FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİNİN ÇİZİMİ
GRAFİK ÇİZME STRATEJİSİ 1. Fonksiyonun tanım aralığı belirlenir. 2. Fonksiyon bir kapalı aralıkta tanımlıysa, uç noktalardaki
değerleri hesaplanır. 3. Eğer periyodik ise, fonksiyonun periyodu bulunur. Esas
periyotta çizim yapılır; diğer aralıklarda çizim tekrarlanır.
4. fonksiyonun tek veya çift olup olmadığına bakılır.
Çift ise, 0x için çizim yapılır; oluşan görüntünün Oy
eksenine göre simetriği alınarak, çizim tamamlanır.
Tek ise, 0x için çizim yapılır; oluşan görüntünün
orjine göre simetriği alınarak, çizim tamamlanır. 5. Eğrinin eksenleri kestiği noktalar belirlenir. 6. Varsa asimptotlar belirlenir.
7. Fonksiyon R de (reel sayılar da) tanımlıysa, x
için fonksiyonun limiti hesaplanır. 8. Fonksiyonun birinci türevi alınarak artan ya da azalan
olduğu aralıklar belirlenir; ekstremum noktaları hesaplanır.
9. Fonksiyonun ikinci türevi alınarak eğrilik yönünün
yukarı ya da aşağı olduğu aralıklar belirlenir; dönme noktaları hesaplanır.
10. Elde edilen bilgilere göre, değişim tablosu yapılır. 11. Değişim tablosuna göre, grafik çizilir. Bazı grafiklerin çiziminde, yukarıdaki bilgilerin aynı anda hepsine ihtiyaç duyulmayabilir. A. Polinom Fonksiyonların Grafiği
Polinom biçimindeki fonksiyonlar ) ,( aralığında
tanımlıdır. Bu fonksiyonların asimptotu olamaz. Örnek:
x123
x)x(f fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm: e. Fonksiyonun tanım kümesi R) ,(A dir.
f. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları belirleyelim:
0x için 00.123
0)0(f dır.
Buna göre, fonksiyon Oy eksenini ) 0,0 ( noktasında
keser.
0y için 0x.123
x)x(f ise
32 xveya 32x122
x tür.
Buna göre, fonksiyon Ox eksenini ) 0,32 ( ve
) 0,32 ( noktalarında keser.
g.
)x123
x(x
lim
h. Fonksiyonun birinci türevini alalım.
2 xveya 2x0122
x3)x('
f dir.
2x için 16)2.(123
)2()2(f dır.
2x için 162.123
2)2(f dır.
İstenirse yukarıdaki değişim tablosu göz önüne alınarak grafik çizilebilir. Çünkü tablodan şunları çıkarabiliriz: fonksiyon dan 2 ye kadar artan
değerler almakta, )16,2( noktasında yerel maksimum
oluşmakta, 2 den 2 ye kadar azalan değerler
almakta, )16,2( noktasında yerel minimum
oluşmakta, 2 den a kadar artan değerler almaktadır.
Sezgisel olarak, )2,2( aralığında bir dönme noktası
olduğu görülmektedir. Bu nokta merak edilirse, ikinci türeve bakılır.
5. Fonksiyonun ikinci türevini alalım:
122
x3)x('
fx123
x)x(f
0x0x6)x(''
f dır.
Fonksiyonun eğrilik yönü 0x için aşağı, 0x için
yukarı; )0,0( noktası dönme noktasıdır.
6. Değişim tablosuna göre, grafik çizilir
Grafik dikkatle incelenirse, yukarıda belirtilen bütün bilgilerin doğrulandığı görülür. Ayrıca, grafiği çizmek için, ikinci türeve bakılmayabileceği görülür.
Uyarı Grafik çizimini daha az işlemle, örneğin değişim tablosuna gerek duymadan sonuçlandırabilecek bir yaklaşım ortaya koymalıyız. Bunun için bazı kolaylıkları ortaya koyacağız. Kural
0)x(f denkleminin tek katlı köklerinde eğri Ox eksenini
keser, çift katlı köklerinde eğri Ox eksenine teğettir. Örnek:
2)4x.(
3)x1()x(f fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm: 1. Fonksiyonun tanım kümesi R) ,(A dir.
2. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları belirleyelim:
0x için 162
)40.(3
)01()0(f dır.
Buna göre, fonksiyon Oy eksenini ) 16,0 ( noktasında
keser.
0y için 02
)4x.(3
)x1()x(f ise
02
4)(x veya 03
)x1( dır.
1x 03
)x1( tek katlı köktür.
4x 02
)4x( çift katlı köktür.
Buna göre, fonksiyon Ox eksenini ) 0,1 ( noktasında
keser, ) 0,4 ( noktasında ise eğri Ox eksenine teğettir.
3.
2)4x.(
3)x1(
xlim
2)4x.(
3)x1(
xlim
Şimdilik eğriye dair üç bilgi ürettik. Bu üç bilgiyi sağlayacak şekilde, grafiği yaklaşık olarak çizelim:
Çizilen grafiğin doğru olup olmadığını sorgulayalım:
72)1(f
216)5(f
36)2(f dır.
Bulunan değerlerin yaklaşık olarak doğrulandığı görülür.
Örnek:
2)1x.(
2)2x()x(f fonksiyonunun grafiğini kısa yoldan
çizelim.
Çözüm:
1. Fonksiyonun tanım kümesi R) ,(A dir.
2. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları belirleyelim:
0x için 42
)10.(2
)20()0(f tür.
Buna göre, fonksiyon Oy eksenini ) 4,0 ( noktasında
keser.
0y için 02
)1x.(2
)2x()x(f ise
1 xveya 2x2
)1x.(2
)2x(0 dir.
Hem 2x hem de 1x çift katlı köktür. Buna göre, eğri 2x ve 1x noktalarında Ox eksenine teğet olur.
3.
2)1x.(
2)2x(
xlim
2)1x.(
2)2x(
xlim
4. Fonksiyonun birinci türevini alalım.
2)2x
2x(
2)1x.(
2)2x()x(f
0)1x2).(2x2
x.(2)x('
f
0)1x2).(1x).(2x.(2
2
1- xveya 1 xveya 2x dir.
2x için 0)2(f dır.
2
1x için
16
81)
2
1(f dır.
1x için 0)1(f dır.
İstenirse yukarıdaki değişim tablosu göz önüne alınarak grafik çizilebilir. Çünkü tablodan şunları çıkarabiliriz: fonksiyon dan 2 ye kadar azalan değerler almakta, )0,2( noktasında yerel minimum
oluşmakta, 2 den 2
1 ye kadar artan değerler
almakta, )16
81,
2
1( noktasında yerel maksimum
oluşmakta, 2
1 den 1 e kadar azalan değerler
almakta, )0,1( noktasında yerel minimum oluşmakta, 1
den a kadar artan değerler almaktadır.
5. Değişim tablosuna göre grafiği çizelim.
Grafik dikkatle incelenirse, yukarıda belirtilen bütün bilgilerin doğrulandığı görülür. Ayrıca, grafiği çizmek için, ikinci türeve bakılmayabileceği görülür.
Örnek:
)4x.(2
)2x.(8
1)x(f fonksiyonunun grafiğini kısa
yoldan çizelim. Çözüm: 1. Fonksiyonun tanım kümesi R) ,(A dir.
2. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları belirleyelim:
0x için 2)40.(2
)20.(8
1)0(f dir.
Buna göre, fonksiyon Oy eksenini ) 2,0 ( noktasında
keser.
0y için 0)4x.(2
)2x.(8
1)x(f ise
4 xveya 2x)4x.(2
)2x(0 dir.
2x çift katlı köktür. Buna göre, eğri 2x de Ox eksenine teğettir. 4x tek katlı köktür. Buna göre, eğri
4x de Ox eksenini keser.
3.
)4x.(2
)2x.(8
1
xlim
)4x.(2
)2x.(8
1
xlim
4. Fonksiyonun birinci türevini alalım.
8
16x123x)4x.(
2)2x.(
8
1)x(f
2 xveya 2x08
122x3)x(
'f
dir.
2x için 4)2(f tür.
2x için 0)2(f dır.
İstenirse yukarıdaki değişim tablosu göz önüne alınarak grafik çizilebilir. Çünkü tablodan şunları çıkarabiliriz: fonksiyon dan 2 ye kadar artan değerler almakta, )4,2( noktasında yerel maksimum
oluşmakta, 2 den 2 ye kadar azalan değerler almakta, )0,2( noktasında yerel minimum oluşmakta, 2
den a kadar artan değerler almaktadır.
Sezgisel olarak, )2,2( aralığında bir dönme noktası
olduğu görülmektedir. Bu nokta merak edilirse, ikinci türeve bakılır.
5. Fonksiyonun ikinci türevini alalım:
0x08
x6)x(
''f
8
122x3)x(
'f
dır.
Fonksiyonun eğrilik yönü 0x için aşağı, 0x için
yukarı; )0,0( noktası dönme noktasıdır.
6. Değişim tablosuna göre, grafik çizilir
Grafik dikkatle incelenirse, yukarıda belirtilen bütün bilgilerin doğrulandığı görülür. Ayrıca, grafiği çizmek için, ikinci türeve bakılmayabileceği
görülür. E. Asimptotlar Bir eğrinin herhangi bir kolu başka bir eğriye (ya da doğruya) yakınsıyorsa, yakınsanan eğriye (ya da doğruya) asimptot denir. Asimptotlar kendi özelliğine göre ad alır. Örneğin, düşey bir doğrudan oluşan asimptota, düşey asimptot; yatay bir doğrudan oluşan asimptota, yatay asimptot; düşey ya da düşey olmayan bir doğrudan oluşan asimptota, eğik asimptot; bir eğriden oluşan asimptota eğri asimptot denir. 1. Düşey Asimptot Eğri; fonksiyonun paydasının köklerinde düşey asimptotlara sahiptir.
)x(Q
)x(Py olmak üzere, 0)x(Q denkleminin kökleri
nx ,...,
2x ,
1x olsun. y eğrisinin düşey asimptotlarının
denklemleri:
nx x,...,
2x x,
1xx doğrularıdır.
Örnek:
2x
1y
eğrisinin düşey asimptotunu bulalım.
Çözüm:
2x
1y
eğrisinin düşey asimptotu
2x02x dir.
Eğrinin grafiğinin nasıl çizileceğini ileride vereceğiz. Şimdi yoğunlaşmamız gereken konu, 2x doğrusunun eğrinin düşey asimptotu oluşudur. Paydanın kökü olduğu için 2x doğrusunun eğrinin düşey asimptotu olduğu
açıktır.(aşikardır)
Eğrinin 2x koşulunu sağlayan kolunun 2x doğrusuna uzaklığını inceleyelim:
1A noktasının 2x
doğrusuna en yakın
noktası 1
B olsun
Daha yukarıda olan 2
A
noktasının 2x doğrusuna en yakın noktası 2
B ; 3
A
noktasının 2x doğrusuna en yakın noktası 3
B olsun.
0...3
B3
A2
B2
A1
B1
A
olduğu görülür. Yani eğrinin kolu, 2x doğrusuna yakınsamaktadır; 2x doğrusu düşey asimptottur. Örnek:
)1x)(2x(
1y
eğrisinin düşey asimptotlarını bulalım.
Çözüm:
Paydayı sıfır yapan değerler düşey asimptot olacağından,
0)1x).(2x( ise
-1 xveya 2x dir.
2x ve 1x doğruları düşey asimptottur.
2. Yatay Asimptot
)x(Q
)x(Py olmak üzere, cy
xlim
, )Rc( ise yatay
asimptot vardır. Yatay asimptotun denklemi, cy dir.
Örnek:
12x
4x
xlim
olduğu için
2x
4xy
eğrisinin yatay
asimptotu 1y doğrusudur.
Paydanın kökü olduğu için 2x doğrusu eğrinin düşey asimptotudur. Eğrinin eksenleri kesim noktalarını bulursak, kabaca grafik ortaya çıkar.
Örnek:
23x
1x2
xlim
olduğu için 3x
1x2y
eğrisinin yatay asimptotu
2y doğrusudur.
Paydanın kökü olduğu için
3x doğrusu eğrinin
düşey asimptotudur. Eğrinin eksenleri kesim noktalarını bulursak, kabaca grafik yandaki şekilde olduğu gibi ortaya çıkar. 3. Eğik Asimptot
)x(Q
)x(Py denkleminde )x(P in derecesi )x(Q in
derecesinden 1 büyük ise )x(Q
)x(Py eğrisinin bir eğik
asimptotu vardır.
Eğik asimptotun denklemi )x(P in )x(Q e bölümüyle
bulunur.
Örnek:
2x
12x2y
eğrisinin eğik asimptotunun denklemini bulalım
Çözüm: Paydaki ifadenin derecesi paydadaki ifadenin derecesinden
1 büyük olduğu için 2x
12x2y
eğrisinin bir eğik asimptotu
vardır.
4x2y doğrusu
2x
12x2y
eğrisinin eğik
asimptotudur. Paydanın kökü olduğu için
2x doğrusu eğrinin düşey asimptotudur.
Eğrinin eksenleri kesim noktalarını bulursak, kabaca grafik yukarıdaki şekilde olduğu gibi ortaya çıkar. Örnek:
Yukarıdaki şekilde grafiği verilen eğrinin eğik asimptotu
xy doğrusudur.
4. Eğri Asimptot
)x(Q
)x(Py denkleminde )x(P in derecesi )x(Q in
derecesinden en az 2 büyük ise )x(Q
)x(Py eğrisinin bir eğri
asimptotu vardır.
Eğik asimptotun denklemi )x(P in )x(Q e bölümüyle
bulunur. Örnek:
1x
x3xy
eğrisinin eğri asimptotunun denklemini bulalım
Çözüm: Paydaki ifadenin derecesi paydadaki ifadenin derecesinden
2 büyük olduğu için 1x
x3xy
eğrisinin bir eğri asimptotu
vardır.
2x2
xy eğrisi 1x
x3xy
eğrisinin eğri
asimptotudur.
Örnek:
Yandaki şekilde grafiği verilen
eğrinin eğri asimptotu 2
xy
eğrisidir.
C. Rasyonel Fonksiyonların Grafikleri Örnek:
2x
1)x(f
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm:
1. Fonksiyonun tanım kümesi }2{RA dir.
2. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları belirleyelim:
0x için 2
1
20
1)0(f
dir.
Buna göre, eğri Oy eksenini ) 2
1,0 ( noktasında
keser.
0y için 02x
1)x(f
ise bu koşulu sağlayan,
bir x reel sayısı olmadığından eğri Ox eksenini kesmez.
3. Paydanın kökü olan, 2x düşey asimptottur.
02x
1
xlim
olduğuna göre 0y doğrusu
yatay asimptottur.
4. Fonksiyonun birinci türevini alalım.
02)2x(
1)x(
'f
ise bu koşulu sağlayan,
bir x reel sayısı olmadığından türev daima )2x(
negatif, yani fonksiyon tanımlı olduğu değerler için, daima azalandır.
5. Değişim tablosuna göre grafik çizilir.
Örnek:
2x
1x2)x(f
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm: f. Fonksiyonun tanım kümesi }2{RA dir.
g. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları belirleyelim:
0x için 2
1
20
10.2)0(f
dir.
Buna göre, eğri Oy eksenini ) 2
1,0 ( noktasında keser.
0y için 2
1x0
2x
1x2)x(f
dir.
Buna göre, eğri Ox eksenini ) ,02
1 ( noktasında
keser.
h. Paydanın kökü olan, 2x düşey asimptottur.
22x
1x2
xlim
olduğuna göre 2y doğrusu
yatay asimptottur.
4. Fonksiyonun birinci türevini alalım.
02)2x(
5
2)2x(
)1x2.(1)2x.(2)x(
'f
ise bu
koşulu sağlayan, bir x reel sayısı olmadığından türev
daima )2x( pozitif, yani fonksiyon tanımlı olduğu
değerler için, daima artandır.
5. Değişim tablosuna göre grafik çizilir.
Örnek:
2)1x(
2x)x(f
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm: 1. Fonksiyonun tanım kümesi }1{RA dir.
2. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları belirleyelim:
0x için 22)10(
20)0(f
dir.
Buna göre, eğri Oy eksenini ) 2,0 ( noktasında keser.
0y için 2x02)1x(
2x)x(f
dir.
Buna göre, eğri Ox eksenini ) 0,2 ( noktasında keser.
3. Paydanın kökü olan, 1x düşey asimptottur.
22)1x(
2x
xlim
olduğuna göre 0y doğrusu
yatay asimptottur.
4. Fonksiyonun birinci türevini alalım.
04)1x(
)2x).(1x.(22)1x.(1)x(
'f
5 xveya 1x04)1x(
5x42x
tir.
5x için 12
1
2)15(
25)5(f
dir. Buna göre
fonksiyonun maksimum noktası ) 12
1,5 ( dir.
5. Değişim tablosuna göre grafik çizilir.
Fonksiyonun belirttiği eğri ) 0,2 ( noktasında yatay asimptot
olan 0y doğrusunu kesti.
Eğri 5x te maksimum değerini aldıktan sonra x
için 0y a yani yatay asimptota yakınsar.
Uyarı Fonksiyonun belirttiği eğri düşey asimptotların dışında kalan diğer (yatay, eğik, eğri) asimptotları kesebilir.
Örneğin, 2)1x(
2x)x(f
fonksiyonunun belirttiği eğri 2x
noktasında yatay asimptot olan 0y doğrusunu kesmiştir.
Örnek:
2x
1x2x)x(f
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm:
1. Fonksiyonun tanım kümesi }2{RA dir.
2. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları belirleyelim:
0x için 2
1
20
1020)0(f
dir.
Buna göre, eğri Oy eksenini ) 2
1,0 ( noktasında keser.
0y için 02x
1x2x)x(f
ise,
2
51x
veya
2
51x
dir.
Buna göre, eğri Ox eksenini
0,
2
51 ve
0,
2
51 noktalarında keser.
3. Paydanın kökü olan, 2x düşey asimptottur.
Payın derecesi paydanın derecesinden 1 büyük olduğuna göre eğik asimptot vardır.
Eğik asimptotun denklemi 1xy olarak bulunur.
4. Fonksiyonun birinci türevini alalım.
02)2x(
)2x).(1x2x.(1)2x).(1x2()x(
'f
3 xveya 1x02)2x(
3x42x
tür.
1x için 121
1121)1(f
dir.
Buna göre fonksiyonun maksimum noktası ) 1,1 ( dir.
3x için 523
1323)3(f
tir.
Buna göre fonksiyonun minimum noktası ) 5,3 ( tir.
5. Değişim tablosuna göre grafik çizilir.
Örnek:
x
23x)x(f
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm:
1. Fonksiyonun tanım kümesi }0{RA dır.
2. 0x düşey asimptot olduğu için, eğri Oy eksenini
kesmez.
0y için 3
2x0x
23x)x(f
dir.
Buna göre, eğri Ox eksenini 0, 3
2 noktasında keser.
3. Paydanın kökü olan, 0x düşey asimptottur.
Payın derecesi paydanın derecesinden 2 büyük olduğuna göre eğri asimptot vardır.
x
22x
x
2
x
3x
x
23x)x(f
olduğuna göre, 2
xy parabolü eğri asimptottur.
4. Fonksiyonun birinci türevini alalım.
02x
23x2
2x
)23x.(1x.2x3)x(
'f
1 x13
x023
x2 dir.
1x için 31
23)1()1(f
tir.
Buna göre fonksiyonun minimum noktası ) 3,1 ( tür.
5. Değişim tablosuna göre grafik çizilir
Örnek:
1x22x
x22x)x(f
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm:
1. Fonksiyonun tanım kümesi }1{RA dir.
2. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları belirleyelim:
0x için 0
10.220
0.220)0(f
dır.
Buna göre, eğri Oy eksenini ) 0,0 ( noktasında keser.
0y için 0
1x22x
x22x)x(f
ise,
0x veya 2x dir.
Buna göre, eğri Ox eksenini 0,2 ve 0,0
noktalarında keser.
3. Paydanın kökü olan, 1x düşey asimptottur.
1
1x22x
x22x
xlim
olduğuna göre 1y
doğrusu yatay asimptottur.
4. Fonksiyonun birinci türevini alalım.
04)1x(
)x22x).(1x.(22)1x).(2x2()x(
'f
1x0)1x.(2
1x için
0
1
1)1.(22)1(
)1.(22)1()1(f
olduğundan fonksiyonun yerel minimum noktası yoktur.
5. Değişim tablosuna göre grafik çizilir
Örnek:
2x9
9)x(f
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm:
1. Fonksiyonun tanım kümesi }3,3{RA tür.
2. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları belirleyelim:
0x için 1209
9)0(f
dir.
Buna göre, eğri Oy eksenini ) 1,0 ( noktasında keser.
0y için 02x9
9)x(f
ise, bu koşulu sağlayan,
bir x reel sayısı olmadığından eğri Ox eksenini kesmez.
3. Paydanın kökü olan, 3x ve 3x düşey
asimptotturlar.
02x9
9
xlim
olduğuna göre 0y
doğrusu yatay asimptottur.
4. Fonksiyonun birinci türevini alalım.
0x02)2x9(
x18
2)2x9(
9).x2()2x9.(0)x(
'f
0x için 1209
9)0(f
dir.
Buna göre fonksiyonun minimum noktası ) 1,0 ( dir.
e. Değişim tablosuna göre grafik çizilir
Örnek:
x
42x)x(f
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm:
1. Fonksiyonun tanım kümesi }0{RA dır.
2. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları belirleyelim:
0x için
0
420)0(f olduğundan, eğri Oy
eksenini da keser.
0y için 2 xveya 2x0x
42x)x(f
olup eğri Ox eksenini 0,2 ve 0,2 noktalarında
keser.
3. Paydanın kökü olan, 0x düşey asimptottur.
Payın derecesi paydanın derecesinden 1 büyük olduğuna göre eğik asimptot vardır.
x
4x
x
42x)x(f
olduğundan eğik asimptotun
denklemi xy olarak bulunur.
i. Fonksiyonun birinci türevini alalım.
02x
42x
2x
)42x.(1x.x2)x(
'f
ise bu koşulu
sağlayan, bir x reel sayısı olmadığından türev
daima )0x( pozitif, yani fonksiyon tanımlı olduğu
değerler için, daima artandır.
5. Değişim tablosuna göre grafik çizilir
Sonuç
)x(Q
)x(P)x(f olsun.
1. 0)x(P denkleminin tek katlı köklerinde kesen oluşur.
2. 0)x(P denkleminin çift katlı köklerinde teğet oluşur.
3. 0)x(Q denkleminin tek katlı köklerinde kelebek
oluşur.
4. 0)x(Q denkleminin çift katlı köklerinde baca oluşur.
Örnek:
2x
x52x43x)x(f
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm: 1. Fonksiyonun tanım kümesi }2{RA dir.
2. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları belirleyelim:
0x için 020
0.520.430)0(f
olduğundan,
eğri Oy eksenini )0,0( da keser.
0y için 02x
x52x43x)x(f
0)1x).(5x.(x0)5x42
x.(x
denkleminin kökleri 1x , 0x ve 5x tir.
Ancak 1x ve 5x verilen denklemi
sağlamadığından kök olamazlar. Buna göre eğri Ox
eksenini 0,0 noktasında keser.
3. Paydanın kökü olan, 0x düşey asimptottur.
Payın derecesi paydanın derecesinden 2 büyük olduğuna göre eğri asimptot vardır.
olduğuna göre, 1x22
xy parabolü eğri
asimptottur.
4. 2x paydanın tek katlı kökü olduğundan 2x kelebek görüntüsü vardır.
D. Köklü Fonksiyonların Grafikleri Kökün derecesinin tek ya da çift oluşuna göre, nasıl çizim yapılacağını örneklerle ortaya koyalım. Örnek:
31-x
8x)x(f
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm: 1. Fonksiyonun tanım kümesi }1{RA dir.
2. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları belirleyelim:
0x için 2 31-0
80)0(f
olduğundan, eğri Oy
eksenini )2,0( da keser.
0y için 01x
x0 3
1-x
8x)x(f
8x08x
Buna göre eğri Ox eksenini 0,8 noktasında keser.
3. Paydanın kökü olan, 1x düşey asimptottur.
1 31x
8x
xlim
olduğuna göre 1y doğrusu
yatay asimptottur.
4. Değişim tablosu rasyonel fonksiyonunki gibi yapılabilir. Ancak, buna gerek duymadan grafiği çizebiliriz.
Uyarı Tek dereceli kök, içinin türev tablosunu, düşey asimptotları ve Ox ekseninin kesim noktalarını etkilemez. Kural
cbx2a)x(f fonksiyonunda 0a ise asimptot
yoktur. 0a ise eğik asimptot görülür.
Eğik asimptotların denklemi: a2
bx.a)x(f dır.
Örnek:
8x22x)x(f fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm: b. Derecesi çift olan kökün içindeki ifade negatif
olamayacağı için 08x22
x koşulunu sağlayan
reel sayılar fonksiyonun tanım kümesini oluşturur.
Buna göre fonksiyonun tanım kümesi )4,2(RA
olur.
2. Eğrinin eğik asimptot denklemlerini bulalım.
)1x(1.2
2x.1
a2
bx.ay
dir.
3. Fonksiyonun birinci türevini alalım.
1x0
8x22x.2
2x2)x(
'f
dir.
4. Değişim tablosuna göre grafik çizilir
Örnek:
2x4)x(f fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm: 1. Derecesi çift olan kökün içindeki ifade negatif
olamayacağı için 2x202
x4 dir.
Buna göre fonksiyonun tanım kümesi 2,2A dir.
2. 0a olduğu için asimptot yoktur.
3. Fonksiyonun birinci türevini alalım.
0x02x4.2
x2)x(
'f
dır.
0x için 2204)0(f dir.
Buna göre fonksiyonun maksimum noktası ) 2,0 ( dir.
5. Değişim tablosuna göre grafik çizilir
Uyarı Buraya kadar verilen bilgilere trigonometrik fonksiyon, üstel fonksiyon, logaritmik fonksiyon gibi bilgileri de katarak değişik soru modelleri de sonuçlandırılabilir. Örnek:
R2,0:f , xsin1
xsin1)x(f
fonksiyonunun grafiğini
çizelim. Çözüm:
1. 2
3x0xsin1
dir.
Buna göre fonksiyonun tanım kümesi }2
3{RA
dir.
2. 2
3x
eğrinin düşey asimptotudur.
3. Fonksiyonun birinci türevini alalım:
2)xsin1(
)xsin1.(xcos)xsin1.(xcos)x(
'f
2
3 xveya
2x0
2)xsin1(
xcos.2)x(
'f
dir.
Bu bilgileri değişim tablosunda değerlendirirsek,
2x
için 0
11
11
2sin1
2sin1
)2
(f
dır.
Buna göre fonksiyonun minimum noktası ) 0,2
(
dır.
4. Değişim tablosuna göre grafik çizilir
Örnek:
x1
10xlog)x(f
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm: 1. Pozitif sayıların logaritması tanımlıdır.
Buna göre fonksiyonun tanım kümesi )1,10(A dir.
2. Ox ekseninin hangi x değerinde kesildiğini bulalım.
2
9x1
x1
10x0
x1
10xlog
dir.
0x için 110log01
100log)0(f
dir.
Buna göre, fonksiyon Oy eksenini )1,0( noktasında
keser.
3. Eğri )1,10( aralığında olduğuna göre 10x daki
sağdan limitin ve 1x deki soldan limitin bilinmesi işimizi kolaylaştırır.
x1
10xlog
10x
lim
x1
10xlog
1x
lim
4. Değişim tablosuna da bakılabilir. Ancak, tanım aralığı,
limitler ve kesim noktası fonksiyonun grafiğini çizmek için yeterli olacaktır.
Örnek:
x5)x(f fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm: 1. Karekökün içi negatif olamaz. Buna göre, fonksiyonun
tanım kümesi: ,0A dur.
2. Eğri Ox eksenini kesmez.
0x için 10
5)0(f olduğundan, eğri Oy
eksenini )1,0( noktasında keser.
3. Fonksiyonun birinci türevini alalım.
5ln.x
5.x2
1)x(
'f
4. Fonksiyonun grafiğini çizelim.
Örnek:
3x
1
2)x(f fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm:
1. Fonksiyonun tanım kümesi }3{RA tür.
2. Eğri Ox eksenini kesmez.
0x için 3
2
130
1
2)0(f olduğundan, eğri Oy
eksenini ) 3
2
1,0( noktasında keser.
3. Kuvvetin paydasının kökü olan 3x düşey
asimptottur.
10
23x
1
2x
lim
olduğuna göre 1y
doğrusu yatay asimptottur.
4. 3x düşey asimptot olduğuna göre, 3x deki
sağdan ve soldan limitin bilinmesi işimizi kolaylaştırır.
3x
1
2
3x
lim dur.
03x
1
2
3x
lim
dır.
5. Fonksiyonun birinci türevini alalım.
2ln.3x
1
2.2)3x(
1)x(
'f
dir.
02)3x(
1
, 03x
1
2 ve 02ln olduğundan
02ln.3x
1
2.2)3x(
1)x(
'f
dır.
Buna göre fonksiyon daima )3x( azalandır.
6. Fonksiyonun grafiğini çizelim.
ÇÖZÜMLÜ SORULAR
1. 2
)1x).(x2()x(f fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm:
a. Fonksiyonun tanım kümesi R) ,(A dir.
b. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları belirleyelim:
0x için 22
)10).(02()0(f dır.
Buna göre, fonksiyon Oy eksenini ) 2,0 ( noktasında
keser.
0y için 02
)1x).(x2()x(f ise
1x veya 2x dir.
Buna göre, fonksiyon Ox eksenini ) 0,2 ( noktasında
keser ve 1x çift katlı kök olduğundan eğri ) 0,1 ( noktasında Ox eksenine teğettir.
c.
2)1x).(x2(
xlim
2)1x).(x2(
xlim dur.
d. Fonksiyonun birinci türevini alalım.
0)1x).(x2.(22
)1x.(1)x('
f
0)3x3)(1x()x('
f
1 xveya 1x dir.
1x için 02
)11)].(1(2[)1(f dır.
1x için 42
)11)].(12()11(f tür.
İstenirse yukarıdaki değişim tablosu göz önüne alınarak grafik çizilebilir. Çünkü tablodan şunları çıkarabiliriz: fonksiyon dan 1 e kadar azalan
değerler almakta, )0,1( noktasında yerel minimum
oluşmakta, 1 den 1 e kadar artan değerler almakta,
)4,1( noktasında yerel maksimum oluşmakta, 1 den
a kadar azalan değerler almaktadır.
Sezgisel olarak, )1,1( aralığında bir dönme noktası
olduğu görülmektedir. Bu nokta merak edilirse, ikinci türeve bakılır.
e. Fonksiyonun ikinci türevini alalım:
)3x3)(1x()x('
f ise
0)1x.(3)3x3()x(''
f
0x0x6 dır.
Fonksiyonun eğrilik yönü 0x için yukarı, 0x için
aşağı; )2,0( noktası dönme noktasıdır.
f. Değişim tablosuna göre, grafik çizilir
Grafik dikkatle incelenirse, yukarıda belirtilen bütün bilgilerin doğrulandığı görülür.
2. 1x22x
x22x)x(f
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm: a. Fonksiyonun tanım kümesi }1{RA dir.
b. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları belirleyelim:
0x için 0
10.220
0.220)0(f
dır.
Buna göre, eğri Oy eksenini )0,0( noktasında keser.
0y için
0 xveya 2x0
1x22x
x22x)x(f
dır.
Buna göre, eğri Ox eksenini ) ,02 ( ve )0,0(
noktalarında keser.
c. Paydanın kökü olan, 1x düşey asimptottur.
1
1x22x
x22x
xlim
olduğuna göre 1y
doğrusu yatay asimptottur.
d. Fonksiyonun birinci türevini alalım.
1x02)1x22x(
)1x.(2)x(
'f
dir.
e. Değişim tablosuna göre fonksiyonun grafiği çizilir.
3.
Yandaki şekilde verilen eğrinin denklemi
2)1x).(2x).(ax()x(f
olduğuna göre a kaçtır?
Çözüm: Grafikte verilenlere göre 3x için 0y olmaktadır.
Buna göre,
02
)13).(23).(a3()3(f
3a03a02
)4).(1).(3a( bulunur.
4. 2)2x(
)3x).(1x()x(f
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm:
a. Fonksiyonun tanım kümesi }2{RA dir.
b. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları belirleyelim:
0x için 4
3
2)20(
)30).(10()0(f
tür.
Buna göre, eğri Oy eksenini )4
3,0( noktasında keser.
0y için
3 xveya 1x02)2x(
)3x).(1x()x(f
tür.
Buna göre, eğri Ox eksenini ) ,01 ( ve )0,3(
noktalarında keser.
c. Paydanın kökü olan, 2x düşey asimptottur.
12)2x(
)3x).(1x(
xlim
olduğundan 1y
doğrusu yatay asimptottur.
d. Fonksiyonun birinci türevini alalım.
2)2x(
3x22x
2)2x(
)3x).(1x()x(f
ise,
4)2x(
)3x22x).(2x.(22)2x).(2x2()x(
'f
04)2x(
)1x3).(2x.(2)x(
'f
3
1- xveya 2x tür.
e. Değişim tablosuna göre fonksiyonun grafiği çizilir.
5. 4mx2x
42x)x(f
eğrisinin düşey asimptotu
olmadığına göre, m nin ait olduğu aralığı bulunuz.
Çözüm: Paydanın kökü düşey asimptot olduğuna göre, istenen:
04mx2
x denkleminin kökünün olmamasıdır.
Bunun için, 0ac42
b olmalıdır.
4m4162
m04.1.42
m0
olmalıdır.
6. 42x
1mx2x)x(f
eğrisi Ox eksenini kesmediğine
göre, m nin ait olduğu aralığı bulunuz. Çözüm: Payın kökleri Ox ekseninin kesim noktalarının apsisi olduğuna göre, istenen:
01mx2
x denkleminin kökünün olmamasıdır.
Bunun için, 0ac42
b olmalıdır.
2m242
m01.1.42
m0
olmalıdır.
7. 1x42x)x(f eğrisinin eğik asimptotlarının
denklemlerini bulunuz. Çözüm:
1x42x)x(f eğrisinin eğik asimptotlarının
denklemleri:
)2x(1.2
4x.1
a2
bx.ay dir.
8. 4x52x)x(f fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm: a. Derecesi çift olan kökün içindeki ifade negatif
olamayacağı için 04x52
x koşulunu
sağlayan reel sayılar fonksiyonun tanım kümesini oluşturur.
Buna göre fonksiyonun tanım kümesi 4,1A
olur. b. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları bulalım.
0x için 240.520)x(f dir.
2 reel sayı olmadığından, eğri Oy eksenini
kesmez.
0y için
4 xveya 1x04x52x)x(f tür.
Buna göre, eğri Ox eksenini ) ,01 ( ve )0,4(
noktalarında keser. c. Fonksiyonun birinci türevini alalım.
2
5x0
5x52x.2
5x2)x(
'f
dir.
d. Değişim tablosuna göre grafik çizilir
9. 2x
12x)x(f
eğrisinin asimptotlarının kesim noktasını
bulunuz. Çözüm: Paydanın kökü düşey asimptot olduğuna göre,
2x
12x)x(f
fonksiyonunun düşey asimptotu 2x dir.
2x
52x
2x
12x)x(f
olduğuna göre, 2xy
doğrusu eğrinin eğik asimptotudur.
2x doğrusu ile 2xy doğrusunun kesişim noktası
) ,-42 ( tür.
10. x2x
14x)x(f
eğrisinin, eğri asimptotunun denklemini
bulunuz. Çözüm:
x2x
1x1x
2x
x2x
14x)x(f
olduğundan
1x2
xy eğrisi, verilen fonksiyonun eğri
asimptotudur.
11. 2x
2x)x(f
eğrisinin asimptotlarının denklemlerini
bulunuz. Çözüm: Paydanın kökü düşey asimptot olduğuna göre,
4x02x doğrusu düşey asimptottur.
Fonksiyonun limiti yatay asimptot olduğuna göre,
12x
2x
xlim
olup 1y doğrusui, verilen
fonksiyonun yatay asimptotudur.
12. cbx
6ax)x(f
eğrisinin yatay ve düşey asimptotlarının
kesim noktası ) ,42 ( olduğuna göre, a
c kaçtır?
Çözüm: Verilen eğrinin yatay ve düşey asimptotlarının kesim noktası
) ,42 ( olduğuna göre, 2x düşey asimptot; 4y
yatay asimptottur. Paydanın kökü düşey asimptot olduğuna göre,
b
cx0cbx
2b
c
b
c2 dir.
Fonksiyonun limiti yatay asimptot olduğuna göre,
4b
a
b
a
cbx
6ax
xlim
tür.
2b
c ve 4
b
a eşitlikleri taraf tarafa bölünürse
2
1
a
c
olarak bulunur. KONU BİTMİŞTİR.