gravedad parte i

7/23/2019 Gravedad Parte I

1/149

Campo de Gravedad, Figura de la Tierray Concepto de Geoide

GF3001

Primavera 2015

J. Campos

FCFM, U. de Chile


2/149

!"#$%& ($&)*+&,*-.&/ #.+$# 0-1 23&$4,"/&15 63".+-17 0# 8&1&1 9 : 8; ,&0& ".& ,-.

".& 3-1*,*


3/149

@*1+#8& 0# ,--$0#.&0&1 1*83/*=,&0-

6A#.+$- 0# 8&1& 0# /& B*#$$&7

!

!

" =#!

$ =#!

%= !&'#("

#("!

%=

!

"#

= !&'("

#(

%=!

% =&'

("

>29:7 .?* 1@2/;A8B


4/149

A-.,#3+- 0# C.#$(D& E-+#.,*&/ F$&)*+&,*-.&/

G9 8;3EH: :7 /H @2/;C;I9 79 7D CB,@2 .3B8;EBC;29BD . 1@32:HC;:2 @23 H9B ,B/B J5K DB@B3LCHDB :7 ,B/B , B:MH;737 H9B #$#%&'( )*+#$,-(. &%(/-+(,-*$(.0

G/EB 7973.NB @H7:7 /73 ;9E73@37EB:B C2,2 7D E3BOBP2 Q


5/149

E&$G.+#1*1H I#,-$0&+-$*- 1-J$# ,&83-1 )#,+-$*&/#1 ,-.1#$)&K)-1H

Campos vectoriales conservativos(recordemos las bases)


6/149

GD @2E79C;BD U 7/ DB ;9E7.3BC;I9 :7D CB,@2 :7 .3B87:B: /2O37 7D 7/@BC;2 1VB /7B H9B

DN97BK /H@73XC;7 2 82DH,795%

Y;C7 873/BK 7D CB,@2 :7 .3B87:B: 1DB RH73SB :7 .3B87:B: @23 H9;:B: :7 ,B/B5K 7/ DB

:73;8B:B 7/@BC;BD 1.3B:;79E75 :7D @2E79C;BD%

!

"= !#$

%"

#% =""%

#$

%

#

$%&

'( = !

""%

& = !)&


7/149

El misterio de la GRAVEDAD

&

!

g


8/149


=

Desde lapequea escala


9/149


Z

a la gran escala


10/149

La fuerza gravitacional responde a la de un campo central

Interaccin de los cuerpos celestes segn Decartes (S XVI)CampoCentral


11/149Credit: ES

Mapa de las Anomalas de Geoide de la Tierra. Medidas del campo degravedad obtenidas del Satlite GOCE de la Agencia Espacial Eiropea - ESA.

Veremos la importancia del concepto de Geoide y la importancia de los valores de las

Anomalas de Geoide (en metros!)


12/149

Conceptos de masa inercial y gravitacional

[BV 0 A@2/ :7 :7X9;C;297/ :7 ,B/B B @B3A3 :7 D7V7/ \/;CB/%

JB/B ;973C;BD] ^#,B!8L!M& 1!C29C7@E2 :7 ,2,79EH,5

JB/B .3B8;EBC;29BD] .#!,_30

!8 L ($N

MF`a29 7/EB/ 0 ,B/B/ DB ,;/,B C2/Bb

)0

G/EB,@;DDB 7,;A:B @23 >7HE/C


13/149

)'

Cul es la fuerza gravitacional entre la Tierra y la Luna?Cul es el rango de las anomala de gravedad?


14/149

YBD23 :7 . 79 DB F;733B!g92,BDNB/ :7D 6B,@2 :7 !3B87:B: 79 DB F;733B

a; DB ,B/B 7/ )** -. ]

GD @7/2 7/]

Z='%** 4 79 7D h2D2 423E7

Z&=%** 4 79 7D GCHB:23

Z&=%*d 4 79 e9:297/;B

Z&&%Zd 4 79 e9:;B

Z&$%** 4 79 DB CH,O37 :7D G8737/E

U9;:B:7/ HAD;SB:B/ 79 !72\/;CB]

) !BD # ) C,_/0

)** ,!BD # )*i' ,_/0# )*ij .) ,!BD # )*id ,_/0# )*i$ .


15/149

El Estudio de la Gravedad y del Campo de Gravedad de la Tierra seasocia a la pregunta:

Cul es la Forma de la Tierra ?


16/149

La forma y tamao de la Tierra es un problema muy antiguo (Griegos, siglo VI a. C).

Si la Tierra fuese plana, entonces uno podra ver muy lejos, es decir, no habra

horizonte.

Debido a que hay horizonte, es decir, los objetos desaparecen bajo el horizonte,

entonces la Tierra no es plana, es curva (esfrica).

P l Ti f i ?


17/149

Poqu la Tierra es esfrica?

Anaximandro (VI a.C.) !Tierra sin soporte

Parmnides (515-450 a.C.) !Ecuela de Pitgoras, Tierra esfrica;(Pitgoras, 560-480 a.C.)

Aristteles (384-322 a.C.) !Argumenta a favor de la esfericidad de laTierra.


18/149

Eudoxe (400-355 a.C.) !Primera medida conocida.

Eratstenes (284-192 a.C.) !Primera buena medida conocida.

http://www.ac-reims.fr/datice/astronomie/astrotp/astromesures/mesure_distances.htm

Breve revisin histrica La forma del mundo


19/149

Pitgoras (~550 aC)

Especula sobre la forma esfrica de la Tierra

Eratstenes (~250 aC)

Calcula el radio terrestre (< 15% de error)

Observaciones en Syena v/s Alejandria

Separacin angular y distancia convertida a radio terrestre

Estimatacin: 7360km slo ~15% mayor

Breve revisin histrica La forma del mundo

h

!

!

Sol

xAproximacin para estimar el permetro de

una Tierra esfrica a partir de la distancia

entre Siena y Alejandra

Clculo de la circunferencia de la Tierra Eraststenes 255 a C


20/149

Eratstenes (Siglo III a.C.)

h

Sol

x

d!

Eratstenes estim en 5000 estadios (10 das a camello) entreSienna y Alejandra (1 estadio aprox. = 185 metros).

El ngulo calculado fue de 7.2.

Tamao de la Tierra = crculo = 360 x (d /!) = 250.000 estadios

O sea, 46.250 km (el valor actual es de 40.030 km).

! = arctan x

h

!

"##

$

%&&

Clculo de la circunferencia de la Tierra, Eraststenes 255 a.C.(al medio da cenit- en Siena, durante el solsticio de verano, los

objetos no proyectan sombra; En Alejandra en la misma fecha losobjetos si proyectan sombra). Asumi que ambas ciudades se

encontraban en la misma longitud (aprox. 3 grados de diferencia).

!

!= 0

!

!


21/149

Permetro de la Tierra= 360 !AG

!


22/149

LA CONTROVERSIA DE LA FORMA DE LA TIERRA

(Siglos XVII XVIII)

Invencin del telescopio

Jean Picard (1671) longitud de 1 del arco de un meridiano

Radio de 6372 Km solo 1km superior

Controversia: esferoide prolato v/s oblato (Escuale Inglesa v/s Francesa)

Pierre Louis Maupertuis - Estima entre 1736-1737 la medida de un grado de

latitud y se termina la controversia.!La Tierra es un esferoide oblato

La controversia de losposibles modelos de

Esferoides

oblato Prolato

A finales del siglo XVII y comienzos del XVIII, hubo undebate en torno a la forma de la Tierra: Newton

("Principia1687),describa la Tierra como achatada enlos polos por la fuerza causada por la rotacin de la

Tierra.Los astrnomos franceses (Cassini, Jean Picard)

afirmaban haber probado lo opuesto midiendo arcos

meridianos (la Tierra era ms alargada en los polos).


23/149

Antecedentes previosde clculos efectuados

por Eratstenes (~250aC)


24/149

Algunas definiciones previas

achatamiento 1aexcentricidad 2aexcentricidad


25/149

Hiptesis Prolato dela escuela Francesa.

Expediciones de laAcademia Francesa deParis: Cassini, Picard,Richer


26/149

Hiptesis Oblato de la Escuela Inglesa

d1 > d

2

k) k0


27/149

En el siglo XVII (geodesia moderna) las estimaciones del tamao y forma de la Tierra se

realizaron mediante triangulaciones.

Se debe hacer una correccin si la distancia

no est alineada con la longitud.

d12puede ser calculada por la suma

(orientada) de muchas pequeas distancias.

Midiendo muchas (sino todas) las distancias

y ngulos dentro de la red de puntos nospermite ms precisin para obtener d12

Muchas medidas se realizaron para un arco

de 1 en diferentes sitios en Europa.

- Snellius (1617) : 104 km

- Norwood (1635) : 109 km- Riccioli (1661) : 119 km

- Picard (1671) : 108 km en el norte de

Francia y 110 km en el sur de Francia.


28/149

La medidas por triangulacin enEuropa no permitieron resolverel debate de la forma de laTierra.

Las triangulaciones para medir lalongitud de un meridianorealizadas por Fernel y Snelliusen Francia no fueron

concluyentes.

!

Disputa se resuleve en 1737 alregreso de la expedicin lideradapor Maupertuis a Laponia

(Crculo Polar).!Los resulados de la estimacines presentada por Maupertuis en La Figure de la Terre Editada el ao 1738.


29/149

Para resolver la controversia la Academia de Ciencias de Francia, autorizada por Louis

XV, envi 2 expediciones para medir a lo largo de arcos meridianos en lugares lo ms

distantes posible: cerca del Ecuador (Per) y otro cerca del polo Norte (Laponia).

En 1735 Louis Godin, Charles-Marie de La Condamine y Pierre Bouguer, miembros de la

Academia de Ciencias francesa, acompaados por Joseph de Jussieu, Jean Sniergue,

Jean Godin des Odonnais, Jean Verguin, 3 asistentes (Couplet, de Morainville, Hugot), y

los oficiales espaoles Jorge Juan y Antonio de Ulloa, realizan triangulaciones en losAndes de Per (Quito, aprox. 0.1S, ahora ese punto corresponde a el Ecuador) y

terminan sus medidas recin en 1744. Cuatro de miembros de la expedicin cientfica no

sobreviven (Couplet, Sniergue, Morainville, Hugot).

La expedicin a Laponia, liderada por Pierre-Louis Moreau de Maupertuis, en slo un aologran realizar medidas precisas en Tornio (66N, Finlandia) y retornan en 1737.

Cules fueron sus resulatados y conclusiones?


30/149

Resultados para 1 de arco meridiano de la expedicin francesa

(usando 1 Toise = 1.949.036 m)

Los valores de (a-b)/a corresponden a valores modernos con a= 6378.14 km. La IAU

en 1976 asigna f = 298.257.

Regin Toises Km (a-b)/a

Per (0-3S) 56766 110.64 1/327

Laponia 57438 111.95 1/392

Francia 57078 111.25 1/387


31/149

Parmetros de elipsoides de referencia

Nombre a (m) b (m) 1/fBessel 1841 6377397.155 6356078.963 299.152813

Clarke 1866 6378206.400 6356583.800 294.978698

Clarke 1880 6378249.145 6356514.870 293.465000Everest 1956 6377301.243 6356100.228 300.801700

Fischer 1968 6378150.000 6356768.337 298.300000GRS 1980 6378137.000 6356752.314 298.257222International 1924 6378388.000 6356911.946 297.000000

SGS 85 6378136.000 6356751.302 298.257000Sudamerica 1969 6378160.000 6356774.719 298.250000

WGS 72 6378135.000 6356750.520 298.260000

WGS 84 6378137.000 6356752.314 298.257224

g@32l;,BC;I9 :7 DB X.H3B :7 DB F;733B @23 H97D;@/2;:7 2ODBE2K OB/EB9E7 C73CB :7 BD R23,B37/HDEB9E7 :7D 7MH;D;O3;2 79E37 DB RH73SB.3B8;EBC;29BDK MH7 A79:7


32/149

g@23E7 :7 DB/ ,2:739B/ E7C92D2.NB/ /BE7D;EBD7/ B DB !72\/;CB V 7D @32OD7,B :7 DBX.H3B :7 DB F;733B

O BG,.*,& @&+#//*+# P&1#$ I&.(*.(


33/149

O? BG,.*,& @&+#//*+# P&1#$ I&.(*.(

60#10# OQRS7

nB/73 :7 BDEB 7973.NB /29 798;B:2/ B /BEmD;E7/

@B3B :7E73,;9B3 DB @2/;C;I9 :7D /BEmD;E7B/H,;79:2 C292C;:B DB @2/;C;I9 :7 DB 7/EBC;I9:7 3B/E372 E7337/E37% G/E2 /BEmD;E7/ 7/EW9 79I3O;EB/ :7 '**-, B j*%***-, :7 :;/EB9C;B :7 DB/H@73XC;7 :7 DB F;733B%

g DB ;9873/BK B/H,;79:2 MH7 C292C7,2/ DB@2/;C;I9 :7D /BEmD;E7 1:7:HC;:B :7D CB,@2 :7.3B87:B: E7337/E375K 79E29C7/ ,7:;B9E7,7:;:B/ :7 DB :;/EB9C;B /BEmD;E7i7/EBC;I9 /7@H7:7 :7E73,;9B3 DB @2/;C;I9 :7 DB 7/EBC;I9%

GD A7,@2 /7 ,;:7 C29 @37C;/;I9 :7 B@32l% *%)9/B *%' 9/ 1'l)*i)*/7.5K D2 CHBD @73,;E7@37C;/;297/ ,;D;,mE3;CB/ 79 DB/ ,7:;:B/ :7 DB/:;/EB9C;B/ 79E37 7/EBC;297/ E7337/E37/ V 79C29/7CH79C;B :;/@2973 :7 H9B


34/149

SLR permite una resolucin de la altura del geoide menora 10 cm para longitudes de onda de menos de 1500 km.

O?

C)-/",*


35/149

ties el tiempo de la i-sima medida a lo largo de la rbita.

Si la superficie de la Tierra se deforma, entonces las estaciones monitoreadas por laser se

desplazan. Si este movimiento es de unos pocos cm, entonces estos movimientos son

detectables por LSR.

SLR es una base muy utilizadapara verificar la Teora General de

la Relatividad y para estudios de la

atmsfera y variaciones de los

movimientos en el ocano.

O?

BG,.*,& @&+#//*+# P&1#$ I&.(*.(


36/149

O?

C1+&,*-.#1 J&1# 0# /& +G,.*,& @&+#//*+# P&1#$ I&.(*.(


37/149

N? P".&$ P&1#$ I&.(*.( 6PPI7

>H3B9E7 DB/ ,;/;297/ g@2D2 V,;/;297/ /28;mACB/K /7 ;9/EBDB329/2O37 DB /H@73XC;7 :7 DB nH9B37E32i37o7CE237/ C73CB :7 D2/ /;A2/:7 BDH9;SBP7/%GD 7l@73;,79E2 nnp


38/149

G9 DB BCEHBD;:B: 7l;/E79 2E3B/ EmC9;CB/ .72:m/;CB/ MH7 HAD;SB9 ,7:;C;297/B/E329I,;CB/ 13B:;2 E7D7/C2@;2/ 79 DB R37CH79C;B :7 D2/ '* J[73ES B '** ![73ES5V 2E3B/ EmC9;CB/ /BE7D;EBD7/ :7 BDEB @37C;/;I9%

33 4$5(&(% 1*6%# 7.*6(. 8*1-2*$-$& 9:1+#! ;789#%: ?(% @(1#4$+#%A#%*!#+%: ;>?@4< : 9-1+#!( B*%-1 ;B*)).#% 9:1+#!


39/149

6B,@2 :7 !3B87:B: F7337/E37K 7/E3HCEH3B;9E739B V DB R23,B :7 DB F;733B

"#$%' $% %'()*+(*), -.(%)., $% /&,.%(,' (%))%'()%'


40/149

G9 )$=& 47fE29 R23,HDI DB 7CHBC;I9 :7 !3B8;EBC;I9 U9;873/BD

G9 )&Z= [793V 6B879:;/


41/149

nB 629/EB9E7 U9;873/BD ! V DB :79/;:B: :7 DB F;733B

YB3;BOD7/]

J ,B/B :7 DB O2DB ,W/ .3B:7 t-.u , ,B/B :7 DB O2DB @7MH7qB t-.u

p /7@B3BC;I9 ;9;C;BD 79E37 DB/ O2DB/ .3B9:7i@7MH7qB t,u

n D29.;EH: :7 DB OB33B 79E37 DB/ 0 O2DB/ @7MH7qB/ t,u

v W9.HD2 CBH/B:2 @23 DB :7o7l;I9 t3B:;B97/u

F @73;2:2 :7 2/C;DBC;I9 :7D @m9:HD2 t/u

G/@7P2

F =GM" m

r2 #G =

F" R2

M" m

[BV 0 E23MH7/ ;.HBD7/ C29 O3BS2/ n_0 C_H% @23 D2EB9E2 7D E23MH7 E2EBD]

"= F# L

" #$ %&'()# *&' %&'+,-./ "= $# %

&F =$# %

L;


42/149

nB 629/EB9E7 U9;873/BD ! V DB :79/;:B: :7 DB F;733B

GD C27XC;79E7 :7 E23/;I9 w 7/EW 37DBC;29B:2 BD @73N2:2 :7 2/C;DBC;I9 :7D

@m9:HD2]

G/@7P2

T=2" I

#(I="#"$% '$ (%$)*(+ '$ ,+ -#,+. /$01$2+.3

I=m L

2

2$T=2"

m L2

2#$# =

2"2m L

2

T2

4#"# F = #%L

=2"

2

m L2

%

L T2

$G =F R

2

M m=

2"2L R

2%

M T2

=6.674&10'11 m

3

kg s2

(

)*

+

,-

629 ! C292C;:BK V 7/A,B9:2 .K /7 ;9X737 DB,B/B :7 DB F;733B V /H :79/;:B: @32,7:;2%

9-0#/- #1+$",+"$&/ 0#/ *.+#$*-$ 0# 3/&.#+&1 +#$$#1+$#1 0# N T U ,&3&1


43/149

9-0#/- #1+$",+"$&/ 0#/ *.+#$*-$ 0# 3/&.#+&1 +#$$#1+$#1 0# N U ,&3&1

01&,.%(' ,.$ "##.'2 3/#4. ,.$ 3+4*5%)(2 67879

9-0#/- #1+$",+"$&/ 0#/ *.+#$*-$ 0# 3/&.#+&1 +#$$#1+$#1 0# N T U ,&3&1


44/149

9-0#/- #1+$",+"$&/ 0#/ *.+#$*-$ 0# 3/&.#+&1 +#$$#1+$#1 0# N U ,&3&1

n2/ ,2:7D2/ :7 :;/E3;OHC;I9 ;9E739B :7 DB :79/;:B: @B3B D2/ @DB97EB/ E7337/E37/ 37MH;7379/BA/RBC73 0 C29:;C;297/K DB :79/;:B: ,7:;B 1:7:HC;:B :7D 3B:;2 p V DB ,B/B J@ :7D@DB97EB5 V 7D ,2,79E2 :7 ;973C;B @32,7:;2 MH7 @H7:7 /73 7/A,B:2 :7 DB/ 2O/738BC;297/:7D CB,@2 .3B8;EBC;29BD V DB R37CH79C;B :7 @37/7/;I9 :7D 7P7 :7 32EBC;I9%

J2:7D2 ,W/ /;,@D7 :7 ' CB@B/ @B3B @DB97EB/ E7337/E37/] 9xCD72K ,B9E2 V C23E7SB%

GCHBC;297/ C2337/@29:;79E7/]

a( ) "= "s + "m #"s( )R

m

3

R3+ "

c#"

m( )R

c

3

R3

b( ) I

MR2=

2

5

"s

"+

"c#"

m

"

Rc

R$

%& '

()

5

+

"m#"

s

"

Rm

R$

%& '

()

5$

%&

'

()

:%'#&;-%.$# %'(,' %+*,+-#.%' '-


45/149

:%&,+-C. ),$-#D$%.'-$,$ $% ' /&,.%(,' (%))%'()%' > &, E*.,B F#(,) %& ;,)

-.*'*,&


46/149

P".&

V-

9&$+#

9#$,"$*-


47/149

Potencial Gravitatorio

El anlisis de armnicos esfricos puede ser visto como una adaptacin del

anlisis de Fourier a una superficie esfrica.

Es por lo tanto una manera conveniente de representar y analizar fenmenos

fsicos y propiedades que estn distribudas sobre la superficie de la Tierra.

Sin embargo los armnicos esfricos son algo ms que esta conveniencia: son la

solucin de la ecuacin de Laplace la cual describe (entre otras) campos de

potenciales (gravitacionales, magnticos) fuera de las fuentes que dan origen a

estos campos, y de la ecuacin de las ondas ssmicas en una configuracin de

geometra esfrica.

As, la representacin en armnicos esfricos son apropiados para describir

campos magnticos y gravitacionales, y las oscilaciones libres de la Tierra.

Forma del geode, que por definicin es una superficie de referencia equipotencial.E t t l dif i / li id t i d f i (l l t t d


48/149

En este caso se presenta la diferencia c/r a un elipsoide terico de referencia (la escala est aumentada

para visualizar mejor las variaciones).Conocer la forma de la Tierra es fundamental para, interpretando anomalas de gravedad c/r al Geoide,

podamos acceder a los fenmenos de la geofsica interna del planeta.!Concepto de Geoide de referencia

!

Concepto de elipsoide de referencia


49/149

La ecuacin de Laplace en coordenadas Cartesianas se expresa como:

!2V =

!2V

!x2+

!2V

!y2+

!2V

!z2= 0

Reescribiendo en coordenadas esfricas:

"2V =1

r2

#

#rr2#V

#r

$

%&

'

()+

1

r2sin*

#

#*sin*

#V

#*

$

%&

'

()+

1

r2sin

2*

#2

#+2V = 0

Donde V es el potencial que describe un campo particular.

El oringen r=0 es normalmente el centro de la Tierra. En ngulo se mide comunmente c/

r al eje de rotacin terrestre (en cuyo caso es la co-latitud, o sea, 90 - latitud), y es la

longitud, medida c/r al meridiano de Greenwich.

"

"


50/149

Solucin por variables separables:

V r,!,"( ) =R r( )T !( ) L !( ) =0

!TL 1r2

"" r

r2"R" r

#

$%%

&

'(( + RL

1

r2 sin!""!

sin!"T"!

#

$%%

&

'(( + RT

1

r2 sin2!"2L""2

=0 )r2 sin2!

RTL

!sin2!

R

"

"rr2"R

" r

#

$%%

&

'(( +

sin!

T

"

"!sin!

"T

"!

#

$%%

&

'(( +

1

L

"2L

""2=0

!1

L

"2L

""2=*m

2

(debe ser const. y >0)

!Tiene la forma de : m"2x

"t2=*k t !EDO con solucin :L = Acosm" + Bsinm"

con m+ Z(entero)

Las otras 2 primeras partes de la solucin deben a su vez sumarm2para satisfacer la condicin de homogeneidad.

! sin

2!

R

"

"rr

2"R

" r

#

$%%

&

'(( +

sin!

T

"

"!sin!

"T

"!

#

$%%

&

'(( = m

2

L !( )

# & # &


51/149

Multiplicando por 1

sin2!

! 1

R

"

" rr2

" R

" r

#

$%%

&

'(( +

1

Tsin!

"

"!sin!

"T

"!

#

$%%

&

'(( =

m2

sin2!

Nuevamente, cada una de las partes deben a ser independientes

(hiptesis de variables separables), por lo tanto deben serconstantes:

"

1

R

#

#rr2#R

#r

$

%&

'

()= l

2+1

1Tsin*

##*

sin*#T#*

$

%& '

()= m

2

sin2*+ l2 +1

,

-

.

.

/..

"

1

R2r

#R

#r+ r

2#2R

#r20

12

3

45= l

2+1 6 R = C r l +C r+( l+1)

1Tsin*

##*

sin*#T#*

$

%& '

()= m

2

sin2*+ l2 +1 6 T= K

l mP

l mcos*( )

,

-

.

.

/..

La ltima expresin corresponde a la ecuacin de Legendre, yPlm(cos!) a los Polinomios Asociados de Legendre.

R r( )

T !( )

Asumiendo separacin de variables, esto es V expresado como el producto de funciones

d d / d l i bl d d f i bti l i d l


52/149

separadas de c/u de las variables en coordenadas esfricas, se obtiene una solucin de la

forma:

V = rl,r!(l+1)"#

$% & cosm!,sinm!( )& Pl m cos!( )

Los parmetros l y mson enteros tales que l !0, y -l "m "l y Plm(!)(funciones

asociadas de Legendre) satisfacen la ecuacin asociada de Legendre:

1"x 2

( )

d2y

dx2" 2x

dy

dx+ l l +1( )"

m2

1"x2

#

$%

&

'(y = 0

L !( ) T !( )R r( )

V = rl,r!(l+1)"#

$% &Yl

m!,"( )

con Y l

m!,"( ) =

2l+1( ) l! m( )4! l+m( )!

'

(

)))

*

+

,,,

12

Pl m cos!( )exp i m!( )

En general se suele representar el potencial gravitacional V en funcin de los Armnicos

Esfricos :Yl

m!,"( )

(Ec. A)


53/149

nB/ /2DHC;297/ :7 DB GCHBC;I9 >;R7379C;BD g/2C;B:B :7 n7.79:37 /29 D2/:792,;9B:2/ @2D;92,;2/ B/2C;B:2/ :7 n7.79:37]

Pl

m( )

1"

x2

( )

d2y

dx 2 "2x

dy

dx+ l l +1

( )"

m2

1"x 2

#

$%

&

'(y = 0 *

) y = C1

Plm

x( ) +C2 Qlm

x( ) ; Qlm

x( ) = "#$%&'$ () *)+)$(,) () -(. .,()$

a; @297,2/ l#C2/1v5 2OE797,2/]

dydx

= dyd cos"( )

=# 1

sin"dyd"

d2y

dx2=

1

sin"

d

d"

1

sin"

d y

d"

$

%&

'

()=

1

sin2"

d2y

d"2#

cos"

sin"

d y

d"

$

%&

'

()

"#$ %&&'()*+*,-. &, / #& .012&,& 3

d2y

d"2 #

cos"

sin"

d y

d"

$

%&

'

()+ 2

cos"

sin"

d y

d"+

l l+1

( )#

m2

sin2"

*

+,

-

./y= 0

0d

2y

d"2+

cos"

sin"

d y

d"+ l l +1( )#

m2

sin2"

*

+,

-

./y = 0

UAD;SB9:2 JBE


54/149

In[4]:=

LegendreP2, x

Out[4]=

1

2

1 3 x2

In[5]:= PlotLegendreP2, x, x, 1, 1

Out[5]=

1.0 0.5 0.5 1.0

0.4

0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

In[6]:= LegendreP3, x

Out[6]=

1

2

3 x 5 x 3

In[7]:= PlotLegendreP3, x, x, 1, 1

Out[7]=1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

UAD;SB9:2 JBE


55/149

Para el caso m=0 la ecuacin asociada de Legendre se reduce a la ecuacin de

Legendre (para la cual V no presenta variacin longitudinal).

Considerando el caso particular cuando m=0, las soluciones son de la forma:

Pl0

( ) =1

2ll!

dl

dl

2"1( )

l

[ ]

Factor que normaliza

la funcin tal que Pl0 1( ) = +1

Ecuacin conocida tambincomo Frmula de Rodrguez

Las funciones para el caso m=0 son los Polinomios de Legendre.Pl0 cos"( )


56/149

De la Ec. A y asumiendo a como el radio ecuatorial de la Tierra,


57/149

V =!1

a

Cl

m a

r

"

#

$

$

%

&

'

'

l+1

+C

l

m r

a

"

#

$

$

%

&

'

'

l(

)*

+*

,

-*

.*cosm!+ S

l

m a

r

"

#

$

$

%

&

'

'

l+1

+S

l

m r

a

"

#

$

$

%

&

'

'

l(

)*

+*

,

-*

.*sinm!

/

0

1

11

2

3

4

44m=0

l

5 P

l m cos"

( )l=0

6

5

De la Ec. A y asumiendo a como el radio ecuatorial de la Tierra,la solucin general de Laplace para el potencial gravitacional V es:

Para m = 0 ! Pl0 cos!( ) = Pl ( ) con = cos!

! "1 # # +1

Si asumimos simetra segn eleje de rotacin de la Tierra,entonces m=0 (despreciamosla dependencia segn ").

Para el caso del campo gravitacional terrestre tenemos que de las


58/149

V =!1

a

Cl

m a

r

"

#

$

$

%

&

'

'

l+1

+C

l

m r

a

"

#

$

$

%

&

'

'

l(

)*

+*

,

-*

.*cosm!+ S

l

m a

r

"

#

$

$

%

&

'

'

l+1

+S

l

m r

a

"

#

$

$

%

&

'

'

l(

)*

+*

,

-*

.*sinm!

/

0

1

11

2

3

4

44m=0

l

5 P

l m cos"

( )l=0

6

5

Para el caso del campo gravitacional terrestre, tenemos que de lascondiciones de borde para V:

Coeficentes = 0 puesto

que V!0 cuando r!#

Expresin = 0 parael caso m=0.

V =! 1a

Cl

0 ar

"#$$ %

&''

l+1

Pl0 cos!( )

l=0

(

) =! 1a

Cl

0 ar

"#$$ %

&''

l+1

Pl cos!( )

l=0

(

)

PolinomiosAsociados de

Legendre

Polinomios de

Legendre

(Ec. B)

Considerando slo las fuentes internas para el potencial gravitacional (dentro de la Tierra),


59/149

Considerando slo las fuentes internas para el potencial gravitacional (dentro de la Tierra),

tendremos que el potencial V debido a un cuerpo de masa M axialmente simtrico queda

expresado como:

V =!GM

rJ0P0! J

1

a

rP1 cos!( )! J2

a

r

"

#$$

%

&''

2

P2 cos!( )

"

#

$$$

%

&

'''

Donde aes el radio terrestre en el Ecuador, Ges la constante gravitacional y lasconstantes J1, J2, J3,representan la distribucin de masa.

Puesto que P0=1, debemos tener que J0=1, porque a grandes distancias el primer

trmino es el dominante y corresponde al potencial gravitacional para una masapuntual (o masa con simetra esfrica).

Eligiendo el origen del sistema de coordenadas como el centro de masa, podemos

poner J1=0porque P1=cos(!)y este trmino representa un potencial descentrado.

V =!1

a

Cl

0 a

r

"

#$$

%

&''

l+1

Pl

cos!

( )l=0

(

)


60/149

Nuestro inters particular es el trmino J2, ya que es el trmino principal requerido que

modula la forma elipsoidal del geoide.

Todos los otros trminos de orden superior son factores menores del orden de la

milsima parte del potencial y podemos despreciarlos en este desarrollo.De esta forma, incorporando la expresin explcita para P2obtenemos que el potencial

gravitacional de la Tierra es:

V =!GM

r+

GMa2J2

r3

3

2cos2!!

1

2

"

#$$

%

&''

Nota: esto slo nos proporciona el potencial en un punto estacionario, para una

Tierra sin rotacin, y por lo tanto debemos incluir un componente de potencial

para puntos rotando junto con la Tierra.

Esta expresin representa el potencial visto por la Luna y los Satlites.

(Ec. C)


61/149

MODELO DE TIERRAdgm =

GdM

q2 != latitud


62/149

MODELO DE TIERRA

Superficie de la Tierra

Tierra

Superficie Mar

Geoide

Elipsoide

dM

!

P

dgm cos(")

q

!= co-latitud (90-!)

0

x

z

y


63/149

Es til expresar J2en trminos de los momentos principales de inercia de la Tierra.

Esto corresponde al desarrollo efectuado por MacCullagh

dV =!GdM

q=!

G dM

r 1+s2

r2!2

s

r

"

#$$

%

&''cos(!)

(

)**

+

,--

12

1+s2

r2

!2 s

r

"

#$$

%

&''cos(!)

(

)**

+

,--

!12

=1+s

r

cos!!1

2

s2

r2+3

2

s2

r2cos2! +!

=1+s

r

cos! +s2

r2

!3

2

s2

r2sin2! +!

Entonces el potencial total, obtenido integrando dV con esta aproximacin,

se obtiene:

V =!G

rdM!

G

r2

" scos! dM!G

r3

" s2 dM+3

2

G

r3

s2sin

2! dM""


64/149

V =!G

rdM!

G

r2

" scos!dM!G

r3

" s2 dM+3

2

G

r3

s2sin

2!dM""

"GM

r

Nula porque el centro

de masa fue elegido

como origen decoordenadas

como s2= x

2+ y

2+ z

2( )

!G

r3x2 + y2 +z2( )dM =" ! G

2r3y2 +z2( )dM+ x2 + z2( )dM+" x2 + y2( )dM""#$%

&'(=!

G

2r3A + B +C( )

A, By Cson los momentos de inercia c/r a los ejes x, y, z.

Momento de inercia del

cuerpo c/r al eje OP.

A B C

La cuarta integral es 3/2 veces el momento de inercia I de M en torno al eje OP, de


65/149

La cuarta integral es 3/2veces el momento de inercia Ide Men torno al eje OP, de

modo tal que obtenemos:

V =!GM

r!

G

2r3A + B + C! 3I( )! Frmula de MacCullagh"# $%

Escribiendo Ien trminos de los momentos de inerciaA, By C, y de los cosenos

directores l,m,nde los ngulos que hace OPcon los ejesx,y,z, tenemos:

I = Al2+ Bm

2+Cn

2

l

2

+m

2

+ n

2

= 1

Bajo el supuesto de simetra en torno al eje z, entoncesA=B. Sustitumos adems

(l2+m2)y obtenemos:

V =!GM

r!

G

2r3

C! A( ) 1!3n2( )con I = A + C

!A( ) n

2

Puesto que n=cos(!), obtenemos:

V =!GM

r+

G

r3C! A( )

3

2cos

2!!

1

2

"

#$$

%

&''

L i


66/149

La ecuacin:

V =!GM

r+

G

r3C! A( )

3

2cos

2!!

1

2

"

#$$

%

&''

Si hacemos coincidir con la (Ec. C) :

V =!GM

r+

GMa2J2

r3

3

2cos

2!!

1

2

"

#$$

%

&''

Deducimos:J2 =

C ! A( )Ma

2=1.082626 "10

!3

Valor estimado a partir de las orbitas de los satlites.

Este resultado es una parte importante en la determinacin de los momentos de

inercia de la Tierra.Es utilizado para el desarrollo de modelos que especifican la variacin de la

densidad al interior del planeta.

Recapitulando: Pierre Simon Laplace (1749-1827) mostr que la solucin del potencial


67/149

p p ( ) q p

gravitacional debe satisfacer la ec. Difenrencial de segundo oorden:

1

r2

!

!rr2 !

!rV +

1

r2sin"

!

!"V +

1

r2sin

2"

!2

!#2V = 0

Por simetra axial (m=0), el potencial gravitacional de la Tierra lo expresamos en

trminos de Polinomios de Legendre como:

V =!GMr

1! ar

"#$$

%&''

n

JlPl cos!( )

n=2

n=()

*

+

,,

-

.

//


68/149

El trmino en n=2 describe el efecto del achatamiento polar del potencial gravitacional de la

Tierra.

La desviacin del elipsoide c/r a una esfera es del orden de 10 a 20 km.

El trmino n=3 presenta una desviacin del elipsoide del orden de 10 a 20 m.


69/149

Volviendo a la Formula de MacCullagh para el elipsoide de la Tierra (recordar que

el ngulo "corresponde a la co-latitud):

V =!GM

r+G

C! A( )r3

3cos2!!1( )

2

Esta expresin puede escribirse de manera ms general en funcin de losPolinomios de Legendre:

V =!GM

r1!

C! A

Ma

2

"

#

$$

%

&

''a

r

"

#

$$

%

&

''

2

P2(cos!)

(

)

**

+

,

--

hpG6eaGJya g[ypg Gn 6y46GhFy >G !Gye>G


70/149

hpG6eaGJya g[ypg Gn 6y46GhFy >G !Gye>G

G/ H9B /H@73XC;7 MH7 /7 B@32l;,B BD 9;87D ,7:;2 :7D ,B3 MH7 /7 @32D29.B @23

:7OBP2 :7 D2/ C29A979E7/ /2O37 E2:B DB F;733B%

G/EB 37BD;SBC;I9C2337/@29:73NB B H9B /H@73XC;7 :7D ,B3 D;O37 :7 D2/ 7R7CE2/

:7 32EBC;I9 :7 DB F;733BK 8;79E2/ V ,B37B/K /;79:2 79 E2:2 @H9E2 @73@79:;CHDB3 BDB DN97B :7 @D2,B:B 2 :;37CC;I9 :7 DB .3B87:B:%

GD !72;:7 7/ H9 ,2:7D2 \/;C2% cH/CB 37@37/79EB3 DB 873:B:73B R23,B :7 DBF;733B C2,2 H9B /H@73XC;7 :7 @2E79C;BD :7 .3B87:B: C29/EB9E7%

>7O;:2 B D2/ 7R7CE2/ :7 8B3;BC;I9 79 DB :79/;:B: V :;/E3;OHC;I9 :7 ,B/B/ BD

;9E73;23 :7 DB F;733BK DB R23,B :7D .72;:7 7/ ;337.HDB3z 2O7:7C7 :7 ,B973B :;37CEBB D2/ CB,O;2/ :7 :79/;:B: 79 @32RH9:;:B: MH7 BR7CEB9 7D CB,@2 :7 .3B87:B:2O/738B:2%


71/149

Potencial Gravitatorio y GEOIDE

(introduciremos la rotacin de la Tierra)

Sea U el potencial gravitatorio que da origen a la aceleracin sin la componentecentrfuga y sea #el potencial centrfugo:

Pero el potencial centrfugo lo representaremos en funcin de la laitud !, as:

U = V + !

V =GM

r'2!3GM a2 J

2

2r'43sen2(!)!1( )

"

#$$

%

&''!(

r

) dr'

o

V =!GM

r+

GM a2J2

2r33sen2(!) !1( )

Nota:!en este caso es la Latitud (NO la Co-Latitud!)


72/149

y el potencial centrfugo :

! = "1

2!

2r2 cos2(")

As, el potencial gravitatorio total es dado por:

U =!GM

r+

GM a2J2

2r33sen2(!)!1( ) !1

2!

2r2 cos2(")

La superficie geopotencial de referencia es llamado GEOIDE.


73/149

El Geoide se define como la superficie de potencial constante, U0, el cual se aproxima al

nivel medio del mar


74/149

nivel medio del mar.

Si asumimos que esta figura equipotencial tiene radio ecuatoria a y un radio polar c,

obtenemos:

U0

=! GMa

! G2a

3C! A( )! 1

2a2!

2" = 0

o

( )

U0

=!GM

c+

G

c3C! A( ) ! = 90o( )

"

#

$$$$

De donde podemos obtener el achatamiento del Geoide:

f =a ! c

a=

C! A

Ma2

a2

c2+

c

2a

"

#$$

%

&'' +

1

2

a2c!

2

GM

Que corresponde a una teora elipsoidal de 1er orden para el achatamiento del Geoide

ignorando J4y la contribucin de valores de mayor orden.As:

f !3

2J

2+

1

2m

m =a3!2

GM=

componente centrfugo

componente gravitacional

"

#$$

%

&''


75/149

aC

=g!

=!2s

s =rcos("); ! =7.292115 !10"5 [rad s"1]

#componente radial g '!

="g!cos(")

# g '!

="!2rcos2(")

# g =GM

r2"3GM a2

2r4J

2 3sen2(")"1$%

&'"!

2rcos2(")

Para obtener una expresin para la aceleracin de gravedad terica

total en un punto P situado sobre la superficie de una Tierra con

rotacin se debe incorporar adems la componente de aceleracin

centrfuga:

aC

= g '!

aG

Concepto Anomala de Geoide


76/149

p

La gravedad en un punto viene dada por el gradiente del potencial en

dicho punto:

g=grad(W)

Donde ges el vector gravedad observado en el punto P y W el potencial

real de la Tierra en dicho punto (direccin de la plomada).

Hemos visto que existen 2 superficies equipotenciales que corresponden

a W = cte y U = cte, donde U es el potencial del campo de la gravedadque vara segn el orden de la aproximacin que se desee. La

aproximacin que hemos utilizado para U es la de primer orden:

Donde m es el cociente entre la fuerza centrfuga y gravitacional en el

Ecuador (m = a3"2/GM).

U =!GMa

ar

! J22

ar

"#$$ %

&''

3

3sen2!!1( ) + m2 ra"#$$ %

&''

2

cos2 !

(

)

**

+

,

-- (Ec. D)

El coeficiente J = (C A)/(a2M); C y A son los momentos de inercia de la


77/149

El coeficiente J2= (C-A)/(a2M); C y A son los momentos de inercia de la

Tierra respecto al Polo y el Ecuador respectivamente.

La superficie equipotencial de W=cte es el Geoide y coincide con el nivel del

mar. Si eliminamos todas las masas que existen sobre el nivel del mar y los

continentes se conectaran por canales, entonces esta superficie

representara la forma real de la Tierra.

Fuera del mar, la superficie del geoide se prolonga en el interior de loscontinentes.

La superficie U=U0, donde U0es el valor del potencial real de la Tierra a

nivel del mar, recibe el nombre de Elipsoide ( o esferoide de referencia

dependiendo de la frmula que se adopte para describir U).

Figura del Geoide (exagerada)


78/149


79/149


80/149

!72;:7 XDE3B:2 79 DB/ D29.;EH:7/ :7 29:B d*** -, B )d*** -,%


81/149

!72;:7 XDE3B:2 79 DB/ D29.;EH:7/ :7 29:B )** -, B d*** -,%

Introduccin del Elipsoide


82/149

Geoide

Elipsoide

Superficie Real

Costa

Introduccin del Elipsoide


83/149

Geoide

Elipsoide

Superficie Real

Costa

Interpretando las


84/149

Interpretando lasondulaciones del Geoide

Exceso de masa por

fuera del Elipsoide

Exceso de masa

bajo el Elipsoide

CONCEPTO DE ELIPSOIDE:

H b i t i l fi i d l id


85/149

Habamos visto que una expresin para la superficie del geoideque sea consistente con nuestra expresin obtenida para elpotencial de gravedad U se poda calibraren los polos y en

Ecuador:En el Ecuador se tiene:

En los Polos esta misma equipotencial cumple con:

r = a ; ! =0

! U

0 =

"

GM

a 1+1

2J2

#

$%%

&

'(("

1

2a2

"

2

r = c; !

= 90

! U0

="GM

c1"J

2

a

c

#$% &'(2#

$%&

'(

(Ec. E)


86/149

Por definicin, la elipticidad del geoide ser:

Con el objeto de relacionar la elipticidad fconJ2 igualamos las

expresiones del equipotencial en el Polo con el del Ecuador:

Sustituyendo c = a(1-f)y despreciando trminos cuadrticos y/o deorden superior enfyJ2(f


87/149

dV =!GdM

q=!

G dM

r 1+ s

2

r2!2 s

r

"

#$$

%

&''cos(!)

(

)**

+

,--

12

7MH;@2E79C;BD%

nB R23,B :7D ,2:7D2 :7 !72;:7 7/ CB/; 7D :7 H9B /H@73XC;7 7/Rm3;CB% g/N /; %C7/ DB:;/EB9C;B BD !72;:7]

r0 ! a(1" !); donde !


88/149

Usando la (Ec. D) y sustituyendo la (Ec. E) para U0y (Ec. F), ydespreciando trminos cuadrticos y/o de orden superior, seobtiene:

Y sustituyendo la Ec (E) en Ec (D):

! =3

2J2 +1

2

a3"

2

GM

!

"##

$

%&&sen

2(#)

r0 = a 1!

3

2J2 +1

2

a3!

2

GM

"

#

$$

%

&

''sen2(!)

()*

+*

,-*

.*

/ Ecuacin del ELIPSOIDE:

r0 = a 1! f sen2(!)( )

(Ec. G)

(Ec. H)


89/149

Sistemas de Referencia Terrestre


90/149

G9 @3;,73B B@32l;,BC;I9 DB F;733B 7/ H9B 7/R73B


91/149

Coordenadas Geogrficas


92/149

?( ()%*D-!(,-E$ ( .( A*%!( 5# .( F-#%%( )*% G$ #.-)1*-5# 5# %#/*.G,-E$H 949FIJK 7ILBM94NL G& +%.()# $%& %&-/'#-$% +#-.+-$% +#. %& +%.()# $%& '-'(%


93/149

4,+% +#-.+-$-) +#. %& %L% $% )#(,+-C. (%))%'()% I*%$,.$# ,'H +#.'?(*-$# %& '-'(%2)*% +($+*= $* )(1( )*% #. ,#$+%* 5#. #.-)1*-5#0

C/ C/*31-*0# 3#$8*+# 0#=.*$ #/ @*1+#8& 0#

A--$0#.&0&1 F#-0G1*,&1


94/149

"#$%&'()*' +

",#,h( )

"#$%&'()*%+,-

X,Y,Z( ); "g ,#g ,h( )

4N/OPPQQQB-K.B%'P-K.P&,>#*(R.P,+?;-$,$%'S%#$%'-,3(


95/149

Conceptos de Latitud Geocntrica

y Geogrfica (o Astronmica)


96/149

y Geogrfica (o Astronmica)

La longitud de 1 grado del arco meridiano cerca del Ecuador subtiene una distanciamenor que en las regiones polares. La latitud geocntrica phi es menor que la latitud

local (verdadera ) PHI. A nivel del mar se cumple que:

tan(phi) = (b/a)2 tan(PHI)

629C7@E2/ :7 gDEH3B/ C29 37/@7CE2 BD GD@;/2;:7


97/149

p7DBC;I9 79E37 BDEH3B 23E2,mE3;CB 1[5 V 7D;@/2;:BD 10 por sobre el elipsoide)

h

ht =H+ N = Altura Elipsoidal


98/149

Anomalas de Aire Libre = (gravedad medida) (gravedad en el Elipsoide de referencia en la altitud dondese mide)

Altura del Geoide = altura del geoide sobre el elipsoide.

Potencial sobre el elipsoide

Potencial sobre el GeoideN = Altura Geoide = Anomala de Geoide

H = Altura ortomtrica


99/149

htN

H

N = h H = Altura del GeoideGeoide #Superficie dela Tierra

Notar las definiciones correctas de los conceptos de Altura de Geoide(N), Altura Ortomtrica (H) y Altura Elipsoidal (h) son c/uperpendiculares


100/149

perpendiculares

N ! h " H

Resumen de los comceptos: Geoide, Elipsoide, Superficie Real de la Tierra


101/149

N

POTENCIAL GRAVITATORIO TERRESTRE


102/149

V =!GMr

1! ar

"

#$$

%

&''

n

JlPl cos!( )

n=2

n=(

)*

+

,,

-

.

//

POTENCIAL GRAVITATORIO TERRESTRE

CASO SIMETRA c/r EJE DE ROTACIN

INCLUYENDO ORDENES SUPERIORES DEL DESARROLLO DE SERIES

El potencial gravitatorio con la componente centrfuga :

Pero el potencial sin la componente centrfuga (sin rotacin):

U = V + !

Nota: "= co-latitud)

La expresin del Geoide para rdenes mayores (Caso la TIERRA)

Los valores de J del EGM96 (Heiskanen and Moritz [1967 p 73]) se calculan utilizando la


103/149

Los valores de J2n del EGM96 (Heiskanen and Moritz [1967, p.73]) se calculan utilizando la

subrutina de N. Pavlis:

J2= 0.1082 6298 2131 x 102

J4= 0.2370 9112 0053 x 105

J6= 0.6083 4649 8882 x 108

J8= 0.1426 8108 7920 x 1010

J10= 0.1214 3927 5882 x 1013

Ms informacin sobre estos clculo y los polinomios de interpolacin (resolucin) que

permiten estimar las ondulaciones del Geoide del Modelo EGM96 c/r al Elipsoide WGS84

puede encontrarse en el sitio WEB del NIMA:

http://164.214.2.59/geospatial/products/GandG/wgs-84/geos.html


104/149

La Ec (6) define el Geoide de Referencia.


105/149

La diferencia entre el Geoide de Referencia y el Geoide Medido se

denomina ANOMALIA DEL GEOIDE.

Las anomalas mximas del geoide son de 100 m; Esto corresponde

a aprox. 0.5% de los 21 km de diferencia que existe entre el radio

polar y ecuatorial.

Las anomalas del geoide son relacionadas directamente con elfenmeno de la Tectnica Global de Placas.

0UU =

0mUU =

N!

Geoide

medido

GeoideReferencia

"U= Um0 #U0( ) = #g0"N

>7X9;C;I9 :7 WX>9WPVW YC E>BCXAVWP]


106/149

00 UUU

m !="

Donde U0es dado por :

" U0 = #GM

a 1+

1

2J2

$

%&'

()#1

2 a2

*

2

y

U0 = Umo ++U

+r

$

%&'

()r= r0

,N

Geoide medido

Geoide referencia

g/NK DB :73;8B:B 3B:;BD :7D @2E79C;BD :7 .3B87:B: C2337/@29:7 B DB BC7D73BC;I9 :7.3B87:B: /2O37 7D !72;:7 :7 p7R7379C;B]


107/149

g/N]

!72:7AC p7R7379C7 aV/E7, 1!pai=*5 @32@H7/E2 79 )Z=*]

0

0

gr

U

rr

=!"

#$%

&

'

'

=

NgU !"=!0

.

))(0000000007.0

)(0000001262.0

)(0000232718.0

)(0052790414.01(7803267715.9

2

0

8

6

4

2

0

!

+

+

+

+=

smengcon

sen

sen

sen

seng

"

"

"

"

Ondulaciones del GeoideN = h - H


108/149

N h H

"U= #g0

"N

Si "N> 0 $ "U< 0

Diferencias entre Elipsoide y Geoide


109/149

APLICACIONES A LA GEODESIA ESPACIAL


110/149

GPS

ht=H+N

Tambin definida

como Altura

Elipsoidal

Utilizando diversas tcnicas satelitales se puede obtener resolucinsobre el Geoide c/r al Elipsoide


111/149

H

N

W3/*,&,*-.#1 0# /&1 &.-8&/D&1 0#/ ,&83- 0# ($&)#0&0 +#$$#1+$#


112/149

n2/ Bq2/ 37C;79E7/ DB BDA,7E3NB /BE7D;EBD


113/149

nB gDA,7E3NB /BE7D;EBD


114/149

C233;79E7/K 7EC%

!hB3B B9HDB3 7/EB/ R23SB9E7/ :7 CB3WCE73 C29A9.79E7K /7 E2,B9,7:;C;297/ @23 DB3.2/ @73;2:2/ :7 A7,@2 1? 0 Bq2/5%

Medida de la superficie delmar por satlite


115/149

Hh

hg =H! h ! h

d

hg

hdhR


116/149

^7CK Y2DH,7 0'K 4H,O73 jK B MHB3E73DVP2H39BD 2R F


117/149

Superficie media del mar. Representa el nivel del mar que resulta defenmenos constantes (calculos a partir de 10 aos de observaciones dealtimetra). Su forma es modelada por corrientes ocenicas permanentes yfundamentalmente por el campo de gravedad. Las variaciones en latemperatura del magma bajo la superficie genera variaciones del nivel delmar sobre los 100 metros entre dos regiones ocenicas separadas por ms

de 1000 km. (http://www.altimetry.info/html/appli/geodesy/geodesy_en.html)

Superficie media del mar obtenida de datos satelitales


118/149


119/149

APLICACIONES QUE UTILIZAN EL GEOIDE

INSAR

Otra tcnica satelital moderna con aplicacin al estudio de la

deformacin de la superficie terrestre asociada a monitoreo

de regiones donde se prepara un terremoto o zonas

asociadas a deformacin del edificio volcnico.

Otras

aplicaciones:


120/149

aplicaciones:

Deteccin de la

evolucin de la

deformacin de

la superficie

terrestre

Terremotos

Volcanes

Glaciares


121/149

Pritchard, M. E. and M. Simons; An InSAR-

based survey of volcanic deformation in the

central Andes; (in Geochem. Geophys.

Geosys. 5, 10.1029/2003GC000610, 2004).

Z["G .-1 1"(*#$#. /&1 $#3$#1#.+&,*-.#1 (/-J&/#1 0# W.-8&/D&1 0# F#-*0# : 0# F$&)#0&0\

g,OB/ B92,BDNB/ /29 2OE79;:B/ B @B3A3 :7 D2/ ,;/,2/ :BE2/%


122/149

nB/ @3;9C;@BD7/ B92,BDNB/ !D2OBD7/ :7D !m2;:7 @328;7979 ,HV @32OBOD7,79E7 :7D ,B9E2;9R73;23%

hB3B DB/ B92,BDNB/ !D2OBD7/ :7 !3B87:B: DB /;EHBC;I9 7/ :;R7379E7%

GD 6B,@2 :7 !3B87:B: 7/ H9B :73;8B:B :7D h2E79C;BD !3B8;EBE23;2% aH 37@37/79EBC;I9 !D2OBDB,@D;XCB DB/ 7/CBDB/ 7/@BC;BD7/ :7 C23EB D29.;EH: :7 29:B 79 37DBC;I9 B DB/ :7D h2E79C;BD% a72O/738B 79E29C7/ 8N9CHD2/ RH73E7/ 79E37 D2/ ,B@B/ .D2OBD7/ :7 DB/ B92,BDNB/ :7 .3B87:B: V DB

E7CEI9;CB :7 /H@73XC;7%h23 7P7,@D2]

29B/ :7 /HO:HCC;I9 1B92,BDNB/ 97.BA8B/5

29B :7 B9A.HB/ .DBC;BC;297/ Bx9 RH73B :7D 7MH;D;O3;2 1G/CB9:;9B8;BK 6B9B:W!B92,BDNB/97.BA8B/529B/ C29 ;,@23EB9E7 /m:;,79E2/ 1C79E32 :7 R3;CB!B92,BDNB/ 97.BA8B/5

>23/BD7/ 79 7D gEDW9AC2 423E7 1RH73B :7 C2,@79/BCAI9!B92,BDNB/ @2/;A8B/529B/ :7 CB:79B/ :7 ,29EBqB/

- Geoide -


123/149

Figura de la Tierra en 2 aproximacin: el geoide

cuya ondulacin (N) se mide sobre el elipsoide


124/149

EGM96 geoidEIGEN-CG01C Geoid

Modelos mundiales de geoide

http://cddis.gsfc.nasa.gov/926/egm96/egm96.html


125/149


126/149


127/149


128/149


129/149

Distribucin de los principales Hot-spot


130/149


131/149

Actualmente:

Controversia sobre

modelo de plumas


132/149

p

v/s modelo de

placas


133/149

G/MH7,B :7 DB ;9E73BCC;I9 :7 @DH,BiD;EI/R73B ]1B5 H9B @DH,B C29879C;29BD ;9C;:7 /2O37 H9B D;EI/R73B A@2 @DBCBix9;CB 8;/C2/BK C37B9:2 H9BX3,B [email protected] :7 .3B9 D29.;EH: :7 29:Bz

1O5 CB/2 :7 H9B D;EI/R73B :7 372D2.NB ,W/ 37BD;/EB 1R3W.;Di7DW/ACBi:xCAD5 A@2 ,HDAiCB@B/% G9 7/E7


134/149

CB/2 8B3;B/ D29.;EH:7/ :7 29:B :7 DB [email protected]\B /29 7/@73B:B/ MH7 B@B37SCB9 1cH328 B9:!H;DD2Hi^3273K 0**d5%

X#/#K),Y, $% &, X-%)), 5,',$, %. *., +#


135/149

Z#.,' #+%=.-+,' , /,)?) $% ,.#


136/149

Hots Spots


137/149

Fig 1 5


138/149

Fig 1.5


139/149

g@D;CBC;297/ B DB 7l@D23BC;I9 :7 2E32/ @DB97EB/:7 9H7/E32 a;/E7,B a2DB3

Topografa de la Luna


140/149

Geoide de la Luna


141/149

Topografa de la Luna


142/149


143/149

Geoide de la Luna


144/149

Geoide de Marte


145/149

Geoide de Venus


146/149


147/149

g4G~y

Fgcnga


148/149


149/149

gravedad parte i

Documents