Finans Matematiği ØParanın zaman değeri ØFaiz kavramı ØGelecek ve Şimdiki Değer ØAnüiteler Øİskonto
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
2
Paranın Zaman Değeri
Finansın temel prensibi ØElimizde bugün bulunan 1000 YTL bundan bir yıl sonra elimize geçecek olan 1000 YTL ‘den kıymetlidir.
Sebep: ØFaiz oranı ne olursa olsun bugün yatırıma dönüştürdüğümüz 1000 YTL nin faiz kazanacak olmasıdır.
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
3
Faiz kavramı
Faiz nedir? • Faiz paranın kirasıdır.Paranızı ödünç verdiğinizde anaparanın üzerinde elinize geçen her türlü meblağ faiz olarak adlandırılır
• Ödeme süresi ve katlanılan riskin derecesi arttıkça faiz oranı da artar.
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
4
Nominal ve Reel faiz oranı Kavramları
Reel faiz :Enflasyon etkisinden arındırılmış faiz oranı
Nominal Faiz :Belli bir zaman süresinde sermaye birikimini kullanmanın fiyatı
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
5
Örnek
Elimde bulunan 2000 YTL ‘yi yıllık %20 nominal faiz oranı ile bankaya yatırıyorum. Senenin sonunda yıllık enflasyon %20 olarak açıklandı.Bu sene için kazancım ne Oldu? Sonuç:Reel kazancım “0” vReel faiz oranı bu durumda “0”oldu.
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
6
Reel Faiz Oran Formülü
1+nominal faiz oranı 1+enflasyon oranı
Yanlış uygulama:Nominal Faiz oranından enflasyon oranını çıkarmak
1
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
7
Örnek
1 +0.20 1 +0.20
0.20 faiz oranını formüle yerleştirerek hesapladığımızda
= 1 0
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
8
Örnek
Firma 1yıl vadeli %45 faiz ile hazine bonosu almıştır.Bir yılın sonunda yıllık enflasyon oranı %25 olarak gerçekleşmiştir.Reel faiz oranını hesaplayalım:
1+0.45 1+0.25 1 =
= % 16 Çıkarma İşlemiyle % 45 % 25 =% 20
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
9
Enflasyon oranı yüksek olursa
Firma 1yıl vadeli % 80 faiz ile hazine bonosu almıştır.Bir yılın sonunda yıllık enflasyon oranı %60 olarak gerçekleşmiştir.Reel faiz oranını hesaplayalım:
1 + 0.80 1 + 0.60
Çıkarma işlemiyle %80 % 60 =%20 Fark:% 7.5
= 1 %12.5
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
10
Enflasyon oranı düşük olursa Firma 1yıl vadeli % 13 faiz oranından parasını bankaya yatırmıştır.Bir yılın sonunda yıllık enflasyon oranı % 8 olarak gerçekleşmiştir.Reel faiz oranını hesaplayalım:
1 + 0.13 1 + 0.08
Çıkarma işlemiyle %13 % 8 =% 5 Fark:% 5 % 4.6 =% 0.4
= 1 % 4.6
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
11
Basit faiz nedir?
Dönem Faizi =Anapara X(BaFO Xgün sayısı/365)
Örnek:1000 YTL 4 ay vadeli mevduat hesabına %50 net faizden yatırıldığı takdirde faiz geliri ne olur?
=1000X0.50(120/365) =164.383 YTL
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
12
Bileşik Faiz
üBir yıllık dönem içinde kazanılan faizlerin anaparaya katılmasıyla hesaplanan toplam faiz geliri
BFO= [ 1+BaFO X (günsayısı/365) (365/gün sayısı)
] 1
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
13
Örnek
37 günlük vadeli mevduat hesabının basit faizi net %40 ise bileşik faizi nedir?
[1+ 0.4 X (37/365) (365/37) ] 1
= 0.48009 BFO =
= % 48
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
14
Basit ve Bileşik Faiz Karşılaştırması
Örnek: yıllık % 95 faiz oranı üzerinden açılan bir mevduata yatırılan 1000 YTL’nin 2 yıl sonraki değeri basit ve bileşik faizle ne olur?
Basit faiz ile 1000 + 950 + 950 = 2900 YTL
Bileşik faiz ile 1000(1+0.95) = 3802.5 YTL
2
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
15
Efektif yıllık faiz oranı
• Verilen yıllık faiz oranının,bileşik faiz hesabı yapılacak dönem sayısına göre düzenlenmesidir.
–Formul:(1 + i/m ) 1
–m:1 yılda faiz hesaplanan dönem sayısı
m
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
16
Örnek
v3 aylık mevduata ödenen yıllık % 90 faiz oranı mı yoksa 6 ay için yatırımcıya ödenen yıllık % 95 faiz oranı mı yatırımcı için karlıdır?(faiz oranının yıl boyunca sabit kaldığı varsayılıyor.)
EYFO = ( 1 +0.90/4) 1 = % 125.19 EYFO = (1 +0.95/2 ) 1 = % 117.56
4
2
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
17
Örnek 2
vBir kredi kartı için uygulanan aylık % 5.5 kredi faizinin efektif yıllık faiz oranını hesaplarsak
EYFO = (1 + 0.055) 1 = 0.9012
% 5.5 lik aylık faizli kredi banka tarafından günlük işletilirse efektif yıllık faiz oranı
EYFO = (1 + 0.055/30) 1 = 0.9514
12
(365)
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
18
Bileşik Faiz Oranından Basit Faiz Oranının Bulunması
Formül: i=[(1+EYFO) 1] x n
n:Dönem Sayısı Örnek:Bir banka 3 aylık mevduata Yıllık efektif faiz oranı olarak %22 ödemektedir.Yıllık basit faiz oranı nedir?
i=[(1 + 0.22)1] x 4 i=0.20387= %20,387
(1/n)
(1/4)
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
19
Şimdiki Değer Net Şimdiki Değer
Şimdiki Değer:Gelecekte gerçekleşmesi beklenen bir nakit akımının paranın zaman değerini ve katlanılan riskin derecesini yansıtan uygun bir iskonto oranı ile bugüne indirgenmiş halidir. Net şimdiki değer:Şimdiki değerden başlangıç yatırım değerinin düşülmesi ile bulunur.
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
20
Örnek
300.000 YTL’ye iş hanı yapmak üzere arsa aldım.İnşaatı gerçekleştirmek için 1ML YTL harcamam gerekiyor.Bir yıl sonra binayı 1.6 ML YTL’den satabileceğim söyleniyor.Arsa dahil bu yatırım maliyeti 1.3 ML YTL olduğuna göre bir yıl sonra alacağım 1.6 ML YTL için bu yatırımı yapmak mantıklı mıdır?
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
21
Çözüm önerisi
Eğer bir sene sonraki 1.6 ML YTL’nin şimdiki değeri 1.3 ML YTL ‘den fazla ise yatırımı yapmak mantıklıdır. Net şimdiki değer pozitif ise yatırımı yapmak mantıklıdır, negatif ise mantıksızdır.
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
22
Görüş
ØYıllık faiz oranı % 14 ise yatırımı yapmak mı mantıklı yoksa parayı faizde değerlendirmek mi? üYorum:1.3 ML YTL ‘yi %14 faizde değerlendirdiğimde elime geçecek olan 1.6 ML YTL ‘den fazla ise yatırım yapılmamalıdır.
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
23
Hesaplama Bir yıllık faiz hesaplaması yaptığımızda
1.3x 0.14 x1=1.482 ML YTL Yatırımı yaparsak 1 yıl sonra elimize
1.6 ML YTL Yatırımı yaparsam kazancım
1.6 1.482 =118.000 YTL
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
24
Gelecek Değer Kavramı
ØBaşlangıçtaki yatırım tutarının paranın zaman değerini ve katlanılan riskin derecesini yansıtan uygun bir faiz oranı ile geleceğe taşınmış halidir. ØBu değer yatırımdan kazanılacak değerin üstünde olursa yatırımı gerçekleştirmek mantıklı değildir.
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
25
Formüller Şimdiki Değer:
PV
PV:Present Value(Şimdiki değer) Cn:n dönem sonra gerçekleşecek nakit akımı k:İskonto oranı n:Dönem Sayısı
= Cn (1+k) n
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
26
Formüller
Net Şimdiki Değer: NPV=Co +Pv
NPV:Net Present value(net bugünkü değer) Co:Başlangıçtaki yatırım değeri(cost)
(negatif) Gelecek Değer:
FV=Co(1+k) FV:Gelecek Değer K :Faiz oranı
n
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
27
Gelecek Değer Örnek
vYıllık % 18 faiz oranı üzerinden açılan bir mevduat hesabına yatırılan 1000 YTL ‘nin 2 yıl sonraki toplam değerini hesaplayalım:
GD = 1000(1 + 0.18) = 1392.4 Faiz geliri hesaplaması her 6 ayda bir Yapılıyorsa veya her 6 ayda bir yenilenen Hesap ise 2 yıl sonunda biriken;
GD =1000(1 + 0.18/2) = 1411,7
2
4
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
28
Anüite nedir?
• Eşit zaman aralıklarında eşit miktarlarda yapılan ödemeler
• Ödemelerin her dönemin sonunda yapıldığı varsayılır.
• Anüiteler için şimdiki değer veya gelecekteki değer hesaplamaları yapılır.
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
29
Olağan Anüite Formül • Formül:PV=
• Formül:FV=A
PV: Şimdiki Değer FV: Gelecek Değer A : Anüite k : İskonto oranı n : Dönem Sayısı
k [ 11/(1+k) n ] A
k (1+k) 1 n
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
30
Olağan Anüite Örnek 1
Ø%20 yıllık faiz ile kullandırılan 100.000 YTL tutarında bir banka kredisi 5 sene içinde sene sonunda yapılacak eşit ödemelerle geri ödenecek ise yıllık borç taksitlerini bulalım.
100.000= A
0.20 [ 11/(1+0.20) 5 ] = 33.437,93 YTL
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
31
Olağan Anüite örnek 2
ØAhmet bir yıl sonra değeri 30.000 YTL olması beklenen otomobil satın almak istiyor.Ahmet her ay ne kadar parayı banka mevduatında değerlendirmelidir?(bir aylık mevduatın faizinin net %2 olduğunu varsayıyoruz.)
30.000 =A (1+ 0.02) 1
0.02
12
= A 2.236,788 YTL
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
32
Yatırılan Faiz Ay sonu Anapara 2% Mevcudumuz
1.ay 2.236,79 44,74 2.281,52 2.281,52 + 2.236,79 = 4.518,31 4.518,31 90,37 4.608,68
3.ay 6.845,47 136,91 6.982,38 4.ay 9.219,16 184,38 9.403,55 5.ay 11.640,33 232,81 11.873,14 6.ay 14.109,93 282,20 14.392,13 7.ay 16.628,92 332,58 16.961,49 8.ay 19.198,28 383,97 19.582,25 9.ay 21.819,04 436,38 22.255,42
10.ay 24.492,20 489,84 24.982,05 11.ay 27.218,84 544,38 27.763,21 12.ay 30.000,00
2.ay
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
33
Anüite Dizisi Gelecek Değer Hesaplama
Örnek:Aylık %1.5 faiz oranı ile 4 ay boyunca yapılan 1500 YTL anüite taksit ödemeli bir dizinin gelecek değerinin hesaplanması: 1)Formül ile:
GA = 1500 x [(1 + 0.015) 1] / 0.015 = 6136,35 YTL
4
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
34
Anüite Dizisi Gelecek Değer Hesaplama
2)Geleceğe Taşıma Metodu ile: 1.Ay 1500 (1 + 0.015) = 1568,5 2.Ay 1500 (1 + 0.015) = 1545,3 3.Ay 1500 (1 + 0.015) = 1522,5 4.Ay 1500 (1 + 0.015) = 1500
3
2
1
+
0
6136,3
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
35
Peşin Anüite
ØAnüite taksit ödemelerinin her dönem sonu yerine her dönemin başında yapılması § Peşin Anüite Gelecek Değer:
GA=AX [ [(1+i) (n+1)
1 ] i
1 ]
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
36
Peşin Anüite
§ Peşin Anüite Şimdiki Değer:
[ 1(1+i) i
+1 ] X A ŞA = (n1)
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
37
Örnek
vAylık % 6 faiz oranı üzerinden 4 ay boyunca yapılan 1.000 YTL anüite ödemesinin şimdiki değerini hesaplarsak 1.Yol formül ile:
[ 1(1+0.06) 0.06
+1 ] X 1000 ŞA = (41)
= 3673 YTL
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
38
Örnek
2.Yol İskontolama:
0 1 2 3 4 1000 1000 1000 1000
1000 x(1+0.06) 1
1000 x(1+0.06) 2
1000 x(1+0.06) 3
943.39 889.99
839.62
3673.60
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
39
Ertelenmiş Anüite
• Şimdiki değeri,dönem sayısı ve uygulanacak dönemsel faiz oranı bilinen bir yatırımın gelecekte olması istenen bir değere ulaşması için yapılacak eşit ödemelerden bazılarının yapılmaması durumunda oluşan eşit ödemler ve tahsilat dizisi
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
40
Örnek • Bugün alınan 2.000 YTL değerindeki bir dizüstü bilgisayarın aylık % 7.5 faiz oranı üzerinden ilk ödemesi 3.aydan başlamak üzere 10 ayda geri ödenmesi gerekiyorsa ödenecek taksit miktarları: Çözüm: Dizüstünün 3 ay sonraki değeri
2000X(1+0.075)=2484,593 3
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
41
Örnek
Çözüm: = [ 1(1+0.075)
0.075 +1 ]
(101) 2484,593
A
= 336,7162 YTL
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
42
İskonto
İki tür hesaplama yöntemi vardır: • İç iskonto: Kredi değeri üzerinden hesaplanır. ØFormül: li=C x i x n / 360 + ( i x n )
• Dış İskonto:Peşin değer üzerinden hesaplanır. ØFormül: Id =Pi x n x i
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
43
Formül Açıklaması
C = Kredi değeri N = Vade İ = iskonto oranı Id = Dış iskonto tutarı Ii = iç iskonto oranı Pi = iç iskontoya göre peşin değer
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
44
Dış İskonto Örnek
v3 ay vadeli 50.000 YTL kredi değerli bir senetin % 60 iskonto oranı ile kırdırıldığında iskonto tutarı ne olur?
C =50.000 n= 3 /12 =0.25 i =0.60
Id= 50.000 x 0.60 x 0.25 Id= 7500 YTL
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
45
İç İskonto Örnek
v90 gün vadeli 50.000 YTL bedelli bir senedin yıllık % 60 ıskonto oranı ile bugün ödenmek istendiğinde ıskonto tutarı ne olur?
• C =50.000 • n= 90 gün • i =0.60 • Ii= (50.000 x 0,60 x 90) / (360 + (0,60 x 90)) • Ii= 6.521,74
30.12.2005 Finans Matematiği Birnur Renda
46
Dış ve İç İskonto Oranının Karşılaştırılması
• Dış iskonto kredi değeri üzerinden hesaplandığından daha büyüktür.
• Dış iskonto kredi veren açısından daha avantajlıdır.
• Kredi tutarı küçük olduğunda iki yöntem arasında önemli fark bulunmamaktadır.