Download - Fractional Factorial2
Fractional Factorial (FF)
Oleh :
( Kelompok VI )
Nurlina (60600109021)
Febriani (60600109005)
Rismawati (606001090)
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI ALAUDDIN
MAKASSAR
2011
BAB IIITWO_LEVEL FRACTIONAL FACTORIAL DESIGNS
“Rancangan Fractional Faktorial Dua Level”
A. Alasan Menggunakan Rancangan Faktorial Sebagian (Fractional Fraction)
1. Prinsip efek sparsitas (Sparsity of effects)
a. Mungkin ada banyak fakor, namun hanya beberapa yang
penting.
b. System didominasi oleh efek utama, low-order interactions
2. Dalam situasi penyaringan (screening), dimana diperkirakan hanya sebagian
kecil faktor yang penting.
3. Kelompok-kelompok percobaan dilaksanakan secara bertahap.
4. Interaksi-interaksi dari faktor tertentu yang beralias dengan faktor interaksi
yang lebih tinggi untuk sementara dapat dianggap tidak ada (dapat diabaikan).
Dengan kata lain, faktor-faktor tertentu yang mungkin mempunyai interaksi
yang beralias dengan faktor tersebut, pengaruhnya digambarkan dengan efek
utama saja.
Jika banyak faktor pada desain factorial 2k makin besar, maka banyaknya
percobaan (run) yang harus dilakukan makin bertambah besar pula. Sebagai
contoh pada desain 26 akan dubutuhkan 64 runs. Padahal dari desain ini dari 63
derajat bebas total akan terbagi hanya 6 derajat bebas untuk efek-efek utama, dan
hanya 15 untuk interaksi 2 faktor, sedangkan sisanya 42 untuk interaksi tiga faktor
dan interaksi yang lebih tinggi.
Jika peneliti mempunyai alasan untuk mengasumsikan bahwa interaksi
tingkat tinggi dapat diabaikan, maka informasi tentang efek-efek utama dan
interaksi tingkat rendah dapat diperoleh hanya dengan melakukan percobaan
sebagian saja dari percobaan factorial lengkap. Desain yang digunakan disebut
desain factorial sebagian (Fractional Factorial Desaign). Desain ini banyak
digunakan dalam perancangan produk dan proses serta untuk perbaikan proses
(Process improvement)
Tujuan utama dari desain factorial ini adalah untuk Screening experiments,
yakni pada jenis eksperimen ini ada banyak faktor yang harus dipertimbangkan
dan tujuannya untuk mengidentifikasi faktor-faktor (jika ada) yang mempunyai
efek besar baru kemudian dilanjutkan ke eksperimen berikutnya untuk meneliti
lebih detail terhadap faktor-faktor yang efeknya besar tersebut.
Desain fraksional (fractional factorial design) disajikan menggunakan
notasi lk – p;
Dengan:
l adalah jumlah level setiap faktor yang diselidiki
k adalah jumlah faktor yang diteliti, dan
p menggambarkan ukuran fraksi faktorial yang digunakan.
Sebagai contoh, desain 25 − 2 adalah desain 1/4 dari dua level dan lima faktor
desain faktorial. Daripada mendesain 32 percobaan yang diperlukan untuk
percobaan full factorial design 25, penelitian ini hanya membutuhkan delapan
percobaan dengan tingkat kesalahan yang tentunya lebih kecil.
B. Pengertian Rancangan Fractional Factorial (FF)
Rancangan FF dengan dua taraf/level dinotasikan dengan 2k-p merupakan
rancangan yang mencobakan hanya 2k-p kombinasi perlakuan dari seluruh 2k
kombinasi perlakuan lengkap.
Rancangan FF yang akan didiskusikan paling awal adalah yang paling
sederhana yaitu 2k-p. Rancangan ini melibatkan k faktor dan dua taraf. Alih-alih
melibatkan 2k perlakuan seperti pada rancangan faktorial lengkap, rancangan ini
hanya menggunakan 1/2p atau 2-p dari total kombinasi atau sebanyak 2k-p. Nilai 2-p
disebut sebagai fraksi rancangan.
Untuk mendapatkan rancangan 2k-p yang harus dilakukan adalah sebagai
berikut.Pertama susun (k - p) kolom yang berisi 2k-p kombinasi lengkap dari (k - p)
faktor. Notasi yang digunakan untuk taraf setiap faktor adalah '+' dan '-'.
Selanjutnya p faktor atau kolom lainnya diperoleh dengan mengalikan unsur
kolom sebelumnya menggunakan p buah generator yang saling bebas.
Fraksi Percobaan dapat diartikan sebagai seberapa besar proporsi total
kombinasi perlakuan yang akan dicobakan dalam rancangan FF. adapun jenis
fraksi percobaan yang sering digunakan adalah:
Fraksi setengah (The one-half Fraction), mencobakan hanya setengah
bagian dari kombinasi perlakuan lengkap. Bentuk rancangan dari
percobaan setengan fraksi ini adalah 2k-1.
Contoh: percobaan 25-1 melakukan 16 kombinasi perlakuan dari 32
kombinasi perlakuan lengkap.
Fraksi seperempat (The One-Quarter Fraction), percobaan fraksi
seperempat mencobakan hanya seperempat bagian dari kombinasi perlakuan
lengkap dan bentuk rancangannya adalah 2k-2.
Contoh: Percobaan 25-2.melakukan 8 dari 32 kombinasi perlakuan lengkap.
Sebuah rancangan dikatakan memiliki resolusi R jika tidak ada pengaruh i
faktor ber-alias dengan pengaruh lain yag mengandung kurang dari R-1 faktor.
Beberapa resolusi yang biasa digunakan dapat dilihat pada tabel berikut:
Tabel resolusi dan maknanya
Resolusi Keterangan
Resolusi III(2III3-1)
I = ABC
Pengaruh faktor utama tidak ber-alias dengan pengaruh faktor utama tetapi ber-alias dengan pengaruh interaksi dua faktor yang lebih tinggi.
Resolusi IV(2IV4-1)
I = ABCD
Pengaruh interaksi dua faktor tidak ber-alias dengan pengaruh faktor utama tetapi ber-alias dengan pengaruh interaksi dua faktor yang lebih tinggi.
Resolusi V(2V5-1)
I = ABCDE
Pengaruh interaksi dua faktor tidak ber-alias dengan pengaruh utama dan pengaruh interaksi dua faktor, tetapi ber-alias dengan pengaruh interaksi tiga faktor dan yang lebih tinggi.
Misalkan ada percobaan 3 faktor masing-masing 2 level yang
dipertimbangkan, tetapi peneliti tidak dapat melakukan run percobaan sebanyak
23=8 kombinasi treatment. Anggap hanya bisa melakukan 4 run, sehingga desain
yang digunakan adalah desain FF dengan fraksi setengah dari desain 23 atau sering
dinotasikan dengan desain 23-1.
Efek berbagai faktorial sebagai berikut:
A = (abc) + (ac) + (ab) + (a) - (bc) - (c) - (b) - (1)
B = (abc) + (bc) + (ab) + (b) - (ac) - (c) - (a) - (1)
C = (abc) + (bc) + (ac) + (c) - (ab) - (b) - (a) - (1)
AB = (abc) + (c) + (ab) + (1) - (bc) - (ac) - (b) - (a)
AC = (abc) + (ac) + (b) + (1) - (bc) - (c) - (ab) - (a)
BC = (abc) + (bc) + (a) + (1) - (ac) - (c) - (ab) - (b)
ABC = (abc) + (c) + (b) + (a) - (bc) - (ac) - (ab) - (1)
Misalkan peneliti memilih 4 kombinasi treatment yaitu a, b, c, dan abc.
Perhatikan bahwa peneliti hanya memilih eksperimen yang kolom ABC bertanda
positif saja.Sehingga ABC disebut bertanda positif saja. Sehingga ABC disebut
generator dan I = ABC disebut defining relation dari desain fraction ini. Secara
umum defining relation untuk suatu fractional factorial adalah kolom yang sama
tandanya dengan kolom identitas I.
Berdasarkan setengah dari tabel di atas diperoleh dugaan efek utama A, B,
dan C adalah:
A= ½ [a-b-c+abc]
B = ½ [-a+b-c+abc]
C= ½ [-a-b+c+abc]
Sedangkan dugaan dari interaksi dua faktor adalah:
BC = ½ [a-b-c+abc]
AC= ½ [-a+b-c+abc]
AB = ½ [-a-b+c+abc]
Sehingga nampak bahwa:
dinamakan kontras:
A, B,…K =
A= BC
B = AC
C = AB
Yang konsekuensinya adalah tidak mungkin membedakan antara A
dengan BC, B dengan AC dan C dengan AB. Karena dalam kenyataannya ketika
kita menduga A dan BC (ditulis A + BC), B dan AC (ditulis B + AC), serta C dan
AC (ditulis C + AB), hal ini sering dinotasikan :
A A + BC,
B B + AC
C C + AB
Dua atau lebih efek efek yang memiliki sifat seperti ini disebut aliases,
sehingga pada contoh kasus ini A dan BC beralias (aliases), B dengan AC
beralias, dan C denngan AB beralias.
Struktur alias untuk desain dengan defining relation I = ABC pada contoh
ini dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut:
A . I = A . ABC = A2 . BC = BC (karena kuadrat dari setiap kolom
selalu = kolom I)
B . I = B . ABC = AB2C = AC
C . I = C . ABC = ABC2 = AB
Setengah fraction dengan I = +ABC, biasanya disebut dengan principal
fraction.
Jika pada kasus ini dipilih defining relation I= -ABC yaitu yang dilakukan
percobaan adalah 1, ab, ac, dan bc maka akan diperoleh ketika sedang menduga
A, B, dan C. kenyataannya yang diduga adalah A – BC, B – AC, dan C – AB.
Dalam praktek desain fractional factorial I = ABC dan I = -ABC tidak dibedakan
atau sama famili.
Sehingga dapat dinuliskan bentuk-bentuk tabel plus dan minus untuk tiap resolusi sbb:
Tabel untuk 2IV4-1 dengan I = ABCD
Percobaan(runs) I
Faktor Kombinasi perlakuan
ResponA B C D=ABC
12345678
++++++++
-+-+-+-+
--++--++
----++++
-++-+--+
(1)adbdabcdacbc
abcd
Tabel untuk 2V5-1 dengan I = ABCDE
Percobaan(runs) I
Faktor Kombinasi perlakuan
ResponA B C D E=ABCDE
12345678910111213141516
++++++++++++++++
-+-+-+-+-+-+-+-+
--++--++--++--++
----++++----++++
--------++++++++
+--+-++--++-+--+
(e)ab
abec
acebceabcd
adebdeabdcdeacdbcd
abcde
Sebagai contoh desain 2 III3−1 diperoleh dengan cara pertama-tama menuliskan
bentuk full 22 factorial sebagai basic design dan kemudian menyamakan faktor C
dengan interaksi AB. Perhatikan tabel berikut:
Fraksi setengah dari desain 2k dengan resolusi tertinggi dapat dibentuk dengan
menuliskan kembali basic design (tanda faktor A bergantian dengan tanda (-) dan
(+), tanda untuk faktor B bergantian 2 kali (-) dan dua kali (+), faktor C
bergantian 4 kali (-) dan 4 kali (+), dst). Untuk runs dari full factorial 2k-1 dan
kemudian menambahkan faktor ke-k yang tanda plus minusnya sama dengan
interaksi AB… (k-1)
C. Model Matematis
Model matematis dari rancangan fractional factorial yaitu;
Y=β0+β1 x1+β2 x2+β3 x3+β4 x4+…+ε
Keterangan:
Yijk = pengamatan pada satuan percobaan ke-I yang memperoleh
kombinasi perlakuan taraf ke-j dari factor A dan taraf ke-k dari factor B
β0= mean populasi
βn = efek dari beberapa faktor
D. Tabel Anova
Secara umum, bentuk tabel Anova dari Rancangan Fractional factorial
adalah sebagai berikut:
Sumber Keragaman
Derajat Kebebasan
Jumlah Kuadrat
Kuadrat Tengah
F-Hitung
Rata-rata
Efek utamaABC...
Interaksi 2 faktor
ABACBC
.
.
.
Interaksi 3 faktor
ABCACDBCD
.
.
.
Interaksi 4 faktor dan seterusnya.
Error (kekeliruan)
Total
1
k111...
k (k−1)2
111...
k (k−1)(k−2)6
111...
2k (r−1)
r .2k
JKR
JKAJKBJKC
.
.
.
JKABJKACJKBC
.
.
.
JKABCJKACDJKBCD
.
.
.
.
.
JKEJKT
KTR
KTAKTBKTC
.
.
.
KTABKTACKTBC
.
.
.
KTABCKTCD
KTBCD...
.
.
KTEKTT
KTR/KTE
KTA/KTEKTB/KTEKTC/KTE
.
.
.
KTAB/KTEKTAC/KTEKTBC/KTE
.
.
.
KTABC/KTEKTCD/KTE
KTBCD/KTE...
.
.
KTE/KTEKTT/KTE
E. Contoh Kasus
Anggap ada 3 faktor dan 2-level yang akan diteliti , akan tetapi peneliti
hanya dapat melakukan 4 runs(percobaan) saja, sehingga dipilih desain fractional
factorial resolusi III dengan I = ABC. Hasil eksperimennya adalah sebagai
berikut:
Misal kasus yang diteliti ialah mengenai hasil semacam zat kimia karena
kondisi temperatur dan konsentrasi larutan yang berlainan, serta pada tekanan
tertentu dengan replikasi percobaan sebanyak tiga kali, seperti tampak pada tabel
berikut:
Temperatur
(B)
Konsentrsi larutan (A)30% 60%
Tekanan (C)
Rendah TinggiI II II I II III
50 0C 28 25 27 18 19 23100 0C 36 32 32 31 30 29
Solusi:
Dari tabel hasil pengamatan di atas, dengan menggunakan rancangan FF,
table tersebut dapat ditulis dalam bentuk:
Faktor Kombinasi
perlakuan
Replikasi Total
A B C=AB I II III
- - + 1 28 25 1 80+ - - a 36 32 32 100- + - b 18 19 23 60
+ + + ab 31 30 29 90
Sehingga kita dapat merumuskan hipotesisnya:
H0 : β0=β1=β2=β12=0
Tidak ada pengaruh signifikan faktor-faktor A, B, dan C terhadap zat kimia
yang dihasilkan.
H1 : Ada β yang tidak = 0.
Ada pengaruh signifikan faktor-faktor A, B, dan C terhadap zat kimia yang
dihasilkan.
Kita dapat memperhatikan kembali basic design untuk 2k dengan k=2 (22)
yang kemudian menuliskan faktor C sebagai interaksi antara faktor A dengan B
( C= AB). Maka untuk menguji data tersebut dapat dilakukan langkah-langkah
sebagai berikut:
A = 1
2.r[ (ab−b )+( a− (I ) ) ]
= 1
2r[ab+a−b−( I ) ] Kontras A
= 1
2(3)[ 90+100−60−80 ]
= 16
[50]
= 8,33
B = 1
2r[ (ab−a )+( b− (I ) ) ]
= 1
2(3)[ab+b−a−( I ) ] Kontras B
= 16
[ 90+60−100−80 ]
= -5,00
C= AB = 1
2r[ (ab−b )−(a−( I ) ) ]
= 1
2(3)[ab+ (I )−a−b ] Kontras C
= 16
[ 90+80−100−60 ]
= 1,67
Jadi, untuk membuat tabel Anovanya yaitu :
SSA = ( Kontras A )2
4 r =
(50 )2
4 (3) = 208,33
SSB= ( Kontras B )2
4 r =
(−30 )2
4(3) = 75,00
SSC= ( Kontras AB )2
4 r =
(10 )2
4 (3) = 8,33
Sehingga,
SST =∑i=1
2
∑j=1
2
∑k=1
n
y ijk2 - y2
4 n
= 9398,00 – 9075,00
= 323,00
Maka diperoleh :
SSE = SSF – SSA – SSB – SSC
= 323,00 – 208,33 – 75,00 – 8,33
= 31,34
Jadi, tabel Anovanya :
Source of
Variation
Sum of
Square (SS)
Degrees of
Freedom (df)
Mean
Square
(MS)
F.Hitung P.value
A 208,33 1 208,33 33,15 0,0001
B 75,00 1 75,00 19,13 0,0024
C 8,33 1 8,33 2,13 0,1826
Error 31,34 8 3,92
Total 323,00 12
Model Regresinya dapat ditulis :
Ŷ = β0 + β1x1 + β2x2 + β12x3
ŷ = 82,5 + (8,33)
2 x1+
(−5,00)2
+ (1,67)
2 x3 + 31,34
Adapun teknik analisis data untuk kasus fractional faktorial pada kasus
tersebut dengan menggunakan software SPSS adalah sbb:
1. Input variable yang digunakan pada kolom variable view
2. Input data pada kolom variable view
3. Klik Analyze
4. Klik General Linear Model (GLM)
5. Klik Unvariate...
Pada kotak dialog unvariate, isikan:
Dependent Variabel: masukkan data-data pengamatan
Fixed Factor(s): masukkan faktor-faktor yang terkait
6. Kilik Model ...
Specify Model: pilih full Factorial
Klik include intercept in model
Klik Continue
7. Jika pada output data ingin menampilkan grafiknya, Klik Plots...
Horizontal Axis: masukkan faktor yang terkait
Separete Lines: masukkan faktor yang terkait
Klik Add
Klik continue
1. Klik Post Hoc...
Post Hoc Tests for: masukkanfaktor-faktor yang terkait
Equal Variance Assumed: ceklis LSD dan Tukey.
Klik Continue
2. Klik OK
Adapun outputnya :
Univariate Analysis of Variance
[DataSet0]
Between-Subjects Factors
Value Label N
konsentrasi larutan 1.00 30% 6
2.00 60% 6
Temperatur 1.00 50 drj C 6
2.00 100 drj C 6
Tests of Between-Subjects Effects
Dependent Variable:output
Source Type III Sum of
Squares df Mean Square F Sig.
di
m
en
si
on
1
Model 9366.667a 4 2341.667 597.872 .000
A 208.333 1 208.333 53.191 .000
B 75.000 1 75.000 19.149 .002
A * B 8.333 1 8.333 2.128 .183
Error 31.333 8 3.917
Total 9398.000 12
a. R Squared = .997 (Adjusted R Squared = .995)
Kesimpulan :
Dari hasil analisis dengan SPSS 18. 0, maka cukum membandingkan nilai Sig
dengan α yang ditentukan , Karena nilai dari Asymp. Sig. Untuk medel regresinya
(0.000< 0.05 &0.000< 0.1) sehingga untuk taraf signifikansi α=5% dan α=10 %,
maka Ho ditolak artinya Ada pengaruh signifikan faktor-faktor A, B, dan C
terhadap zat kimia yang dihasilkan.
F. Kelebihan dan Kekurangan
Keuntungan dari rancanganfractionalfraction:
1. Dapat mengurangi penggunaan sumber daya sperti waktu, biaya dan
lain-lain
2. Dapat mengurangi terjadinya kesalahan dalam eksperimen.
3. Ketika banyak faktor yang sedang diselidiki, bagaimanapun, desain
faktorial penuh kadang-kadang sudah memiliki data yang lebih dari
cukup yang dikumpulkan.Sehingga interaksi antara banyak faktor
menjadi sulit untuk ditafsirkan. Maka alternatif yang dapat diambil ialah
dengan menggunakan rancangan faktorial pecahan/sebagian
Kekurangan percobaan Fractional Factorial
Kekurangan pada percobaan fractional fraction ini ialah pada masalah
pemilihan tingkat resolusi. kriteria resolusi tertinggi kadang kala tidak
cukup karena beberapa rancangan yang berbeda dapat memiliki resolusi
yang sama.