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Conceitos IniciaisPonto: A,B,C...
Reta: r,s,t...Plano: ,,..
Conceitos Primitivos
AB
r
AB Reta que passa pelos pontos A e B BAAB, Semi-retas
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Conceitos Iniciais
AB
r
Segmento de reta
AB
AB
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PARALELISMOPARALELISMO
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Algumas relações importantesAlgumas relações importantes
Qual a soma das medidas dos ângulos ao lado ?
.
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Algumas relações importantesAlgumas relações importantes
Se 90 o ; então estes são chamados
é o complementar de é o complementar de
ÂNGULOS COMPLEMENTARES
.
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PERGUNTA !!!PERGUNTA !!!
Quanto mede o compl. do ângulo x ?
xx
.
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PERGUNTA !!!PERGUNTA !!!
Quanto mede o compl. do ângulo x ?
Compl(x) = 90o - x Compl(x) = 90o - x
xx
90º - x90º - x90º - x90º - x
.
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Ângulos SuplementaresÂngulos Suplementares
Pares de ângulos que somam 180o são suplementaressuplementares.
180o
supl(x) = 180o - x supl(x) = 180o - x
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Dica! Bissetriz
P
O
Todo ponto da bissetriz é eqüidistante das duas semi-retas
A
B
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+ = 180°
Ângulos SuplementaresÂngulos Suplementares
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+ = 180°
/2
/2
/2
/2
+ = 180° /2 + /2 = 90°As bissetrizes de dois ângulos adjacentes e suplementares
são perpendiculares
Ângulos SuplementaresÂngulos Suplementares
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Paralelismo Paralelismo
Essas retas são paralelas ?
r
s
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Paralelismo Paralelismo
Essas retas são paralelas ?
r
s
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Paralelismo Paralelismo
Com a reta “t” transversal às r e s ficam determinados 8 ângulos, com os quais vamos definir os principais
casos de paralelismo.
t
r
s
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12
3 4
56
7 8
Paralelismo Paralelismo
Com a reta “t” transversal às r e s ficam determinados 8 ângulos, com os quais vamos definir os principais
casos de paralelismo.
t
r
s
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Paralelismo - 1º caso Paralelismo - 1º caso
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Os ângulos e estão na mesma posição em relação às retas horizontais e estão ambos à direita de t.
rr
ss
ttParalelismo - 1º caso Paralelismo - 1º caso
São chamados ângulosCORRESPONDENTES
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O que podemos afirmar sobre os ângulos e ?
Paralelismo - 1º caso Paralelismo - 1º caso
rr
ss
tt
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Paralelismo - 1º caso Paralelismo - 1º caso
rr
ss
tt
O que podemos afirmar sobre os ângulos e ?
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Paralelismo - 1º caso Paralelismo - 1º caso
rr
ss
tt
O que podemos afirmar sobre os ângulos e ?
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Paralelismo - 1º caso Paralelismo - 1º caso
r r s s
tt
O que podemos afirmar sobre os ângulos e ?
![Page 23: Geometria](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042616/5681348c550346895d9b7212/html5/thumbnails/23.jpg)
Se os ângulos e e são c o n g r u e n t e s (iguais) ; as retas r e s são paralelas.
Se as retas r e s forem paralelas; os ângulos ângulos correspondentescorrespondentes determinados por uma transversal t serão congruentescongruentes..
Conclusão Conclusão
rr
ss
tt
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Se r // s
Conclusão Conclusão
rr
ss
tt
![Page 25: Geometria](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042616/5681348c550346895d9b7212/html5/thumbnails/25.jpg)
rr
ss
tt
rr
ss
tt
Ângulos correspondentes
fig. 1fig. 1 fig.2fig.2
ComparaçãoComparação
“diferentes” “iguais” r //s
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Paralelismo - 2º caso Paralelismo - 2º caso
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Esses ângulos estão posicionados como os ângulos do 1o caso ?
rr
ss
tt
Paralelismo - 2º caso Paralelismo - 2º caso
![Page 28: Geometria](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042616/5681348c550346895d9b7212/html5/thumbnails/28.jpg)
Paralelismo - 2º caso X 1º caso Paralelismo - 2º caso X 1º caso
rr
ss
tt
rr
ss
tt
![Page 29: Geometria](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042616/5681348c550346895d9b7212/html5/thumbnails/29.jpg)
Claro que não ! Nesse caso, os ângulos estão em posições alternadasalternadas.. Um acima de s, o outro abaixo de r. Um à direita e outro à esquerda de t.
Paralelismo - 2º caso Paralelismo - 2º caso
rr
ss
tt
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São os ângulos ALTERNOSALTERNOS.
Podem ser INTERNOS, como e , ou então
EXTERNOS.
Paralelismo - 2º caso Paralelismo - 2º caso
rr
ss
tt
![Page 31: Geometria](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042616/5681348c550346895d9b7212/html5/thumbnails/31.jpg)
yy
xx
x e y são ALTERNOS EXTERNOSALTERNOS EXTERNOS.
Paralelismo - 2º caso Paralelismo - 2º caso
rr
ss
tt
![Page 32: Geometria](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042616/5681348c550346895d9b7212/html5/thumbnails/32.jpg)
yy
xx
Em qualquer um dos casos, se temos pares de ânguloscongruentes, as retas r e s serão paralelas, e v.v.
Paralelismo - 2º caso Paralelismo - 2º caso
rr
ss
tt
rr
ss
tt
![Page 33: Geometria](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042616/5681348c550346895d9b7212/html5/thumbnails/33.jpg)
Se Se rr////ss Se Se rr////ss Se Se xx y y rr////ssSe Se xx y y rr////ss
Paralelismo - 2º caso Paralelismo - 2º caso
yy
xx
rr
ss
tt
rr
ss
tt
![Page 34: Geometria](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042616/5681348c550346895d9b7212/html5/thumbnails/34.jpg)
Paralelismo - 3º caso Paralelismo - 3º caso
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Na figura acima temos ângulos que não sãonão são alternos ou correspondentes. Apenas estão do mesmo ladomesmo lado em relação à reta transversal t .
Paralelismo - 3º caso Paralelismo - 3º caso
rr
ss
tt
![Page 36: Geometria](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042616/5681348c550346895d9b7212/html5/thumbnails/36.jpg)
Esses são chamados ângulos COLATERAISCOLATERAIS, que também podem ser INTERNOS ou EXTERNOS.
Paralelismo - 3º caso Paralelismo - 3º caso
rr
ss
tt
![Page 37: Geometria](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042616/5681348c550346895d9b7212/html5/thumbnails/37.jpg)
Colaterais InternosColaterais Internos
Paralelismo - 3º caso Paralelismo - 3º caso
rr
ss
tt
![Page 38: Geometria](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042616/5681348c550346895d9b7212/html5/thumbnails/38.jpg)
Colaterais ExternosColaterais Externos
Paralelismo - 3º caso Paralelismo - 3º caso
rr
ss
tt
![Page 39: Geometria](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042616/5681348c550346895d9b7212/html5/thumbnails/39.jpg)
Paralelismo - 3º caso Paralelismo - 3º caso
rr
ss
tt
rr
ss
tt
Note que nesse caso é fácil perceber que os ângulos não são congruentes, pois um é agudo e o outro obtuso. (é possível que ambos sejam retos)
![Page 40: Geometria](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042616/5681348c550346895d9b7212/html5/thumbnails/40.jpg)
Paralelismo - 3º caso Paralelismo - 3º caso
rr
ss
tt
rr
ss
tt
Qual parece ser a relação que os ângulos das figuras devem satisfazer para que as retas r e s sejam paralelas ?
![Page 41: Geometria](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042616/5681348c550346895d9b7212/html5/thumbnails/41.jpg)
Paralelismo - 3º caso Paralelismo - 3º caso
rr
ss
tt
![Page 42: Geometria](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042616/5681348c550346895d9b7212/html5/thumbnails/42.jpg)
Paralelismo - 3º caso Paralelismo - 3º caso
rr
ss
tt
![Page 43: Geometria](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042616/5681348c550346895d9b7212/html5/thumbnails/43.jpg)
Paralelismo - 3º caso Paralelismo - 3º caso
rr
ss
tt
![Page 44: Geometria](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042616/5681348c550346895d9b7212/html5/thumbnails/44.jpg)
Paralelismo - 3º caso Paralelismo - 3º caso
r r ss
tt
![Page 45: Geometria](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042616/5681348c550346895d9b7212/html5/thumbnails/45.jpg)
Se 180o r//s. e suplementares)
Paralelismo - 3º caso Paralelismo - 3º caso
rr
ss
tt
rr
ss
tt
![Page 46: Geometria](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042616/5681348c550346895d9b7212/html5/thumbnails/46.jpg)
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![Page 48: Geometria](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042616/5681348c550346895d9b7212/html5/thumbnails/48.jpg)
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