Cserti József
ELTE, TTK
Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék
Grafén sávszerkezetének
topológiai átalakulásai
TÁMOP konferencia, 2012. január 18-20., Visegrád
A szén két módosulata
Gyémánt Grafit
Grafit Gyémánt
Nagyon puha Nagyon kemény
Átlátszatlan Átlátszó
Elektromosan jó vezető Szigetelő
Nagyon drága Nagyon olcsó
gyémánt
grafit
A szén további módosulatai
Nanocső
(1991)
Grafén
(2004)
Fullerén, C60
(1985)
10 nm méretű grafén pikkely (30 réteg)
Andre Geim és csoportja, Manchester University
Grafén szilicium-oxid lapkán.
Elektródákat kapcsoltak hozzá.
A réteg nem tökéletesen sík
K. Novoselov et al., Science 306, 666 (2004)
K. Novoselov et al., Nature 438, 197 (2005)
Y. Zhang et al., Phys. Rev. Lett. 94, 176803 (2005)
Y. Zhang et al., Nature 438, 201 (2005)
K. Novoselov et al., Nature Physics 2, 177 (2006)
Az első mérések grafénen
Andre Geim és Kostya S. Novoselov, Manchester University
Philip Kim,
Columbia University
• „Hántolás” grafitból (cellux, Manchester group, 300 nm vastag SiO)
A grafén előállításának módjai
Méret
• Kémiai reakcióval
• Szén nanocső felvágása
• Pásztázó elektronmikroszkóp litográfia (MFA, Biró László csoportja)
A Mermin–Wagner-tétel szerint kétdimenzióban nem létezik hosszútávú rend,
kétdimenziós kristály termodinamikailag insatbil.
P. Blake and E. W. Hill, A. H. Castro Neto, K. S. Novoselov, D. Jiang, R. Yang, T. J. Booth, and
A. K. Geim, Making graphene visible, Applied Phys. Lett. 91, 063124 (2007)
Making graphene visible
Contrast
Brillouin-zóna, diszperziós reláció
D. P. DiVincenzo and E. J. Mele, Phys. Rev. B 29, 1685 (1984)
Dirac-kúpok E(k)
vezetési
sáv
vegyérték
sáv
A grafén sávszerkezetét először Wallace tanulmányozta 1947-ben.
Relativisztikus, zérus nyugalmi tömegű 2 dimenziós elektron
A K pontok körül lineáris diszperzió. Dirac
kúpok. Nincs gap a K pontoknál!!!
Kvantált Hall-effektus grafénben
Andre Geim csoportja, Manchester University
Philip Kim csoportja, Columbia University
1/RH
B
Grafénban a töltéshordozók mozgékonysága rendkívül nagy,
15000 cm^2/Vs.
Si-ra = 1350 cm^2/V s.
A grafén elektromos transzportja ballisztikus marad akár a szubmikronos
skálán (0.3 mm) is.
A sávszerkezet topológiai átalakulásai
egyrétegű grafénben
Mechanikai deformációval ????
Mechanikai deformációval, a grafén 20 % -ig reverzibilisen deformálható !!!
Fizikailag (mechanikai deformációval)
nem reális megvalósítani
a Dirac pontok összeolvadását grafénben
G. Montambaux, F. Piéchon, J.-N. Fuchs, and M.O. Goerbig,
Eur. Phys. J. B 72, 509 (2009), and references therein
összeolvadás, merging
átmenet
grafén
Bernal stacking (A2 − B1)
A trigonális torzulásért
(trigonal warping) felelős
A1-B1, A2-B2
A2-B1
A1-B2
A trigonális torzulás erőssége:
A kísérletek szerint:
A1
A2
B1
B2
A sávszerkezet topológiai átalakulásai
kétrétegű grafénben (Bilayer graphene)
A1
A2
B1
B2
A1-B2
A1-B1, A2-B2
A2-B1
Kétrétegű grafén tight binding közelítésben
E. McCann and V. I. Fal'ko, Phys. Rev. Lett. 96, 086805 (2006)
Trigonális torzulás kétrétegű grafénben
alacsony energia
A diszperziós reláció a K pont körül:
E. McCann and V. I. Fal'ko, Phys. Rev. Lett. 96, 086805 (2006)
Folding
A Hamilton-operátor redukálása 2 x 2 –es mátrixra
alacsony energián
4 x 4, trigonal warping 4 x 4, no trigonal warping 4 x 4, trigonal warping,
zoom
Közelítés 2 x 2 Hamilton-operátorral:
4 x 4Hamilton
A sávszerkezet topológiai átalakulásának
fizikai okai
kétrétegű grafénben
• Nyírás, csúsztatás
megváltoznak a hopping integrálok
• Coulomb-kölcsönhatás az elektronok között
Marcin Mucha-Kruczy´nski, Igor L. Aleiner, and Vladimir I. Fal’ko,
PRB 84, 041404(R) (2011)
Y. Lemonik, I. L. Aleiner, C. Toke and V. I. Fal’ko, PRB 82, 201408R (2010)
Pauli mátrixok
Diszperziós reláció:
Lifshitz-energia
Modell Hamilton-operátor
komplex szám,
független az impulzustól extra tag
„Foggyökerek”
„Foggyökerek”
„Foggyökerek”
„Foggyökerek”
A Dirac-pontok „dinamikája”
A w paraméterezése
A piros -szerű alakzaton belül
4 darab, kívül pedig 2 darab Dirac-pont van.
A Dirac-pontok helyének
paraméterezése
Motiváció
A minimális vezetőképesség viselkedése
a topológia átalakulás során
A. S. Mayorov, D. C. Elias, M. Mucha-Kruczynski, R. V. Gorbachev, T. Tudorovskiy,
A. Zhukov, S. V. Morozov, M. I. Katsnelson, V. I. Fal’ko, A. K. Geim, K. S. Novoselov,
‘Interaction-Driven Spectrum Reconstruction in Bilayer Graphene’,
Science 333, 860 (2011)
Kísérleti eredmény:
Trigonal warping, elmélet:
Nagytisztaságú (közel ballisztikus) lebegő minta
Minimális vezetőképesség grafénben (Minimal Conductivity in Graphene)
K. S. Novoselov, E. McCann, S. V. Morozov, V. I. Fal'ko, M. I. Katsnelson, U.
Zeitler, D. Jiang, F. Schedin, A. K. Geim, Nature Physics 2, 177 (2006)
Mérések szerint közel zérus elektron-koncentrációnál
a longitudinális vezetőképesség nagyságrendileg:
Független a hőmérséklettől és a mágneses tértől
Rendezetlenség:
• Abszorbált atomok, molekulák (H, CH)
• Vakanciák
• Topologikus hibák, pl. Stone-Wales
• Nem tökéletes sík
• Minta szélei
• SiO hordozó hatása
A minimális vezetőképesség okai
• Rövidtávú szórócentrumok (short range scattering)
• Coulumb-szórás
• elektron-fonon szórás
• elektron-elektron szórás
N. N. Peres: The transport properties of graphene: an introduction, arXiv:1007.2849
Szórási folyamatok:
Korábbi elméleti eredmények grafénre
grafén minimális vezetőképessége:
• E. Fradkin, PRB 63, 3263 (1986)
• A. W. W. Ludwig, M. P. A. Fisher, R. Shankar, and G. Grinstein, PRB 50, 7526 (1994)
• P. A. Lee, PRL 71, 1887 (1993)
• E. V. Gorbar, V. P. Gusynin, V. A. Miransky, and I. A. Shovkovy, PRB 66, 045108 (2002)
• V. P. Gusynin and S. G. Sharapov, PRL 95, 146801 (2005)
• N. M. R. Peres, F. Guinea, and A. H. Castro Neto, PRB 73, 125411 (2006)
• M. I. Katsnelson, Eur. J. Phys B 51, 157 (2006)
• J. Tworzydlo, B. Trauzettel, M. Titov, A. Rycerz, C.W.J. Beenakker, PRL 96, 246802 (2006)
K. Ziegler, Phys. Rev. Lett. 97, 266802 (2006)
K. Nomura and A. H. MacDonald,
Phys. Rev. Lett. 98, 076602 (2007)
L. A. Falkovsky and A. A. Varlamov,
cond-mat/0606800.
Short range scattering
Coulumb scattering
M. Koshino and T. Ando, Phys. Rev. B 73, 245403 (2006)
M. I. Katsnelson, Eur. Phys. J. B 52, 151-153 (2006)
strong-disorder regime
weak-disorder regime
J. Cs.: PRB 75, 033405 (2007)
I. Snyman, C.W.J. Beenakker, Phys.Rev.B 75, 045322 (2007)
Korábbi elméleti eredmények kétrétegű grafénre
Eredmények a Kubo-formula alapján
Egyrétegű grafén (eredményünk megegyezik több korábbi eredménnyel)
Trigonális warping nélkül
a vezetőképesség arányos a rétegek számával (J=1,2)
Bilayer graphene:
Nincs trigonal warping Van trigonal warping
M. Koshino and T. Ando
PRB 73, 245403 (2006) strong disorder
J. Cs.: PRB 75, 033405 (2007)
Snyman, C.W.J. Beenakker,
PRB 75, 045322 (2007), Landauer-formulával
Független a warping erősségétől
nem-analitikus függvénye -nak
3-szor nagyobb, mint a esetben
J. Cs, A Csordás, and Gy. Dávid,
Phys. Rev. Lett. 99, 066802 (2007)
A minimális vezetőképesség számolása
Kubo-formula alkalmazása a vezetőképességre ballisztikus és homogén rendszerben,
zérus hőmérsékleten, a Dirac-pontban
Gyula Dávid, Péter Rakyta, László Oroszlány, J. Cs, Effect of the band structure topology
on the minimal conductivity for bilayer graphene with symmetry breaking, Phys. Rev. B,
85, 041402(R) (2012)
a Dirac-pont (gyökök) száma
Srofejtés a Dirac-pont (zérus hely) korul:
A determináns éppen
a piros -szerű vonalon zérus
Alkalmazás
Ha w = 0, visszakapjuk a korábban kapott eredményt trigonális warping
figyelembe vételével (diagonális mátrix):
Végeredmény a vezetőképességre
(2 x 2 nemdiagonális mátrix)
I. Tartományban (4 Dirac-pont):
II. Tartományban (2 Dirac-pont) :
J. Cs, A Csordás, and Gy. Dávid, Phys. Rev. Lett. 99, 066802 (2007)
A vezetőképesség függése a w paramétertől
A vezetőképesség függése valós w=u paramétertől
Független számolás
Landauer-formalizmus
Transzmissziós
valószínűségek
vezetőképesség
Kubo-formula Landauer-formala
ekvivalens
Numerikus eredmények
elektródák orientációja
Numerikus eredmények
elektródák orientációja
Köszönet:
Dávid Gyula: ELTE, Atomfizika Tanszék
Rakyta Péter: ELTE, PhD hallgató
Oroszlány László: ELTE, KRFT
K. S. Novoselov: Manchester University
V. P. Gusynin: Bogolyubov Inst. for Theor. Phys., Kiev, Ukraine
Pályi András: ELTE, Anyagfizikai Tanszék
• OTKA 75529, 81492
• Marie Curie ITN project NanoCTM (FP7-PEOPLE-ITN-2008-234970)
• A projekt az Európai Unió, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával és a Professional
X-ray Kft (FEI hazai forgalmazója) támogatásával valósul meg, a támogatási szerződés
száma: TÁMOP-4.2.1/B-09/1/KMR-2010-0003.
Paper: Gyula Dávid, Péter Rakyta, László Oroszlány, József Cserti, Effect of
the band structure topology on the minimal conductivity for bilayer graphene
with symmetry breaking, Phys. Rev. B, 85, 041402(R) (2012)