Luís Veiga/2014

História das frações

As frações tiveram origem no Egito, quando os geômetras dos faraós precisaram utilizar cordas para demarcar áreas de plantio ao longo do Nilo. Como as áreas nem sempre podiam ser medidas com o comprimento total da corda mestra, eles sentiram necessidade de dividir essa corda em pedaços menores de mesmo tamanho.

A palavra fração vem do latim fractione e quer dizer “dividir, quebrar, rasgar”.

Fração, no quotidiano, também quer dizer “porção”,

“parte de um todo”.

O QUE QUER DIZER FRAÇÃO?

PARA QUE

SERVEM AS

FRAÇÕES?

Os números fracionários surgiram da necessidade de representar uma

medida que não tem uma quantidade inteira de unidades, isto é, da

necessidade de se repartir a unidade de medida.

Os Egípcios conheciam as frações de numerador 1 e esta era a forma que

eles usavam para representá-las.

31

61

201

Fração é uma forma de se representar uma quantidade a partir de um valor, que é dividido por um determinado número de partes iguais.

Como é que se representaria a quantidade referente ao número 1 que foi dividida em 8 partes iguais?Simplesmente através da seguinte fração:

podemos dizer que o 1 corresponde ao numerador da fração e que o 8 corresponde ao seu denominador

ATENÇÃO: Componentes das Frações

O número que está embaixo – indica em quantas partes

iguais o numerador será dividido – é o DENOMINADOR. O número que está em cima – total a ser dividido/ número de

partes escolhidas – é o NUMERADOR. Barra: indica a divisão

NUMERADOR

DENOMINADOR

4/16

16/16

Podemos dizer que o 4 corresponde ao numerador da fração e que o 16 corresponde ao seu denominador.A fração 4/16 pode significar que das 16 partes que compõe a figura, estamos a considerar apenas 4 delas, ou seja, estamos a considerar apenas quatro dezasseis avos da figura.

12/16

Temos 12 das 16 partes em laranja, que podemos então representar por 12/16.Neste caso estamos a considerar doze dezasseis avos da figura.

Nela temos 16 das 16 partes em laranja, que podemos então representar por 16/16.Se estiveres atento, já percebeste que 16/16 equivale a 1, ou seja, a figura toda em laranja.

ATENÇÃO: A partir do número ONZE, dizemos o número em cardinal seguido da palavra AVOS, exemplos:

Três Quinze Avos

Oito Trinta e Dois Avos

Leitura de fracções

21

um meio

31

três décimas

43 três

quartos

512 doze

quintos

65

cinco sextos

72 dois

sétimos

87 sete

oitavos

921 vinte e um

nonos

103

um terço

quatro onze avos11

4

Leitura de fracções

Números FracionáriosNúmeros de Partes

Nome da Parte

2 Meio

3 Terço

4 Quarto

5 Quinto

6 Sexto

7 Sétimo

8 Oitavo

Números de Partes Nome da Parte

9 Nono

10 Décimo

11 Onze Avos

12 Doze Avos

13 Treze Avos

100 Centésimo

1000 Milésimo

Leitura de fracções

FRAÇÕES NÚMEROS INTEIROS!!!!

A fração 8/4 é um número inteiro, uma vez que representa um quociente exato entre o numerador e o denominador (8 : 4 = 2). Sempre que o numerador é múltiplo do denominador a fração representa um número inteiro.

São também exemplos de números inteiros as frações 4/4, 4/1 e 16/8 , que representam, respetivamente, os números inteiros 1, 4 e 2

Número Racional Inteiro

O conjunto dos números naturais é infinito .Embora o zero não seja um número natural, pois nenhuma contagem natural lhe dá origem, iremos considerá-lo como fazendo parte deste conjunto, visto possuir as mesmas propriedades algébricas dos restantes números naturais.O conjunto dos números naturais é constituído pelos algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, sendo representados pela letra ( ℕ ℕ0 ) ℕ0 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }

Por exemplo, a fração é igual a 12÷4. Neste caso, 12 é o numerador e 4 é o denominador. Efetuando a divisão de12 por 4, obtemos o quociente 3, e um resto de 0. Assim 12 é múltiplo de 4, pelo que é um número natural.

Comparação de frações com a unidade

Uma fração é maior que um, quando o numerador é maior que o denominador.

106 >1

Uma fração é menor que um, quando o numerador é menor que o denominador.

56 <1

66=1 Uma fração é igual a um, quando o

numerador e o denominador são iguais

Números RacionaisO CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS É UM CONJUNTO REPRESENTADO PELA LETRA ℚ E QUE É COMPOSTO PELOS NÚMEROS INTEIROS E PELOS NÚMEROS FRACIONÁRIOS.UM NÚMERO RACIONAL INTEIRO, OU FRACIONÁRIO, É UM NÚMERO QUE PODE SER ESCRITO NA FORMA

Número Racional FracionárioNúmero racional fracionário, porque o numerador não é múltiplo do denominador.

Exemplos Dois não é múltiplo de 8

Pode ser representado por:

ou 2:8= 0,25

Número Racional FracionárioUm NÚMERO FRACIONÁRIO é um número que pode ser representado por uma fração, mas que não é um número inteiro.

Número Racional FracionárioO conjunto dos NÚMEROS RACIONAIS é formadopelos números inteiros e pelos números fracionários.

Todo o número racional pode ser representado por uma fração.

Na fração 10/4, o numerador não é múltiplo do denominador. Neste caso, 10/4 é um número fracionário.

A sua representação decimal (2,5) corresponde à divisão exata entre o numerador e o denominador (10 : 4 = 2,5). Trata-se de uma dízima finita.

NÚMEROS FRACIONÁRIOS E DÍZIMAS……

Dízima é a representação decimal de um número.Dízima é composta por uma parte inteira e uma parte decimal.Ex.: 3/8 representação de um número decimal em forma de fração.3/8=0,375 – representação do número decimal na forma de dízima.

NÚMEROS FRACIONÁRIOS E DÍZIMAS……

3 0,310

49 0,49

100

19 0,0191000

1 0,000110 000

Exem

plos

FRAÇÕES DECIMAIS

Exemplos 310

49100

191000

110 000

Frações decimais são todas as frações cujo denominador está representado por 10, 100, 1000, 10000,…

104

1007

10003

Para se transformar uma fração decimal num número decimal, basta dividir o numerador pelo denominador. E, esse quociente possui tantas casas decimais iguais quanto o número de zeros do denominador.

Todos os números decimais podem ser representados na forma de fração decimal.

FRAÇÕES DECIMAIS NÚMEROS DECIMAIS Exemplos

FRAÇÕES

FRAÇÃO PRÓPRIA: O numerador é menor que o denominador;

FRAÇÃO IMPRÓPRIA: O numerador é maior ou igual ao denominador;

FRAÇÃO APARENTE: O numerador é múltiplo do denominador;

Dado que todo o número é múltiplo de si próprio, há frações impróprias que também são aparentes.

𝟔𝟔

FRAÇÕES EQUIVALENTES:

Quando duas ou mais frações representam a mesma quantidade, estamos a falar de frações equivalentes:

Em amarelo, a parte que tomamos.Comprovará que é a metade do pastel, que em forma de fração escreveremos:

O mesmo pastel, está agora dividido em quatro partes.  Dessas 4 partes tomamos duas (em amarelo). A verdade é que a parte amarela (as partes tomadas) representa a metade do pastel. Estas duas partes que tomamos podem ser escritas

Vemos que representam a mesma e

quantidade (a metade do pastel), são iguais ou também chamadas equivalentes.

O pastel está dividido em 6 partes, das quais tomamos 3. Esta quantidade é

representada por

Podemos dizer querepresentam a mesma quantidade de pastel.

Estas frações, por representarem o mesmo valor (a metade do pastel) chamam-se frações equivalentes.

podemos calcular, a partir da primeira fração, multiplicando o numerador e o denominador pelo mesmo número; por 2 para a segunda fração e por 3 para conseguir a terceira.

http://www.portalcursos.com/CursoFracoes/curso/Lecc-2.htm

FRAÇÕES EQUIVALENTES

122

61

: 2

: 2

=

Encontrar frações equivalentes a

124

31

62

= =

× 2 × 2

× 2 × 2

124

31

62

= =

: 2 : 2

: 2 : 2

31

124

FRAÇÕES EQUIVALENTES

=

156

52

x 3

x 3

=

COMO SABER SE DUAS FRAÇÕES SÃO EQUIVALENTES DE MANEIRA RÁPIDA?

Basta multiplicar os números em forma cruzada.

Os termos são multiplicados em cruz Se 72x10 = 8x90 as frações são equivalentes.Vemos que em ambos os casos os produtos valem 720, então e são equivalentes.

Temos duas frações:

Se os produtos de 3x20 e 5x12 têm o mesmo resultado, as frações são equivalentes. Caso os resultados dos produtos fossem diferentes, as frações não seriam equivalentes.

Para obtermos frações equivalentes temos de multiplicar ou dividir por um mesmo número o numerador e o denominador.

Temos a fração Se fizermos a divisão, obtemos como quociente 0,66.

Se o  numerador é dividido por 3 obtenho:

Como podes perceber os quocientes encontrados, 0,66 e 0,22, não são iguais, então, a operação que fizemos é errada.

É preciso multiplicar ou dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número:

Como se vê são equivalentes. Os seus quocientes são iguais a 0,66.

Vamos transformar numa fração equivalente, mas com numerador igual a 15.

Para que o numerador seja igual a 15, será preciso multiplicá-lo por 5 e também por esta quantidade terá que ser multiplicado o denominador.

O resultado é

Exemplos:

Vamos transformar

Exemplos:em outras frações equivalentes, mas com numeradores iguais.

Se são multiplicados os dois termos de

por 2:

Se são multiplicados os dois termos de

por 6:

e São equivalentes

e São equivalentes

Simplificação de fraçõesSimplificar frações é tornar a fração menor e ao mesmo tempo numa fração equivalente através da divisão do numerador e do denominador pelo mesmo número ( número inteiro que divida de forma exata os dois números – numerador e denominador.Ex.:

122

61

: 2

: 2

=

Ex.:

OPERAÇÕES COM FRAÇÕESAdição de Frações

Frações com Denominadores iguais: Mantemos o denominador e somamos os numeradores.

Ex.:

Subtração de Frações

Frações com Denominadores iguais: Mantemos o denominador e subtraimos os numeradores.

Ex.:

OPERAÇÕES COM FRAÇÕESMultiplicação de Frações

Multiplicamos numerador por numerador e denominador por denominador.

Ex.:

OPERAÇÕES COM FRAÇÕESDivisão de Frações

Mantemos a primeira fração, depois invertemos a segunda (troca-se numerador por denominador). Realizamos, então, a multiplicação normalmente.

OPERAÇÕES COM FRAÇÕESAdição e subtração de números mistos

O QUE É UM NÚMERO MISTO?

Número misto é um número que tem uma parte inteira e outra fracionária.Ex.: A parte inteira é: 3  e a fração é

A parte inteira é 1 e a fracionária é

Parte Inteira

Parte Fracionária ou Fração

OPERAÇÕES COM FRAÇÕESAdição e subtração de números mistos

O QUE É UM NÚMERO MISTO?

OPERAÇÕES COM FRAÇÕESAdição e subtração de números mistos

Para adicionar várias números, representados por números mistos, primeiro adicionamos os números inteiros e em seguida adicionamos as frações.

OPERAÇÕES COM FRAÇÕESAdição e subtração de números mistos

Para subtrair várias números, representados por números mistos, primeiro subtraímos os números inteiros e em seguida subtraímos as frações.

Converter um número misto numa fração

Podemos transformar um NÚMERO MISTO novamente em FRAÇÃO. Como?

Inteiros divididos na mesma quantidade da fração

Converter um número misto numa fração

Multiplicamos o inteiro pelo denominador e adicionamos o numeradorMantemos o denominador.

Podemos transformar um NÚMERO MISTO novamente em FRAÇÃO usando um outro modo:

X

+

Multiplicar a parte inteira pelo DENOMINADOR

Ao resultado da multiplicação soma-se o NUMERADOR.

Então temos:O DENOMINADOR continua o mesmo.

Decompor frações em números mistos

36 - fazemos a divisão simples 36 5 5 1 7-da divisão resulta uma parte inteira que é o 7

(resto) 1 (divisor) 5 1 Então obtivemos 7 5

é o quociente sem ser feito

Quando multiplicamos um número inteiro por uma fração: a) escrevemos o número inteiro como uma fração de denominador 1 e efetuamos a multiplicação como se de multiplicação de frações se tratasse.Ex.:

b) multiplicamos o número inteiro pelo numerador da fração (colocando-o em cima da barra) e mantemos o denominador da fração.Ex.:

Operações com frações e inteiros ( x ) Multiplicar um número inteiro por uma fração

Para dividir uma fração por um número inteiro, procedemos assim:

a) Escrevemos o número inteiro como uma fração de denominador 1;

b) Mantemos a primeira fração e invertemos a segunda (à qual colocamos o denominador 1) e efetuamos uma multiplicação.

Ex.:

Operações com frações e inteirosDividir uma fração por um número inteiro

Ordenar frações com o mesmo denominador

Para frações com o mesmo denominador, representam um número maior a fração que tiver maior numerador.

Ordenar frações com o mesmo numerador

Para frações com o mesmo numerador, representa um número maior a fração que tiver menor denominador.

Cavaleiro/2014