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7/23/2019 Gravedad Parte I
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Campo de Gravedad, Figura de la Tierray Concepto de Geoide
GF3001
Primavera 2015
J. Campos
FCFM, U. de Chile
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Campos vectoriales conservativos(recordemos las bases)
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El misterio de la GRAVEDAD
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El misterio de la GRAVEDAD
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Desde lapequea escala
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El misterio de la GRAVEDAD
Z
a la gran escala
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La fuerza gravitacional responde a la de un campo central
Interaccin de los cuerpos celestes segn Decartes (S XVI)CampoCentral
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11/149Credit: ES
Mapa de las Anomalas de Geoide de la Tierra. Medidas del campo degravedad obtenidas del Satlite GOCE de la Agencia Espacial Eiropea - ESA.
Veremos la importancia del concepto de Geoide y la importancia de los valores de las
Anomalas de Geoide (en metros!)
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Conceptos de masa inercial y gravitacional
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Cul es la fuerza gravitacional entre la Tierra y la Luna?Cul es el rango de las anomala de gravedad?
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El Estudio de la Gravedad y del Campo de Gravedad de la Tierra seasocia a la pregunta:
Cul es la Forma de la Tierra ?
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La forma y tamao de la Tierra es un problema muy antiguo (Griegos, siglo VI a. C).
Si la Tierra fuese plana, entonces uno podra ver muy lejos, es decir, no habra
horizonte.
Debido a que hay horizonte, es decir, los objetos desaparecen bajo el horizonte,
entonces la Tierra no es plana, es curva (esfrica).
P l Ti f i ?
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Poqu la Tierra es esfrica?
Anaximandro (VI a.C.) !Tierra sin soporte
Parmnides (515-450 a.C.) !Ecuela de Pitgoras, Tierra esfrica;(Pitgoras, 560-480 a.C.)
Aristteles (384-322 a.C.) !Argumenta a favor de la esfericidad de laTierra.
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Eudoxe (400-355 a.C.) !Primera medida conocida.
Eratstenes (284-192 a.C.) !Primera buena medida conocida.
http://www.ac-reims.fr/datice/astronomie/astrotp/astromesures/mesure_distances.htm
Breve revisin histrica La forma del mundo
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Pitgoras (~550 aC)
Especula sobre la forma esfrica de la Tierra
Eratstenes (~250 aC)
Calcula el radio terrestre (< 15% de error)
Observaciones en Syena v/s Alejandria
Separacin angular y distancia convertida a radio terrestre
Estimatacin: 7360km slo ~15% mayor
Breve revisin histrica La forma del mundo
h
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Sol
xAproximacin para estimar el permetro de
una Tierra esfrica a partir de la distancia
entre Siena y Alejandra
Clculo de la circunferencia de la Tierra Eraststenes 255 a C
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Eratstenes (Siglo III a.C.)
h
Sol
x
d!
Eratstenes estim en 5000 estadios (10 das a camello) entreSienna y Alejandra (1 estadio aprox. = 185 metros).
El ngulo calculado fue de 7.2.
Tamao de la Tierra = crculo = 360 x (d /!) = 250.000 estadios
O sea, 46.250 km (el valor actual es de 40.030 km).
! = arctan x
h
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Clculo de la circunferencia de la Tierra, Eraststenes 255 a.C.(al medio da cenit- en Siena, durante el solsticio de verano, los
objetos no proyectan sombra; En Alejandra en la misma fecha losobjetos si proyectan sombra). Asumi que ambas ciudades se
encontraban en la misma longitud (aprox. 3 grados de diferencia).
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Permetro de la Tierra= 360 !AG
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LA CONTROVERSIA DE LA FORMA DE LA TIERRA
(Siglos XVII XVIII)
Invencin del telescopio
Jean Picard (1671) longitud de 1 del arco de un meridiano
Radio de 6372 Km solo 1km superior
Controversia: esferoide prolato v/s oblato (Escuale Inglesa v/s Francesa)
Pierre Louis Maupertuis - Estima entre 1736-1737 la medida de un grado de
latitud y se termina la controversia.!La Tierra es un esferoide oblato
La controversia de losposibles modelos de
Esferoides
oblato Prolato
A finales del siglo XVII y comienzos del XVIII, hubo undebate en torno a la forma de la Tierra: Newton
("Principia1687),describa la Tierra como achatada enlos polos por la fuerza causada por la rotacin de la
Tierra.Los astrnomos franceses (Cassini, Jean Picard)
afirmaban haber probado lo opuesto midiendo arcos
meridianos (la Tierra era ms alargada en los polos).
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Antecedentes previosde clculos efectuados
por Eratstenes (~250aC)
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Algunas definiciones previas
achatamiento 1aexcentricidad 2aexcentricidad
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Hiptesis Prolato dela escuela Francesa.
Expediciones de laAcademia Francesa deParis: Cassini, Picard,Richer
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Hiptesis Oblato de la Escuela Inglesa
d1 > d
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En el siglo XVII (geodesia moderna) las estimaciones del tamao y forma de la Tierra se
realizaron mediante triangulaciones.
Se debe hacer una correccin si la distancia
no est alineada con la longitud.
d12puede ser calculada por la suma
(orientada) de muchas pequeas distancias.
Midiendo muchas (sino todas) las distancias
y ngulos dentro de la red de puntos nospermite ms precisin para obtener d12
Muchas medidas se realizaron para un arco
de 1 en diferentes sitios en Europa.
- Snellius (1617) : 104 km
- Norwood (1635) : 109 km- Riccioli (1661) : 119 km
- Picard (1671) : 108 km en el norte de
Francia y 110 km en el sur de Francia.
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La medidas por triangulacin enEuropa no permitieron resolverel debate de la forma de laTierra.
Las triangulaciones para medir lalongitud de un meridianorealizadas por Fernel y Snelliusen Francia no fueron
concluyentes.
!
Disputa se resuleve en 1737 alregreso de la expedicin lideradapor Maupertuis a Laponia
(Crculo Polar).!Los resulados de la estimacines presentada por Maupertuis en La Figure de la Terre Editada el ao 1738.
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Para resolver la controversia la Academia de Ciencias de Francia, autorizada por Louis
XV, envi 2 expediciones para medir a lo largo de arcos meridianos en lugares lo ms
distantes posible: cerca del Ecuador (Per) y otro cerca del polo Norte (Laponia).
En 1735 Louis Godin, Charles-Marie de La Condamine y Pierre Bouguer, miembros de la
Academia de Ciencias francesa, acompaados por Joseph de Jussieu, Jean Sniergue,
Jean Godin des Odonnais, Jean Verguin, 3 asistentes (Couplet, de Morainville, Hugot), y
los oficiales espaoles Jorge Juan y Antonio de Ulloa, realizan triangulaciones en losAndes de Per (Quito, aprox. 0.1S, ahora ese punto corresponde a el Ecuador) y
terminan sus medidas recin en 1744. Cuatro de miembros de la expedicin cientfica no
sobreviven (Couplet, Sniergue, Morainville, Hugot).
La expedicin a Laponia, liderada por Pierre-Louis Moreau de Maupertuis, en slo un aologran realizar medidas precisas en Tornio (66N, Finlandia) y retornan en 1737.
Cules fueron sus resulatados y conclusiones?
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Resultados para 1 de arco meridiano de la expedicin francesa
(usando 1 Toise = 1.949.036 m)
Los valores de (a-b)/a corresponden a valores modernos con a= 6378.14 km. La IAU
en 1976 asigna f = 298.257.
Regin Toises Km (a-b)/a
Per (0-3S) 56766 110.64 1/327
Laponia 57438 111.95 1/392
Francia 57078 111.25 1/387
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Parmetros de elipsoides de referencia
Nombre a (m) b (m) 1/fBessel 1841 6377397.155 6356078.963 299.152813
Clarke 1866 6378206.400 6356583.800 294.978698
Clarke 1880 6378249.145 6356514.870 293.465000Everest 1956 6377301.243 6356100.228 300.801700
Fischer 1968 6378150.000 6356768.337 298.300000GRS 1980 6378137.000 6356752.314 298.257222International 1924 6378388.000 6356911.946 297.000000
SGS 85 6378136.000 6356751.302 298.257000Sudamerica 1969 6378160.000 6356774.719 298.250000
WGS 72 6378135.000 6356750.520 298.260000
WGS 84 6378137.000 6356752.314 298.257224
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SLR permite una resolucin de la altura del geoide menora 10 cm para longitudes de onda de menos de 1500 km.
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ties el tiempo de la i-sima medida a lo largo de la rbita.
Si la superficie de la Tierra se deforma, entonces las estaciones monitoreadas por laser se
desplazan. Si este movimiento es de unos pocos cm, entonces estos movimientos son
detectables por LSR.
SLR es una base muy utilizadapara verificar la Teora General de
la Relatividad y para estudios de la
atmsfera y variaciones de los
movimientos en el ocano.
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Potencial Gravitatorio
El anlisis de armnicos esfricos puede ser visto como una adaptacin del
anlisis de Fourier a una superficie esfrica.
Es por lo tanto una manera conveniente de representar y analizar fenmenos
fsicos y propiedades que estn distribudas sobre la superficie de la Tierra.
Sin embargo los armnicos esfricos son algo ms que esta conveniencia: son la
solucin de la ecuacin de Laplace la cual describe (entre otras) campos de
potenciales (gravitacionales, magnticos) fuera de las fuentes que dan origen a
estos campos, y de la ecuacin de las ondas ssmicas en una configuracin de
geometra esfrica.
As, la representacin en armnicos esfricos son apropiados para describir
campos magnticos y gravitacionales, y las oscilaciones libres de la Tierra.
Forma del geode, que por definicin es una superficie de referencia equipotencial.E t t l dif i / li id t i d f i (l l t t d
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
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En este caso se presenta la diferencia c/r a un elipsoide terico de referencia (la escala est aumentada
para visualizar mejor las variaciones).Conocer la forma de la Tierra es fundamental para, interpretando anomalas de gravedad c/r al Geoide,
podamos acceder a los fenmenos de la geofsica interna del planeta.!Concepto de Geoide de referencia
!
Concepto de elipsoide de referencia
-
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La ecuacin de Laplace en coordenadas Cartesianas se expresa como:
!2V =
!2V
!x2+
!2V
!y2+
!2V
!z2= 0
Reescribiendo en coordenadas esfricas:
"2V =1
r2
#
#rr2#V
#r
$
%&
'
()+
1
r2sin*
#
#*sin*
#V
#*
$
%&
'
()+
1
r2sin
2*
#2
#+2V = 0
Donde V es el potencial que describe un campo particular.
El oringen r=0 es normalmente el centro de la Tierra. En ngulo se mide comunmente c/
r al eje de rotacin terrestre (en cuyo caso es la co-latitud, o sea, 90 - latitud), y es la
longitud, medida c/r al meridiano de Greenwich.
"
"
-
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Solucin por variables separables:
V r,!,"( ) =R r( )T !( ) L !( ) =0
!TL 1r2
"" r
r2"R" r
#
$%%
&
'(( + RL
1
r2 sin!""!
sin!"T"!
#
$%%
&
'(( + RT
1
r2 sin2!"2L""2
=0 )r2 sin2!
RTL
!sin2!
R
"
"rr2"R
" r
#
$%%
&
'(( +
sin!
T
"
"!sin!
"T
"!
#
$%%
&
'(( +
1
L
"2L
""2=0
!1
L
"2L
""2=*m
2
(debe ser const. y >0)
!Tiene la forma de : m"2x
"t2=*k t !EDO con solucin :L = Acosm" + Bsinm"
con m+ Z(entero)
Las otras 2 primeras partes de la solucin deben a su vez sumarm2para satisfacer la condicin de homogeneidad.
! sin
2!
R
"
"rr
2"R
" r
#
$%%
&
'(( +
sin!
T
"
"!sin!
"T
"!
#
$%%
&
'(( = m
2
L !( )
# & # &
-
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Multiplicando por 1
sin2!
! 1
R
"
" rr2
" R
" r
#
$%%
&
'(( +
1
Tsin!
"
"!sin!
"T
"!
#
$%%
&
'(( =
m2
sin2!
Nuevamente, cada una de las partes deben a ser independientes
(hiptesis de variables separables), por lo tanto deben serconstantes:
"
1
R
#
#rr2#R
#r
$
%&
'
()= l
2+1
1Tsin*
##*
sin*#T#*
$
%& '
()= m
2
sin2*+ l2 +1
,
-
.
.
/..
"
1
R2r
#R
#r+ r
2#2R
#r20
12
3
45= l
2+1 6 R = C r l +C r+( l+1)
1Tsin*
##*
sin*#T#*
$
%& '
()= m
2
sin2*+ l2 +1 6 T= K
l mP
l mcos*( )
,
-
.
.
/..
La ltima expresin corresponde a la ecuacin de Legendre, yPlm(cos!) a los Polinomios Asociados de Legendre.
R r( )
T !( )
Asumiendo separacin de variables, esto es V expresado como el producto de funciones
d d / d l i bl d d f i bti l i d l
-
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separadas de c/u de las variables en coordenadas esfricas, se obtiene una solucin de la
forma:
V = rl,r!(l+1)"#
$% & cosm!,sinm!( )& Pl m cos!( )
Los parmetros l y mson enteros tales que l !0, y -l "m "l y Plm(!)(funciones
asociadas de Legendre) satisfacen la ecuacin asociada de Legendre:
1"x 2
( )
d2y
dx2" 2x
dy
dx+ l l +1( )"
m2
1"x2
#
$%
&
'(y = 0
L !( ) T !( )R r( )
V = rl,r!(l+1)"#
$% &Yl
m!,"( )
con Y l
m!,"( ) =
2l+1( ) l! m( )4! l+m( )!
'
(
)))
*
+
,,,
12
Pl m cos!( )exp i m!( )
En general se suele representar el potencial gravitacional V en funcin de los Armnicos
Esfricos :Yl
m!,"( )
(Ec. A)
-
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nB/ /2DHC;297/ :7 DB GCHBC;I9 >;R7379C;BD g/2C;B:B :7 n7.79:37 /29 D2/:792,;9B:2/ @2D;92,;2/ B/2C;B:2/ :7 n7.79:37]
Pl
m( )
1"
x2
( )
d2y
dx 2 "2x
dy
dx+ l l +1
( )"
m2
1"x 2
#
$%
&
'(y = 0 *
) y = C1
Plm
x( ) +C2 Qlm
x( ) ; Qlm
x( ) = "#$%&'$ () *)+)$(,) () -(. .,()$
a; @297,2/ l#C2/1v5 2OE797,2/]
dydx
= dyd cos"( )
=# 1
sin"dyd"
d2y
dx2=
1
sin"
d
d"
1
sin"
d y
d"
$
%&
'
()=
1
sin2"
d2y
d"2#
cos"
sin"
d y
d"
$
%&
'
()
"#$ %&&'()*+*,-. &, / #& .012&,& 3
d2y
d"2 #
cos"
sin"
d y
d"
$
%&
'
()+ 2
cos"
sin"
d y
d"+
l l+1
( )#
m2
sin2"
*
+,
-
./y= 0
0d
2y
d"2+
cos"
sin"
d y
d"+ l l +1( )#
m2
sin2"
*
+,
-
./y = 0
UAD;SB9:2 JBE
-
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In[4]:=
LegendreP2, x
Out[4]=
1
2
1 3 x2
In[5]:= PlotLegendreP2, x, x, 1, 1
Out[5]=
1.0 0.5 0.5 1.0
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
In[6]:= LegendreP3, x
Out[6]=
1
2
3 x 5 x 3
In[7]:= PlotLegendreP3, x, x, 1, 1
Out[7]=1.0 0.5 0.5 1.0
1.0
0.5
0.5
1.0
UAD;SB9:2 JBE
-
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Para el caso m=0 la ecuacin asociada de Legendre se reduce a la ecuacin de
Legendre (para la cual V no presenta variacin longitudinal).
Considerando el caso particular cuando m=0, las soluciones son de la forma:
Pl0
( ) =1
2ll!
dl
dl
2"1( )
l
[ ]
Factor que normaliza
la funcin tal que Pl0 1( ) = +1
Ecuacin conocida tambincomo Frmula de Rodrguez
Las funciones para el caso m=0 son los Polinomios de Legendre.Pl0 cos"( )
-
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De la Ec. A y asumiendo a como el radio ecuatorial de la Tierra,
-
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V =!1
a
Cl
m a
r
"
#
$
$
%
&
'
'
l+1
+C
l
m r
a
"
#
$
$
%
&
'
'
l(
)*
+*
,
-*
.*cosm!+ S
l
m a
r
"
#
$
$
%
&
'
'
l+1
+S
l
m r
a
"
#
$
$
%
&
'
'
l(
)*
+*
,
-*
.*sinm!
/
0
1
11
2
3
4
44m=0
l
5 P
l m cos"
( )l=0
6
5
De la Ec. A y asumiendo a como el radio ecuatorial de la Tierra,la solucin general de Laplace para el potencial gravitacional V es:
Para m = 0 ! Pl0 cos!( ) = Pl ( ) con = cos!
! "1 # # +1
Si asumimos simetra segn eleje de rotacin de la Tierra,entonces m=0 (despreciamosla dependencia segn ").
Para el caso del campo gravitacional terrestre tenemos que de las
-
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V =!1
a
Cl
m a
r
"
#
$
$
%
&
'
'
l+1
+C
l
m r
a
"
#
$
$
%
&
'
'
l(
)*
+*
,
-*
.*cosm!+ S
l
m a
r
"
#
$
$
%
&
'
'
l+1
+S
l
m r
a
"
#
$
$
%
&
'
'
l(
)*
+*
,
-*
.*sinm!
/
0
1
11
2
3
4
44m=0
l
5 P
l m cos"
( )l=0
6
5
Para el caso del campo gravitacional terrestre, tenemos que de lascondiciones de borde para V:
Coeficentes = 0 puesto
que V!0 cuando r!#
Expresin = 0 parael caso m=0.
V =! 1a
Cl
0 ar
"#$$ %
&''
l+1
Pl0 cos!( )
l=0
(
) =! 1a
Cl
0 ar
"#$$ %
&''
l+1
Pl cos!( )
l=0
(
)
PolinomiosAsociados de
Legendre
Polinomios de
Legendre
(Ec. B)
Considerando slo las fuentes internas para el potencial gravitacional (dentro de la Tierra),
-
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Considerando slo las fuentes internas para el potencial gravitacional (dentro de la Tierra),
tendremos que el potencial V debido a un cuerpo de masa M axialmente simtrico queda
expresado como:
V =!GM
rJ0P0! J
1
a
rP1 cos!( )! J2
a
r
"
#$$
%
&''
2
P2 cos!( )
"
#
$$$
%
&
'''
Donde aes el radio terrestre en el Ecuador, Ges la constante gravitacional y lasconstantes J1, J2, J3,representan la distribucin de masa.
Puesto que P0=1, debemos tener que J0=1, porque a grandes distancias el primer
trmino es el dominante y corresponde al potencial gravitacional para una masapuntual (o masa con simetra esfrica).
Eligiendo el origen del sistema de coordenadas como el centro de masa, podemos
poner J1=0porque P1=cos(!)y este trmino representa un potencial descentrado.
V =!1
a
Cl
0 a
r
"
#$$
%
&''
l+1
Pl
cos!
( )l=0
(
)
-
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Nuestro inters particular es el trmino J2, ya que es el trmino principal requerido que
modula la forma elipsoidal del geoide.
Todos los otros trminos de orden superior son factores menores del orden de la
milsima parte del potencial y podemos despreciarlos en este desarrollo.De esta forma, incorporando la expresin explcita para P2obtenemos que el potencial
gravitacional de la Tierra es:
V =!GM
r+
GMa2J2
r3
3
2cos2!!
1
2
"
#$$
%
&''
Nota: esto slo nos proporciona el potencial en un punto estacionario, para una
Tierra sin rotacin, y por lo tanto debemos incluir un componente de potencial
para puntos rotando junto con la Tierra.
Esta expresin representa el potencial visto por la Luna y los Satlites.
(Ec. C)
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
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MODELO DE TIERRAdgm =
GdM
q2 != latitud
-
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MODELO DE TIERRA
Superficie de la Tierra
Tierra
Superficie Mar
Geoide
Elipsoide
dM
!
P
dgm cos(")
q
!= co-latitud (90-!)
0
x
z
y
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
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Es til expresar J2en trminos de los momentos principales de inercia de la Tierra.
Esto corresponde al desarrollo efectuado por MacCullagh
dV =!GdM
q=!
G dM
r 1+s2
r2!2
s
r
"
#$$
%
&''cos(!)
(
)**
+
,--
12
1+s2
r2
!2 s
r
"
#$$
%
&''cos(!)
(
)**
+
,--
!12
=1+s
r
cos!!1
2
s2
r2+3
2
s2
r2cos2! +!
=1+s
r
cos! +s2
r2
!3
2
s2
r2sin2! +!
Entonces el potencial total, obtenido integrando dV con esta aproximacin,
se obtiene:
V =!G
rdM!
G
r2
" scos! dM!G
r3
" s2 dM+3
2
G
r3
s2sin
2! dM""
-
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V =!G
rdM!
G
r2
" scos!dM!G
r3
" s2 dM+3
2
G
r3
s2sin
2!dM""
"GM
r
Nula porque el centro
de masa fue elegido
como origen decoordenadas
como s2= x
2+ y
2+ z
2( )
!G
r3x2 + y2 +z2( )dM =" ! G
2r3y2 +z2( )dM+ x2 + z2( )dM+" x2 + y2( )dM""#$%
&'(=!
G
2r3A + B +C( )
A, By Cson los momentos de inercia c/r a los ejes x, y, z.
Momento de inercia del
cuerpo c/r al eje OP.
A B C
La cuarta integral es 3/2 veces el momento de inercia I de M en torno al eje OP, de
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
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La cuarta integral es 3/2veces el momento de inercia Ide Men torno al eje OP, de
modo tal que obtenemos:
V =!GM
r!
G
2r3A + B + C! 3I( )! Frmula de MacCullagh"# $%
Escribiendo Ien trminos de los momentos de inerciaA, By C, y de los cosenos
directores l,m,nde los ngulos que hace OPcon los ejesx,y,z, tenemos:
I = Al2+ Bm
2+Cn
2
l
2
+m
2
+ n
2
= 1
Bajo el supuesto de simetra en torno al eje z, entoncesA=B. Sustitumos adems
(l2+m2)y obtenemos:
V =!GM
r!
G
2r3
C! A( ) 1!3n2( )con I = A + C
!A( ) n
2
Puesto que n=cos(!), obtenemos:
V =!GM
r+
G
r3C! A( )
3
2cos
2!!
1
2
"
#$$
%
&''
L i
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
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La ecuacin:
V =!GM
r+
G
r3C! A( )
3
2cos
2!!
1
2
"
#$$
%
&''
Si hacemos coincidir con la (Ec. C) :
V =!GM
r+
GMa2J2
r3
3
2cos
2!!
1
2
"
#$$
%
&''
Deducimos:J2 =
C ! A( )Ma
2=1.082626 "10
!3
Valor estimado a partir de las orbitas de los satlites.
Este resultado es una parte importante en la determinacin de los momentos de
inercia de la Tierra.Es utilizado para el desarrollo de modelos que especifican la variacin de la
densidad al interior del planeta.
Recapitulando: Pierre Simon Laplace (1749-1827) mostr que la solucin del potencial
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
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p p ( ) q p
gravitacional debe satisfacer la ec. Difenrencial de segundo oorden:
1
r2
!
!rr2 !
!rV +
1
r2sin"
!
!"V +
1
r2sin
2"
!2
!#2V = 0
Por simetra axial (m=0), el potencial gravitacional de la Tierra lo expresamos en
trminos de Polinomios de Legendre como:
V =!GMr
1! ar
"#$$
%&''
n
JlPl cos!( )
n=2
n=()
*
+
,,
-
.
//
-
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El trmino en n=2 describe el efecto del achatamiento polar del potencial gravitacional de la
Tierra.
La desviacin del elipsoide c/r a una esfera es del orden de 10 a 20 km.
El trmino n=3 presenta una desviacin del elipsoide del orden de 10 a 20 m.
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
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Volviendo a la Formula de MacCullagh para el elipsoide de la Tierra (recordar que
el ngulo "corresponde a la co-latitud):
V =!GM
r+G
C! A( )r3
3cos2!!1( )
2
Esta expresin puede escribirse de manera ms general en funcin de losPolinomios de Legendre:
V =!GM
r1!
C! A
Ma
2
"
#
$$
%
&
''a
r
"
#
$$
%
&
''
2
P2(cos!)
(
)
**
+
,
--
hpG6eaGJya g[ypg Gn 6y46GhFy >G !Gye>G
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
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hpG6eaGJya g[ypg Gn 6y46GhFy >G !Gye>G
G/ H9B /H@73XC;7 MH7 /7 B@32l;,B BD 9;87D ,7:;2 :7D ,B3 MH7 /7 @32D29.B @23
:7OBP2 :7 D2/ C29A979E7/ /2O37 E2:B DB F;733B%
G/EB 37BD;SBC;I9C2337/@29:73NB B H9B /H@73XC;7 :7D ,B3 D;O37 :7 D2/ 7R7CE2/
:7 32EBC;I9 :7 DB F;733BK 8;79E2/ V ,B37B/K /;79:2 79 E2:2 @H9E2 @73@79:;CHDB3 BDB DN97B :7 @D2,B:B 2 :;37CC;I9 :7 DB .3B87:B:%
GD !72;:7 7/ H9 ,2:7D2 \/;C2% cH/CB 37@37/79EB3 DB 873:B:73B R23,B :7 DBF;733B C2,2 H9B /H@73XC;7 :7 @2E79C;BD :7 .3B87:B: C29/EB9E7%
>7O;:2 B D2/ 7R7CE2/ :7 8B3;BC;I9 79 DB :79/;:B: V :;/E3;OHC;I9 :7 ,B/B/ BD
;9E73;23 :7 DB F;733BK DB R23,B :7D .72;:7 7/ ;337.HDB3z 2O7:7C7 :7 ,B973B :;37CEBB D2/ CB,O;2/ :7 :79/;:B: 79 @32RH9:;:B: MH7 BR7CEB9 7D CB,@2 :7 .3B87:B:2O/738B:2%
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
71/149
Potencial Gravitatorio y GEOIDE
(introduciremos la rotacin de la Tierra)
Sea U el potencial gravitatorio que da origen a la aceleracin sin la componentecentrfuga y sea #el potencial centrfugo:
Pero el potencial centrfugo lo representaremos en funcin de la laitud !, as:
U = V + !
V =GM
r'2!3GM a2 J
2
2r'43sen2(!)!1( )
"
#$$
%
&''!(
r
) dr'
o
V =!GM
r+
GM a2J2
2r33sen2(!) !1( )
Nota:!en este caso es la Latitud (NO la Co-Latitud!)
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
72/149
y el potencial centrfugo :
! = "1
2!
2r2 cos2(")
As, el potencial gravitatorio total es dado por:
U =!GM
r+
GM a2J2
2r33sen2(!)!1( ) !1
2!
2r2 cos2(")
La superficie geopotencial de referencia es llamado GEOIDE.
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
73/149
El Geoide se define como la superficie de potencial constante, U0, el cual se aproxima al
nivel medio del mar
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
74/149
nivel medio del mar.
Si asumimos que esta figura equipotencial tiene radio ecuatoria a y un radio polar c,
obtenemos:
U0
=! GMa
! G2a
3C! A( )! 1
2a2!
2" = 0
o
( )
U0
=!GM
c+
G
c3C! A( ) ! = 90o( )
"
#
$$$$
De donde podemos obtener el achatamiento del Geoide:
f =a ! c
a=
C! A
Ma2
a2
c2+
c
2a
"
#$$
%
&'' +
1
2
a2c!
2
GM
Que corresponde a una teora elipsoidal de 1er orden para el achatamiento del Geoide
ignorando J4y la contribucin de valores de mayor orden.As:
f !3
2J
2+
1
2m
m =a3!2
GM=
componente centrfugo
componente gravitacional
"
#$$
%
&''
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
75/149
aC
=g!
=!2s
s =rcos("); ! =7.292115 !10"5 [rad s"1]
#componente radial g '!
="g!cos(")
# g '!
="!2rcos2(")
# g =GM
r2"3GM a2
2r4J
2 3sen2(")"1$%
&'"!
2rcos2(")
Para obtener una expresin para la aceleracin de gravedad terica
total en un punto P situado sobre la superficie de una Tierra con
rotacin se debe incorporar adems la componente de aceleracin
centrfuga:
aC
= g '!
aG
Concepto Anomala de Geoide
-
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p
La gravedad en un punto viene dada por el gradiente del potencial en
dicho punto:
g=grad(W)
Donde ges el vector gravedad observado en el punto P y W el potencial
real de la Tierra en dicho punto (direccin de la plomada).
Hemos visto que existen 2 superficies equipotenciales que corresponden
a W = cte y U = cte, donde U es el potencial del campo de la gravedadque vara segn el orden de la aproximacin que se desee. La
aproximacin que hemos utilizado para U es la de primer orden:
Donde m es el cociente entre la fuerza centrfuga y gravitacional en el
Ecuador (m = a3"2/GM).
U =!GMa
ar
! J22
ar
"#$$ %
&''
3
3sen2!!1( ) + m2 ra"#$$ %
&''
2
cos2 !
(
)
**
+
,
-- (Ec. D)
El coeficiente J = (C A)/(a2M); C y A son los momentos de inercia de la
-
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El coeficiente J2= (C-A)/(a2M); C y A son los momentos de inercia de la
Tierra respecto al Polo y el Ecuador respectivamente.
La superficie equipotencial de W=cte es el Geoide y coincide con el nivel del
mar. Si eliminamos todas las masas que existen sobre el nivel del mar y los
continentes se conectaran por canales, entonces esta superficie
representara la forma real de la Tierra.
Fuera del mar, la superficie del geoide se prolonga en el interior de loscontinentes.
La superficie U=U0, donde U0es el valor del potencial real de la Tierra a
nivel del mar, recibe el nombre de Elipsoide ( o esferoide de referencia
dependiendo de la frmula que se adopte para describir U).
Figura del Geoide (exagerada)
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-
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!72;:7 XDE3B:2 79 DB/ D29.;EH:7/ :7 29:B d*** -, B )d*** -,%
-
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!72;:7 XDE3B:2 79 DB/ D29.;EH:7/ :7 29:B )** -, B d*** -,%
Introduccin del Elipsoide
-
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Geoide
Elipsoide
Superficie Real
Costa
Introduccin del Elipsoide
-
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Geoide
Elipsoide
Superficie Real
Costa
Interpretando las
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Interpretando lasondulaciones del Geoide
Exceso de masa por
fuera del Elipsoide
Exceso de masa
bajo el Elipsoide
CONCEPTO DE ELIPSOIDE:
H b i t i l fi i d l id
-
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Habamos visto que una expresin para la superficie del geoideque sea consistente con nuestra expresin obtenida para elpotencial de gravedad U se poda calibraren los polos y en
Ecuador:En el Ecuador se tiene:
En los Polos esta misma equipotencial cumple con:
r = a ; ! =0
! U
0 =
"
GM
a 1+1
2J2
#
$%%
&
'(("
1
2a2
"
2
r = c; !
= 90
! U0
="GM
c1"J
2
a
c
#$% &'(2#
$%&
'(
(Ec. E)
-
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Por definicin, la elipticidad del geoide ser:
Con el objeto de relacionar la elipticidad fconJ2 igualamos las
expresiones del equipotencial en el Polo con el del Ecuador:
Sustituyendo c = a(1-f)y despreciando trminos cuadrticos y/o deorden superior enfyJ2(f
-
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dV =!GdM
q=!
G dM
r 1+ s
2
r2!2 s
r
"
#$$
%
&''cos(!)
(
)**
+
,--
12
7MH;@2E79C;BD%
nB R23,B :7D ,2:7D2 :7 !72;:7 7/ CB/; 7D :7 H9B /H@73XC;7 7/Rm3;CB% g/N /; %C7/ DB:;/EB9C;B BD !72;:7]
r0 ! a(1" !); donde !
-
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Usando la (Ec. D) y sustituyendo la (Ec. E) para U0y (Ec. F), ydespreciando trminos cuadrticos y/o de orden superior, seobtiene:
Y sustituyendo la Ec (E) en Ec (D):
! =3
2J2 +1
2
a3"
2
GM
!
"##
$
%&&sen
2(#)
r0 = a 1!
3
2J2 +1
2
a3!
2
GM
"
#
$$
%
&
''sen2(!)
()*
+*
,-*
.*
/ Ecuacin del ELIPSOIDE:
r0 = a 1! f sen2(!)( )
(Ec. G)
(Ec. H)
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Sistemas de Referencia Terrestre
-
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G9 @3;,73B B@32l;,BC;I9 DB F;733B 7/ H9B 7/R73B
-
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Coordenadas Geogrficas
-
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?( ()%*D-!(,-E$ ( .( A*%!( 5# .( F-#%%( )*% G$ #.-)1*-5# 5# %#/*.G,-E$H 949FIJK 7ILBM94NL G& +%.()# $%& %&-/'#-$% +#-.+-$% +#. %& +%.()# $%& '-'(%
-
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4,+% +#-.+-$-) +#. %& %L% $% )#(,+-C. (%))%'()% I*%$,.$# ,'H +#.'?(*-$# %& '-'(%2)*% +($+*= $* )(1( )*% #. ,#$+%* 5#. #.-)1*-5#0
C/ C/*31-*0# 3#$8*+# 0#=.*$ #/ @*1+#8& 0#
A--$0#.&0&1 F#-0G1*,&1
-
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"#$%&'()*' +
",#,h( )
"#$%&'()*%+,-
X,Y,Z( ); "g ,#g ,h( )
4N/OPPQQQB-K.B%'P-K.P&,>#*(R.P,+?;-$,$%'S%#$%'-,3(
-
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Conceptos de Latitud Geocntrica
y Geogrfica (o Astronmica)
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y Geogrfica (o Astronmica)
La longitud de 1 grado del arco meridiano cerca del Ecuador subtiene una distanciamenor que en las regiones polares. La latitud geocntrica phi es menor que la latitud
local (verdadera ) PHI. A nivel del mar se cumple que:
tan(phi) = (b/a)2 tan(PHI)
629C7@E2/ :7 gDEH3B/ C29 37/@7CE2 BD GD@;/2;:7
-
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p7DBC;I9 79E37 BDEH3B 23E2,mE3;CB 1[5 V 7D;@/2;:BD 10 por sobre el elipsoide)
h
ht =H+ N = Altura Elipsoidal
-
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Anomalas de Aire Libre = (gravedad medida) (gravedad en el Elipsoide de referencia en la altitud dondese mide)
Altura del Geoide = altura del geoide sobre el elipsoide.
Potencial sobre el elipsoide
Potencial sobre el GeoideN = Altura Geoide = Anomala de Geoide
H = Altura ortomtrica
-
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htN
H
N = h H = Altura del GeoideGeoide #Superficie dela Tierra
Notar las definiciones correctas de los conceptos de Altura de Geoide(N), Altura Ortomtrica (H) y Altura Elipsoidal (h) son c/uperpendiculares
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perpendiculares
N ! h " H
Resumen de los comceptos: Geoide, Elipsoide, Superficie Real de la Tierra
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N
POTENCIAL GRAVITATORIO TERRESTRE
-
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V =!GMr
1! ar
"
#$$
%
&''
n
JlPl cos!( )
n=2
n=(
)*
+
,,
-
.
//
POTENCIAL GRAVITATORIO TERRESTRE
CASO SIMETRA c/r EJE DE ROTACIN
INCLUYENDO ORDENES SUPERIORES DEL DESARROLLO DE SERIES
El potencial gravitatorio con la componente centrfuga :
Pero el potencial sin la componente centrfuga (sin rotacin):
U = V + !
Nota: "= co-latitud)
La expresin del Geoide para rdenes mayores (Caso la TIERRA)
Los valores de J del EGM96 (Heiskanen and Moritz [1967 p 73]) se calculan utilizando la
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Los valores de J2n del EGM96 (Heiskanen and Moritz [1967, p.73]) se calculan utilizando la
subrutina de N. Pavlis:
J2= 0.1082 6298 2131 x 102
J4= 0.2370 9112 0053 x 105
J6= 0.6083 4649 8882 x 108
J8= 0.1426 8108 7920 x 1010
J10= 0.1214 3927 5882 x 1013
Ms informacin sobre estos clculo y los polinomios de interpolacin (resolucin) que
permiten estimar las ondulaciones del Geoide del Modelo EGM96 c/r al Elipsoide WGS84
puede encontrarse en el sitio WEB del NIMA:
http://164.214.2.59/geospatial/products/GandG/wgs-84/geos.html
-
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La Ec (6) define el Geoide de Referencia.
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La diferencia entre el Geoide de Referencia y el Geoide Medido se
denomina ANOMALIA DEL GEOIDE.
Las anomalas mximas del geoide son de 100 m; Esto corresponde
a aprox. 0.5% de los 21 km de diferencia que existe entre el radio
polar y ecuatorial.
Las anomalas del geoide son relacionadas directamente con elfenmeno de la Tectnica Global de Placas.
0UU =
0mUU =
N!
Geoide
medido
GeoideReferencia
"U= Um0 #U0( ) = #g0"N
>7X9;C;I9 :7 WX>9WPVW YC E>BCXAVWP]
-
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00 UUU
m !="
Donde U0es dado por :
" U0 = #GM
a 1+
1
2J2
$
%&'
()#1
2 a2
*
2
y
U0 = Umo ++U
+r
$
%&'
()r= r0
,N
Geoide medido
Geoide referencia
g/NK DB :73;8B:B 3B:;BD :7D @2E79C;BD :7 .3B87:B: C2337/@29:7 B DB BC7D73BC;I9 :7.3B87:B: /2O37 7D !72;:7 :7 p7R7379C;B]
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
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g/N]
!72:7AC p7R7379C7 aV/E7, 1!pai=*5 @32@H7/E2 79 )Z=*]
0
0
gr
U
rr
=!"
#$%
&
'
'
=
NgU !"=!0
.
))(0000000007.0
)(0000001262.0
)(0000232718.0
)(0052790414.01(7803267715.9
2
0
8
6
4
2
0
!
+
+
+
+=
smengcon
sen
sen
sen
seng
"
"
"
"
Ondulaciones del GeoideN = h - H
-
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N h H
"U= #g0
"N
Si "N> 0 $ "U< 0
Diferencias entre Elipsoide y Geoide
-
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APLICACIONES A LA GEODESIA ESPACIAL
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
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GPS
ht=H+N
Tambin definida
como Altura
Elipsoidal
Utilizando diversas tcnicas satelitales se puede obtener resolucinsobre el Geoide c/r al Elipsoide
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
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H
N
W3/*,&,*-.#1 0# /&1 &.-8&/D&1 0#/ ,&83- 0# ($&)#0&0 +#$$#1+$#
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
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n2/ Bq2/ 37C;79E7/ DB BDA,7E3NB /BE7D;EBD
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
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nB gDA,7E3NB /BE7D;EBD
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
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C233;79E7/K 7EC%
!hB3B B9HDB3 7/EB/ R23SB9E7/ :7 CB3WCE73 C29A9.79E7K /7 E2,B9,7:;C;297/ @23 DB3.2/ @73;2:2/ :7 A7,@2 1? 0 Bq2/5%
Medida de la superficie delmar por satlite
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
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Hh
hg =H! h ! h
d
hg
hdhR
-
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^7CK Y2DH,7 0'K 4H,O73 jK B MHB3E73DVP2H39BD 2R F
-
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Superficie media del mar. Representa el nivel del mar que resulta defenmenos constantes (calculos a partir de 10 aos de observaciones dealtimetra). Su forma es modelada por corrientes ocenicas permanentes yfundamentalmente por el campo de gravedad. Las variaciones en latemperatura del magma bajo la superficie genera variaciones del nivel delmar sobre los 100 metros entre dos regiones ocenicas separadas por ms
de 1000 km. (http://www.altimetry.info/html/appli/geodesy/geodesy_en.html)
Superficie media del mar obtenida de datos satelitales
-
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-
7/23/2019 Gravedad Parte I
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APLICACIONES QUE UTILIZAN EL GEOIDE
INSAR
Otra tcnica satelital moderna con aplicacin al estudio de la
deformacin de la superficie terrestre asociada a monitoreo
de regiones donde se prepara un terremoto o zonas
asociadas a deformacin del edificio volcnico.
Otras
aplicaciones:
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
120/149
aplicaciones:
Deteccin de la
evolucin de la
deformacin de
la superficie
terrestre
Terremotos
Volcanes
Glaciares
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
121/149
Pritchard, M. E. and M. Simons; An InSAR-
based survey of volcanic deformation in the
central Andes; (in Geochem. Geophys.
Geosys. 5, 10.1029/2003GC000610, 2004).
Z["G .-1 1"(*#$#. /&1 $#3$#1#.+&,*-.#1 (/-J&/#1 0# W.-8&/D&1 0# F#-*0# : 0# F$&)#0&0\
g,OB/ B92,BDNB/ /29 2OE79;:B/ B @B3A3 :7 D2/ ,;/,2/ :BE2/%
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
122/149
nB/ @3;9C;@BD7/ B92,BDNB/ !D2OBD7/ :7D !m2;:7 @328;7979 ,HV @32OBOD7,79E7 :7D ,B9E2;9R73;23%
hB3B DB/ B92,BDNB/ !D2OBD7/ :7 !3B87:B: DB /;EHBC;I9 7/ :;R7379E7%
GD 6B,@2 :7 !3B87:B: 7/ H9B :73;8B:B :7D h2E79C;BD !3B8;EBE23;2% aH 37@37/79EBC;I9 !D2OBDB,@D;XCB DB/ 7/CBDB/ 7/@BC;BD7/ :7 C23EB D29.;EH: :7 29:B 79 37DBC;I9 B DB/ :7D h2E79C;BD% a72O/738B 79E29C7/ 8N9CHD2/ RH73E7/ 79E37 D2/ ,B@B/ .D2OBD7/ :7 DB/ B92,BDNB/ :7 .3B87:B: V DB
E7CEI9;CB :7 /H@73XC;7%h23 7P7,@D2]
29B/ :7 /HO:HCC;I9 1B92,BDNB/ 97.BA8B/5
29B :7 B9A.HB/ .DBC;BC;297/ Bx9 RH73B :7D 7MH;D;O3;2 1G/CB9:;9B8;BK 6B9B:W!B92,BDNB/97.BA8B/529B/ C29 ;,@23EB9E7 /m:;,79E2/ 1C79E32 :7 R3;CB!B92,BDNB/ 97.BA8B/5
>23/BD7/ 79 7D gEDW9AC2 423E7 1RH73B :7 C2,@79/BCAI9!B92,BDNB/ @2/;A8B/529B/ :7 CB:79B/ :7 ,29EBqB/
- Geoide -
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
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Figura de la Tierra en 2 aproximacin: el geoide
cuya ondulacin (N) se mide sobre el elipsoide
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
124/149
EGM96 geoidEIGEN-CG01C Geoid
Modelos mundiales de geoide
http://cddis.gsfc.nasa.gov/926/egm96/egm96.html
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
125/149
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
126/149
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7/23/2019 Gravedad Parte I
127/149
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7/23/2019 Gravedad Parte I
128/149
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
129/149
Distribucin de los principales Hot-spot
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
130/149
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
131/149
Actualmente:
Controversia sobre
modelo de plumas
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
132/149
p
v/s modelo de
placas
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
133/149
G/MH7,B :7 DB ;9E73BCC;I9 :7 @DH,BiD;EI/R73B ]1B5 H9B @DH,B C29879C;29BD ;9C;:7 /2O37 H9B D;EI/R73B A@2 @DBCBix9;CB 8;/C2/BK C37B9:2 H9BX3,B [email protected] :7 .3B9 D29.;EH: :7 29:Bz
1O5 CB/2 :7 H9B D;EI/R73B :7 372D2.NB ,W/ 37BD;/EB 1R3W.;Di7DW/ACBi:xCAD5 A@2 ,HDAiCB@B/% G9 7/E7
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
134/149
CB/2 8B3;B/ D29.;EH:7/ :7 29:B :7 DB [email protected]\B /29 7/@73B:B/ MH7 B@B37SCB9 1cH328 B9:!H;DD2Hi^3273K 0**d5%
X#/#K),Y, $% &, X-%)), 5,',$, %. *., +#
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
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Z#.,' #+%=.-+,' , /,)?) $% ,.#
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
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Hots Spots
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
137/149
Fig 1 5
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
138/149
Fig 1.5
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
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g@D;CBC;297/ B DB 7l@D23BC;I9 :7 2E32/ @DB97EB/:7 9H7/E32 a;/E7,B a2DB3
Topografa de la Luna
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
140/149
Geoide de la Luna
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7/23/2019 Gravedad Parte I
141/149
Topografa de la Luna
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
142/149
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
143/149
Geoide de la Luna
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
144/149
Geoide de Marte
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
145/149
Geoide de Venus
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
146/149
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
147/149
g4G~y
Fgcnga
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
148/149
-
7/23/2019 Gravedad Parte I
149/149