fonksİyonlarin grafİklerİnİn...

FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİNİN ÇİZİMİ

GRAFİK ÇİZME STRATEJİSİ 1. Fonksiyonun tanım aralığı belirlenir. 2. Fonksiyon bir kapalı aralıkta tanımlıysa, uç noktalardaki

değerleri hesaplanır. 3. Eğer periyodik ise, fonksiyonun periyodu bulunur. Esas

periyotta çizim yapılır; diğer aralıklarda çizim tekrarlanır.

4. fonksiyonun tek veya çift olup olmadığına bakılır.

Çift ise, 0x için çizim yapılır; oluşan görüntünün Oy

eksenine göre simetriği alınarak, çizim tamamlanır.

Tek ise, 0x için çizim yapılır; oluşan görüntünün

orjine göre simetriği alınarak, çizim tamamlanır. 5. Eğrinin eksenleri kestiği noktalar belirlenir. 6. Varsa asimptotlar belirlenir.

7. Fonksiyon R de (reel sayılar da) tanımlıysa, x

için fonksiyonun limiti hesaplanır. 8. Fonksiyonun birinci türevi alınarak artan ya da azalan

olduğu aralıklar belirlenir; ekstremum noktaları hesaplanır.

9. Fonksiyonun ikinci türevi alınarak eğrilik yönünün

yukarı ya da aşağı olduğu aralıklar belirlenir; dönme noktaları hesaplanır.

10. Elde edilen bilgilere göre, değişim tablosu yapılır. 11. Değişim tablosuna göre, grafik çizilir. Bazı grafiklerin çiziminde, yukarıdaki bilgilerin aynı anda hepsine ihtiyaç duyulmayabilir. A. Polinom Fonksiyonların Grafiği

Polinom biçimindeki fonksiyonlar ) ,( aralığında

tanımlıdır. Bu fonksiyonların asimptotu olamaz. Örnek:

x123

x)x(f fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm: e. Fonksiyonun tanım kümesi R) ,(A dir.

f. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları belirleyelim:

0x için 00.123

0)0(f dır.

Buna göre, fonksiyon Oy eksenini ) 0,0 ( noktasında

keser.

0y için 0x.123

x)x(f ise

32 xveya 32x122

x tür.

Buna göre, fonksiyon Ox eksenini ) 0,32 ( ve

) 0,32 ( noktalarında keser.

g.

)x123

x(x

lim

h. Fonksiyonun birinci türevini alalım.

2 xveya 2x0122

x3)x('

f dir.

2x için 16)2.(123

)2()2(f dır.

2x için 162.123

2)2(f dır.

İstenirse yukarıdaki değişim tablosu göz önüne alınarak grafik çizilebilir. Çünkü tablodan şunları çıkarabiliriz: fonksiyon dan 2 ye kadar artan

değerler almakta, )16,2( noktasında yerel maksimum

oluşmakta, 2 den 2 ye kadar azalan değerler

almakta, )16,2( noktasında yerel minimum

oluşmakta, 2 den a kadar artan değerler almaktadır.

Sezgisel olarak, )2,2( aralığında bir dönme noktası

olduğu görülmektedir. Bu nokta merak edilirse, ikinci türeve bakılır.

5. Fonksiyonun ikinci türevini alalım:

122

x3)x('

fx123

x)x(f

0x0x6)x(''

f dır.

Fonksiyonun eğrilik yönü 0x için aşağı, 0x için

yukarı; )0,0( noktası dönme noktasıdır.

6. Değişim tablosuna göre, grafik çizilir

Grafik dikkatle incelenirse, yukarıda belirtilen bütün bilgilerin doğrulandığı görülür. Ayrıca, grafiği çizmek için, ikinci türeve bakılmayabileceği görülür.

Uyarı Grafik çizimini daha az işlemle, örneğin değişim tablosuna gerek duymadan sonuçlandırabilecek bir yaklaşım ortaya koymalıyız. Bunun için bazı kolaylıkları ortaya koyacağız. Kural

0)x(f denkleminin tek katlı köklerinde eğri Ox eksenini

keser, çift katlı köklerinde eğri Ox eksenine teğettir. Örnek:

2)4x.(

3)x1()x(f fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm: 1. Fonksiyonun tanım kümesi R) ,(A dir.

2. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları belirleyelim:

0x için 162

)40.(3

)01()0(f dır.


keser.

0y için 02

)4x.(3

)x1()x(f ise

02

4)(x veya 03

)x1( dır.

1x 03

)x1( tek katlı köktür.

4x 02

)4x( çift katlı köktür.

Buna göre, fonksiyon Ox eksenini ) 0,1 ( noktasında

keser, ) 0,4 ( noktasında ise eğri Ox eksenine teğettir.

3.

2)4x.(

3)x1(

xlim

2)4x.(

3)x1(

xlim

Şimdilik eğriye dair üç bilgi ürettik. Bu üç bilgiyi sağlayacak şekilde, grafiği yaklaşık olarak çizelim:

Çizilen grafiğin doğru olup olmadığını sorgulayalım:

72)1(f

216)5(f

36)2(f dır.

Bulunan değerlerin yaklaşık olarak doğrulandığı görülür.

Örnek:

2)1x.(

2)2x()x(f fonksiyonunun grafiğini kısa yoldan

çizelim.

Çözüm:

1. Fonksiyonun tanım kümesi R) ,(A dir.


0x için 42

)10.(2

)20()0(f tür.


keser.

0y için 02

)1x.(2

)2x()x(f ise

1 xveya 2x2

)1x.(2

)2x(0 dir.

Hem 2x hem de 1x çift katlı köktür. Buna göre, eğri 2x ve 1x noktalarında Ox eksenine teğet olur.

3.

2)1x.(

2)2x(

xlim

2)1x.(

2)2x(

xlim

4. Fonksiyonun birinci türevini alalım.

2)2x

2x(

2)1x.(

2)2x()x(f

0)1x2).(2x2

x.(2)x('

f

0)1x2).(1x).(2x.(2

2

1- xveya 1 xveya 2x dir.

2x için 0)2(f dır.

2

1x için

16

81)

2

1(f dır.


İstenirse yukarıdaki değişim tablosu göz önüne alınarak grafik çizilebilir. Çünkü tablodan şunları çıkarabiliriz: fonksiyon dan 2 ye kadar azalan değerler almakta, )0,2( noktasında yerel minimum

oluşmakta, 2 den 2

1 ye kadar artan değerler

almakta, )16

81,

2

1( noktasında yerel maksimum

oluşmakta, 2

1 den 1 e kadar azalan değerler

almakta, )0,1( noktasında yerel minimum oluşmakta, 1

den a kadar artan değerler almaktadır.

5. Değişim tablosuna göre grafiği çizelim.

Grafik dikkatle incelenirse, yukarıda belirtilen bütün bilgilerin doğrulandığı görülür. Ayrıca, grafiği çizmek için, ikinci türeve bakılmayabileceği görülür.

Örnek:

)4x.(2

)2x.(8

1)x(f fonksiyonunun grafiğini kısa

yoldan çizelim. Çözüm: 1. Fonksiyonun tanım kümesi R) ,(A dir.


0x için 2)40.(2

)20.(8

1)0(f dir.


keser.

0y için 0)4x.(2

)2x.(8

1)x(f ise

4 xveya 2x)4x.(2

)2x(0 dir.

2x çift katlı köktür. Buna göre, eğri 2x de Ox eksenine teğettir. 4x tek katlı köktür. Buna göre, eğri

4x de Ox eksenini keser.

3.

)4x.(2

)2x.(8

1

xlim

)4x.(2

)2x.(8

1

xlim


8

16x123x)4x.(

2)2x.(

8

1)x(f

2 xveya 2x08

122x3)x(

'f

dir.

2x için 4)2(f tür.


İstenirse yukarıdaki değişim tablosu göz önüne alınarak grafik çizilebilir. Çünkü tablodan şunları çıkarabiliriz: fonksiyon dan 2 ye kadar artan değerler almakta, )4,2( noktasında yerel maksimum

oluşmakta, 2 den 2 ye kadar azalan değerler almakta, )0,2( noktasında yerel minimum oluşmakta, 2

den a kadar artan değerler almaktadır.



5. Fonksiyonun ikinci türevini alalım:

0x08

x6)x(

''f

8

122x3)x(

'f

dır.

Fonksiyonun eğrilik yönü 0x için aşağı, 0x için

yukarı; )0,0( noktası dönme noktasıdır.

6. Değişim tablosuna göre, grafik çizilir

Grafik dikkatle incelenirse, yukarıda belirtilen bütün bilgilerin doğrulandığı görülür. Ayrıca, grafiği çizmek için, ikinci türeve bakılmayabileceği

görülür. E. Asimptotlar Bir eğrinin herhangi bir kolu başka bir eğriye (ya da doğruya) yakınsıyorsa, yakınsanan eğriye (ya da doğruya) asimptot denir. Asimptotlar kendi özelliğine göre ad alır. Örneğin, düşey bir doğrudan oluşan asimptota, düşey asimptot; yatay bir doğrudan oluşan asimptota, yatay asimptot; düşey ya da düşey olmayan bir doğrudan oluşan asimptota, eğik asimptot; bir eğriden oluşan asimptota eğri asimptot denir. 1. Düşey Asimptot Eğri; fonksiyonun paydasının köklerinde düşey asimptotlara sahiptir.

)x(Q

)x(Py olmak üzere, 0)x(Q denkleminin kökleri

nx ,...,

2x ,

1x olsun. y eğrisinin düşey asimptotlarının

denklemleri:

nx x,...,

2x x,

1xx doğrularıdır.

Örnek:

2x

1y

eğrisinin düşey asimptotunu bulalım.

Çözüm:

2x

1y

eğrisinin düşey asimptotu

2x02x dir.

Eğrinin grafiğinin nasıl çizileceğini ileride vereceğiz. Şimdi yoğunlaşmamız gereken konu, 2x doğrusunun eğrinin düşey asimptotu oluşudur. Paydanın kökü olduğu için 2x doğrusunun eğrinin düşey asimptotu olduğu

açıktır.(aşikardır)

Eğrinin 2x koşulunu sağlayan kolunun 2x doğrusuna uzaklığını inceleyelim:

1A noktasının 2x

doğrusuna en yakın

noktası 1

B olsun

Daha yukarıda olan 2

A

noktasının 2x doğrusuna en yakın noktası 2

B ; 3

A

noktasının 2x doğrusuna en yakın noktası 3

B olsun.

0...3

B3

A2

B2

A1

B1

A

olduğu görülür. Yani eğrinin kolu, 2x doğrusuna yakınsamaktadır; 2x doğrusu düşey asimptottur. Örnek:

)1x)(2x(

1y

eğrisinin düşey asimptotlarını bulalım.

Çözüm:

Paydayı sıfır yapan değerler düşey asimptot olacağından,

0)1x).(2x( ise

-1 xveya 2x dir.

2x ve 1x doğruları düşey asimptottur.

2. Yatay Asimptot

)x(Q

)x(Py olmak üzere, cy

xlim

, )Rc( ise yatay

asimptot vardır. Yatay asimptotun denklemi, cy dir.

Örnek:

12x

4x

xlim

olduğu için

2x

4xy

eğrisinin yatay

asimptotu 1y doğrusudur.

Paydanın kökü olduğu için 2x doğrusu eğrinin düşey asimptotudur. Eğrinin eksenleri kesim noktalarını bulursak, kabaca grafik ortaya çıkar.

Örnek:

23x

1x2

xlim

olduğu için 3x

1x2y

eğrisinin yatay asimptotu

2y doğrusudur.

Paydanın kökü olduğu için

3x doğrusu eğrinin

düşey asimptotudur. Eğrinin eksenleri kesim noktalarını bulursak, kabaca grafik yandaki şekilde olduğu gibi ortaya çıkar. 3. Eğik Asimptot

)x(Q

)x(Py denkleminde )x(P in derecesi )x(Q in

derecesinden 1 büyük ise )x(Q

)x(Py eğrisinin bir eğik

asimptotu vardır.

Eğik asimptotun denklemi )x(P in )x(Q e bölümüyle

bulunur.

Örnek:

2x

12x2y

eğrisinin eğik asimptotunun denklemini bulalım

Çözüm: Paydaki ifadenin derecesi paydadaki ifadenin derecesinden

1 büyük olduğu için 2x

12x2y

eğrisinin bir eğik asimptotu

vardır.

4x2y doğrusu

2x

12x2y

eğrisinin eğik

asimptotudur. Paydanın kökü olduğu için

2x doğrusu eğrinin düşey asimptotudur.

Eğrinin eksenleri kesim noktalarını bulursak, kabaca grafik yukarıdaki şekilde olduğu gibi ortaya çıkar. Örnek:

Yukarıdaki şekilde grafiği verilen eğrinin eğik asimptotu

xy doğrusudur.

4. Eğri Asimptot

)x(Q

)x(Py denkleminde )x(P in derecesi )x(Q in

derecesinden en az 2 büyük ise )x(Q

)x(Py eğrisinin bir eğri

asimptotu vardır.

Eğik asimptotun denklemi )x(P in )x(Q e bölümüyle

bulunur. Örnek:

1x

x3xy

eğrisinin eğri asimptotunun denklemini bulalım

Çözüm: Paydaki ifadenin derecesi paydadaki ifadenin derecesinden

2 büyük olduğu için 1x

x3xy

eğrisinin bir eğri asimptotu

vardır.

2x2

xy eğrisi 1x

x3xy

eğrisinin eğri

asimptotudur.

Örnek:

Yandaki şekilde grafiği verilen

eğrinin eğri asimptotu 2

xy

eğrisidir.

C. Rasyonel Fonksiyonların Grafikleri Örnek:

2x

1)x(f

fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm:

1. Fonksiyonun tanım kümesi }2{RA dir.


0x için 2

1

20

1)0(f

dir.

Buna göre, eğri Oy eksenini ) 2

1,0 ( noktasında

keser.

0y için 02x

1)x(f

ise bu koşulu sağlayan,

bir x reel sayısı olmadığından eğri Ox eksenini kesmez.

3. Paydanın kökü olan, 2x düşey asimptottur.

02x

1

xlim

olduğuna göre 0y doğrusu

yatay asimptottur.


02)2x(

1)x(

'f

ise bu koşulu sağlayan,

bir x reel sayısı olmadığından türev daima )2x(

negatif, yani fonksiyon tanımlı olduğu değerler için, daima azalandır.

5. Değişim tablosuna göre grafik çizilir.

Örnek:

2x

1x2)x(f


Çözüm: f. Fonksiyonun tanım kümesi }2{RA dir.

g. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları belirleyelim:

0x için 2

1

20

10.2)0(f

dir.


1,0 ( noktasında keser.

0y için 2

1x0

2x

1x2)x(f

dir.

Buna göre, eğri Ox eksenini ) ,02

1 ( noktasında

keser.

h. Paydanın kökü olan, 2x düşey asimptottur.

22x

1x2

xlim


yatay asimptottur.


02)2x(

5

2)2x(

)1x2.(1)2x.(2)x(

'f

ise bu

koşulu sağlayan, bir x reel sayısı olmadığından türev

daima )2x( pozitif, yani fonksiyon tanımlı olduğu

değerler için, daima artandır.


Örnek:

2)1x(

2x)x(f


Çözüm: 1. Fonksiyonun tanım kümesi }1{RA dir.


0x için 22)10(

20)0(f

dir.

Buna göre, eğri Oy eksenini ) 2,0 ( noktasında keser.

0y için 2x02)1x(

2x)x(f

dir.

Buna göre, eğri Ox eksenini ) 0,2 ( noktasında keser.


22)1x(

2x

xlim


yatay asimptottur.


04)1x(

)2x).(1x.(22)1x.(1)x(

'f

5 xveya 1x04)1x(

5x42x

tir.

5x için 12

1

2)15(

25)5(f

dir. Buna göre

fonksiyonun maksimum noktası ) 12

1,5 ( dir.


Fonksiyonun belirttiği eğri ) 0,2 ( noktasında yatay asimptot

olan 0y doğrusunu kesti.

Eğri 5x te maksimum değerini aldıktan sonra x

için 0y a yani yatay asimptota yakınsar.

Uyarı Fonksiyonun belirttiği eğri düşey asimptotların dışında kalan diğer (yatay, eğik, eğri) asimptotları kesebilir.

Örneğin, 2)1x(

2x)x(f

fonksiyonunun belirttiği eğri 2x

noktasında yatay asimptot olan 0y doğrusunu kesmiştir.

Örnek:

2x

1x2x)x(f


Çözüm:



0x için 2

1

20

1020)0(f

dir.


1,0 ( noktasında keser.

0y için 02x

1x2x)x(f

ise,

2

51x

veya

2

51x

dir.

Buna göre, eğri Ox eksenini

0,

2

51 ve

0,

2

51 noktalarında keser.


Payın derecesi paydanın derecesinden 1 büyük olduğuna göre eğik asimptot vardır.

Eğik asimptotun denklemi 1xy olarak bulunur.


02)2x(

)2x).(1x2x.(1)2x).(1x2()x(

'f

3 xveya 1x02)2x(

3x42x

tür.

1x için 121

1121)1(f

dir.

Buna göre fonksiyonun maksimum noktası ) 1,1 ( dir.

3x için 523

1323)3(f

tir.

Buna göre fonksiyonun minimum noktası ) 5,3 ( tir.


Örnek:

x

23x)x(f


Çözüm:

1. Fonksiyonun tanım kümesi }0{RA dır.

2. 0x düşey asimptot olduğu için, eğri Oy eksenini

kesmez.

0y için 3

2x0x

23x)x(f

dir.

Buna göre, eğri Ox eksenini 0, 3

2 noktasında keser.


Payın derecesi paydanın derecesinden 2 büyük olduğuna göre eğri asimptot vardır.

x

22x

x

2

x

3x

x

23x)x(f

olduğuna göre, 2

xy parabolü eğri asimptottur.


02x

23x2

2x

)23x.(1x.2x3)x(

'f

1 x13

x023

x2 dir.

1x için 31

23)1()1(f

tir.

Buna göre fonksiyonun minimum noktası ) 3,1 ( tür.

5. Değişim tablosuna göre grafik çizilir

Örnek:

1x22x

x22x)x(f


Çözüm:



0x için 0

10.220

0.220)0(f

dır.


0y için 0

1x22x

x22x)x(f

ise,

0x veya 2x dir.

Buna göre, eğri Ox eksenini 0,2 ve 0,0

noktalarında keser.


1

1x22x

x22x

xlim

olduğuna göre 1y

doğrusu yatay asimptottur.


04)1x(

)x22x).(1x.(22)1x).(2x2()x(

'f

1x0)1x.(2

1x için

0

1

1)1.(22)1(

)1.(22)1()1(f

olduğundan fonksiyonun yerel minimum noktası yoktur.


Örnek:

2x9

9)x(f


Çözüm:

1. Fonksiyonun tanım kümesi }3,3{RA tür.


0x için 1209

9)0(f

dir.


0y için 02x9

9)x(f

ise, bu koşulu sağlayan,

bir x reel sayısı olmadığından eğri Ox eksenini kesmez.

3. Paydanın kökü olan, 3x ve 3x düşey

asimptotturlar.

02x9

9

xlim

olduğuna göre 0y



0x02)2x9(

x18

2)2x9(

9).x2()2x9.(0)x(

'f

0x için 1209

9)0(f

dir.

Buna göre fonksiyonun minimum noktası ) 1,0 ( dir.

e. Değişim tablosuna göre grafik çizilir

Örnek:

x

42x)x(f


Çözüm:

1. Fonksiyonun tanım kümesi }0{RA dır.


0x için

0

420)0(f olduğundan, eğri Oy

eksenini da keser.

0y için 2 xveya 2x0x

42x)x(f

olup eğri Ox eksenini 0,2 ve 0,2 noktalarında

keser.


Payın derecesi paydanın derecesinden 1 büyük olduğuna göre eğik asimptot vardır.

x

4x

x

42x)x(f

olduğundan eğik asimptotun

denklemi xy olarak bulunur.

i. Fonksiyonun birinci türevini alalım.

02x

42x

2x

)42x.(1x.x2)x(

'f

ise bu koşulu

sağlayan, bir x reel sayısı olmadığından türev

daima )0x( pozitif, yani fonksiyon tanımlı olduğu

değerler için, daima artandır.


Sonuç

)x(Q

)x(P)x(f olsun.

1. 0)x(P denkleminin tek katlı köklerinde kesen oluşur.

2. 0)x(P denkleminin çift katlı köklerinde teğet oluşur.

3. 0)x(Q denkleminin tek katlı köklerinde kelebek

oluşur.

4. 0)x(Q denkleminin çift katlı köklerinde baca oluşur.

Örnek:

2x

x52x43x)x(f




0x için 020

0.520.430)0(f

olduğundan,

eğri Oy eksenini )0,0( da keser.

0y için 02x

x52x43x)x(f

0)1x).(5x.(x0)5x42

x.(x

denkleminin kökleri 1x , 0x ve 5x tir.

Ancak 1x ve 5x verilen denklemi

sağlamadığından kök olamazlar. Buna göre eğri Ox

eksenini 0,0 noktasında keser.


Payın derecesi paydanın derecesinden 2 büyük olduğuna göre eğri asimptot vardır.

olduğuna göre, 1x22

xy parabolü eğri

asimptottur.

4. 2x paydanın tek katlı kökü olduğundan 2x kelebek görüntüsü vardır.

D. Köklü Fonksiyonların Grafikleri Kökün derecesinin tek ya da çift oluşuna göre, nasıl çizim yapılacağını örneklerle ortaya koyalım. Örnek:

31-x

8x)x(f




0x için 2 31-0

80)0(f

olduğundan, eğri Oy

eksenini )2,0( da keser.

0y için 01x

x0 3

1-x

8x)x(f

8x08x

Buna göre eğri Ox eksenini 0,8 noktasında keser.


1 31x

8x

xlim


yatay asimptottur.

4. Değişim tablosu rasyonel fonksiyonunki gibi yapılabilir. Ancak, buna gerek duymadan grafiği çizebiliriz.

Uyarı Tek dereceli kök, içinin türev tablosunu, düşey asimptotları ve Ox ekseninin kesim noktalarını etkilemez. Kural

cbx2a)x(f fonksiyonunda 0a ise asimptot

yoktur. 0a ise eğik asimptot görülür.

Eğik asimptotların denklemi: a2

bx.a)x(f dır.

Örnek:

8x22x)x(f fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm: b. Derecesi çift olan kökün içindeki ifade negatif

olamayacağı için 08x22

x koşulunu sağlayan

reel sayılar fonksiyonun tanım kümesini oluşturur.

Buna göre fonksiyonun tanım kümesi )4,2(RA

olur.

2. Eğrinin eğik asimptot denklemlerini bulalım.

)1x(1.2

2x.1

a2

bx.ay

dir.


1x0

8x22x.2

2x2)x(

'f

dir.


Örnek:

2x4)x(f fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm: 1. Derecesi çift olan kökün içindeki ifade negatif


x4 dir.

Buna göre fonksiyonun tanım kümesi 2,2A dir.

2. 0a olduğu için asimptot yoktur.


0x02x4.2

x2)x(

'f

dır.

0x için 2204)0(f dir.

Buna göre fonksiyonun maksimum noktası ) 2,0 ( dir.


Uyarı Buraya kadar verilen bilgilere trigonometrik fonksiyon, üstel fonksiyon, logaritmik fonksiyon gibi bilgileri de katarak değişik soru modelleri de sonuçlandırılabilir. Örnek:

R2,0:f , xsin1

xsin1)x(f

fonksiyonunun grafiğini

çizelim. Çözüm:

1. 2

3x0xsin1

dir.

Buna göre fonksiyonun tanım kümesi }2

3{RA

dir.

2. 2

3x

eğrinin düşey asimptotudur.

3. Fonksiyonun birinci türevini alalım:

2)xsin1(

)xsin1.(xcos)xsin1.(xcos)x(

'f

2

3 xveya

2x0

2)xsin1(

xcos.2)x(

'f

dir.

Bu bilgileri değişim tablosunda değerlendirirsek,

2x

için 0

11

11

2sin1

2sin1

)2

(f

dır.

Buna göre fonksiyonun minimum noktası ) 0,2

(

dır.


Örnek:

x1

10xlog)x(f


Çözüm: 1. Pozitif sayıların logaritması tanımlıdır.

Buna göre fonksiyonun tanım kümesi )1,10(A dir.

2. Ox ekseninin hangi x değerinde kesildiğini bulalım.

2

9x1

x1

10x0

x1

10xlog

dir.

0x için 110log01

100log)0(f

dir.

Buna göre, fonksiyon Oy eksenini )1,0( noktasında

keser.

3. Eğri )1,10( aralığında olduğuna göre 10x daki

sağdan limitin ve 1x deki soldan limitin bilinmesi işimizi kolaylaştırır.

x1

10xlog

10x

lim

x1

10xlog

1x

lim

4. Değişim tablosuna da bakılabilir. Ancak, tanım aralığı,

limitler ve kesim noktası fonksiyonun grafiğini çizmek için yeterli olacaktır.

Örnek:

x5)x(f fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm: 1. Karekökün içi negatif olamaz. Buna göre, fonksiyonun

tanım kümesi: ,0A dur.

2. Eğri Ox eksenini kesmez.

0x için 10


eksenini )1,0( noktasında keser.


5ln.x

5.x2

1)x(

'f

4. Fonksiyonun grafiğini çizelim.

Örnek:

3x

1

2)x(f fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm:

1. Fonksiyonun tanım kümesi }3{RA tür.

2. Eğri Ox eksenini kesmez.

0x için 3

2

130

1


eksenini ) 3

2

1,0( noktasında keser.

3. Kuvvetin paydasının kökü olan 3x düşey

asimptottur.

10

23x

1

2x

lim

olduğuna göre 1y


4. 3x düşey asimptot olduğuna göre, 3x deki

sağdan ve soldan limitin bilinmesi işimizi kolaylaştırır.

3x

1

2

3x

lim dur.

03x

1

2

3x

lim

dır.


2ln.3x

1

2.2)3x(

1)x(

'f

dir.

02)3x(

1

, 03x

1

2 ve 02ln olduğundan

02ln.3x

1

2.2)3x(

1)x(

'f

dır.

Buna göre fonksiyon daima )3x( azalandır.

6. Fonksiyonun grafiğini çizelim.

ÇÖZÜMLÜ SORULAR

1. 2

)1x).(x2()x(f fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

Çözüm:

a. Fonksiyonun tanım kümesi R) ,(A dir.

b. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları belirleyelim:

0x için 22

)10).(02()0(f dır.


keser.

0y için 02

)1x).(x2()x(f ise

1x veya 2x dir.

Buna göre, fonksiyon Ox eksenini ) 0,2 ( noktasında

keser ve 1x çift katlı kök olduğundan eğri ) 0,1 ( noktasında Ox eksenine teğettir.

c.

2)1x).(x2(

xlim

2)1x).(x2(

xlim dur.

d. Fonksiyonun birinci türevini alalım.

0)1x).(x2.(22

)1x.(1)x('

f

0)3x3)(1x()x('

f

1 xveya 1x dir.

1x için 02

)11)].(1(2[)1(f dır.

1x için 42

)11)].(12()11(f tür.

İstenirse yukarıdaki değişim tablosu göz önüne alınarak grafik çizilebilir. Çünkü tablodan şunları çıkarabiliriz: fonksiyon dan 1 e kadar azalan

değerler almakta, )0,1( noktasında yerel minimum

oluşmakta, 1 den 1 e kadar artan değerler almakta,

)4,1( noktasında yerel maksimum oluşmakta, 1 den

a kadar azalan değerler almaktadır.



e. Fonksiyonun ikinci türevini alalım:

)3x3)(1x()x('

f ise

0)1x.(3)3x3()x(''

f

0x0x6 dır.

Fonksiyonun eğrilik yönü 0x için yukarı, 0x için

aşağı; )2,0( noktası dönme noktasıdır.

f. Değişim tablosuna göre, grafik çizilir

Grafik dikkatle incelenirse, yukarıda belirtilen bütün bilgilerin doğrulandığı görülür.

2. 1x22x

x22x)x(f

fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

Çözüm: a. Fonksiyonun tanım kümesi }1{RA dir.


0x için 0

10.220

0.220)0(f

dır.

Buna göre, eğri Oy eksenini )0,0( noktasında keser.

0y için

0 xveya 2x0

1x22x

x22x)x(f

dır.

Buna göre, eğri Ox eksenini ) ,02 ( ve )0,0(


c. Paydanın kökü olan, 1x düşey asimptottur.

1

1x22x

x22x

xlim

olduğuna göre 1y



1x02)1x22x(

)1x.(2)x(

'f

dir.

e. Değişim tablosuna göre fonksiyonun grafiği çizilir.

3.

Yandaki şekilde verilen eğrinin denklemi

2)1x).(2x).(ax()x(f

olduğuna göre a kaçtır?

Çözüm: Grafikte verilenlere göre 3x için 0y olmaktadır.

Buna göre,

02

)13).(23).(a3()3(f

3a03a02

)4).(1).(3a( bulunur.

4. 2)2x(

)3x).(1x()x(f

fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

Çözüm:

a. Fonksiyonun tanım kümesi }2{RA dir.


0x için 4

3

2)20(

)30).(10()0(f

tür.

Buna göre, eğri Oy eksenini )4

3,0( noktasında keser.

0y için

3 xveya 1x02)2x(

)3x).(1x()x(f

tür.



c. Paydanın kökü olan, 2x düşey asimptottur.

12)2x(

)3x).(1x(

xlim

olduğundan 1y



2)2x(

3x22x

2)2x(

)3x).(1x()x(f

ise,

4)2x(

)3x22x).(2x.(22)2x).(2x2()x(

'f

04)2x(

)1x3).(2x.(2)x(

'f

3

1- xveya 2x tür.

e. Değişim tablosuna göre fonksiyonun grafiği çizilir.

5. 4mx2x

42x)x(f

eğrisinin düşey asimptotu

olmadığına göre, m nin ait olduğu aralığı bulunuz.

Çözüm: Paydanın kökü düşey asimptot olduğuna göre, istenen:

04mx2

x denkleminin kökünün olmamasıdır.

Bunun için, 0ac42

b olmalıdır.

4m4162

m04.1.42

m0

olmalıdır.

6. 42x

1mx2x)x(f

eğrisi Ox eksenini kesmediğine

göre, m nin ait olduğu aralığı bulunuz. Çözüm: Payın kökleri Ox ekseninin kesim noktalarının apsisi olduğuna göre, istenen:

01mx2

x denkleminin kökünün olmamasıdır.

Bunun için, 0ac42

b olmalıdır.

2m242

m01.1.42

m0

olmalıdır.

7. 1x42x)x(f eğrisinin eğik asimptotlarının

denklemlerini bulunuz. Çözüm:

1x42x)x(f eğrisinin eğik asimptotlarının

denklemleri:

)2x(1.2

4x.1

a2

bx.ay dir.

8. 4x52x)x(f fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

Çözüm: a. Derecesi çift olan kökün içindeki ifade negatif


x koşulunu

sağlayan reel sayılar fonksiyonun tanım kümesini oluşturur.

Buna göre fonksiyonun tanım kümesi 4,1A

olur. b. Eğrinin eksenleri kestiği noktaları bulalım.

0x için 240.520)x(f dir.

2 reel sayı olmadığından, eğri Oy eksenini

kesmez.

0y için

4 xveya 1x04x52x)x(f tür.


noktalarında keser. c. Fonksiyonun birinci türevini alalım.

2

5x0

5x52x.2

5x2)x(

'f

dir.

d. Değişim tablosuna göre grafik çizilir

9. 2x

12x)x(f

eğrisinin asimptotlarının kesim noktasını

bulunuz. Çözüm: Paydanın kökü düşey asimptot olduğuna göre,

2x

12x)x(f

fonksiyonunun düşey asimptotu 2x dir.

2x

52x

2x

12x)x(f

olduğuna göre, 2xy

doğrusu eğrinin eğik asimptotudur.

2x doğrusu ile 2xy doğrusunun kesişim noktası

) ,-42 ( tür.

10. x2x

14x)x(f

eğrisinin, eğri asimptotunun denklemini

bulunuz. Çözüm:

x2x

1x1x

2x

x2x

14x)x(f

olduğundan

1x2

xy eğrisi, verilen fonksiyonun eğri

asimptotudur.

11. 2x

2x)x(f

eğrisinin asimptotlarının denklemlerini

bulunuz. Çözüm: Paydanın kökü düşey asimptot olduğuna göre,

4x02x doğrusu düşey asimptottur.

Fonksiyonun limiti yatay asimptot olduğuna göre,

12x

2x

xlim

olup 1y doğrusui, verilen

fonksiyonun yatay asimptotudur.

12. cbx

6ax)x(f

eğrisinin yatay ve düşey asimptotlarının

kesim noktası ) ,42 ( olduğuna göre, a

c kaçtır?

Çözüm: Verilen eğrinin yatay ve düşey asimptotlarının kesim noktası

) ,42 ( olduğuna göre, 2x düşey asimptot; 4y

yatay asimptottur. Paydanın kökü düşey asimptot olduğuna göre,

b

cx0cbx

2b

c

b

c2 dir.

Fonksiyonun limiti yatay asimptot olduğuna göre,

4b

a

b

a

cbx

6ax

xlim

tür.

2b

c ve 4

b

a eşitlikleri taraf tarafa bölünürse

2

1

a

c

olarak bulunur. KONU BİTMİŞTİR.

fonksİyonlarin grafİklerİnİn...

Documents