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Luís Veiga/2014
História das frações
As frações tiveram origem no Egito, quando os geômetras dos faraós precisaram utilizar cordas para demarcar áreas de plantio ao longo do Nilo. Como as áreas nem sempre podiam ser medidas com o comprimento total da corda mestra, eles sentiram necessidade de dividir essa corda em pedaços menores de mesmo tamanho.
A palavra fração vem do latim fractione e quer dizer “dividir, quebrar, rasgar”.
Fração, no quotidiano, também quer dizer “porção”,
“parte de um todo”.
O QUE QUER DIZER FRAÇÃO?
PARA QUE
SERVEM AS
FRAÇÕES?
Os números fracionários surgiram da necessidade de representar uma
medida que não tem uma quantidade inteira de unidades, isto é, da
necessidade de se repartir a unidade de medida.
Os Egípcios conheciam as frações de numerador 1 e esta era a forma que
eles usavam para representá-las.
31
61
201
Fração é uma forma de se representar uma quantidade a partir de um valor, que é dividido por um determinado número de partes iguais.
Como é que se representaria a quantidade referente ao número 1 que foi dividida em 8 partes iguais?Simplesmente através da seguinte fração:
podemos dizer que o 1 corresponde ao numerador da fração e que o 8 corresponde ao seu denominador
ATENÇÃO: Componentes das Frações
O número que está embaixo – indica em quantas partes
iguais o numerador será dividido – é o DENOMINADOR. O número que está em cima – total a ser dividido/ número de
partes escolhidas – é o NUMERADOR. Barra: indica a divisão
NUMERADOR
DENOMINADOR
4/16
16/16
Podemos dizer que o 4 corresponde ao numerador da fração e que o 16 corresponde ao seu denominador.A fração 4/16 pode significar que das 16 partes que compõe a figura, estamos a considerar apenas 4 delas, ou seja, estamos a considerar apenas quatro dezasseis avos da figura.
12/16
Temos 12 das 16 partes em laranja, que podemos então representar por 12/16.Neste caso estamos a considerar doze dezasseis avos da figura.
Nela temos 16 das 16 partes em laranja, que podemos então representar por 16/16.Se estiveres atento, já percebeste que 16/16 equivale a 1, ou seja, a figura toda em laranja.
ATENÇÃO: A partir do número ONZE, dizemos o número em cardinal seguido da palavra AVOS, exemplos:
Três Quinze Avos
Oito Trinta e Dois Avos
Leitura de fracções
21
um meio
31
três décimas
43 três
quartos
512 doze
quintos
65
cinco sextos
72 dois
sétimos
87 sete
oitavos
921 vinte e um
nonos
103
um terço
quatro onze avos11
4
Leitura de fracções
Números FracionáriosNúmeros de Partes
Nome da Parte
2 Meio
3 Terço
4 Quarto
5 Quinto
6 Sexto
7 Sétimo
8 Oitavo
Números de Partes Nome da Parte
9 Nono
10 Décimo
11 Onze Avos
12 Doze Avos
13 Treze Avos
100 Centésimo
1000 Milésimo
Leitura de fracções
FRAÇÕES NÚMEROS INTEIROS!!!!
A fração 8/4 é um número inteiro, uma vez que representa um quociente exato entre o numerador e o denominador (8 : 4 = 2). Sempre que o numerador é múltiplo do denominador a fração representa um número inteiro.
São também exemplos de números inteiros as frações 4/4, 4/1 e 16/8 , que representam, respetivamente, os números inteiros 1, 4 e 2
Número Racional Inteiro
O conjunto dos números naturais é infinito .Embora o zero não seja um número natural, pois nenhuma contagem natural lhe dá origem, iremos considerá-lo como fazendo parte deste conjunto, visto possuir as mesmas propriedades algébricas dos restantes números naturais.O conjunto dos números naturais é constituído pelos algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, sendo representados pela letra ( ℕ ℕ0 ) ℕ0 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }
Por exemplo, a fração é igual a 12÷4. Neste caso, 12 é o numerador e 4 é o denominador. Efetuando a divisão de12 por 4, obtemos o quociente 3, e um resto de 0. Assim 12 é múltiplo de 4, pelo que é um número natural.
Comparação de frações com a unidade
Uma fração é maior que um, quando o numerador é maior que o denominador.
106 >1
Uma fração é menor que um, quando o numerador é menor que o denominador.
56 <1
66=1 Uma fração é igual a um, quando o
numerador e o denominador são iguais
Números RacionaisO CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS É UM CONJUNTO REPRESENTADO PELA LETRA ℚ E QUE É COMPOSTO PELOS NÚMEROS INTEIROS E PELOS NÚMEROS FRACIONÁRIOS.UM NÚMERO RACIONAL INTEIRO, OU FRACIONÁRIO, É UM NÚMERO QUE PODE SER ESCRITO NA FORMA
Número Racional FracionárioNúmero racional fracionário, porque o numerador não é múltiplo do denominador.
Exemplos Dois não é múltiplo de 8
Pode ser representado por:
ou 2:8= 0,25
Número Racional FracionárioUm NÚMERO FRACIONÁRIO é um número que pode ser representado por uma fração, mas que não é um número inteiro.
Número Racional FracionárioO conjunto dos NÚMEROS RACIONAIS é formadopelos números inteiros e pelos números fracionários.
Todo o número racional pode ser representado por uma fração.
Na fração 10/4, o numerador não é múltiplo do denominador. Neste caso, 10/4 é um número fracionário.
A sua representação decimal (2,5) corresponde à divisão exata entre o numerador e o denominador (10 : 4 = 2,5). Trata-se de uma dízima finita.
NÚMEROS FRACIONÁRIOS E DÍZIMAS……
Dízima é a representação decimal de um número.Dízima é composta por uma parte inteira e uma parte decimal.Ex.: 3/8 representação de um número decimal em forma de fração.3/8=0,375 – representação do número decimal na forma de dízima.
NÚMEROS FRACIONÁRIOS E DÍZIMAS……
3 0,310
49 0,49
100
19 0,0191000
1 0,000110 000
Exem
plos
FRAÇÕES DECIMAIS
Exemplos 310
49100
191000
110 000
Frações decimais são todas as frações cujo denominador está representado por 10, 100, 1000, 10000,…
104
1007
10003
Para se transformar uma fração decimal num número decimal, basta dividir o numerador pelo denominador. E, esse quociente possui tantas casas decimais iguais quanto o número de zeros do denominador.
Todos os números decimais podem ser representados na forma de fração decimal.
FRAÇÕES DECIMAIS NÚMEROS DECIMAIS Exemplos
FRAÇÕES
FRAÇÃO PRÓPRIA: O numerador é menor que o denominador;
FRAÇÃO IMPRÓPRIA: O numerador é maior ou igual ao denominador;
FRAÇÃO APARENTE: O numerador é múltiplo do denominador;
Dado que todo o número é múltiplo de si próprio, há frações impróprias que também são aparentes.
𝟔𝟔
FRAÇÕES EQUIVALENTES:
Quando duas ou mais frações representam a mesma quantidade, estamos a falar de frações equivalentes:
Em amarelo, a parte que tomamos.Comprovará que é a metade do pastel, que em forma de fração escreveremos:
O mesmo pastel, está agora dividido em quatro partes. Dessas 4 partes tomamos duas (em amarelo). A verdade é que a parte amarela (as partes tomadas) representa a metade do pastel. Estas duas partes que tomamos podem ser escritas
Vemos que representam a mesma e
quantidade (a metade do pastel), são iguais ou também chamadas equivalentes.
O pastel está dividido em 6 partes, das quais tomamos 3. Esta quantidade é
representada por
Podemos dizer querepresentam a mesma quantidade de pastel.
Estas frações, por representarem o mesmo valor (a metade do pastel) chamam-se frações equivalentes.
podemos calcular, a partir da primeira fração, multiplicando o numerador e o denominador pelo mesmo número; por 2 para a segunda fração e por 3 para conseguir a terceira.
http://www.portalcursos.com/CursoFracoes/curso/Lecc-2.htm
FRAÇÕES EQUIVALENTES
122
61
: 2
: 2
=
Encontrar frações equivalentes a
124
31
62
= =
× 2 × 2
× 2 × 2
124
31
62
= =
: 2 : 2
: 2 : 2
31
124
FRAÇÕES EQUIVALENTES
=
156
52
x 3
x 3
=
COMO SABER SE DUAS FRAÇÕES SÃO EQUIVALENTES DE MANEIRA RÁPIDA?
Basta multiplicar os números em forma cruzada.
Os termos são multiplicados em cruz Se 72x10 = 8x90 as frações são equivalentes.Vemos que em ambos os casos os produtos valem 720, então e são equivalentes.
Temos duas frações:
Se os produtos de 3x20 e 5x12 têm o mesmo resultado, as frações são equivalentes. Caso os resultados dos produtos fossem diferentes, as frações não seriam equivalentes.
Para obtermos frações equivalentes temos de multiplicar ou dividir por um mesmo número o numerador e o denominador.
Temos a fração Se fizermos a divisão, obtemos como quociente 0,66.
Se o numerador é dividido por 3 obtenho:
Como podes perceber os quocientes encontrados, 0,66 e 0,22, não são iguais, então, a operação que fizemos é errada.
É preciso multiplicar ou dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número:
Como se vê são equivalentes. Os seus quocientes são iguais a 0,66.
Vamos transformar numa fração equivalente, mas com numerador igual a 15.
Para que o numerador seja igual a 15, será preciso multiplicá-lo por 5 e também por esta quantidade terá que ser multiplicado o denominador.
O resultado é
Exemplos:
Vamos transformar
Exemplos:em outras frações equivalentes, mas com numeradores iguais.
Se são multiplicados os dois termos de
por 2:
Se são multiplicados os dois termos de
por 6:
e São equivalentes
e São equivalentes
Simplificação de fraçõesSimplificar frações é tornar a fração menor e ao mesmo tempo numa fração equivalente através da divisão do numerador e do denominador pelo mesmo número ( número inteiro que divida de forma exata os dois números – numerador e denominador.Ex.:
122
61
: 2
: 2
=
Ex.:
OPERAÇÕES COM FRAÇÕESAdição de Frações
Frações com Denominadores iguais: Mantemos o denominador e somamos os numeradores.
Ex.:
Subtração de Frações
Frações com Denominadores iguais: Mantemos o denominador e subtraimos os numeradores.
Ex.:
OPERAÇÕES COM FRAÇÕESMultiplicação de Frações
Multiplicamos numerador por numerador e denominador por denominador.
Ex.:
OPERAÇÕES COM FRAÇÕESDivisão de Frações
Mantemos a primeira fração, depois invertemos a segunda (troca-se numerador por denominador). Realizamos, então, a multiplicação normalmente.
OPERAÇÕES COM FRAÇÕESAdição e subtração de números mistos
O QUE É UM NÚMERO MISTO?
Número misto é um número que tem uma parte inteira e outra fracionária.Ex.: A parte inteira é: 3 e a fração é
A parte inteira é 1 e a fracionária é
Parte Inteira
Parte Fracionária ou Fração
OPERAÇÕES COM FRAÇÕESAdição e subtração de números mistos
O QUE É UM NÚMERO MISTO?
OPERAÇÕES COM FRAÇÕESAdição e subtração de números mistos
Para adicionar várias números, representados por números mistos, primeiro adicionamos os números inteiros e em seguida adicionamos as frações.
OPERAÇÕES COM FRAÇÕESAdição e subtração de números mistos
Para subtrair várias números, representados por números mistos, primeiro subtraímos os números inteiros e em seguida subtraímos as frações.
Converter um número misto numa fração
Podemos transformar um NÚMERO MISTO novamente em FRAÇÃO. Como?
Inteiros divididos na mesma quantidade da fração
Converter um número misto numa fração
Multiplicamos o inteiro pelo denominador e adicionamos o numeradorMantemos o denominador.
Podemos transformar um NÚMERO MISTO novamente em FRAÇÃO usando um outro modo:
X
+
Multiplicar a parte inteira pelo DENOMINADOR
Ao resultado da multiplicação soma-se o NUMERADOR.
Então temos:O DENOMINADOR continua o mesmo.
Decompor frações em números mistos
36 - fazemos a divisão simples 36 5 5 1 7-da divisão resulta uma parte inteira que é o 7
(resto) 1 (divisor) 5 1 Então obtivemos 7 5
é o quociente sem ser feito
Quando multiplicamos um número inteiro por uma fração: a) escrevemos o número inteiro como uma fração de denominador 1 e efetuamos a multiplicação como se de multiplicação de frações se tratasse.Ex.:
b) multiplicamos o número inteiro pelo numerador da fração (colocando-o em cima da barra) e mantemos o denominador da fração.Ex.:
Operações com frações e inteiros ( x ) Multiplicar um número inteiro por uma fração
Para dividir uma fração por um número inteiro, procedemos assim:
a) Escrevemos o número inteiro como uma fração de denominador 1;
b) Mantemos a primeira fração e invertemos a segunda (à qual colocamos o denominador 1) e efetuamos uma multiplicação.
Ex.:
Operações com frações e inteirosDividir uma fração por um número inteiro
Ordenar frações com o mesmo denominador
Para frações com o mesmo denominador, representam um número maior a fração que tiver maior numerador.
Ordenar frações com o mesmo numerador
Para frações com o mesmo numerador, representa um número maior a fração que tiver menor denominador.
Cavaleiro/2014