geometria

Conceitos IniciaisPonto: A,B,C...

Reta: r,s,t...Plano: ,,..

Conceitos Primitivos

AB

r

AB Reta que passa pelos pontos A e B BAAB, Semi-retas

Conceitos Iniciais

AB

r

Segmento de reta

AB

AB

PARALELISMOPARALELISMO

Algumas relações importantesAlgumas relações importantes

Qual a soma das medidas dos ângulos ao lado ?

.

Algumas relações importantesAlgumas relações importantes

Se 90 o ; então estes são chamados

é o complementar de é o complementar de

ÂNGULOS COMPLEMENTARES

.

PERGUNTA !!!PERGUNTA !!!

Quanto mede o compl. do ângulo x ?

xx

.

PERGUNTA !!!PERGUNTA !!!

Quanto mede o compl. do ângulo x ?

Compl(x) = 90o - x Compl(x) = 90o - x

xx

90º - x90º - x90º - x90º - x

.

Ângulos SuplementaresÂngulos Suplementares

Pares de ângulos que somam 180o são suplementaressuplementares.

180o

supl(x) = 180o - x supl(x) = 180o - x

Dica! Bissetriz

P

O

Todo ponto da bissetriz é eqüidistante das duas semi-retas

A

B

+ = 180°


+ = 180°

/2

/2

/2

/2

+ = 180° /2 + /2 = 90°As bissetrizes de dois ângulos adjacentes e suplementares

são perpendiculares


Paralelismo Paralelismo

Essas retas são paralelas ?

r

s


Com a reta “t” transversal às r e s ficam determinados 8 ângulos, com os quais vamos definir os principais

casos de paralelismo.

t

r

s

12

3 4

56

7 8


Com a reta “t” transversal às r e s ficam determinados 8 ângulos, com os quais vamos definir os principais

casos de paralelismo.

t

r

s

Paralelismo - 1º caso Paralelismo - 1º caso

Os ângulos e estão na mesma posição em relação às retas horizontais e estão ambos à direita de t.

rr

ss

ttParalelismo - 1º caso Paralelismo - 1º caso

São chamados ângulosCORRESPONDENTES

O que podemos afirmar sobre os ângulos e ?


rr

ss

tt


rr

ss

tt



r r s s

tt


Se os ângulos e e são c o n g r u e n t e s (iguais) ; as retas r e s são paralelas.

Se as retas r e s forem paralelas; os ângulos ângulos correspondentescorrespondentes determinados por uma transversal t serão congruentescongruentes..

Conclusão Conclusão

rr

ss

tt

Se r // s

Conclusão Conclusão

rr

ss

tt

rr

ss

tt

rr

ss

tt

Ângulos correspondentes

fig. 1fig. 1 fig.2fig.2

ComparaçãoComparação

“diferentes” “iguais” r //s

Esses ângulos estão posicionados como os ângulos do 1o caso ?

rr

ss

tt


Paralelismo - 2º caso X 1º caso Paralelismo - 2º caso X 1º caso

rr

ss

tt

rr

ss

tt

Claro que não ! Nesse caso, os ângulos estão em posições alternadasalternadas.. Um acima de s, o outro abaixo de r. Um à direita e outro à esquerda de t.


rr

ss

tt

São os ângulos ALTERNOSALTERNOS.

Podem ser INTERNOS, como e , ou então

EXTERNOS.


rr

ss

tt

yy

xx

x e y são ALTERNOS EXTERNOSALTERNOS EXTERNOS.


rr

ss

tt

yy

xx

Em qualquer um dos casos, se temos pares de ânguloscongruentes, as retas r e s serão paralelas, e v.v.


rr

ss

tt

rr

ss

tt

Se Se rr////ss Se Se rr////ss Se Se xx y y rr////ssSe Se xx y y rr////ss


yy

xx

rr

ss

tt

rr

ss

tt

Na figura acima temos ângulos que não sãonão são alternos ou correspondentes. Apenas estão do mesmo ladomesmo lado em relação à reta transversal t .


rr

ss

tt

Esses são chamados ângulos COLATERAISCOLATERAIS, que também podem ser INTERNOS ou EXTERNOS.


rr

ss

tt

Colaterais InternosColaterais Internos


rr

ss

tt

Colaterais ExternosColaterais Externos


rr

ss

tt


rr

ss

tt

rr

ss

tt

Note que nesse caso é fácil perceber que os ângulos não são congruentes, pois um é agudo e o outro obtuso. (é possível que ambos sejam retos)


rr

ss

tt

rr

ss

tt

Qual parece ser a relação que os ângulos das figuras devem satisfazer para que as retas r e s sejam paralelas ?


rr

ss

tt


r r ss

tt

Se 180o r//s. e suplementares)


rr

ss

tt

rr

ss

tt

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