Download - Gelombang Elastis Dalam Medium Tak Terbatas
1
GELOMBANG ELASTIS DALAM MEDIUM TAK TERBATAS
DASAR-DASAR TEORI ELASTISITAS
Apabila batuan alami yang terdiri dari butiran–butiran kecil (partikel) dalam
fenomena pada fluktuasi lokal dengan gaya internal terhadap berbagai wilayah
maka hubungan antara butiran (partikel) dapat diabaikan. Jumlah yang banyak
diambil sebagai kumpulan, dengan demikian setiap gaya adalah resultan dari efek-
efek berskala kecil yang disebut dengan variabel kontinu. Derivatif komponen-
komponen gaya yang sangat sukar dipahami pada skala mikroskopik merupakan
yang pasti dalam teori makroskopik. Validitas pendekatan ini mensyaratkan
bahwa seluruh volume mengandung butiran yang banyak dimana gaya bekerja.
Sehingga disetiap kasus “ continuum” batas pencapaian stress yang baik secara
praktis terdapat pada batasan (ruang lingkup) pengamatan.
Bentuk dan ukuran suatu material dapat berubah dengan dikenakannya gaya
luar, dan material pun cenderung untuk kembali kepada keadaan semula ketika
gaya ini dihilangkan. Hal yang serupa terjadi pada fluida yang dapat mengalami
perubahan ukuran (volume) tetapi tidak terjadi perubahan bentuk.
Sifat yang melawan perubahan bentuk maupun ukuran dan kembalinya
kepada kondisi semula ketika gaya luar dihilangkan disebut sebagai Elastisitas.
Suatu material elastic sempurna adalah material yang dapat kembali ke bentuk
semula dengan sempurna setelah terdeformasi. Batuan adalah termasuk sebagai
suatu bahan elastis sempurna.
Hubungan antara gaya yang diterapkan dan deformasi dinyatakan dalam
konsep stress dan strain.
ANALISIS STRESS (TEGANGAN)
Benda- benda padat mampu merambatkan gaya. Untuk “Load Acting” pada
suatu permukaan bebas menghasilkan suatu reaksi terhadap yang lain. Secara
fisis konsep stress persepsi awal dari stress dari sebuah benda menyangkut
2
keseimbangan aksi dan reaksi internal antara bagian-bagian yang berbeda. Secara
implisit pembatasan nilai dari gaya tarik atau gaya beban pada suatu area
menyebabkan area menyusut menjadi nol. Akan tetapi ide pembatasan ini
memberikan kita definisi matematika tentang stress. Ini sama sekali tidak
berhubungan dengan pengukuran secara praktis. Untuk praktisnya, stress pada
titik bagian dalam benda padat tidak dapat dihitung secara langsung, hanya dapat
diduga dari kondisi mekanik pada permukaan terluar, dimana reaksi internal
dalam keadaan seimbang akibat pemberian beban luar.
Kita anggap gaya F bekerja pada titik p continuum elastik. Jika ∆S elemen
permukaan kecil yang mengandung P dan dipotong dari bidang orientasinya oleh
vektor satuan normal n, maka stress pada titik P patuh ke arah n yang diberikan
tiga komponen besaran vektor S
Flim0s
(gambar 1). Keadaan Stress P secara
umum dalam bagian tiga komponen gaya yang melewati permukaan yang tegak
lurus satu sama lain diambil dari batas masing-masing gaya pada permukaan yang
menyusut mendekati nol.
Gambar 1. Tenaga yang bekerja melalui permukaan kecil
3
Gambar 2. Komponen-komponen stress pada sebuah titik dalam kontinum elastik
Titik P dilingkupi dengan volume ∆V yang kecil dari sebuah balok yang
sisinya adalah ∆x, ∆y dan ∆z (gambar 2). Volume ∆V diasumsikan sebagai
makroskopik kecil di mana semua variabel makroskopik konvergen ke batas nilai
di dalamnya. Di saat yang sama mikroskopik yang berguna pada jumlah butiran
atau partikel untuk diberikan kepada variabel-variabel yang diketahui pada teori
continuum.
Kita dapat membuat ∆V yang sangat kecil sehingga setiap perubahan pada
stress dari nilai di P dapat diabaikan. Hal ini diperbolehkan jika P kontinu.
Momen sumbu P dalam arah Oz pada gaya-gaya permukaan di ∆V adalah:
pyx ∆V = pxy ∆V atau pyx = pxy
Dengan cara yang sama, memperhitungkan momen sumbu dalam arah Ox
dan Oy kita dapatkan pxz = pzx dan pzx = pyz . Sehingga kita dapatkan bahwa
pnm = pmn , dan tensor stress adalah simetris.
Stress yang terjadi pada suatu material tidak dapat dihitung tanpa mengikut
sertakan gaya yang terjadi.
4
Gambar 3 menunjukkan suatu blok material yang dikenakan gaya.
Dan stress yang terjadi pada blok material tersebut kita dapat dituliskan
sebagai :
Stress = (gaya/luas area) atau σ = F/A
karena gaya adalah besaran vektor dan luasan adalah besaran skalar maka stress
harus dalam bentuk vektor dan satuan yang digunakan adalah Pa (pascal)
Gaya/satuan Luas = massa x percepatan/Luasan = (kg(m/s2))/m2 = Pa
Sekarang marilah kita mencoba melihat stress yang terjadi pada suatu
bidang. Pada gambar 4 menunjukkan suatu stress yang terjadi pada suatu bidang
sempurna, jika stress datang pada arah tegak lurus bidang, maka yang terdapat
hanya normal stress yang biasa kita sebut sebagai tekanan (pressure). Dan jika
datang dengan arah tidak tegak lurus, maka akan terdapat normal stress (dapat
dihitung dari sudut yang dibentuk) dan shear stress atau tangensial (stress yang
terjadi sejajar dengan bidang).
Gambar 4. Stress yang terjadi pada suatu bidang
5
Chaucy dan Navier adalah dua orang ahli yang mula-mula menganggap
bahwa benda padat adalah suatu sistem yang terdiri dari partikel-partikel medium.
Distribusi partikel ini menerus (continuous) sehingga pergeserannya dapat dilacak
sebagai fungsi koordinat.
Sekarang mari kita tinjau sebuah elemen medium yang kita andaikan
berbentuk kubus (3 dimensi) dengan panjang sisi-sisinya mendekati nol
(gambar 5).
Gambar 5. Stress pada suatu permukaan
Pada gambar 5 di bidang x, komponen stress akan bekerja pada arah x, y
dan z ditulis sebagai σxx ; σyx dan σzx, dimana subscript pertama menunjukkan
arah dari stress tersebut dan subscript kedua menunjukkan kepada permukaan
stress tersebut bekerja. Sehingga σzx menunjukkan bahwa stress bekerja sejajar
dengan sumbu z pada bidang x. Jika subscriptnya sama (misalnya σxx)
menunjukkan normal stress, dan jika subscript berbeda (misalnya σxz) disebut
shear stress.
6
Pada gambar 5 menunjukkan bahwa stress yang terjadi pada permukaan
DEFG sama dengan yang terjadi pada permukaan OABC, begitu pula pada
keempat permukaan lainnya. Sehingga dapat dituliskan tegangan (stress) yang
bekerja pada bidang-bidang elemen kubus ada 9 macam yakni
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
ij
(1)
Persamaan ini biasa disebut sebagai stress tensor.
Jika kubus tersebut berada pada kondisi equilibrium (kondisi diam,
takbergerak, tak berputar, dll) maka akan berlaku
σxy = σyx
σxz = σzx
σyz = σzy
sehingga hanya tinggal 6 komponen tensor yang indipenden. Dan hal ini
menunjukkan bahwa stress tensor adalah suatu tensor simetris.
KASUS TAK SEIMBANG
Pada bagian sebelumnya telah dibahas mengenai medium dalam kondisi
static equilibrium (kondisi diam). Sekarang akan dibahas mengenai stress yang
terjadi pada kasus takseimbang seperti yang ditunjukkan pada gambar 6.
Gambar 6. Stress yang terjadi pada ketidakseimbangan
7
Stress yang terjadi pada bidang DEFG dan OABC pada arah x, y dan z
ditulis sebagai
dxx
xxxx
dxx
yxyx
dxx
zxzx
Dan gayanya yang terjadi dapat dituliskan sebagai (Gaya = stress kali satuan
luas) yang terdiri dari
Gaya normal
dydzdxx
F xxxxxx
(2)
Gaya geser
dydzdxx
F yxyxyx
(3)
dydzdxx
F zxzxzx
(4)
Kemudian dengan cara yang serupa untuk bidang BCFG atau ADEO adalah
Gaya normal
dxdzdyy
F yyyyyy
(5)
Gaya geser
dxdzdyy
F xyxyxy
(6)
8
dzzudy
yudx
xudu
dxdzdyy
F zyzyzy
(7)
dan untuk bidang ABEF atau CDGO adalah
Gaya normal
dxdydzz
F zzzzzz
(8)
Gaya geser
dxdydzz
F xzxzxz
(9)
dxdydzz
F yzyzyz
(10)
ANALISIS STRAIN (REGANGAN)
Kita tinjau dua buah partikel berdekatan yang tidak memberikan tekanan
dalam padatan dengan P(x,y,z) dan Q ( x + dx, y + dy, z + dz ). Andai deformasi
benda dengan satu cara menggunakan beban sehingga partikel P digantikan
dengan posisi u, sehingga posisi baru P (x + u, y +v, z + w). Jika u + du
merupakan perpindahan partikel Q, kita menulis untuk komponen du
( du,dv, dw )
begitupula dengan cara yang sama untuk dv dan dw,
Kita dapat memberikan ekspresi dari pemisahan du, dv, dan dw secara
tersendiri dalam bentuk :
9
ijj
i
jiik
k
i
kiik
k
i
ki
i
iiii
dxdxxudxdx
xudxdx
xudx
dxdudxQPPQd
3
1
3
1
3
1
3
1
23
1
3
1
223
1
2''2
ikikk
i exu
2/1
Gambar 7. Perpindahan titik sekitar dalam sebuah kontinum elastik
Yang lebih kompak ,dan perlakuan yang sesuai untuk memanipulasinya
terdapat sembilan kuantitas ki xu / merupakan tensor kartesian pangkat dua.
Ada dua
Bagian simetri :
k
i
xi
kik x
uu
Bagian non simetri kita dapat tulis:
Dimana tulisan pertama merupakan dua tensor ike dan ik . ik = 0 jika ki dan
kiik , jika ki .
Dengan komponen ike pada sisi yang lain berasosiasi dengan deformasi material.
10
Gambar 8. Strain pada titik. (a) Strain Utama; (b) Strain geser
Jika kedua bagian ij dan ki ,maka :
kiikki
dxdxePQd3
1
3
1
2 2 ,
Secara fisis tensor ike ditunjukan dalam dua diagram pada gambar 8. Sesudah
deformasi panjang berubah vy , v adalah fungsi dari y kita menulisnya
sebagai berikut :
....!2)( 2
2
2
y
yvy
yvv
kuantitas : yyv
eyv
yv
lim0
ini disebut pertama strain dasar dalam arah y
......!2)( 22
2
2
yxyx
uyyuy
yuu
dengan cara yang sama deformasi v sebagai order pertama pada sumbu x
......!2)( 22
2
2
yxyxxx
yvx
xvv
kuantitas :
yxxyvee
yu
xv
yv
xv 22)(lim
0
11
ini disebut order pertama (atau infinitesimal) strain Shearing tegak lurus terhadap
sumbu zO
Dilatasi kubikal atau dilatasi sederhana merupakan sebuah suku yang sering
digunakan dalam teori elastisitas menambahkan pertambahan sebagian kecil untuk
P dalam batas kasus dimana dimensi volume P mendekati nol. Digunakan simbol
, dan order pertama strain sama dengan jumlah zzyyxx eee . Dalam notasi
vektor:
Uzw
yv
xu
Jika suatu benda dikenai suatu gaya, maka benda tersebut akan mengamali
perubahan bentuk dan dimensi. Perubahan tersebut disebut dengan strain. Dengan
kata lain strain merupakan deformasi yang diakibatkan oleh stress.
Gambar 9. Dalam bentuk 2 dimensi
Regangan Linear (normal strain) didefinisikan sebagai perubahan panjang
persatuan panjang.
12
Pada sumbu x
xu
dx
dxdxxudx
dxPQ
xx
xu
xx
(11)
Dan pada sumbu y dan z dengan cara yang sama akan diperoleh
yv
yy
(12)
zw
zz
(13)
Dimana : sudut δ <<<
Regangan geser (shear strain) dapat didefinisikan sebagai perubahan sudut yang
terjadi (berkurangnya sudut dari kondisi awal). Hal ini diperoleh dengan
menjumlahkan sudutnya.
Pada gambar 9, sudut δ1 dan δ2 dapat diperoleh dengan
dx
dxxv
δ
1tan
maka karena tan 11
xv
yu
xv
21 dan
Sehingga regangan geser (shear strain) yang terjadi adalah
yu
xv
yxxy
21 (14)
13
Sehingga dengan cara yang serupa akan diperoleh
zv
yw
zyyz
(15)
xw
zu
xzzx
(16)
Regangan Volum/Dilatasi (volume strain/dilatation) didefinisikan sebagai
perubahan volum persatuan volum.
Dengan volum didefinisikan sebagai
dV = dxdydz (17)
dxdydz
dxdydzdzdydxdV
dVdV
zzyyxx
111
'
diabaikan)dapat yang (variable .............. zzyyxx
Uzw
yv
xu
zzyyxx
(18)
Dimana
wkvjuiUz
ky
jx
i
14
HUKUM HOOKE
Dalam teori elastisitas, tegangan yang bekerja pada suatu medium kontinu
akan mengakibatkan (strain) pada medium itu. Hooke menyatakan bahwa
hubungan atara tegangan dan regangan itu linear selama besar tegangannya tidak
melebihi batas elastiknya.
Gambar 10
Sehingga dapat disimpulkan bahwa setiap komponen stress merupakan suatu
kombinasi linear dari strain yang dapat dinyatakan dalam
zxyzxyzzyyxxxx CCCCCC 161514131211
zxyzxyzzyyxxyy CCCCCC 262524232221
Dan seterusnya, yang dalam bentuk matriks dapat dituliskan sebagai
zx
yz
xy
zz
yy
xx
zx
yz
xy
zz
yy
xx
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
(19)
Dalam hal ini C11, C12, C13,…. C16 merupakan konstanta-konstanta elastik (Cij)
yang jumlahnya ada 36,
εxx, εyy, εzz, merupakan regangan-regangan (strain) normal
15
εxy, εyz, εzx, merupakan regangan-regangan geser (tangensial)
Dapat dilihat bahwa hanya terdapat 6 komponen stress dan strain dimana
yang telah dijelaskan pada pembahasan sebelumnya mengenai tensor simetris.
Menurut Love (1927) kondisi yang harus dipenuhi agar energi elastik hanya
merupakan fungsi tunggal dari regangan adalah bahwa Cij = Cji , hubungan ini
mengakibatkan jumlah konstanta elastik menurun dari 36 menjadi 21. Kemudian
bila material mempunyai sumbu atau bidang simetri, jumlah konstanta elastik
yang sudah tinggal 21 tersebut dapat berkurang lagi. Sebagai contoh untuk kristal
berbentuk kubus hanya ada 3 konstanta elastik.
Untuk medium padat yang bersifat isotropik, konstanta-konstanta elastik
harus tak bergantung kepada konfigurasi sumbu-sumbu koordinat yang dipilih
sehingga akhirnya hanya tinggal 2 konstanta elastik saja, yakni
C12 = C13 = C21 = C23 = C32 = λ
C44 = C55 = C66 = µ
C11 = C22 = C33 = λ +2μ
konstanta-konstanta yang lain bernilai nol. λ dan μ disebut sebagai konstanta-
konstanta Lame yang mendefinisikan kelakuan medium padat isotropis, sehingga
persamaan (18) dapat dituliskan kembali sebagai berikut
zx
yz
xy
zz
yy
xx
zx
yz
xy
zz
yy
xx
000000000000000000200020002
(20)
Sehingga dari persamaan diatas dapat dituliskan
zzyyxxxx 2
zzxxyyyy 2
16
yyxxzzzz 2
Dengan mengambil salahsatu dari ketiganya sebagai contoh
zzyyxxxx
zzyyxxxx
zzyyxxxx
2
2
2
Berdasarkan dari persamaan (18) maka
xxxx 2
atau secara umum dapat dituliskan sebagai
zyxiiiii ,, 2 (21)
Begitupula pada persamaan selanjutnya
xyxy
yzyz
zxzx
atau secara umum dapat dituliskan sebagai
jizyxjiijij dan ,,, (22)
HUBUNGAN STRESS-STRAIN UNTUK BENDA PADAT ELASTIS
Untuk benda elastis sempurna strain pada suatu titik ditentukan oleh stress
pada titik itu. Pada kasus khusus komponen strain merupakan fungsi linear
homogen komponen stress yang merupakan bagian elastik sempurna (hukum
Hooke). Hukum ini tidak berlaku secara universal. Mulanya hukum Hooke
observasi pada material yang disebut viskoelastis dan plastis. Mampu secara
teoretis untuk mekanika yang bekerja pada material untuk memperoleh hubungan
stress dan strain yang bersifat lebih kompleks. Akan lebih baik jika gelombang
seismik dideskripsikan dengan hukum Hooke. Stress seharusnya tidak melebihi
batas dalam pendekatan material elastik sempurna.
17
Pernyataan Hooke mengenai deformasi pada benda elastik sempurna dari
keseimbangan langsung konfigurasinya sebanding dengan penggunaan beban
padanya. Itu benar dalam rentang pembebanan, batasan tertinggi ini disebut batas
kesebandingan pada material. Walaupun deformasi masih tercatat dan karenanya
material masih dapat elastis.
Hukum Hooke lebih umum digunakan kearah material aleotropik. Jika
tensor Stress direduksi menjadi tegangan sederhana xxp dan jika sepanjang
sumbu itu diperkenankan arah sumbu xO . Disini diekspresikan dalam notasi
tensor :
xxxx peE ; xxzzyy peEeE
Dimana sesuai dengan perjanjian, kita merenggangkan stress dan luas strain
secara aljabar positif dan Compresive Stress dan Contraktive Strain negatif . E
dan keduanya adalah konstanta material disebut modulus Young dan rasio
Poisson.
HUBUNGAN STRESS-STRAIN DALAM MEDIUM ALEOTROPIK
(MELINTANG- ISOTROPIK)
Dalam medium isotropik trasversal, tensor stress dan strain sama dengan
sumbu utama. Jika sumbu simetri arahnya zO kita boleh menulis
zzyyxxzz
zzyyxxyy
zzyyxxxx
eCeFFep
eFeAGepeFeGAep
(23)
Dimana A,C,F,G adalah konstanta yang memiliki dimensi Stress.
zzzz
zzyyyy
zzxxxx
epeep
eep
2)(2
)(2
(24)
2,,,2 ////// CFGA
18
Persamaan diatas mendiskripsikan hukum Hooke untuk benda isotropik-
trasversal
PERSAMAAN GERAK
Bagaimana sekarang tentang stress terikat waktu yang ditrasmisikan terus
pada benda padat elastik terhingga. Pertama kita akan menghitung semua gaya
permukaan balok kecil v dalam arah z (gambar 11). Kita dapatkan suatu
komponen arah melalui setiap tiga pasang yang berlawanan sisi. Sebagai contoh
dari sisi tegak lurus yO kita dapatkan
Vy
pxzy
yP
pxzyy
pp yzyz
yzyz
xz
21
21
Gambar 11. Gaya-gaya permukaan dalam arah z yang bekerja pada elemen volume pada P
Serupa dengan ekspresi itu didapatkan pasangan permukaan- permukaan
yang berlawanan lainnya.
Vz
Py
Px
PF zzyzxxz
19
iik
i
i
k
kiikik
k
ik
k
i uxx
uxu
xxe
xp
tu 2
3
12
2
2
uu 2
secara umum dapat ditulis
VxpV
xpF
k
ik
kk
ki
ki
3
1
3
1
Gerak untuk material P, jika kita mengabaikan gaya gravitasi, kita akan peroleh
persamaan :k
ik
k
i
xp
dtud
3
12
2
Operator deferensial Lagrangian dtd deferensial yang penting dalam gerakan
material, dan sepanjang total gerakan sebagian elemen atau partikel dalam ruang .
Operator Eulerian t yang lain adalah deferensial yang penting pada sebuah titik
tertentu dalam ruang. Dan ini adalah operator yang tepat untuk persamaan gerak
material. Yang memiliki hubungan sebagai berikut :
i
i
i xtu
tdtd
3
1
(25)
secara umum persamaan gerak adalah :
k
ik
k
i
xp
tu
3
12
2
(26)
PERAMBATAN DALAM MEDIUM ELASTIS ISOTROPIS
Jika media adalah homogen, isotropik dan elastik sempurna kita boleh
mensubtitusikan ikikik ep 2 ke persamaan (26)
Persamaan ini dapat juga kita tulis dalam bentuk vektor :
(27)
dalam sistem koordinat kartesian. Jika kita menganggapnya divergensi kedua
bagian persamaan dan ini berkurang kembali dalam order deferensial.
20
22
2
2
t (28)
di sini standar persamaan gelombang untuk penjalaran dilatasi kubikal dengan
sebuah kecepatan oleh
)2(
.
Sekarang jika curlkan kedua bagian itu kita akan peroleh :
uut
2
2
2
Ini merupakan suatu standar dalam persamaan gelombang, waktu untuk
penjalaran suatu rotasional murni gangguan dengan kecepatan
.
Operasi divergensi pada persamaan (27) dan (28) mempunyai arti fisis
bahwa terjadi perubahan volume dan tentu saja perubahan bentuk (shear). Arah
osilasi partikel tentu saja searah dengan perubahan displacementnya atau searah
dengan arah rambat. Gerak partikel ini sama persis dengan gerak partikel
gelombang suara seperti terlihat pada gambar 12 di bawah ini.
Gambar 12. Perambatan gelombang P dalam suatu medium berupa kompresi (pemampatan) dan dilatasi (perenggangan) partikel. Arah gerak partikel searah dengan arah perambatan gelombang
(Braile, 2006)
21
Tipe gelombang yang kedua, yaitu gelombang S yang dapat dirumuskan
dengan menerapkan operasi curl ( x ). Gerak partikel ketika gelombang S
melewati suatu medium dapat dilihat dari sifat operasi curl di atas. Gerak
partikelnya akan tegak lurus terhadap arah rambat gelombangnya dan terjadi
perubahan bentuk (shear) tanpa perubahan volume, seperti terlihat pada gambar
13 di bawah ini.
Gambar 13. Ilustrasi gerak partikel dalam suatu medium ketika dilewati gelombang S. Gerak partikelnya tegak lurus terhadap arah rambat gelombang (Braile, 2006)
Arah gerak partikel ketika melewati gelombang S secara umum bias tak hingga
banyaknya karena arah tegak lurus terhadap arah rambat gelombang jumlahnya
tak berhingga. Karena itu, para seismologist mendefinisikan dua buah tipe
gelombang S yaitu gelombang SV (shear vertical) dan SH (shear horizontal).
Untuk lebih jelasnya, perlu menggambarkannya dalam ruang tiga dimensi seperti
terlihat dalam gambar 14 di bawah ini.
22
Gambar 14. Ilustrasi arah gerak gelombang SV dan SH. Bidang vertikal dibuat mengandung ray dan bidang vertikal sejajar dengan permukaan bumi.
Arah rambat gelombang dinyatakan oleh arah ray. Gerak partikel
gelombang SV tegak lurus terhadap ray dan terletak pada bidang vertikal yang
juga mengandung ray. Sedangkan gerak gelombang SH juga tegak lurus terhadap
ray tapi terletak pada bidang horizontal atau sejajar dengan permukaan bumi.
Tipe-tipe gelombang di atas merupakan gelombang bodi, yaitu gelombang
yang merambat di dalam medium. Tipe gelombang lain adalah gelombang
permukaan yang merambat sejajar dengan permukaan medium. Di sini akan
dibahas permukaan antara bumi padat dengan udara yang diasumsikan ruang
hampa. Permukaan ini juga disebut permukaan bebas.
Solusi persamaan gelombang dalam medium homogen isotropis hanya
menghasilkan dua tipe gelombang. Gelombang permukaan terbentuk dari
interferensi gelombang-gelombang tersebut yang mempunyai sifat tertentu akibat
interaksinya dengan permukaan bebas. Gelombnag tersebut adalah gelombang
pantul yang gelombang datangnya melibihi sudut kritis sehingga amplitudo
gelombang pantulnya berkurang terhadap kedalaman.
Tipe pertama gelombang permukaan adalah Gelombang Love. Gelombang
ini terbentuk akibat adanya interferensi gelombang-gelombang pantul gelombang
SH pada suatu lapisan dekat permukaan bumi. Gerak partikel medium ketika
dilewati gelombang love tentu saja sama dengan gelombang SH, tapi
amplitudonya berkurang terhadap kedalaman. Seperti terlihat pada gambar 15 di
bawah ini.
23
Gambar 15. Ilustrasi gerak partikel pada suatu medium ketika dilewati gelombang Love. Gerak partikelnya sejajar dengan permukaan bumi dan tegak lurus terhadap arah rambat gelombang
(Braile, 2006).
Tipe kedua gelombang permukaan adalah gelombang Rayleigh. Gelombang
ini terbentuk akibat interferensi gelombang-gelombang pantul P dan SV yang
sudut datangnya melebihi sudut kritis. Gerak partikel medium ketika dilewatinya
berbentuk elips yang merupakan kombinasi dari gerak partikel gelombang P dan
SV. Amplitudonya juga akan turun terhadap kedalaman. Gerak partikel tersebut
dapat terlihat dalam gambar 16 di bawah ini.
Gambar 16. Ilustrasi gerak partikel pada suatu medium ketika dilewati gelombang Rayleigh. Gerak partikelnya seperti gulungan berbentuk elips (Braile, 2006)
24
Gelombang permukaan bersifat dispersif, yaitu kecepatan gelombangnya
tergantung pada frekuensi. Semakin besar frekuensinya semakin kecil
kecepatannya dan penetrasi kedalamannya semakin dangkal dan sebaliknya.
Selama terjadi deformasi gelombang seismik, kondisi yang nampak lebih
dahulu adalah adiabatik. Nilai adiabatik dan isotermal sebagai parameter elastik
zat padat tercatat oleh hubungan berikut:
IA vcTIIA
22
A dan I adalah nilai adiabatik dan isotermal. adalah koefisien ekspansi
kubikal,T adalah temperatur zat padat, vc menunjukan tetapan panas, untuk
volume konstan. Sebagian besar pengukuran laboratorium mengatakan
pendekatan diluar kondisi isitermal dengan fakta:
vcTIIA
22
22 , dengan IA
PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG
Gelombang adalah suatu gangguan yang menjalar dalam suatu medium. Dan
suatu fungsi gelombang secara umum dituliskan sebagai
y = f(x,t)
Yang merupakan fungsi yang bergantung pada x dan t. Dan suatu
persamaan gelombang secara umum dapat dituliskan dengan
2
2
22
2 1ty
vxy
(29)
Catatan :
Misalnya fungsi gelombang
y=f(x,t)
berbentuk
y(x,t) = y0 sin (kx-ωt) (a)
kemudian persamaan ini diturunkan dua kali terhadap t dan x dan hasilnya dimasukkan ke dalam
persamaan differensial tadi.
25
diturunkan dua kali terhadap t
)cos(0
)cos(0
)sin(0
tkxytt
y
t
tkxyt
y
tkxytt
y
)sin(202
2tkxy
t
y
(b)
diturunkan dua kali terhadap x
)cos(0
)cos(0
)sin(0
tkxkyxx
y
x
tkxkyx
y
tkxyxx
y
)sin(202
2tkxky
x
y
(c)
Karena ω=kv maka dari persamaan (b) akan kita peroleh
)sin(202
12
2
)sin(2)(02
2
tkxkyvt
y
tkxkvyt
y
(d)
persamaan (c) sama dengan persamaan (d) maka
21
2
2
2
2
vt
y
x
y
(e)
Persamaan gelombang yang terjadi pada medium yang diturunkan melalui
Hukum II Newton.
Dengan meninjau gaya-gaya netto (gaya pada kondisi non equilibrium -
gaya pada kondisi equilibrium) pada arah sumbu x pada bidang-bidang DEFG,
BCFG dan ABEF yang dituliskan sebagai :
26
pada bidang DEFG dari persamaan (2)
dxdydzx
dydzdydzdxx
F
xx
xxxx
xx
1
pada bidang BCFG dari persamaan (6)
dydxdzy
dxdzdxdzdyy
F
xy
xyxy
xy
2
pada bidang ABEF dari persamaan (9)
dzdxdyz
dxdydxdydzz
F
xz
xzxz
xz
3
sehingga gaya total yang bekerja pada sumbu x adalah
dzdxdyz
dydxdzy
dxdydzx
FFFF
xzxyxx 321
dxdydzzyx
F xzxyxx
(30)
gaya yang diperoleh ini biasa disebut dengan gaya unbalance.
berdasarkan Hukum II Newton
ΣF = ma
dengan massa dinyatakan sebagai hubungannya dengan densitas dan volum
sebagai
Volm
27
dan pada persamaan (17) dan persamaan (30) sehingga :
zyxtu
dxdydzzyxt
udxdydz
xzxyxx
xzxyxx
2
2
2
2
dengan mensubstitusikan untuk nilai-nilai stress dari Hukum Hooke yang telah
dipaparkan sebelumnya dari persamaan (21) dan (22),
xxxx 2
xyxy
xzxz
maka
zyxx
zyxtu
xzxyxx
xzxyxx
2
22
2
dimana dari persamaan (11) (14) dan (16),
xu
xx
yu
xv
xy
xw
zu
xz
akan diperoleh :
28
zw
yv
xu
xxu
zu
yu
x
zxw
yxv
xu
xu
zu
yu
x
zxw
zu
yu
yxv
xu
x
zxw
zu
yyu
xv
xxu
xtu
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
zw
yv
xu
xu
x
zw
yv
xu
xxu
zu
yu
xtu
2
2
2
2
2
2
2
2
2
berdasarkan dari persamaan (18) maka :
ux
xu
x
Ux
uxt
u
2
2
22
2
uxt
u 22
2
(31)
dengan cara yang serupa untuk sumbu y dan z dapat dituliskan sebagai :
untuk sumbu y :
vyt
v 22
2
(32)
29
untuk sumbu z :
wzt
w 22
2
(33)
kemudian, ketiga persamaan tersebut masing-masing kita turunkan terhadap x, y
dan z
untuk sumbu x dari persamaan (31),
u
xxtu
x2
2
2
xu
xxu
t
2
2
2
2
2
(34)
Untuk sumbu y dari persamaan (32)
v
yytv
y2
2
2
yv
yyv
t
2
2
2
2
2
(35)
untuk sumbu z dari persamaan (33)
w
zztw
z2
2
2
zw
zzw
t
2
2
2
2
2
(36)
dengan menjumlahkan persamaan (34) (35) dan (36), akan diperoleh
30
22
2
222
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
t
t
zw
yv
xu
zyxzw
yv
xu
t
atau kita tuliskan sebagai :
2
22
2 t
(37)
persamaan ini identik dengan persamaan gelombang secara umum, pada
persamaan (29),
2
22
2 t
2
2
22
2 1ty
vxy
sehingga dapat dituliskan sebagai :
2
12
v
kecepatan yang kita peroleh ini disebutkan sebagai kecepatan gelombang p atau
Vp,
22
pv (38)
kemudian dengan menurunkan persamaan (32) terhadap z akan diperoleh :
v
yztv
z2
2
2
zv
yzzv
t
2
2
2
2
(39)
31
dan menurunkan persamaan (33) terhadap y akan diperoleh :
w
zytw
y2
2
2
yw
zyyw
t
2
2
2
2
(40)
dengan mengurangkan kedua persamaan ini akan diperoleh :
zv
yw
zv
yw
t2
2
2
(41)
atau dapat dituliskan sebagai
zv
yw
zv
yw
t2
2
2
zv
yw
tzv
yw
2
22
yang juga identik dengan persamaan gelombang secara umum, pada persamaan
(29),
zv
yw
tzv
yw
2
22
2
2
22
2 1ty
vxy
sehingga dapat dituliskan sebagai :
21v
kecepatan yang kita peroleh ini disebutkan sebagai kecepatan gelombang s atau
Vs,
2sv
(42)
32
DAFTAR PUSTAKA
Afnimar. 2009. Seismologi, Jilid I. ITB. Bandung.
Grant,F.S.,West,G.F. 1965. Interpretation Theory in Applied geophysics. McGraw-Hill Book Company.
Hamzah, Alimuddin. 2006. Diktat Kuliah, Teori Seismologi. Universitas Hasanuddin, Makassar.