( =−=++−=dz
dxcDNNxdz
dxcDN AABBzAzA
AABAz
21 A1A +−= zcD
xAB
A
z = 0 x = xA0 = A2
z = δ x = xAδ 2AB
1 AcD
A+δ−=
00 )( AAAA xzxxx +δ
−= δ
δ−
−=−== δ
==
0
00
AAAB
z
AABzAzAz
xxcDdz
dxcDNN
Ax
δz
catalisi eterogenea(reazione alla superficie di un catalizzatore)
particelle catalitiche(alta superficie specifica = alta porosità)
efficacia della reazione legata alla diffusionedei reagenti all’interno dei pori
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICA
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIATRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICA
zeolite
zeolite sintetica (nanosheets)
bisolfuro di molibdeno sintetico
foam catalyst
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICA
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIATRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICA
catalisi eterogenea(reazione alla superficie di un catalizzatore)
particelle catalitiche(alta superficie specifica = alta porosità)
efficacia della reazione legata alla diffusionedei reagenti all’interno dei pori
idealizzazione del sistema e semplificazione del problemadiffusione in un poro cilindrico
z D
A→B
L
A→B reazione irreversibile di primo ordine
ArsA ckR =)(ScR AA ,∝D << L → riduzione a problema monodimensionale
LDckR ArA π= )(),( rcczcc AAAA ≠=
termine di consumo di A (superficiale) ridotto a termine di consumo riferito al volume
Dck
LDLDckR ArAr
VA4
4
)( 2 =π
π=
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICA
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIATRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICA
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICA
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIATRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICA
analogia con il problema del trasporto di calore (assiale)in un corpo cilindrico
0→Δz
D << L → riduzione a problema monodimensionale
044)( 2
2
=−=−−−Dck
dzcdD
Dck
dzdcD
dzd ArA
ABArA
AB
04
)(44
222
=Δπ
−π
−π
Δ+zDRDNDN VAzzAzzAz
input - output - sink
0)( =−− VAAz RNdzd
dalla stechiometria di reazione: BzAz NN −=
‘equimolar counterdiffusion’
dzdcDNNx
dzdxcDN A
ABBzAzAA
ABAz −=++−= )(
DAB costante
042
2
=−Dck
dzcdD ArA
eff
DAB diffusività molecolare ⇔ urti molecola-molecola
diametro D >> cammino libero medio molecolare λdensità medio-alta del fluido
bassa densità del fluido ⇒ D comparabile con λ
urti molecola-parete ⇔ diffusività di Knudsendipendente dalla geometria
Deff diffusività effettiva, legata alla geometria reale(lunghezza e tortuosità dei percorsi diffusivi reali)
e alle condizioni di densità (bassa o alta)
z = 0 cA = cA0
z = L 0=dz
dcA
z = L ⇔ r = 0
0=ArN
condizioni al contorno ed equazione differenzialeanaloghe al caso del raffreddamento di un aletta
soluzione analoga
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICA
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIATRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICA
)(42
2
aTTkD
hdz
Td−=
kRh
h2
=Γ LN hh Γ=
Θ=ζΘ 22
2
hNdd
aw
a
TTTT
−−
=ΘLz
=ζ
h
h
NN
cosh)1(cosh ζ−
=Θ
Aeff
rA cDD
kdz
cd 42
2
=
0A
A
cc
Lz
=ζ
0
2
02
2
A
Ac
A
A
ccN
cc
dd
=ζ
Reff
rc D
k2=Γ LN cc Γ=
profili assiali analoghi di temperatura e concentrazioneespressioni analoghe dell’efficienza
c
c
A
A
NN
cc
cosh)1(cosh
0
ζ−=
efficienza reagente convertito con cA(z) realemassima conversione (per cA = cA0 )
=
c
c
A
A
NNd
cc tanh1
0 0
=ζ=η ∫
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICA
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIATRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICA
0.1
1
0.1 1 10N
ηfattore di Thiele
LD
kNeff
rc R
2=
Nc
diffusion-controlled
reaction-controlled
kr basso:kr parametro limitante
Deff basso:Deff parametro limitante
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICA
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIATRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICA
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIAATTRAVERSO UNA MEMBRANA
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIATRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIAATTRAVERSO UNA MEMBRANAATTRAVERSO UNA MEMBRANA
separazione a membrana:separazione di miscele gassose
basata sulla differente diffusività dei componentiattraverso una membrana (polimerica o ceramica)
H2/CO
H2/ N22R1 2R2
0)(22 =Δ+π−πΔ+
LrrNrLNrrArrAr
analisi della diffusione di H2attraverso la membranaper concentrazioni costantidi A, B, C nelle due fasi(stato stazionario)
H2N2CO
ABC
r+Δrr
zr
L
cAs cCs
cA0 cB0
NAr
0)( =− rNdrd
Ar
1cost ArNAr ==
l’equazione costitutiva può essere semplificata(piccolo valore di xA)
ArCrBrArAArAr JNNNxJN ≅+++= )(
drdcD
drdxcDJN A
AA
AArAr −=−=≅
DA diffusività di Aattraverso la membrana
c costante
rDA
drdc
A
A 11−=
21 ln Ar
DAc
AA +−=
condizioni al contorno
10 Rrcc AA =⇔=
2Rrcc AsA =⇔= 21, AA
1
2
0
2 ln2
RRcc
RDN AsAA
RAr−
=
1
2
0
lnRRcc
rDN AsAA
Ar−
=
flusso uscente dalla membrana
1
2
1
0
0
RRRr
cccc
AsA
AA =−−
ln
ln
cAs
cA0
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIAATTRAVERSO UNA MEMBRANA
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIATRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIAATTRAVERSO UNA MEMBRANAATTRAVERSO UNA MEMBRANA
21 Arln
DAc
AA +−=
10 Rrpercc AA ==
1
2
0
22
RRln
ccRDN AsAA
RAr−
=
1
2
1
0
0
RRln
Rrln
cccc
AsA
AA =−−
ln
ln
cAs
cA0
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIAATTRAVERSO UNA MEMBRANA
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIATRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIAATTRAVERSO UNA MEMBRANAATTRAVERSO UNA MEMBRANA
21 CrlnCT +=
1RrperTT H ==
2RrperTT F ==
1
1
2 Rrln
RRln
TTTT FHH
−−=
TH
1
22
RRnl
TTRkq FH
R2
−=
2Rrpercc sAA ==
1
2
0
ln2
RRccLDW AsA
AA−
= π
RcDAW A
AmA ΔΔ
=
22
0
1
2
0
ln2
RRccD
RRccLD
AAsA
A
AsAA
m
−−
−
=
π
mlm A
AA
AA
RR
RRLA =−
=−
=
1
2
12
1
2
12
lnln
)(2π
area media logaritmica
RcDAW A
AmlA ΔΔ
=
1
2
02
ln22
2
RRccDRN
LW AsA
AR
ArA −
== ππportata molare
uscente(per unità di lunghezza)
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIAATTRAVERSO UNA MEMBRANA
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIATRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIAATTRAVERSO UNA MEMBRANAATTRAVERSO UNA MEMBRANA
TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’ DI MOTOTRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITATRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’’ DI MOTODI MOTO
trasporto molecolare di quantità di motoda regione di alta velocità v a regione di bassa v
in direzione diversa da quella del moto
x
yv
alta v
bassa v
trasporto convettivo di quantità di motonella direzione del moto
in direzione opposta al gradiente di velocità
trasporto di quantità di moto secondo x in direzione yda strati ad alta vx a bassa vx
condizione di moto laminare: moto ordinatofluido idealmente suddiviso in strati
strati paralleli tra loro (regione piana di flusso)strati concentrici tra loro (moto in tubazioni, moto rotazionale in geometrie cilindriche), …
τyx flusso di quantità di moto (sforzo tangenziale)primo indice: direzione del trasporto di quantità di moto
secondo indice: direzione del moto
TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’ DI MOTOFLUSSO TRA PIANI PARALLELI (COUETTE)
TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITATRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’’ DI MOTODI MOTOFLUSSO TRA PIANI PARALLELI (COUETTE)FLUSSO TRA PIANI PARALLELI (COUETTE)
v
x
y
( )yvx
( )yvx lineare in stato stazionario
F
costante nel tempoF
AF
yx =τsforzo tangenziale
costante nel tempo e nello strato piano(flusso di quantità di moto costante)
v
x
yA
b
Δy ΔyLx
Lz
yyxτ
yy Δ+τyx
0=τ−τΔ+ zxyyzxy
LLLL yxyx
0=τ− yxdyd cost=τyx
0)v( =μdyd
dyd x
fluido Newtonianodyd xv
μ−=τyx
21v CyCx +=
condizioni al contorno
00v =⇔= yx
0)v( =μdyd
dyd x
cost=μcost)( =T
byx =⇔= vv by
x vv =
costvv==
bdyd x
flusso prodotto da contorno mobile eda gradiente di pressione (forze di superficie)
ΔyLx
Lz
yyxτ
yy Δ+τyx
xP
Lxx+P
Lxxx +≠ PP
0PP =Δ−Δ+τ−τ+Δ+
yLyLLLLL zxLxzxzxyyzxy yxyx
0PPP=
Δ−
τ−=
−−
τ− +
xx
xxLx
Ldyd
Ldyd yxyx
x
x
Ldyd
dyd P)v( Δ
=μ
gradiente di pressione ≈ source / sink
x
x
Ldyd
dyd
μP)v( Δ
=
TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’ DI MOTOFLUSSO TRA PIANI PARALLELI (COUETTE)
TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITATRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’’ DI MOTODI MOTOFLUSSO TRA PIANI PARALLELI (COUETTE)FLUSSO TRA PIANI PARALLELI (COUETTE)
condizioni al contorno
00v =⇔= yx
byx =⇔= vv
1Pv CyLdy
d
x
x +μΔ
=
21
2
2Pv CyCyLx
x ++μΔ
=
21 CC
by
by
byb
Lxx v
2Pv
22
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
μΔ
=
velocità media2v
12Pv
2
+μ
Δ−=
xx L
b
portata volumetrica bLLbLbL z
x
zzx 2
v12Pv
3
+μ
Δ−=
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1v(y) / v
y/b
ΔP<0
ΔP<0
TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’ DI MOTOFLUSSO TRA PIANI PARALLELI (COUETTE)
TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITATRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’’ DI MOTODI MOTOFLUSSO TRA PIANI PARALLELI (COUETTE)FLUSSO TRA PIANI PARALLELI (COUETTE)
TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’ DI MOTOFLUSSO SU SUPERFICI
TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITATRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’’ DI MOTODI MOTOFLUSSO SU SUPERFICIFLUSSO SU SUPERFICI
forza peso = source
flusso prodotto dal campo gravitazionale(forze di volume)
esempio: flusso di condensato su superficie cilindricain condensatore (lato mantello)
rz
r+Δrr
L
δf
R
rrzτrr Δ+
τrz
02)(22 =Δπρ+Δ+πτ−πτ ••Δ+
• rLrgLrrrL zrrr rzrz
0)(1=ρ+τ− zgr
drd
r rz
rCrgz 1
2+
ρ=τrz
condizioneall’interfaccia film/gas fRrper δ+==τ 0rz
21 )(
2 fz RgC δ+
ρ−=
))(
(2
v 2
rR
rgdr
d fzz δ+−
ρ=μ−=τrz
2
22 ln
2)(
4v Cr
Rgrg fzz
z +μ
δ+ρ+
μρ
−=
condizioneall’interfaccia film/parete Rrper == 0vz
RrRg
RrRg fzz
z ln2
)()(1
4v
22
2
μ
δ+ρ+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
μρ
=
0
1
2
3
4
5
6
1 1.0025 1.005 1.0075 1.01
r/R
v
fR δ+R
TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’ DI MOTOFLUSSO SU SUPERFICI
TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITATRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’’ DI MOTODI MOTOFLUSSO SU SUPERFICIFLUSSO SU SUPERFICI
TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’ DI MOTOFLUSSO IN TUBI
TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITATRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’’ DI MOTODI MOTOFLUSSO IN TUBIFLUSSO IN TUBI
z
r
Δz
rrzτ
rr Δ+τrz
zzP
Δ+
zP
ϑ
flusso prodottodal campo gravitazionalee da forze di pressione
flussolaminaresviluppato, stazionarioe isotermo
02sin22
)(22
=ΔΔπϑρ+Δπ−Δπ
+ΔΔ+πτ−Δπτ
••Δ+
•
•Δ+
•
zrrgrrPrrP
zrrzr
zzz
rrrzrrz
+ΔΔπϑρ+Δπ−Δπ
+ΔΔ+πτ−Δπτ
••Δ+
•
•Δ+
•
zrrsingrrPrrP
zrrzr
zzz
rrrzrrz
222
22 )(
( )( ) ( )( ) 0=ρΔπ−ρΔπ== Lzzz0zzz vvrr2vvrr2
fluido incomprimibile
TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’ DI MOTOFLUSSO IN TUBI
TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITATRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’’ DI MOTODI MOTOFLUSSO IN TUBIFLUSSO IN TUBI
z
r
Δz
rrzτ
rr Δ+τrz
zzP
Δ+
zP
ϑ
flusso prodottodal campo gravitazionalee da forze di pressione
flussolaminaresviluppato, stazionarioe isotermo
02sin22
)(22
=ΔΔπϑρ+Δπ−Δπ
+ΔΔ+πτ−Δπτ
••Δ+
•
•Δ+
•
zrrgrrPrrP
zrrzr
zzz
rrrzrrz
0sin)()(
=ϑρ+Δ
−+
Δτ−τ
Δ+Δ+ grzPP
rrrr
zzzrrrzrrz
zgP ϑρ+−=℘ sin
zgPPzzzzzz
Δϑρ++=−=ΔΔ+Δ+
℘℘℘ sin-
0)()(
=ΔΔ
+Δ
τ−τ ℘Δ+
zr
rrr
rrrzrrz
pressione modificata: somma degli effettidella pressione e del campo gravitazionale
0)(=+
τ−
℘dzdr
drrd rz
condizione sull’asse:
Ldzd
drrd
rrz ℘℘ Δ
−=−=τ
−)(1
rCr
Lrz1
2+
Δ=τ
℘
finitor rz =τ= 0 01 =C
drdvr
Lz
rz μ−=Δ
=τ℘
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
μΔ
=℘ 2
2
)R
(14
R rL
vz
LRdrr2vRvQ
4R
z2
z μΔπ
=π=π⟩⟨=℘
∫ •80
28R max,
2z
zv
Lv =
μΔ
=⟩⟨℘
equazione di Hagen - Poiseuille
r/R
vz/vz max
TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’ DI MOTOFLUSSO IN TUBI
TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITATRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’’ DI MOTODI MOTOFLUSSO IN TUBIFLUSSO IN TUBI
distribuzione radiale dello sforzo tangenziale
TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’ DI MOTOFLUSSO IN TUBI
TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITATRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’’ DI MOTODI MOTOFLUSSO IN TUBIFLUSSO IN TUBI
vz
drdvz
rzτ
( )12 μ<μ1μ
distribuzione radiale del gradiente di velocità
12
1 2
distribuzione radialedella velocità
fluidi newtoniani fluidi non newtoniani
vz
drdvz
distribuzione radiale del gradiente di velocità
1 2
1 2
distribuzione radialedella velocità
: pseudoplastico : dilatante
TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’ DI MOTOFLUSSO IN TUBI
TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITATRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’’ DI MOTODI MOTOFLUSSO IN TUBIFLUSSO IN TUBI
gradiente di velocità: profilo lineare e non
fluidi newtoniani e non:
rzτ
rzτdrdvz
vzvelocità: profilo parabolico e non
andamento lineare e nondella portata in funzione
della perdita di carico
Q
ΔP
rzτ
drdvz
drdvz
rz μ−=τdrdvz
rz μ−≠τ
drdvz
funzione lineare e non
di
PROPRIETA’ DI TRASPORTOMETODI DI CALCOLO TEORICO E CORRELAZIONI
PROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTOMETODI DI CALCOLO TEORICO E CORRELAZIONIMETODI DI CALCOLO TEORICO E CORRELAZIONI
proprietà di trasporto:valori numerici
approcciteorici equazioni di
correlazionemetodi
‘predittivi’
datisperimentali
possibilità di previsione teoricalegate alla congruità del modello fisico
gas diluiti (bassa densità) liquidi
viscositàviscositàconducibilità termica
diffusività
teoria elementare dei gasteoria di Chapman Enskog
teoria di Eyring
PROPRIETA’ DI TRASPORTOVISCOSITA’ DI GAS DILUITI
PROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTOVISCOSITAVISCOSITA’’ DI GAS DILUITIDI GAS DILUITI
teoria cinetica elementare dei gas
molecole = sfere rigidedistanza intermolecolare media >> diametro molecolare d
(assenza di interazioni)
potenziale di interazionevs distanza
‘hard sphere’ potential
Γ
rd
distanza media tra due collisioniin una data direzione
dalla teoria cinetica:
mTu
π=
k8 velocità media
unZ41
=frequenza di attraversamento
di un’area unitaria(n: densità numerica molecolare)
nd221π
=λ cammino libero medio molecolare
λ=32a
analisi del trasporto di quantità di mototra strati a differente velocità
y
x
vx(y)y
y+a
y-aa
in presenza di un gradiente di velocità secondo y:trasferimento netto di quantità di moto attraverso il piano y
(differente scambio dai piani y-a e y+a)
aa +•
−• −=τ
yxyxyx mvZmvZ
dydvv
dydvvv x
yxx
yxyx λ−=−=− 3
2aa
0<dydvx
dydvumn x
yx λ−=τ31
dydvv
dydvvv x
yxx
yxyx λ+=+=+ 3
2aa
dydvx
yx μ−=τλρ=λ=μ uumn
31
31
22
3k
3
2d
Tm
π=μ
5.0T∝μ 7.0T∝μ
)(Pf≠μ atmPPf 10per)( <≠μ
previsione teorica andamenti reali
PROPRIETA’ DI TRASPORTOVISCOSITA’ DI GAS DILUITI
PROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTOVISCOSITAVISCOSITA’’ DI GAS DILUITIDI GAS DILUITI
PROPRIETA’ DI TRASPORTOCONDUCIBILITA’ TERMICA DI GAS DILUITI
PROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTOCONDUCIBILITACONDUCIBILITA’’ TERMICA DI GAS DILUITITERMICA DI GAS DILUITI
mT
dk 3
3
2
k1π
=
5.0Tk ∝ 5.0>∝ nTk
)(Pfk ≠ atmPPfk 21per)( −<≠
22
3k
3
2d
Tm
π=μ
mT
dk 3
3
2
k1π
=
MR
NmN
mk
23
~~k
23k
23
===μ
RNTdTdNum
dTdN
TUC
VV 2
3~k23k
23~
21~ 2 ==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
≡
dalla definizione della capacità termica a volume costantee dalla teoria cinetica elementare
(l’energia molecolare è legata al solo moto di traslazionedelle molecole)
VV c
MCk
==μ
secondo la teoria cinetica elementare dei gasle due proprietà di trasporto sono correlate tra loro
attraverso il calore specifico a volume costante
PROPRIETA’ DI TRASPORTOCOEFFICIENTE DI DIFFUSIONE DI GAS DILUITI
PROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTOCOEFFICIENTE DI DIFFUSIONE DI GAS DILUITICOEFFICIENTE DI DIFFUSIONE DI GAS DILUITI
PT
mdD
ABABAB
2/3
3
3
2k
32
π=
per una miscela binaria A-B
dipendenza differente da temperatura e pressionerispetto alle altre due proprietà di trasporto
( )BAAB ddd +=21
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
BAAB mmm11
211
5.1TDAB ∝ 1−∝PDAB
k e μ legate alle collisioni molecolari
diffusività DAB legata al moto netto delle molecole(sfavorito dalla densità numerica di molecole (P)
PTDAB
2/3
∝
TnTRcP k== nTDAB
2/1
∝
PROPRIETA’ DI TRASPORTOE POTENZIALI DI INTERAZIONE
PROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTOE POTENZIALI DI INTERAZIONEE POTENZIALI DI INTERAZIONE
potenziali di interazione interatomici e intermolecolari
potenziali di interazione interparticellari
PROPRIETA’ DI TRASPORTOTEORIA DI CHAPMAN-ENSKOGPROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTO
TEORIA DI CHAPMANTEORIA DI CHAPMAN--ENSKOGENSKOG
teoria rigorosa di Chapman-Enskogper gas monoatomici a bassa densità
basata sui potenziali di interazione intermolecolare
potenzialedi Lennard-Jones⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ σ
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ σ
ε=Γ612
4)(rr
r
cT77.0k
=ε
Γ
rd
sostituito da
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3
Γ/ε
r/σ
d diametro molecolare sostituito da diametro di collisione σε, σ da tabelle o stimata da proprietà critiche (o altre)
3/1841.0 cV=σ
dal calcolo del contributo delle interazioni intermolecolari: valori di fattori correttivi
integrali di collisione Ωμ , Ωk , ΩD
Ωμ , Ωk , ΩD : funzioni della temperatura
correzioni nelle dipendenze delle proprietà di trasportodalla temperatura
PROPRIETA’ DI TRASPORTOTEORIA DI CHAPMAN-ENSKOGPROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTO
TEORIA DI CHAPMANTEORIA DI CHAPMAN--ENSKOGENSKOG
22
3k
3
2d
Tm
π=μ
mT
dk 3
3
2
k1π
=
PT
mdD
ABABAB
2/3
3
3
2k
32
π=
μ
−
Ωσ=μ 2
810669.2 MT
μσ Ω= −
2231062.2
MTk
DAB
BAAB P
TMM
DΩσ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
= −2
3
3
11
108824.1
sPainμKm/W •ink
KinT
s/m2inDAB
kPainPnminσ
)(21
BAAB σ+σ=σ BAAB εε=ε
εΩ=Ωμ
Tk
kdifunzioni
PROPRIETA’ DI TRASPORTONUMERO DI PRANDTL
PROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTONUMERO DI PRANDTLNUMERO DI PRANDTL
confronto tra trasporto molecolare di quantità di moto e trasporto molecolare di energia:
confronto tra diffusività (numero di Prandtl)
=μ
=
ρ
ρμ
=αν
=kc
ck
P
P
Pr diffusività di quantità di motodiffusività termica
35
2325
Pr ===μ
=
MRMR
cc
kc
V
PPdalla teoria cinetica:stesso valore di Pr
per i gas monoatomiciindipendente da T
dalla teoriadi Chapman-Enskog: Vck
25
=μ 3
252Pr ==
V
P
cc
secondo una correzione semiempirica (Eucken)che tiene conto delle altri componenti di moto
(vibrazionali e rotazionali):
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
μ MRck
P 45
R1.25Pr
P
P
+=
CC
)T(PrPr)T(cc PP =→=
T (°F) aria N2 O2 CO2
0 0.721 0.719 0.718 0.792200 0.654 0.690 0.703 0.730600 0.680 0.686 0.688 0.700
PROPRIETA’ DI TRASPORTODI LIQUIDI E SOLIDI
PROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTODI LIQUIDI E SOLIDIDI LIQUIDI E SOLIDI
viscosità di liquidi: sistemi Newtoniani e non
liquidi omogenei semplici,soluzioni polimeriche e sistemi dispersi
a basso contenuto di polimero o di fase dispersala viscosità dipende solo da T e P
e segue la legge di Newton
sistemi polimerici(soluzioni concentrate, gel, fusi)
sistemi dispersi concentrati(sospensioni, emulsioni, schiume)
cristalli liquidi (polimerici e non)la viscosità dipende non solo da T e P
ma anche dal gradiente di velocità e dal tempo
sistemi non Newtonianisistemi Newtoniani
da sviluppi teorici (Eyring) e dai dati sperimentali:viscosità di liquidi Newtoniani
funzione fortemente decrescente con T
TBAexp=μ valida
per T distanti da Tc
A e B da tabelle (Reid-Prausnitz-Poling), da correlazione di dati,
da relazioni teoriche approssimate
VNhA = bTB 8.3=
PROPRIETA’ DI TRASPORTODI LIQUIDI E SOLIDI
PROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTODI LIQUIDI E SOLIDIDI LIQUIDI E SOLIDI
gel polimerico (actina)gel polimerico (agarosio)
fusi, soluzioni ordinarie
soluzioni associative
gel fisici
gel chimici
sistemi cristallini micellari
sistemi polimerici
PROPRIETA’ DI TRASPORTODI LIQUIDI E SOLIDI
PROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTODI LIQUIDI E SOLIDIDI LIQUIDI E SOLIDI
fumed silica
carbon blackmultiwall carbon nanotube
red blood cells
kaolin
PROPRIETA’ DI TRASPORTODI LIQUIDI E SOLIDI
PROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTODI LIQUIDI E SOLIDIDI LIQUIDI E SOLIDI
maionese: evoluzione della struttura in fase di preparazione
double emulsionwater/crude oil
10 μm10 μm
emulsione cosmetica inversa
maggior emulsionante
PROPRIETA’ DI TRASPORTODI LIQUIDI E SOLIDI
PROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTODI LIQUIDI E SOLIDIDI LIQUIDI E SOLIDI
conducibilità termica di liquidi
grandezza di non facile misura sperimentale(effetti legati a moti convettivi naturali)
sVNk vk)(8.2 3/2=
approccio teorico di Bridgman per liquidi puri(modello fisico: reticolo cubico cristallino)
conducibilità k proporzionale alla velocità del suono vs
TTV
Ps
PPCC
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
ρ∂∂
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
ρ∂∂
≅=v
altre relazioni empirichein manuali (Reid-Prausnitz-Poling)
correlazione con conducibilità elettrica in conduttori elettriciequazione di Wiedemann-Franz-Lorenz
229 /volt102922 KLTk
k
e
−•÷==
conducibilità termica e diffusività in solidilegate alle caratteristiche della struttura
( amorfa / cristallina )( isotropa / anisotropa )
( grado di eterogeneità in matrici composite )
conducibilità termica di solidi
PROPRIETA’ DI TRASPORTODI LIQUIDI E SOLIDI
PROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTODI LIQUIDI E SOLIDIDI LIQUIDI E SOLIDI
diffusività di liquidi
A
AAB F
uTD k=
teoria idrodinamica di Nerst-Einstein(moto equivalente di una sfera A in un liquido viscoso B)
(condizioni di ‘creeping flow’)
dimensioni differentidelle molecole A e B
ABAB R
TDπμ
=6
1kAB
AB RTD
πμ=
41k
dimensioni egualidelle molecole A e B
relazione empirica di Wilke-Chang
6.0161017.1
AB
BBAB V
MTD
μ
ψ= −
•
ψB parametro di associazione(1: solventi non associati, 1.5: etanolo, 2.6: acqua)
sPainBμKinTs/m2inDAB
molkg/m3inVA
PROPRIETA’ DI TRASPORTODI MISCELE GASSOSE
PROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTODI MISCELE GASSOSEDI MISCELE GASSOSE
viscosità e conducibilità termica di miscele gassose(bassa densità)
∑∑=
=
φ
μ=μ
n
in
jijj
ii
x
x1
1
2/1
24/12/1
18
1
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
j
i
i
j
j
i
ij
MM
MM
μμ
φ∑
∑=
=
φ=
n
in
jijj
ii
x
kxk1
1
viscosità di miscele liquide(equazione di Grunberg-Nissan)
∑∑∑= ≠=
+μ=μn
iijj
n
iji
n
iii Gxxx
11
lnln
Gij calcolabile con un metodobasato sui contributi di gruppo
1
2
2
12112 M
Mμμ
φ=φ
miscela binaria
2112
22
1221
11
φ+μ
+φ+
μ=μ
xxx
xxx
miscela binaria
21122211 lnlnln xxGxx +μ+μ=μ
PROPRIETA’ DI TRASPORTOPREVISIONE DELLA VISCOSITA’ (NEMD)
PROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTOPREVISIONE DELLA VISCOSITAPREVISIONE DELLA VISCOSITA’’ (NEMD)(NEMD)
United Atom version of the TRAnsferable Potentialsfor Phase Equilibria (TraPPE-UA)
Reverse Non Equilibrium Molecular Dynamics (RNEMD)
1,2-butanediol 1,3-butanediol 1,4-butanediol
2-methyl-1,3-propanediol 1,2,4-butanetriol
PROPRIETA’ DI TRASPORTODATI DA LETTERATURA
PROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTODATI DA LETTERATURADATI DA LETTERATURA
PROPRIETA’ DI TRASPORTODATI DA LETTERATURA
PROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTODATI DA LETTERATURADATI DA LETTERATURA
PROPRIETA’ DI TRASPORTODATI DA LETTERATURA
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PROPRIETA’ DI TRASPORTODATI DA LETTERATURA
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FLUIDI NON NEWTONIANIFLUIDI NON NEWTONIANIFLUIDI NON NEWTONIANI
sistemi polimericisospensioni e emulsioni concentrateschiumecristalli liquidi
),,,,( txPT i γη=η &
dyd xv
↔γ&
tipi di comportamento in flusso laminare(dipendenza di η da γ, dipendenza di τyx da γ)
..
τyx
γ&
a: Newtonianob: pseudoplasticoc: plasticod: dilatante
a
b
d
c
γ&log
a
b
d
cηlog
FLUIDI NON NEWTONIANIEQUAZIONI COSTITUTIVEFLUIDI NON NEWTONIANIFLUIDI NON NEWTONIANIEQUAZIONI COSTITUTIVEEQUAZIONI COSTITUTIVE
nxn
xyx m
dyd
dydm γ=−=τ
−
&vv
1
equazioni costitutive per fluidi non Newtoniani(dipendenza di η da γ, dipendenza di τyx da γ)
..
1−γ=η nm &
γη+τ=η−τ=τ &px
pyx dyd
00v
0per0 τ≥τ≥γ yx&
pη+γτ
=η&
0
nxn
xyx m
dyd
dydm γ+τ=−τ=τ
−
&0
1
0vv 10 −γ+
γτ
=η nm &&
pseudoplastico: n < 1, dilatante: n > 1
n−∞
∞ γλ+η−η
+η=η 10
)(1 &
legge di potenza (power law)
modelli plastici
modello di Bingham
modello di Herschel-Bulkley
modello di Cross
η=η→00 lim
γ&η=η
∞→∞ γ&lim
FLUIDI NON NEWTONIANIEQUAZIONI COSTITUTIVEFLUIDI NON NEWTONIANIFLUIDI NON NEWTONIANIEQUAZIONI COSTITUTIVEEQUAZIONI COSTITUTIVE
microemulsione O/W:crescente carattere pseudoplasticoper aggiunte crescenti di Carbopol
0.01
1
100
10000
1000000
0.000001 0.0001 0.01 1 100 10000velocità di deformazione (s-1)
viscosità(Pa.s)
microemulsionemicroemulsione
2%
1%
0.25%
0.5%
0.375%
FLUIDI NON NEWTONIANIEQUAZIONI COSTITUTIVEFLUIDI NON NEWTONIANIFLUIDI NON NEWTONIANIEQUAZIONI COSTITUTIVEEQUAZIONI COSTITUTIVE
microemulsione O/W – 1% Carbopol:confronto con modelli
powerpower lawlaw
η log
γ&log
HerschelHerschel--BulkleyBulkley
CrossCross
FLUIDI NON NEWTONIANIPROPRIETA’ TEMPO-DIPENDENTI
FLUIDI NON NEWTONIANIFLUIDI NON NEWTONIANIPROPRIETAPROPRIETA’’ TEMPOTEMPO--DIPENDENTIDIPENDENTI
differenti risposte a variazioni di condizioni di moto(differenti v, differenti gradienti di velocità)
vdyd xv
t
1γ&
2γ&
1γ&
yxτ
t
1τ
2τ
1τ
comportamentotempo-dipendente
tissotropico
0<∂τ∂tyx0>γΔ&
0>∂τ∂tyx0<γΔ&
comportamentopseudoplastico
2
22
1
11 γ
τ=η>
γτ
=η&&
associato a