Download - fungsi non linear dan penerapan ekonomi
www.themegallery.com
Fungsi kuadrat ialah pemetaan dari himpunan
bilangan nyata R ke dirinya sendiri yang
dinyatakan dengan:
f(x) = y = ax2 + bx + c
dengan a, b, c R dan a 0
Bentuk grafik fungsi kuadrat adalah parabola
Fungsi kuadrat
www.themegallery.com
Berdasarkan Nilai a
i. Jika a > 0 (positif), maka grafik atau
parabola terbuka keatas. Fungsi kuadrat
memiliki nilai ekstrim minimum,
dinotasikan ππππ
ii. Jika a < 0 (negatif), maka grafik atau
parabola terbuka kebawah. Fungsi
kuadrat memiliki nilai ekstrim
maksimum, dinotasikan ππππ
www.themegallery.com
Berdasarkan Nilai Diskriminan (D)
D = ππ- 4ac
i. Jika D > 0, maka grafik memotong
sumbu x didua titik yang berbeda
ii. Jika D = 0, maka grafik menyinggung
sumbu x di (x, 0) disebuah titik.
iii. Jika D < 0, maka grafik tidak memotong
dan tidak menyinggung sumbu x.
Kedudukan Grafik Fungsi Kuadrat Terhadap Sumbu X
X (i) X
(ii) X (iii)
a > 0
D > 0
a > 0
D = 0 a > 0
D < 0
X
(iv)
X
(v)
a < 0
D > 0
a < 0
D = 0
X
(vi) a < 0
D < 0 5
Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
Langkah-langkahnya :
1. Menentukan titik potong dengan sumbu x dengan
syarat y = 0
Dapat Mengunakan Rumus abc: ππ,π =βπΒ± ππβπππ
ππ
2. Menentukan titik potong dengan sumbu y dengan
syarat x = 0
3. Menentukan sumbu simetri x=βπ
ππ
4. Menentukan koordinat titik balik /titik puncak
(βπ
ππ, β
π«
ππ)
5. Menentukan beberapa titik lain atau titik bantu bila
perlu
www.themegallery.com
Contoh:
Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = ππ -4x β 5 !
1.Titik potong dengan sumbu x (y =0)
ππ -4x β 5 = 0
(x + 1)(x β 5) = 0
x = -1 atau x = 5
jadi titik potong grafik dengan sumbu x
adalah (-1, 0) dan (5, 0)
2. Titik potong dengan sumbu y (x = 0)
y = ππ -4.0 β 5
y = -5
jadi titik potong grafik dengan sumbu y
adalah (0, -5)
Penyelesaian:
3. Menentukan sumbu simetri
x = βπ
ππ= β
(βπ)
π.(π)= 2
4. Menentukan koordinat titik balik/puncak
x = βπ
ππ= β
(βπ)
π.(π) = 2
y = βπ«
ππ= β
βπ πβπ π βπ
π π= βπ
Jadi Titik Puncak: P (2, -9)
5. Menentukan Titik bantu
Misal :
x = 1 y = ππ -4.1 β 5 = -8
x = 3 y = ππ -4.3 β 5 = -8
x = 4 y = ππ -4.4 β 5 = -5
www.themegallery.com
Gambar grafiknya
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Su
mb
u y
Sumbu x
LATIHAN SOAL
1. y = -x2 + 5x β 4
2. y = x2 - 8x β 48
3. y= 36 - x2
4. y= 2x2 - 8x β 5
Gambarkan Fungsi kuadrat dibawah ini :
www.themegallery.com
KESEIMBANGAN PASAR
Keseimbangan pasar terjadi ketika jumlah
permintaan sama dengan jumlah penawaran atau
Qd = Qs, harga yang tercipta pada keseimbangan
pasar merupakan harga keseimbangan (Pe).
Contoh:
Diketahui fungsi permintaan dan fungsi penawaran
sejenis barang adalah:
D: P = Q2 β 7Q + 12
S: P = Q2 + 3Q + 2
Tentukan keseimbangan pasarnya dan gambarkan
kurvanya.
www.themegallery.com
Jawab:
Pada keseimbangan pasar berlaku Qd = Qs atau Pd = Ps,
sehingga keseimbangan pasar dapat diselesaikan dengan
substitusi:
β Q2 β 7Q + 12 = Q2 + 3Q + 2
β 10Q = 10
β Q =1
dan P dapat dicari dengan mensubstitusikan nilai Q = 1 ke
dalam fungsi permintaan atau fungsi penawaran, sehingga
diperoleh nilai P sebagai P = (1)2 + 3(1) + 2 =6.
Jadi keseimbangan pasar tercapai pada E(1,6)
LATIHAN SOAL:
1. Fungsi Permintaan All New Toyota Yaris
ditunjukkan oleh Persamaan Qd = 19 β PΒ²
sedangkan penawarannya Qs = -8 + 2PΒ². Berapa
harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan
All New Toyota Yaris yang tercipta di pasar?
2. Carilah harga dan jumlah keseimbangan pasar
secara aljabar dan geometri dari fungsi
permintaan dan penawaran berikut:
a. Q = 16 β 2P dan 4Q = 4P + P2
b. P = 16 - Q2 dan P = 4 + Q
c. Q = 9- P2 dan Q = P2 +2P-3
www.themegallery.com
Dari Latihan Soal nomor 1 :
Jika misalnya Produk All New Toyota Yaris dikenakan pajak spesifik sebesar 1
USD per unit, maka persamaan sesudah pajak adalah:
Qs = -8 + 2 (P-1 )Β² = -8 + 2(PΒ² β 2P + 1) = -6 β 4P + 2 PΒ²
Keseimbangan pasar yang baru ? Qd = Qs
19 β PΒ² = -6 - 4P + 2PΒ²
3PΒ² - 4P -25 = 0
Dengan rumus abc diperoleh:
P1= 3, 63 dan P2 = - 2,30 sehingga P2 = - 2,30 tidak digunakan karena harga
negatif adalah irrasional
Dengan memasukkan P1= 3, 63 kedalam persamaan Qd atau Qs maka di
peroleh Q = 5, 82
Jadi , dengan adanya Pajak maka Pβe= 3, 63 dan Qβe = 5, 82
Selanjutnya dapat di hitung beban Pajak yg ditanggung konsumen dan
produsen per unit barang, serta pajak yang diterima oleh Pemerintah:
tK = Pβe - Pe = 3, 63 - 3 = 0, 63
tP = t β tK = 1 β 0,63 = 0, 37
T = Qβe X t = 5, 82 X 1 = 5, 82
www.themegallery.com
FUNGSI BIAYA
Selain pengertian biaya tetap, biaya variabel dan biaya total,
dalam konsep biaya dikenal pula pengertian biaya rata-rata
(Avarage Cost) dan Biaya Marginal (Marginal Cost).
Biaya rata-rata adalah Biaya yang dikeluarkan untuk
menghasilkan tiap unit produk, yang merupakan hasil bagi
biaya total terhadap jumlah produk yang dihasilkan.
Biaya Marginal adalah biaya tambahan yang dikeluarkan
untuk menghasilkan satu unit tambahan produk
)()( QcQfkVCFCTC
vQQfVC
kFC
π΄πΉπΆ =πΉπΆ
π
π΄ππΆ =ππΆ
π
π΄πΆ =πΆ
π= π΄πΉπΆ + π΄ππΆ
ππΆ =βπΆ
βπ
Biaya tetap
Biaya Variabel
Biaya Total
Biaya tetap rata-rata
Biaya variabel rata-rata
Biaya rata-rata
Biaya Marginal
Bentuk non linear fungsi biaya pada umumnya berupa fungsi kuadrat,
Andaikan β πͺ = ππΈπ β ππΈ + π
π½πͺ ππͺ
Sehingga : π΄πΆ =πΆ
π=
ππ2 β ππ + π
π= ππ β π +
π
π
π΄ππΆ =ππΆ
π=
ππ2 β ππ
π= ππ β π
π΄πΉπΆ =πΉπΆ
π=
π
π
C
c
0
C
FC
VC
Q
(a)
AFC AC
AVC
Q 0
-b
(b)
Karena C dan VC berbentuk parabola maka, dengan memanfaatkan rumus titk ekstrim parabola, dapat
dihitung tingkat produksi (Q) pada C minimum dan VC minimum serta besarnya C minimum dan VC
minimumnya. C dan VC yang berbentuk parabola membawa konsekuensi AC dan AVC berbentuk linear;
sementara AFC asimtotik terhadap kedua sumbu C dan sumbu Q, sebab FC linear. Perhatikan gambar a,
C minimum β VC minimum. Hanya jika FC c = 0, maka C minimum = VC minimum. Selanjutnya
perhatikan gambar b, AC = AFC pada posisi Q dimana AVC = 0.
Contoh Soal:
Biaya total yang dikeluarkan PT. GALAU ABADI di tunjukkan oleh
persamaan C = 2 QΒ² - 24 Q + 102. Pada tingkat produksi berapa unit
biaya total ini minimum? Hitunglah besarnya biaya tetap, biaya variabel,
biaya rata-rata, biaya tetap rata-rata dan biaya variabel rata-rata pada
tingkat produksi tadi. Seandainya dari kedudukan ini produksi dinaikkan 1
unit, berapa besarnya biaya marjinal?
Berdasarkan rumus titik ekstrim parabola, C minimum terjadi pada
kedudukan π = βπ
2π=
24
2.2= 6
Besarnya C minimum = 2 QΒ² - 24 Q + 102
= 2 (6)Β² - 24 (6) + 102
= 30 C minimum juga dapat dicari dengan rumus ordinat titik ekstrim parabola,
yaitu : ( bΒ² β 4ac) = (24Β² β 4.2.102) = -240 = 30
- 4a -4.2 -8
Selanjutnya pada Q = 6 maka
FC = 102
VC = 2 QΒ² - 24 Q
= 2 (6)Β² - 24 (6)
= - 72
AC = VC = 30 = 5
Q 6
AFC = FC = 102 = 17
Q 6
AVC = VC = -72 = -12
Q 6
Jika Q = 7 (karena dinaikan 1 unit) maka C = 2 (7)Β² - 24 (7) + 102 = 32
MC = βC = 32 -30 =2
βQ 7 β 6
Berarti untuk menaikkan produksi dari 6 unit menjadi 7 unit diperlukan
biaya tambahan (biaya marjinal) sebesar 2 USD
www.themegallery.com
PENERIMAAN TOTAL
Penerimaan total dari suatu perusahaan (produsen) adalah hasil kali antara
harga per unit produk dengan jumlah produk yg dijual :
TR = PQ Dimana : TR = Penerimaan Total
Q = jumlah Produk yg dijual
P = Harga produk /unit
Bentuk Fungsi Penerimaan Total ( Total Revenue, R) yang non βlinear pada
umummnya berupa sebuah persamaan parabola terbuka kebawah. Ini
merupakan bentuk fungsi penerimaan yang lazim dihadapi produsen yang
beroperasi di pasar monopoli.
Jika fungsi permintaan dinyatakan oleh P = b-aQ, maka akan diperoleh
persamaan penerimaan total:
TR = P . Q
TR = (b-aQ).Q
TR = bQ - aQ2
Titik puncak persamaan diatas adalah (β
π
ππ, β
π«
ππ)
Penerimaan rata-rata ( Average Revenue, AR):
Penerimaan yang diperoleh per unit barang, merupakan hasil bagi penerimaan
total terhadap jumlah barang
AR =π
π
Penerimaan Marginal (Marginal Revenue, MR):
penerimaan tambahan yang diperoleh dari setiap tambahan satu unit barang
yang dihasilkan atau terjual.
MR =βπ
βπ
Diketahui fungsi permintaan P = 20-2Q, Tentukan fungsi
penerimaan totalnya dan berapa penerimaan total maksimummnya
serta gambarkan kurva permintaan dan penerimaan total dalam
satu diagram!
Contoh 1 :
Penyelesaian :
TR = P . Q
TR = (20-2Q).Q
TR = 20Q - 2Q2
TR maksimum = (βππ
π.(βπ), β
πππβπ.βπ.π
π.(βπ))= (π, ππ)
www.themegallery.com
Contoh 2:
Fungsi Permintaan PT. Pertamina, Tbk ditunjukkan oleh P = 900 β 1,5Q.
Bagimana persamaan penerimaan totalnya? Berapa besar penerimaan total
jika terjual barang sebanyak 200 unit dan berapa harga jual per unit? Hitunglah
penerimaan marjinal dari penjualan sebanyak 200 unit menjadi 250 unit.
Tentukan tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total maksimum,
dan besarnya penerimaan total maksimum tersebut.!
Jawab:
P = 900 β 1,5Q
R = P x Q = (900 β 1,5Q)Q = 900Q β 1,5QΒ²
Jika Q = 200, maka R = 900 (200) β 1, 5 (200)Β² = 120.000
P = 900 β 1, 5 (200) = 600
Atau P = R/Q = 120.000/ 200 = 600
Jika Q = 250, maka R = 900 (250) β 1, 5 (250)Β² = 131.250
MR = βR
βQ
MR = 131.250- 120.000 = 225
250 β 200
R = 900Q β 1,5QΒ² = -1,5 QΒ² + 900 Q
R maksimum pada Q = -b/2a = -900/-3 = 300
Besarnya R maksimum = -1,5 (300)Β² + 900 (300) = 135.000
0
120rb
R
200 300 600
135rb
Latihan :
Jika fungsi permintaan adalah 3P = 1050 - Q, Tentukan:
a. Tentukan tingkat penjualan yang menghasilkan
penerimaan total maksimum, dan besarnya penerimaan
total maksimum tersebut
b. Berapa besar penerimaan total jika terjual barang
sebanyak 300 unit dan berapa harga jual per unit?
c. Hitunglah penerimaan marjinal dari penjualan sebanyak
300 unit menjadi 330 unit.
www.themegallery.com
0
C, R
Q3 Q2 Q1 Q4
C= c (Q)
TPP
TPP
R=r (Q)
TPP= Titik Pulang Pokok
(Break Event Point)
Keuntungan, Kerugian dan Pulang Pokok
Keterangan Gambar:
Tingkat produksi Q1 dan Q4 mencerminkan keadaan pulang pokok
(BEP) sebab, penerimaan total sama dengan pengeluaran biaya total,
R = C. Area di sebelah kiri Q1 dan disebelah kanan Q4 mencerminkan
keadaan rugi, sebab penerimaan total lebih kecil daripada pengeluaran
total R < C. Sedangkan area diantara Q1 dan Q4 mencerminkan
keadaan untung . Tingkat Produksi Q1 mencerminkan tingkat produksi
yang memberikan penerimaan total maksimum.
Besar kecilnya keuntungan dicerminkan oleh besar kecilnya selisih
positif antara R dan C. Secara grafik, hal ini dituinjukkan oleh jarak
antara kurva R dan kurva C, semakin lebar jarak positif tersebut
semakin besar keuntungan yang diperoleh. Jarak positif terlebar antara
kurva R dan kurva C terjadi pada posisi lereng (slope) dari kedua kurva
itu sama besar, dan ini mencerminkan keuntungan terbesar atau
maksimum.
Contoh Soal:
Penerimaan Total yang diperoleh PT. LEBAY JAYA.Tbk saat terjadinya
kenaikan harga BBM ditunjukkan persamaan R = -0,20QΒ²+150Q,
sedangkan biaya total yang dikeluarkan C = 0,20QΒ³-10QΒ² +10Q +1500.
Hitunglah profit PT. LEBAY JAYA.Tbk jika dihasilkan dan terjual barang
sebanyak 50 dan 70 unit.
Jawab:
Ο = R β C
= -0,20QΒ² + 150Q β (0,40QΒ³ - 10QΒ² +10Q +50)
= -0,40QΒ³ + 9,8QΒ² + 40Q - 50
Q = 50 β Ο = -0,20 (50)Β³ + 9,8 (50)Β² + 140(50) - 1500
= -25.000 + 24.000 +7000 β 1500
= 4500 ( keuntungan)
Q = 60 β Ο = -0,20 (60)Β³ + 9,8 (60)Β² + 140(60) - 1500
= -43.200 + 35.820 + 8400 β 1500
= -480 ( kerugian)
Latihan Soal:
Penerimaan Total yang diperoleh PT. QUANTUM JAYA.Tbk saat
terjadinya kenaikan harga BBM ditunjukkan persamaan R = -
0,40QΒ²+100Q, sedangkan biaya total yang dikeluarkan C = 10QΒ² +10Q
+1500. Hitunglah profit PT. QUANTUM JAYA.Tbk jika dihasilkan dan
terjual barang sebanyak 10 dan 5 unit.