Download - Funkce
Funkce
• Funkce je zobrazení z jedné číselné množiny do druhé, nejčastěji
CCRR :: ff
Definice 3. Buď A a B množiny, f zobrazení. Potom definiční obor a obor hodnot nazveme množiny:
))()(( xyyx f BADf
))()(( xyxy f ABHf
• K úplnému zadání funkce je třeba stanovit jak funkční předpis, tak de- finiční obor.• Funkční předpis (který prvek z A se zobrazí na který prvek z B) se obvy- kle zadává pomocí nějakého vzorce. Úplné zadání funkce je například
,012: 2 Dhxxxff RRPro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil ([email protected]).
Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA.
Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme
do vaší budoucnosti
Funkce
• Funkce, které mají shodné funkční předpisy, ale různé definiční obory, jsou různé!
111
101
011
2
2
2
,)f(
,)f(
,)f(
f
f
f
D
D
D
xx
xx
xx
Různá zobrazení, liší se v definičních oborech
1
1-1
1
-11
1
Graf funkce
• Graf funkce je zobrazení množiny dvojic čísel do pravoúhlého souřadné- ho systému.
1
1-1
1,11)f( f2 Dxx
)(,, xyxyx ff f D
definiční obor
obor hodnot
Každý bod v rovině odpovídá jedné dvojici ( x, y ).
Graf funkce
Protože funkční hodnota funk-ce f(x) se obvykle značí pís-menem y, označujeme svislou osu také písmenem y. Pouze v případě, kdy funkční hodno-ta má nějaký fyzikální rozměr, značíme osu písmenem pří-slušné fyzikální veličiny.
Protože argument funkce f(x) se obvykle značí písmenem x, označujeme svislou osu také písmenem x. Pouze v přípa-dě, kdy argument má nějaký fyzikální rozměr, značíme osu písmenem příslušné fyzikální veličiny.
y
x
xfy argument
funkční hodnota
Graf funkce
• Ne každou funkci lze zobrazit do grafu a ne každá křivka v rovině před- stavuje funkci.
R Dfxx 484 2xf
R Dfxx 65324 2xf
R Dfxx2
13521
2
3 2xf
Funkce zaznamenatelné do grafu
Funkce, kterou nelze znamenat do grafu?
IRD
Q
xx
x
0)χ(
1
fDirichletova funkce
Graf funkce
• Ne každou funkci lze zobrazit do grafu a ne každá křivka v rovině před- stavuje funkci.
Toto není graf funkce – téměř každému číslu z definičního oboru přiřazuje dvě čísla z oboru hodnot, což je v rozporu s definicí zobrazení.
0
1
IRD
Q
xx
x
0)χ(
1
f
Operace s funkcemi
• Funkce f a g jsou si rovny právě tehdy, když prvky přiřazují stejně. Je nutný nejen shodný předpis, ale i stejný definiční obor.
Definice 15.
Buďte f a g funkce, Hg je podmnožinou Df Složenou funkci f o g definujeme jako novou funkci předpisem
))(())(()( xgfxgfx g D
Analogicky definujeme rozdíl, násobek a podíl funkcí.
Definice 16.
Buďte f a g funkce, Dfg = Df ∩ Dg neprázdná množina. Součet funkcí f + g definujeme jako novou funkci předpisem
)()())(()( xgxfxgfx fg D
Funkci f nazýváme vnější, funkci g vnitřní.
Složené funkce
• Příklady na složené funkce :
1)()( 2 xxgxxf
,1,0
,,0
gf
gf
HH
DD
1)()( 2 xxgxgf
,0
,11,
gf
gf
H
D
Složené funkce
• Příklady na složené funkce :
1)()( 2 xxgxxf
,1,0
,,0
gf
gf
HH
DD
11)(
1))(()(2
2
xx
xfxfg
,1
,0
fg
fg
H
D
Vlastnosti funkcí
)())(()( xfxfx f DDefinice 16. Nechť funkce f s definičním oborem Df má následující vlastnost:
Takovou funkci nazýváme lichá. Funkci nazveme sudá, platí-li pro ni
)())(()( xfxfx f D
Lichá funkce : f(x) = x3 Sudá funkce : f(x) = x2-1
Vlastnosti funkcí
)())(())(0,( xfpxfxpp f DR
Definice 17. Nechť funkce f s definičním oborem Df má následující vlastnost:
Takovou funkci nazýváme periodická. Číslo p nazýváme perioda funkce f. Pokud je v množině všech čísel p, která vyhovují definici, nejmenší prvek, nazýváme jej základní perioda funkce f.
Periodická funkce : f(x) = x-[x]
p je libovolné číslo z N, základní perioda je 1
Periodická funkce : f(x) = sin(x)
p je libovolný celý násobek 2π, základní perioda je 2π
-π-2π π 2π
-1
1
Vlastnosti funkcí
)())(( xfdxd MR
Definice 18.Nechť f je daná funkce, M podmnožina Df . Funkce se nazývá zdola omezená na množině M, platí-li
Funkci nazveme shora omezená, platí-li
dxfxd )())(( MR
Funkce omezená shora i zdola
-2π-4π 2π 4π
Funkce omezená zdolaFunkce omezená shora
fDM fDM fDM
Vlastnosti funkcí
f(x) = x2-1 omezená zdola na M = Df f(x) = x2-1 omezená shora na M = < -1,+1 >
-1 -1 +1+1
f(x) = x2-1 omezená shora na M = < -2,+2 >
-1 +1
Vlastnosti funkcí
f(x) = 1/x omezená zdola na M = (0,+∞)
+1
+1
f(x) = 1/x omezená shora na M = (+∞,0)
+1
+1
f(-x) = 1/x není omezená zdola ani shora na žádné množině, která obsahuje nulu!+1
+1
Vlastnosti funkcí
)()()( afxfx M
Definice 18.Nechť f je daná funkce, M podmnožina Df . Říkáme, že funkce má na množině M v bodě a M maximum, platí li
)()()( afxfx M
Funkce má na množině M v bodě a M minimum, platí li
f(x) = x2-1 má minimum v a = 0 na M = Df f(x) = -x2+5x-1 má maximum v a = 2.5 M = Df
2
4
1
1 2 3
1-1
-1
Vlastnosti funkcí
max
min
max
min
max
min
min
max
Vlastnosti funkcí
Definice 19.Nechť f je daná funkce s definičním oborem Df . Říkáme, že funkce má v bodě a lokální maximum (resp. lokální minimum), existuje-li množina tak, že funkce f má v bodě a na množině M maximum (resp. minimum).
flk DM ,
max
max
max
max
max max
min
min
min
min
min
Vlastnosti funkcí
Definice 20.Nechť f je daná funkce, M podmnožina Df . Říkáme, že funkce je na množině M rostoucí, (respektive klesající, ostře rostoucí, ostře klesající ), platí li
)()(),,( 212121 xfxfxxxx Mrespektive f(x1) ≥ f(x2), f(x1) < f(x2), f(x1) > f(x2) .
ostře rostoucí
rostoucí
klesající
ostře klesající
Vlastnosti funkcí
Definice 4.Nechť f je daná funkce s definičním oborem Df . Říkáme, že funkce je prostá, platí li
)()()(),( 212121 xxxxxx fff D
prostá funkce
fD
fH
NE – prostá funkce
Vlastnosti funkcí
Definice 21.Buď f je prostá funkce, Df a Hf její definiční obor a obor hodnot. Funkci
)(),(: 11 xfyxyff ff DH
nazveme funkcí inverzní k f .
fH
fD
1fD
1fH
prohodit osy
1fD
1fH
Vlastnosti funkcí
Graf inverzní funkce je s grafem původní funkce symetrický podle
osy kvadrantů 1 a 3.
Funkce inverzní (k funkci prosté) je prostá.
Inverzní funkci k ne-prosté funkci lze utvořit pouze na
vybrané podmnožině definičního oboru, na kterém prostá je.
Funkci inverzní z funkčního předpisu vytvoříme tak, že
vyjádříme x pomocí y a pak obě písmena zaměníme.
Vlastnosti funkcí
2
1
2
1)(
2
1
2
1
2:21
112
12)(
1
xxf
yx
xy
xy
xxf
1
1
y =
2x +
1
-1
-1
y = ½x + ½
Posuny grafů funkcí
y
x
xfy
y0
y0
y0
Graf funkce lze snadno posunout podél osy y o libovolnou hodnotu y0 změ-nou funkčního předpisu z
na
0y xfy
Posuny grafů funkcí
y
x
xfy
Graf funkce lze snadno posunout podél osy x o libovolnou hodnotu x0 změ-nou funkčního předpisu z
na
0x-xfy x0
x0x0
Posuny grafů funkcí
y
x
xfy
Graf funkce lze snadno převrátit podél osy x změ-nou funkčního předpisu z
na
xfy
Posuny grafů funkcí
y
x
xfy
Graf funkce lze snadno převrátit podél osy y změ-nou funkčního předpisu z
na
x-fy
Pozn.: na sudou funkci tato operace nebude mít vliv.
Shrnutí
• Funkce je zobrazení z jedné číselné množiny do druhé
• Funkci určuje Df a přiřazení (funkční předpis)
• Některé funkce lze zaznamenat do grafu
• Funkce lze sčítat, odčítat, násobit, dělit a skládat
• Definujeme funkci sudou a lichou
• Definujeme funkci periodickou
• Definujeme funkci (shora, zdola) omezenou
• Na funkcích jsou definována (lokální) extrémy – (lokální) minima a maxima
• Definujeme funkce (ostře) monotónní – (ostře) klesající nebo rostoucí
• Definujeme funkci inverzní
• Graf funkce lze snadno posunout či převrátit